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NOMBRE:
FERNANDO CHACÓN
JAVIER FAREZ
LUKAS MATUTE
JONNATHAN JARA
FREDY CAÑAR
MATERIA:
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
TEMA:
DEBER
PROFESOR:
ING. FREDY RIVERA
FECHA:
23/05/2014
1. Dada una distribución normal estándar, calcule el área bajo la curva que esta:
a) a la izquierda de z = –1.39;
𝑃(𝑧 < −1.39) = ∅(−1.39) = 0.0823
b) a la derecha de z = 1.96
𝑃(𝑧 > 1.96) = 1 − ∅(1.96) = 1 − 0.9750 = 0.0250
c) a la derecha de 0.89
𝑃(𝑧 > −0.89) = 1 − ∅(−0.89) = 1 − 0.1867 = 0.8133
d) entre z= -2.16 y z= -065
𝑃(−2.16 < 𝑧 < −0.65) = ∅(−2.16) − ∅(−0.65) = 0.2643 − 0.1540 = 0.2490
e) entre z=-0.48 y z=1.74
𝑃(−0.48 < 𝑧 < 1.74) = ∅(1.74) − ∅(−0.48) = 0.9591 − 0.3156 = 0.6435
2. Calcule el valor de z si el area bajo una curva normal estándar.
a) a la derecha de z es 0.3622;
𝑃(𝑍 > 𝑍𝑜) = 0.3622 → 𝑃(𝑍 < 𝑍𝑜) = 1 − 0.3622 = 0.6378
= 𝑃(𝑍 < 0) + 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.6378
= 0.5000 + 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.6378
= 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.6378 − 0.5000
= 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.1378
𝑍𝑜 = 0.35 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎.
b) a la izquierda de z es 0.1131;
𝑃(𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.1131 = 𝑃(𝑍 > 𝑍𝑜) = 0.1131
= 𝑃(𝑍 < −𝑍𝑜) = 1 − 0.1131 = 0.8869
= 𝑃(𝑍 < 0) + 𝑃(0 < 𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.8869
= 0.5000 + 𝑃(0 < 𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.8869
= 𝑃(0 < 𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.8869 − 0.5000
= 𝑃(0 < 𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.3869
−𝑍𝑜 = 1.21 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎.
𝑍𝑜 = 1.21
c) entre 0 y z, con z > 0, es 0.4838;
𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.4838 = 𝑍𝑜 = 2.14 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎.
d) entre –z y z, con z > 0, es 0.9500
𝑃(−𝑍0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.9500 = 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) =
0.9500
2
= 0.4750
𝑍𝑜 = 1.96 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎.
3. Dada una distribución normal con μ = 30 y σ = 6, calcular:
a) el área de la curva normal a la derecha de x = 17;
𝑍 =
17 − 30
6
= −2.1666 = −2.17(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎)
𝐴 = 0.4850
b) el área de la curva normal a la izquierda de x = 22;
𝑍 =
22 − 30
6
= −1.3333 = −1.33(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎)
𝐴 = 0.4082
c) el área de la curva normal entre x = 32 y x = 41;
𝑍1 =
32 − 30
6
= 0.1111 = 0.11(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎)
𝐴1 = 0.0438
𝑍2 =
41 − 30
6
= 1.8333 = 1.83(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎)
𝐴2 = 0.4664
El área entre x1y x2 es:
𝐴2 − 𝐴1 = 0.4664 − 0.0438 = 0.4226
d ) el valor de x que tiene 80% del área de la curva normal a la izquierda;
𝐴 = 0.3 = 0.2995 𝑍 = 0.84
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = (𝜎 ∗ 𝑧) + 𝜇
𝑥 = (6 ∗ 0.84) + 30 = 35.04
e) los dos valores de x que contienen 75% central del área de la curva normal.
𝐴 = 0.375 = 0.3749 𝑍 = 1.15
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = (𝜎 ∗ 𝑧) + 𝜇
𝑥1 = (6 ∗ 1.15) + 30 = 36.9
𝑥2 = (−6 ∗ 1.15) + 30 = 23.1
4. Una máquina expendedora de bebidas gaseosas se regula para que sirva un promedio de 200
mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación
estandar igual a 15 mililitros,
a) que fracción de los vasos contendrá mas de 224 mililitros?
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
=
224 − 200
15
= 1.60
𝑃(𝑥 > 224) = 𝑃(𝑧 > 1.60)
= 𝑃(𝑧 > 0) − 𝑃(0 < 𝑧 < 1.60)
= 0.5000 − 0.4452
= 0.0548 ≈ 5.48%
b) cual es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?
