2. W. R. Evans diseñó un método sencillo para encontrar las raíces de
la ecuación característica, que se usa ampliamente en la ingeniería de
control. Este método se denomina método geométrico de las raíces, y en
él se grafican las raíces de la ecuación característica para todos los
valores de un parámetro del sistema.
Lugar Geométrico de raíces.
El método del lugar geométrico de raíces (en inglés, root locus) es
una herramienta que sirve para determinar todas las posibles raíces de
una ecuación característica de 1 + G(s) H(s) = 0 cuando varía algún
parámetro (en principio, la ganancia K de un sistema) y se utiliza para
conocer el comportamiento total del sistema de lazo cerrado en régimen
transitorio.
3. Construcción del Lugar Geométrico de Raíces.
El método de construcción para el lugar geométrico de las raíces
de la ecuación característica a lazo cerrado cuando se varía un
parámetro se fundamenta en un esquema de control de
retroalimentación simple como el que se muestra en la Fig. 1, para el
cual la ecuación característica a lazo cerrado es la que expresa la
ecuación mostrada, cuyas soluciones representan los polos del lazo
cerrado.
El lugar geométrico de las raíces se realizará para variaciones de K
desde cero hasta infinito, aún cuando es posible realizarlo para K
menores que cero, lo que se conoce como lugar geométrico inverso.
4. La construcción del LGR es básicamente un problema grafico, ésta
se basa en el conocimiento de los polos y ceros de la función G(s) H(s).
Reglas para la construcción del LGR.
Dibujar los polos y ceros de G(s) H(s) (lazo abierto).
Debido a que el lugar geométrico de las raíces comienza en los
polos de lazo abierto y termina en los ceros de lazo abierto se deben
dibujar sobre el Plano s dichos polos y ceros, para lo cual se utiliza la
convención de marcar los polos con una X y los ceros con un O.
Si el sistema a lazo abierto tiene más polos que ceros, algunas de
las ramas del LGR terminan en ceros infinito.
K = 0, son los polos de G(s) H(s).
K = ±∞ , son los ceros de G(s) H(s).
Y se representan como en la figura:
5. Existencia del LGR en el eje Real
Utilizando la condición de ángulo se determina que parte del eje real pertenece al lugar
geométrico, para lo cual se debe verificar en cada tramo del eje real el cumplimiento o no de la
condición. Si se parte de un caso hipotético en el cual se tienen dos polos (p1 y p2) y Con el
supuesto de que G(s) H(s) sea de la forma:
Lo que en el plano s se representaría como lo indica la figura.
Reglas para la construcción del LGR.
6. Reglas para la construcción del LGR.
Son puntos arbitrarios donde se supone la existencia del LGR.
Como s1 no genera un ángulo múltiplo impar de 180º entonces no pertenece al LGR
S2, pertenece al LGR ya que el ángulo aportado por este punto es múltiplo impar de 180º
S3, no pertenece al LGR ya que el ángulo aportado por este punto es múltiplo par de 180º.
Si se continúa con este análisis se podrá llegar a la siguiente conclusión: A partir del análisis
anterior se concluye que las partes del eje real que pertenecen al lugar geométrico son
aquellas que se encuentran a la izquierda de un número impar de polos y ceros.
7. Determinar el número de ramas separadas (N)
Considerando que la función de transferencia a lazo abierto tiene n polos y m ceros, y que para
los sistemas en estudio n > m, se tiene un cierto número de ramas que comienzan en los polos pero,
debido a que existen más polos que ceros, dichas ramas se dirigen a ceros en el infinito a lo largo de
asíntotas. El número de asíntotas, NA, se determina como la diferencia entre polos y ceros, tal como
se expresa en la ecuación y para la ubicación de su punto de partida del eje real, σA, y del ángulo de
las mismas, ΦA,
A partir del conocimiento del número de asíntotas, de su ubicación y de sus ángulos es bastante
simple trazar la forma aproximada del lugar geométrico. Para el ejemplo en cuestión se calculan NA,
σA y ΦA y en la figura se muestra la ubicación de los mismos.
8. El número de ramas es igual al orden de la función.
Una vez ubicadas las asíntotas y los puntos de ruptura se debe determinar cual de los polos termina
en el infinito a través de ellas. En el caso en cuestión se tiene que el polo ubicado en s = - 2 termina en el
cero ubicado en s = - 3, en tanto que los otros tres polos deben terminar en las asíntotas. El polo ubicado
en s = - 4 está sobre una de las asíntotas, lo que indica que por allí habrá una rama del lugar geométrico
que termina en el infinito y los polos restantes se acercan a medida que aumenta K para finalmente
despegarse del eje real y dirigirse al infinito por las dos asíntotas restantes. El valor exacto del punto en
donde se despega el lugar geométrico del eje real puede calcularse tal como se indica en el siguiente
paso.
Se define:
Z: número de ceros finitos de G(s)H(s).
P: número de pólos finitos de G(s)H(s).
Entonces:
9. Ángulos de las asíntotas del LGR (Φk).
Los ángulos de las asíntotas son:
Donde k = 0, 1, 2, 3,…, (P – Z) -1. y P – Z = # de asíntotas.
10. Intersección de las asíntotas centroide (σ)
Las asíntotas son simétricas respecto al eje real, y parten de un punto definido por las
magnitudes relativas de los polos y ceros a lazo abierto. Este punto es el centroide.
La intersección de las asíntotas se da sobre el eje real del plano s, y viene dado por:
Debido a que todos los polos y ceros complejos ocurren en pares conjugados, σ siempre es una
cantidad real. Una vez que se encuentra la intersección de las asíntotas y el eje real, es fácil dibujar
las asíntotas en el plano complejo.
Es importante señalar que las asíntotas muestran el comportamiento de los lugares geométricos
de las raíces para s ˃ 1. Una ramificación del lugar geométrico de las raíces puede encontrarse en un
lado de la asíntota correspondiente o puede atravesar ésta de un lado al otro.
11. Ángulos de salida y de llegada.
Debido a la simetría conjugada de los lugares geométricos de las
raíces, los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran sobre el
eje real o bien ocurren en pares complejos conjugados.
Esto se determina a partir de la condición de ángulo de forma
extendida
12. Intersección del LGR con el eje imaginario.
Hay tres formas de encontrar los cruces del LGR con el eje jω:
Por prueba y error, buscando los puntos del eje jω donde la fase de G
(jω) H (jω) es 180º. Por el criterio de Routh-Hurwitz, determinando el valor
de K que hace al lazo cerrado inestable (y luego el correspondiente valor
de s = jω). Planteando la ecuación característica en s = jω, igualando
parte real e imaginaria a cero, y luego resolviendo se obtienen los valores
de K y ω.
El método que debe usarse depende de cuan precisamente deban
conocerse los puntos de cruce.
13. Puntos de ruptura o de desprendimiento.
Los puntos de ruptura se producen donde dos o más ramas del LGR se encuentran y luego
divergen.
Aunque es más común encontrarlos sobre el eje real, pueden ocurrir en cualquier parte del
plano complejo.
Para hallar estos puntos se procede de la manera siguiente:
En general G(s) H(s) es de la forma M(s)/N(s), entonces la ecuación (1) se puede escribir como:
N(s) + KM(s) = 0 Implica que:
Derivando K respecto de s, se obtiene la ecuación:
La aplicación de las ecuaciones conducirán entonces a veces a puntos extraños del plano s; sin
embargo estos se detectan rápidamente porque esta claro que no están localizados en el lugar de las
raíces para:
