Este documento describe el lugar geométrico de las raíces (LGR), un método gráfico para representar la posición de los polos de un sistema a medida que varía un parámetro como la ganancia de lazo. Explica que el LGR indica cómo deben modificarse los polos y ceros para lograr el desempeño deseado. Luego, detalla 11 reglas para construir el LGR de un sistema, como el número de ramas, la simetría, los polos y ceros iniciales, las asíntotas y las condiciones de ángulo y

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
SEDE BARCELONA
BARCELONA ESTADO ANZOÁTEGUI
Lugar geométrico de las raíces
Profesor: Integrante:
Francisco Guaicara Alejandro Rojas CI:20.361.843
Barcelona abril del 2018

2. Lugar geométrico de las raíces
Es un método gráfico para dibujar la posición de los polos del sistema en el plano
complejo a medida que varia un parámetro, la información que proporciona este
método es utilizada para el análisis de la estabilidad y funcionamiento del
sistema.
El LGR resulta muy útil, dado que indica la forma en la que deben modificarse
los polos y ceros en lazo abierto para que la respuesta cumpla las
especificaciones de desempeño del sistema. Algunos sistemas de control
pueden tener más de un parámetro que deba ajustarse.
El diagrama del LGR, para un sistema que tiene parámetros múltiples, se
construye variando un parámetro a la vez.
En la mayor parte de los casos, el parámetro del sistema es la ganancia de lazo
K, aunque el parámetro puede ser cualquier otra variable del sistema. Si el
diseñador sigue las reglas generales para construir los lugares geométricos, le
resultará sencillo trazar los LGR de un sistema específico.
1 + KG(s)H(s) = 0
El lugar geométrico de las raíces se realiza para variaciones de K desde cero
hasta innito, para las cuales dichas raíces deben satisfacer la Ec. 1.1. Como s
es una variable compleja, es posible reescribir dicha ecuación en forma polar
como sigue.
|KG(s)H(s)| ∠KG(s)H(s) = −1 + j0
Considere el sistema de control realimentado mostrado en la Figura siguiente.
G(s)

3. Propiedades del lugar geométrico de las raíces:
El lugar de raíces es simétrico respecto del eje real.
Comienza en los polos de la función de transferencia en lazo abierto y termina
para , normalmente con valor nulo. Las soluciones para corresponden al lugar
de raíces verdadero, mientras que las soluciones para corresponden al lugar de
raíces complementario.
Regla para calcular el lugar geomtrico de las raíces:
Las reglas que se detallan a continuación permiten graficar el lugar de raíces sin
resolver la ecuación característica, permitiendo que el método sea aplicable a
sistemas complejos. Se basan en el desarrollo de R.evans, publicado en 1948 y
por consiguiente se las conoce como Reglas de Evans.
Las siguientes reglas permiten graficar el lugar de raíces para valores
de kpositivos. Para valores negativos de k se utiliza un conjunto de reglas
similar.
En lo que sigue, nos referimos a la función de transferencia a lazo abierto.
1. Número de ramas. El número de ramas del lugar de raíces es igual al
orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo
cerrado. Para sistemas racionales, esto equivale al orden de la ecuación
característica de la función de transferencia a lazo abierto, es decir, el
denominador de la función de transferencia a lazo abierto.
2. Simetría. Dado que la ecuación característica es de coeficientes reales,
las raíces complejas deben ser complejas conjugadas. Por tanto, el lugar
de raíces es simétrico respecto al eje real.
3. Polos de lazo abierto. Los polos de la función de transferencia a lazo
abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a .
4. Ceros de lazo abierto. Los ceros de la función de transferencia a lazo
abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a . Si hay tpolos
más que ceros, entonces t posiciones se harán infinitas a medida
que k se aproxime a infinito.
5. Asíntotas. Si la función de transferencia de lazo cerrado tiene t polos más
que ceros, entonces el lugar de raíces tiene t asíntotas equiespaciadas,
formando entre ellas un ángulo de , donde y . El lugar de
raíces se aproxima a estas asíntotas a medida que k tiende a infinito.
6. Centroide de las asíntotas. El punto del eje real donde las asíntotas se
intersecan se suele llamar el centroide de las asíntotas, se denota
mediante , y se calcula mediante .
7. Lugar de raíces sobre el eje real. Si la función de transferencia a lazo
abierto tiene más de un polo o cero reales, entonces el segmento del eje

4. real que tiene un número impar de polos y ceros reales a su derecha
forma parte del lugar de raíces.
8. Puntos de entrada-salida. Los puntos de entrada-salida, o puntos
singulares, indican la presencia de raíces múltiples de la ecuación
característica, y se dan en los valores de s para los cuales se verifica
.
9. Intersección con el eje imaginario. Las intersecciones con el eje
imaginario se encuentran calculando los valores de k que surgen de
resolver la ecuación característica para .
10.Pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos (Condición
de Argumento). La pendiente del lugar de raíces en polos y ceros
complejos de la función de transferencia a lazo abierto se puede
encontrar en un punto de la vecindad del polo o cero mediante la
relación , para k>0, o , para k<0. Es decir, para k > 0 (lugar de
las raíces) la sumatoria de los ángulos que se forman desde los ceros
hasta el polo arbitrario S menos la sumatoria de los ángulos que se
forman desde los polos hasta S, es múltiplo impar de 180°; y para k < 0
(lugar complementario de las raíces) debe ser múltiplo par de 180°.
11.Cálculo de k en un punto del lugar de raíces (Condición de Modulo).
El valor absoluto de k que corresponde a un punto dado del lugar de
raíces puede determinarse midiendo el módulo de cada segmento que
une cada polo y cero de la función de transferencia a lazo abierto y el
punto en cuestión, y evaluando así .
Ejemplo:
Determinar si el punto s0 = -1+2j hace parte del LGR del sistema en lazo cerrado
representado por la siguiente función de transferencia.
Determinar si el punto s0 = -1+2j hace parte del LGR del sistema en lazo cerrado
representado por la siguiente función de transferencia.
Los polos de F(s) son: 0, -5 y –2 ± 2j. Los ceros de F(s) son: -1. Para determinar
si s0 hace parte del LGR se debe comprobar la condición de ángulo, para lo cual
se ubican en el plano complejo los polos y ceros del sistema y luego se determina
el aporte angular de estos con respecto al polo.