𝑍1 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
=
191 − 200
15
= −0.60
𝑍2 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
=
209 − 200
15
= 0.60
𝑃(191 < 𝑥 < 209) = 𝑃(−0.60 < 𝑧 < 0.60)
= 𝑃(−0.60 < 𝑍 < 0) + 𝑃(0.60 < 𝑍 < 0)
= 𝑃(0 < 𝑍 < 0.60) + 𝑃(0 < 𝑍 < 0.60)
= 2 ∗ 𝑃(0 < 𝑍 < 0.60) = 0.4515
c) cuantos vasos probablemente se derramaran si se utilizan vasos de 230 mililitros para las
siguientes 1000 bebidas?
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
=
230 − 200
15
= 2.00
𝑃(𝑥 > 230) = 𝑃(𝑍 > 2.00)
= 𝑃(𝑍 > 0) − 𝑃(0 < 𝑍 < 2.00)
= 0.5000 − 0.4772
= 0.0228 ≈ 2.28%
d ) por debajo de que valor obtendremos el 25% mas bajo en el llenado de las bebidas?
Debemos encontrar el valor de Zo para para el cual 𝑃(𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.25 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑍𝑜 > 0.
𝑃(𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.25 → 𝑃(𝑍 > 𝑍𝑜) = 0.25
𝑃(𝑍 > 0) − 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.25
𝑃(𝑍 > 0) − 0.25 = 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜)
𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.5 − 0.25
𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.25
Buscando en la tabla de valores el valor mas cercano de 0.25 es 0.2486 se tiene que Zo=0.67
asi:
−𝑍𝑜 =
𝑥𝑜 − 𝜇
𝜎
𝑥𝑜 = 𝜇 − (𝑍𝑜 ∗ 𝜎)
𝑥𝑜 = 200 − (0.67 ∗ 15) = 189.95 ≈ 190
5. Un abogado viaja todos los días de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la
ciudad. El tiempo promedio para un viaje solo de ida es de 24 minutos, con una desviación
estándar de 3.8 minutos. Si se supone que la distribución de los tiempos de viaje esta distribuida
normalmente.
a) .Cual es la probabilidad de que un viaje tome al menos 1/2 hora?
𝑃(𝑋 > 30) = 1 − ∅ [
30 − 24
3.8
] = 1 − ∅[1.58] = 1 − 0.9428 = 0.0572
b) Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y el sale diario de su casa a las 8:45 a.m., .que porcentaje de
las veces llegara tarde al trabajo?
𝑃(𝑋 > 15) = 1 − ∅ [
15 − 24
3.8
] = 1 − ∅[−2.37] = 1 − 0.0089 = 0.991
c) Si sale de su casa a las 8:35 a.m. y el café se sirve en la oficina de 8:50 a.m. a 9:00 a.m., .cual
es la probabilidad de que se pierda el café?
𝑃(𝑋 > 25) = 1 − ∅ [
25 − 24
3.8
] = 1 − ∅[0.26] = 1 − 0.6038 = 0.3962
d ) Calcule la duración mayor en la que se encuentra el 15% de los viajes más lentos.
1 − ∅(𝑧) = 0.15∅(𝑧) = 0.85(𝑧) = 1.04
𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇 = (1.04)(3.8) + 24 = 27.94
e) Calcule la probabilidad de que 2 de los siguientes 3 viajes tomen al menos 1/2 hora
Del inciso a) P=0.0578 𝑃(𝑌 = 2) = 3𝐶2(0.0572)2(0.9428) = 0.00925
6. La resistencia a la tensión de cierto componente de metal se distribuye normalmente con una
media de 10,000 kilogramos por centímetro cuadrado y una desviación estándar de 100
kilogramos por centímetro cuadrado. Las mediciones se redondean a los 50 kilogramos por
centímetro cuadrado más cercanos.
a) .Que proporción de estos componentes excede a 10,150 kilogramos por centímetro cuadrado
de resistencia a la tensión?
𝜇 = 15.90 𝜎 = 1.5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 = 50 𝑒 = ±25
𝑃(𝑋 > 10150) = 𝑃(𝑋 ≥ 10175) = 1 − ∅ [
10175 − 10000
100
] = 1 − 0.9599 = 0.0401
b) Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan una resistencia a la
tensión de entre 9800 y 10,200 kilogramos por centímetro cuadrado, .que proporción de piezas
esperaría que se descartara?
