El documento introduce los conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad se refiere a la posibilidad numérica de que ocurra un evento. También describe los modelos de probabilidad como el de frecuencia relativa, subjetivo y clásico. Además, define conceptos como uniones, intersecciones y eventos independientes. Finalmente, presenta técnicas de conteo como permutaciones y combinaciones.

1. Introducción a las Probabilidades
San José, 2014

2. Sin tener en cuenta la profesión que se haya elegido, algo sí es seguro: en
algún momento se han de tomar decisiones. Con mucha frecuencia esto
deberá hacerse sin conocer las consecuencias de tales decisiones. Ejemplo
de ello son los inversionistas, que deben decidir sobre la conveniencia de
invertir en una acción en particular, esto basado en las expectativas de
rendimiento futuro de las mismas.
Al mejorar la habilidad para
juzgar la ocurrencia de eventos
futuros, se puede minimizar el
riesgo y la especulación
arriesgada relacionadas con el
proceso de toma de decisiones.
Al mejorar la habilidad para
juzgar la ocurrencia de eventos
futuros, se puede minimizar el
riesgo y la especulación
arriesgada relacionadas con el
proceso de toma de decisiones.

3. Probabilidad: corresponde a la posibilidad numérica, medida entre 0 y 1
(inclusive), de que se produzca un evento.
Experimento: proceso que da como resultado un evento
Un experimento es toda acción bien definida que conlleva a un resultado
único bien definido.
Así, al lanzar un dado el especio muestral del
mismo es: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
La Probabilidad para el espacio muestral
equivale a 1.
P(S) = 1

4. Modelos de Probabilidad:
a) Frecuencia Relativa (a posteriori)
b) Modelo Subjetivo
c) Modelo Clásico (a priori)
El Modelo de Frecuencia Relativa utiliza datos que se han observado
empíricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en
el pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con
base en datos históricos.
El Modelo de Frecuencia Relativa utiliza datos que se han observado
empíricamente, registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en
el pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con
base en datos históricos.

5. En muchos casos se carece de datos. Por tanto, se hace imposible calcular
la probabilidad a partir del desempeño anterior. La única alternativa es
estimar la probabilidad con base en nuestro mejor criterio. El Modelo
Subjetivo requiere establecer la probabilidad de algún evento basado en
la mejor evidencia disponible. En ocasiones una conjetura, este modelo se
utiliza cuando s desea asignar probabilidad a un evento que nuca ha
ocurrido
Modelo Clásico: es el que se relaciona con mayor frecuencia con los
juegos de azar.
Modelo Clásico: es el que se relaciona con mayor frecuencia con los
juegos de azar.

6. Uniones, Intersecciones y Relaciones entre eventos
Conjunto: Toda reunión de objetos.

7. Para que ocurra , tanto “A como B” deben ocurrir. Por tanto
verificamos que el elemento pertenece a A y B al mismo tiempo. Los
eventos A y B se les denomina eventos No Disyuntos. Ambos se
presentan antes de que ocurra .
A B
A B
Para que un elemento esté en , sólo necesita estar en el conjunto A o
el conjunto B o en ambos.
A BPara que un elemento esté en , sólo necesita estar en el conjunto A o
el conjunto B o en ambos.
A B
Eventos Mutuamente Excluyentes: si la sucesión de uno de ellos
prohíbe que el otro ocurra.
Eventos Colectivamente Exhaustivos: Consta de todos los posibles
resultados de un experimento y constituye su espacio muestral.

8. Eventos Independientes: en estos casos la ocurrencia de uno de los
eventos no tiene nada que ver con la sucesión del otro. Es importante no
confundir independientes con mutuamente excluyentes.
Cuando se obtiene de un conjunto finito, dos eventos son independientes si
y sólo si se realiza con reemplazo. En el caso de que el primer elemento no
se reemplace antes de sacar el segundo elemento, los eventos son
dependientes.
Eventos Complementarios: en estos casos, si uno de los eventos no
ocurre, el otro debe ocurrir. De igual forma, los eventos complementarios
son colectivamente exhaustivos.
El complemento de A se escribe: A

9. Tablas de Contingencia y Tablas de Probabilidad
Un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es
mediante las tablas de contingencia.
Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual
podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla.

10. Los valores indicados en los márgenes de la tabla se denominan
Probabilidades Marginales.
Los valores indicados en los márgenes de la tabla se denominan
Probabilidades Marginales.

11. Probabilidad Condicional: corresponde a la probabilidad de que un
evento ocurra, dado que antes ya ha ocurrido otro evento. Se denota por
y se comprende como la probabilidad de que A ocurra dado que B
ya sucedió.
/P A B
Las Dos Reglas de la Probabilidad
Regla de la Multiplicación: Su propósito es determinar la probabilidad
del evento conjunto . Es decir la probabilidad de A y B, para ello
se multiplican sus probabilidades tomando en cuenta si A y B son eventos
dependientes o independientes.
P A B

12. Regla de la Adición: Se utiliza para .P A BRegla de la Adición: Se utiliza para .P A B
En este caso es importante recordar que los eventos pueden ser
mutuamente excluyentes , lo que implica que , así que el calculo
de .
A B
P A B P A P B

14. Teorema de Bayes
Si recordamos la regla de la probabilidad condicional:
En algunos casos la probabilidad de que A ocurra dado que D ya ha
ocurrido, no solo depende de la ocurrencia de D, esto debido a que puede
existir algún otro evento C que influya en la ocurrencia de A.
En algunos casos la probabilidad de que A ocurra dado que D ya ha
ocurrido, no solo depende de la ocurrencia de D, esto debido a que puede
existir algún otro evento C que influya en la ocurrencia de A.
/
P A B
P A B
P A B P A C
Con el objetivo de aclarar este concepto, utilizaremos y resolveremos un
ejemplo.

