Control estadistico de procesos modulo inicial

Control Estadístico
de Procesos

Control Estadístico
de Procesos
Introducción a la
Probabilidad

Introducción a la Probabilidad
2
2 R


 Cada vez que realizamos
un cálculo matemático
para resolver un
problema, lo que estamos
haciendo es aplicar un
modelo matemático a un
fenómeno de la realidad.

 Este fenómeno puede
ser, por ejemplo, la
caída de un objeto
desde cierta altura, y
en este caso
utilizamos un modelo
que es la Ley de
Gravedad.

¿Qué es un modelo?.

 Al enfrentar un problema de
física, química, ingeniería o
de algún otro tipo, estamos
analizando e investigando
una parte o aspecto de la
realidad material que nos
rodea.

 Para resolver el problema, necesitamos
modelar esa realidad, es decir, construir una
representación en la mente de cómo ocurren
los hechos, junto con ecuaciones
matemáticas que permitan calcular los
efectos de los mismos.

 El modelo de fuerza
gravitatoria o leyes de la
gravedad permite estudiar la
caída de un cuerpo en el
vacío.

 Cuando aplicamos este modelo a la caída
real de un cuerpo, estamos dejando de lado la
influencia del aire, cuyo rozamiento en el
cuerpo disminuye su velocidad, pero lo
hacemos a sabiendas que este rozamiento es
muy pequeño y por lo tanto no va a afectar
demasiado nuestros cálculos.

 En ningún caso se debe confundir modelo
con realidad. Un modelo es sólo una
representación de la realidad, utilizado para
estudiar y analizar dicha realidad.

 Los modelos matemáticos
que mencionamos hasta
ahora, después de efectuar
los cálculos nos dan un
resultado numérico preciso,
por ejemplo, que la
velocidad de un automóvil
es de 75,5 Km/Hora.

 También podemos calcular la corriente
eléctrica que circula por un cable con la Ley
de Ohm y obtenemos, por ejemplo, un
resultado como 5,7 Amperes:
A
R
V
I 7
.
5



 Este tipo de modelos matemáticos se
denominan Determinísticos.

 Hay fenómenos que necesitan otro tipo de
modelos matemáticos, que se denominan no
determinísticos, probabilísticos o
estocásticos.

 Por ejemplo, supongamos
que un agricultor necesita
saber cuanta lluvia va a
caer en los próximos
meses, antes de decidir si
le conviene sembrar o no
esta temporada.

 El agricultor se informó en la oficina de
meteorología acerca de la presión barométrica,
la temperatura, velocidad del viento y otros
datos meteorológicos de la zona en que vive.

 Sin embargo, no hay una
ecuación que con todos
esos datos le permita
calcular los milímetros
de lluvia que van a caer
en un mes en forma
precisa.

 De la misma manera,
ningún operador puede
calcular cuanto va a subir la
Bolsa, ni siquiera si va a
subir o bajar, aún cuando
tenga a su alcance todas las
variables económicas
disponibles para el país.

 Este tipo de fenómenos No admiten un
modelo determinístico, sino un modelo
probabilístico, que como resultado nos dice
la probabilidad de que llueva una cierta
cantidad, o la probabilidad de que la Bolsa
suba un cierto porcentaje.

 El resultado no es un valor determinado,
sino la probabilidad de un valor.

 Veamos algunos ejemplos de fenómenos o
experimentos para los cuales es apropiado o
conveniente utilizar un modelo probabilístico:

 Experimento 1:
 Se lanza un dado y se anota el número que
aparece en la cara superior.

 Experimento 2:
 Se arroja una moneda cuatro veces y se
cuenta el número total de caras obtenidas.

 Experimento 3:
anota la sucesión de caras y cecas
obtenidas.

 Experimento 4:
 Se fabrican artículos en una línea de producción
y se cuenta el número de artículos defectuosos
producidos en 24 horas.

 En todos estos casos, el resultado del
experimento no se puede predecir con
absoluta certeza. Hay varios resultados
posibles cada vez que se realiza la
experiencia.

 Para cada experimento del tipo que estamos
considerando, se define el Espacio Muestral
como el conjunto de todos los resultados
posibles que pueden producirse al realizar el
experimento.