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒 = 1 − 𝑃(9800 ≤ 𝑋 ≤ 10200)
𝑃(9800 ≤ 𝑋 ≤ 10200) = 𝑃(9775 ≤ 𝑋 ≤ 10225)
= ∅ [
10225 − 10000
100
] − ∅ [
9775 − 10000
100
]
= ∅[2.25] − ∅[−2.25] = 0.9756
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒 = 1 − 0.9756 = 0.0244
1. En un proceso para fabricar un componente electrónico, 1% de los artículos resultan
defectuosos. Un plan de control de calidad consiste en seleccionar 100 artículos de un proceso
de producción y detenerlo o continuar con el si ninguno esta defectuoso. Use la aproximación
normal a la binomial para calcular
a) la probabilidad de que el proceso continúe con el plan de muestreo descrito;
b) la probabilidad de que el proceso continúe aun si este va mal (es decir, si la frecuencia de
componentes defectuosos cambio a 5.0% de defectuosos).
6.25 𝑛 = 100
a)
𝑝 = 0.01 𝜇 = (100)(0.01) = 1 𝜎√(100)(0.01)(0.99) = 0.995
𝑧 =
(0.5 − 1)
0.995
𝑃(𝑋 ≤ 0) ≈ 𝑃(𝑍 ≤ −0.503) = 0.3085
𝑧 = −0.503
b)
𝑝 = 0.05 𝜇 = (100)(0.05) = 5 𝜎√(100)(0.05)(0.95) = 2.1794
𝑧 =
(0.5 − 5)
2.1794
𝑃(𝑋 ≤ 0) ≈ 𝑃(𝑋 ≤ −2.06) = 0.0197
𝑧 = −2.06
2. Un proceso produce 10% de artículos defectuosos. Si se seleccionan al azar 100 artículos del
proceso, .cual es la probabilidad de que el número de defectuosos
6.26 𝜇 = 𝑛𝑝 = (100)(0.1) = 10 𝜎 = √(100)(0.1)(0.9) = 3
a) exceda los 13?
𝑧 =
(13.5 − 10)
3
𝑃(𝑋 > 13.5) = 𝑃(𝑍 > 1.17) = 0.1210
𝑧 = 1.17
b) sea menor que 8?
𝑧 =
(7.5 − 10)
3
𝑃(𝑋 < 7.5) = 𝑃(𝑍 < −0.83) = 0.2033
𝑧 = −0.83
3. Un paciente tiene 0.9 de probabilidad de recuperarse de una operación de corazón
delicada. De los siguientes 100 pacientes que se someten a esta operación, .cual es la
probabilidad de que
6.27 𝜇 = 𝑛𝑝 = (100)(0.9) = 90 𝜎 = √(100)(0.1)(0.9) = 3
a) sobrevivan entre 84 y 95 inclusive?
𝑧1 =
(83.5 − 90)
3
𝑧1 = −2.17
𝑧2 =
(95.5 − 90)
3
𝑃(83.5 < 𝑋 < 95.5) = 𝑃(−2.17 < 𝑍 < 1.83)
= 0.9664 − 0.0150 = 0.9514 𝑃(𝑍 < −1.50) = 0.0668
𝑧2 = 1.83
b) sobrevivan menos de 86?
𝑧 =
(85.5 − 90)
3
𝑃(𝑋 < 85.5) = 𝑃(𝑍 < −1.50) = 0.0668
𝑧 = −1.50
4. Investigadores de la Universidad George Washington y del Instituto Nacional de Salud
informan que aproximadamente 75% de las personas cree que “los tranquilizantes
funcionan muy bien para lograr que una persona este más tranquila y relajada”. De las
siguientes 80 personas entrevistadas, .cual es la probabilidad de que
6.28 𝜇 = 𝑛𝑝 = (80)(3 4⁄ ) = 60 𝜎 = √(80)(3/4)(1/4) = 3.873
a) al menos 50 tengan esta opinión?
𝑧 =
(49.5 − 60)
3.873
𝑃(𝑋 > 49.5) = 𝑃(𝑍 > −2.71) = 1 − 0.0034 = 0.9966
𝑧 = −2.71
b) a lo sumo 56 tengan esta opinión?
𝑧 =
(56.5 − 60)
3.873
𝑃(𝑋 < 56.5) = 𝑃(𝑍 < −0.90) = 0.1841
𝑧 = −0.90
5. Una empresa farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras
anticonceptivas no contiene la cantidad suficiente de un ingrediente, lo que las vuelve
ineficaces. .Cual es la probabilidad de que menos de 10 píldoras en una muestra de 200
sean ineficaces?