15. Ejemplo:
Una empresa productora de medicamentos esta probando una nueva
medicina contra el H1N1, descubrió que el 60% de todas las personas que
sufren este mal sienten alivio de los síntomas a los cinco días, hayan o no
utilizado el medicamento. De quienes sienten alivio, el 40% ha tomado el
medicamento, mientras que el 30% de quienes no han sentido alivio han
probado el medicamento. El laboratorio farmacéutico desea determinar si
es aconsejable tomar el medicamento comparando la probabilidad de
aliviarse si se toma el medicamento con la probabilidad de aliviarse si
necesidad de haberlo tomado.
Una empresa productora de medicamentos esta probando una nueva
medicina contra el H1N1, descubrió que el 60% de todas las personas que
sufren este mal sienten alivio de los síntomas a los cinco días, hayan o no
utilizado el medicamento. De quienes sienten alivio, el 40% ha tomado el
medicamento, mientras que el 30% de quienes no han sentido alivio han
probado el medicamento. El laboratorio farmacéutico desea determinar si
es aconsejable tomar el medicamento comparando la probabilidad de
aliviarse si se toma el medicamento con la probabilidad de aliviarse si
necesidad de haberlo tomado.

16. Como se puede observar en la grafica (Árbol de probabilidades) muestra
que el sentir alivio o no esta presente para ambos eventos, tomar el
medicamento o no tomarlo. Por ello no queda fácil deducir dicha
probabilidad, en este caso el Teorema de Bayes aclara los cálculos.

17. Evento A: Sentir Alivio
Evento B: No Sentir Alivio
Evento C: Tomar Medicamento
0,40 0,60
/
0,40 0,60 0,30 0,40
P A C

18. / 0,67P A C
La probabilidad de sentir alivio dado que tomo el medicamento es de 0,67.
Si recordamos la probabilidad del complemento, corresponde a el valor que
completa para que la probabilidad sea 1. Por tanto la probabilidad de No
sentir alivio, aún después de haber tomado el medicamento será:
/ 1 0,67
0,33
P B C/ 1 0,67
0,33
P B C

19. Técnicas de Conteo
En muchas ocasiones las decisiones empresariales exigen contar el número
de subconjuntos que se pueden obtener de un conjunto.
Ejemplo: De un grupo de 10 productos, ¿Cuántos subconjuntos de 3
productos se pueden ofrecer a los clientes? ¿Cuántas extensiones
telefónicas pueden obtenerse a partir de los dígitos de 0-9 para ser
asignados en una empresa?
En muchas ocasiones las decisiones empresariales exigen contar el número
de subconjuntos que se pueden obtener de un conjunto.
Ejemplo: De un grupo de 10 productos, ¿Cuántos subconjuntos de 3
productos se pueden ofrecer a los clientes? ¿Cuántas extensiones
telefónicas pueden obtenerse a partir de los dígitos de 0-9 para ser
asignados en una empresa?
Si se considera que dos subconjuntos son diferentes debido a que su orden
es diferente, son consideradas permutaciones.

20. Ejemplo: ¿Cuántas números de placas diferentes se pueden elaborar a
partir de los dígitos de 0-9 de tamaño 6?
10 6
10!
10 6 !
151200
P
Si utilizas una calculadora científica, encontraras que calcula
directamente el número de permutaciones que se pueden obtener de
tamaño “r” a partir de un numero “n” de datos.
n rPSi utilizas una calculadora científica, encontraras que calcula
directamente el número de permutaciones que se pueden obtener de
tamaño “r” a partir de un numero “n” de datos.
n rP
Si se considera que dos subconjuntos son idénticos y constituyen el mismo
conjunto porque ambos tienen los mismos elementos sin considerar el
orden, se denominan combinaciones.

21. Ejemplo: ¿Cuántos grupos de 3 productos podrían empacarse juntos y
ofrecerse a los clientes a partir de 10 productos posibles? Consideramos
que en este caso el orden de los productos no hace diferencia alguna.
Ejemplo: ¿Cuántos grupos de 3 productos podrían empacarse juntos y
ofrecerse a los clientes a partir de 10 productos posibles? Consideramos
que en este caso el orden de los productos no hace diferencia alguna.
10 3
10!
3! 10 3 !
120
C
Si utilizas una calculadora científica, encontraras que calcula
directamente el número de combinaciones que se pueden obtener de
tamaño “r” a partir de un numero “n” de datos.
n rC

22. Lista de Fórmulas:
1)
2)
3)3)
4)
5)
6)
7)

23. 8)
9)
10)