 Experimento 1:
 Se lanza un dado y se anota el número que
aparece en la cara superior.
1
4
3
2
5
6
 
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1

S
Espacio Muestral S

1
4
3
2
0  
4
,
3
,
2
,
1
,
0

S
Espacio Muestral S
 Experimento 2:
cuenta el número total de caras obtenidas.
















xxxx
xcxx
cxxx
xxcx
xxxc
ccxx
cxcx
cxxc
xccx
xcxc
xxcc
cccx
ccxc
cxcc
xccc
cccc
S
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
 Experimento 3:
 Se arroja una moneda cuatro veces y se anota
la sucesión de caras (C) y cecas (X) obtenidas.

 
N
S ,...,
3
,
2
,
1
,
0

 Experimento 4:
 Se fabrican artículos en una línea de producción
y se cuenta el número de artículos defectuosos
producidos en 24 horas.
 donde N es el número máximo que pudo ser
producido en 24 horas.

 Un Suceso, respecto a un espacio muestral S
asociado con determinado experimento, es
un subconjunto de resultados del espacio
muestral.

1
4
3
2
5
6
Espacio Muestral S
Suceso

 Entonces, el subconjunto formado por un
solo elemento del espacio muestral es un
suceso.

1
4
3
2
5
6
Espacio Muestral S
Suceso
Elemental

 El conjunto formado por todos los elementos
del espacio muestral también es un suceso.

 Y también lo es el conjunto vacío.

 Hemos visto que dado un experimento
cualquiera, hay un espacio muestral asociado
cuyos elementos son todos los resultados que
se pueden obtener de la experiencia.
 Un subgrupo o subconjunto de resultados es
un suceso.

 Ahora ¿Cómo podemos saber si la
posibilidad de que ocurra un suceso es
grande o pequeña?
 Por ejemplo, si arrojamos un dado, ¿Cómo
podemos calcular la probabilidad de que
salga un 2 ?.

 Para esto necesitamos un número asociado
con cada suceso, al cual se lo denomina
probabilidad del suceso.

 Entonces, la probabilidad P de un suceso es
un número entre 0 y 1, que nos dice en que
medida es posible que ocurra el suceso.

 Si la probabilidad es 1 significa que el
suceso ocurrirá con toda certeza.
 Si la probabilidad es 0,5 significa que un
suceso puede ocurrir o puede no ocurrir con
la misma probabilidad.
 Probabilidad 0 quiere decir que el suceso es
imposible que ocurra.

 ¿Cómo podemos calcular la Probabilidad
de un suceso?

 La respuesta a esta pregunta no siempre es
sencilla y depende del experimento y de su
espacio muestral asociado.
 Hay casos simples en los que el cálculo es
relativamente sencillo.

 En primer término, supondremos que se trata
de un experimento cuyo espacio muestral es
finito y tiene un número pequeño de
resultados posibles.
 En segundo término, supondremos que todos
los resultados que integran el espacio
muestral (sucesos elementales) tienen la
misma probabilidad de ocurrir.

 Con estas dos hipótesis, la fórmula para
calcular la probabilidad es muy sencilla.

 Supongamos que se trata de un experimento
cualquiera cuyo espacio muestral S tiene N
elementos (N resultados posibles).
 Deseamos calcular la probabilidad de un
suceso H (Un subconjunto H del espacio
muestral S) que tiene m elementos.

 De acuerdo a lo dicho previamente, el número
N tiene que ser pequeño y la probabilidad de
cada suceso elemental tiene que ser la misma.

Espacio
Muestral S
Suceso H
N elementos
m elementos

 Entonces la probabilidad P de que ocurra el
suceso H es:
N
m
P 

 Veamos algunos ejemplos. Supongamos que
se arroja un dado sobre una mesa y
apostamos a que salga un número igual o
menor que 4.

 Sabemos que son igualmente posibles los
números: {1, 2, 3, 4, 5 y 6} (Espacio muestral
con 6 elementos).

 Pero los números favorables a nuestra
apuesta son: {1, 2, 3 y 4} (Suceso con 4
elementos). Entonces, la probabilidad de
que ganemos es:
...
666
,
0
6
4


P

1
4
3
2
5
6
Espacio Muestral S
Suceso
...
666
,
0
6
4


P

 Es decir que tenemos a nuestro favor
una probabilidad de 0,666.. (o sea
aproximadamente del 67 %).

 Si apostamos a un sólo número, por
ejemplo a que sale un as, la
probabilidad de ganar sería:
...
1666
,
0
6
1


P

1
4
3
2
5
6
Espacio Muestral S
Suceso
...
1666
,
0
6
1


P

 Repitiendo, la probabilidad es un número
entre 0 y 1, que nos dice en que medida es
posible que ocurra un suceso.

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