6.32 𝜇 = 𝑛𝑝 = (200)(0.05) = 10 𝜎 = √(200)(0.05)(0.95) = 3.082
𝑧 =
(9.5 − 10)
3.082
𝑃(𝑋 < 10) = 𝑃(𝑍 < −0.16) = 0.4364
𝑧 = −0.16
Aproximación normal a la binomial
1. En un proceso para fabricar un componente electrónico, 1% de los artículos resultan
defectuosos. Un plan de control de calidad consiste en seleccionar 100 artículos de un proceso
de producción y detenerlo o continuar con el si ninguno esta defectuoso. Use la aproximación
normal a la binomial para calcular
a) la probabilidad de que el proceso continúe con el plan de muestreo descrito;
b) la probabilidad de que el proceso continúe aun si este va mal (es decir, si la frecuencia de
componentes defectuosos cambio a 5.0% de defectuosos).
2. Un proceso produce 10% de artículos defectuosos. Si se seleccionan al azar 100 artículos del
proceso, .cual es la probabilidad de que el número de defectuosos
a) exceda los 13?
b) sea menor que 8?
3. Un paciente tiene 0.9 de probabilidad de recuperarse de una operación de corazón delicada.
De los siguientes 100 pacientes que se someten a esta operación, .cual es la probabilidad de que
a) sobrevivan entre 84 y 95 inclusive?
b) sobrevivan menos de 86?
4. Investigadores de la Universidad George Washington y del Instituto Nacional de Salud
informan que aproximadamente 75% de las personas cree que “los tranquilizantes funcionan
muy bien para lograr que una persona este mas tranquila y relajada”. De las siguientes 80
personas entrevistadas, .cual es la probabilidad de que
a) al menos 50 tengan esta opinión?
b) a lo sumo 56 tengan esta opinión?
5. Una empresa farmaceutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras anticonceptivas no
contiene la cantidad suficiente de un ingrediente, lo que las vuelve ineficaces. .Cual es la
probabilidad de que menos de 10 píldoras en una muestra de 200 sean ineficaces?
Distribución gamma y distribución exponencial
1. En cierta ciudad, el consumo diario de agua (en millones de litros) sigue aproximadamente
una distribución gamma con α = 2 y β = 3. Si la capacidad diaria de dicha ciudad es de 9
millones de litros de agua, .cual es la probabilidad de que en cualquier dia dado el suministro de
agua sea inadecuado?
𝑃(𝑋 > 9) =
1
9
∫ 𝑥−
𝑥
3
∞
9
𝑑𝑥 = [−
𝑥
3
𝑒−
𝑥
3 − 𝑒−
𝑥
3]
∞
9
= 4𝑒−3
= 0.1992
2. Si una variable aleatoria X tiene una distribución gamma con α = 2 y β = 1, calcule P(1.8 < X
< 2.4).
𝑃(1,8 < 𝑋 < 2,4) = ∫ 𝑥𝑒−𝑥
𝑑𝑥 = [−𝑥𝑒−𝑥
2.4
1.8
− 𝑒−𝑥
]
2.4
1.8
= 2.8𝑒−1.8
− 3.4𝑒−2.4
= 0.1545
3. En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilowatts-hora, es una
variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con media μ = 6 y varianza σ2 = 12. a)
Calcule los valores de α y β.
b) Calcule la probabilidad de que en cualquier dia dado el consumo diario de energía exceda los
12 millones de kilowatts-hora.
A)
𝜇 =∝ 𝛽 = 6
𝜎2
=∝ 𝛽2
= 12
∝=
6
𝛽
6𝛽 = 12
𝛽 = 2 ∝= 3
B)
𝑃(𝑋 > 12) =
1
16
∫ 𝑥2
𝑒−
𝑥
2 𝑑𝑟
∞
12
𝑃(𝑋 > 12) =
1
16
[−2𝑥2
𝑒−
𝑥
2 − 8𝑥𝑒−
𝑥
2 − 16𝑒−
𝑥
2]
∞
12
= 25𝑒−6
= 0.0620
4. El tiempo necesario para que un individuo sea atendido en una cafetería es una variable
aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. .Cual es la
probabilidad de que una persona sea atendida en menos de 3 minutos en al menos 4 de los
siguientes 6 días?
𝑃(𝑋 > 3) =
1
4
∫ 𝑒−𝑥/4
3
0
𝑑𝑥 = −𝑒−𝑥/4
]
3
0
= 1 − 𝑒−
3
4 = 0.5276
𝑃(𝑌 ≥ 4) = ∑ 𝑏 (𝑦; 6, 1 − 𝑒−
3
4)
6
𝑥=4
= (
6
4
) (0.5276)4(0.4724)2
+ (
6
5
) (0.5276)5(0.4724) + (
6
6
) (0.5276)6
= 0.3968
5. La vida, en anos, de cierto interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con una
vida promedio de β = 2. Si 100 de estos interruptores se instalan en diferentes sistemas, .cual es
la probabilidad de que, a lo sumo, fallen 30 durante el primer año?
𝑃(𝑋 < 1) =
1
2
∫ 𝑒−
𝑥
2
1
0
𝑑𝑥 = −𝑒−
𝑥
2 ]
1
0
= 1 − 𝑒−
1
2 = 0.3935
𝜇 = (100)(0.3935) = 39.35
𝜎 = √(100)(0.3935)(0.6065) = 4.885
𝑧 =
30.5 − 39.35
4.885
= −1.81
𝑃(𝑌 ≤ 30) = 𝑃(𝑍 < −1.81) = 0.0352

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  • 1. NOMBRE: FERNANDO CHACÓN JAVIER FAREZ LUKAS MATUTE JONNATHAN JARA FREDY CAÑAR MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA TEMA: DEBER PROFESOR: ING. FREDY RIVERA FECHA: 23/05/2014
  • 2. 1. Dada una distribución normal estándar, calcule el área bajo la curva que esta: a) a la izquierda de z = –1.39; 𝑃(𝑧 < −1.39) = ∅(−1.39) = 0.0823 b) a la derecha de z = 1.96 𝑃(𝑧 > 1.96) = 1 − ∅(1.96) = 1 − 0.9750 = 0.0250 c) a la derecha de 0.89 𝑃(𝑧 > −0.89) = 1 − ∅(−0.89) = 1 − 0.1867 = 0.8133 d) entre z= -2.16 y z= -065 𝑃(−2.16 < 𝑧 < −0.65) = ∅(−2.16) − ∅(−0.65) = 0.2643 − 0.1540 = 0.2490 e) entre z=-0.48 y z=1.74 𝑃(−0.48 < 𝑧 < 1.74) = ∅(1.74) − ∅(−0.48) = 0.9591 − 0.3156 = 0.6435 2. Calcule el valor de z si el area bajo una curva normal estándar. a) a la derecha de z es 0.3622; 𝑃(𝑍 > 𝑍𝑜) = 0.3622 → 𝑃(𝑍 < 𝑍𝑜) = 1 − 0.3622 = 0.6378 = 𝑃(𝑍 < 0) + 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.6378 = 0.5000 + 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.6378 = 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.6378 − 0.5000 = 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.1378 𝑍𝑜 = 0.35 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎. b) a la izquierda de z es 0.1131; 𝑃(𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.1131 = 𝑃(𝑍 > 𝑍𝑜) = 0.1131 = 𝑃(𝑍 < −𝑍𝑜) = 1 − 0.1131 = 0.8869 = 𝑃(𝑍 < 0) + 𝑃(0 < 𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.8869 = 0.5000 + 𝑃(0 < 𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.8869 = 𝑃(0 < 𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.8869 − 0.5000 = 𝑃(0 < 𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.3869 −𝑍𝑜 = 1.21 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎. 𝑍𝑜 = 1.21 c) entre 0 y z, con z > 0, es 0.4838; 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.4838 = 𝑍𝑜 = 2.14 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎. d) entre –z y z, con z > 0, es 0.9500
  • 3. 𝑃(−𝑍0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.9500 = 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.9500 2 = 0.4750 𝑍𝑜 = 1.96 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎. 3. Dada una distribución normal con μ = 30 y σ = 6, calcular: a) el área de la curva normal a la derecha de x = 17; 𝑍 = 17 − 30 6 = −2.1666 = −2.17(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎) 𝐴 = 0.4850 b) el área de la curva normal a la izquierda de x = 22; 𝑍 = 22 − 30 6 = −1.3333 = −1.33(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎) 𝐴 = 0.4082 c) el área de la curva normal entre x = 32 y x = 41; 𝑍1 = 32 − 30 6 = 0.1111 = 0.11(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎) 𝐴1 = 0.0438 𝑍2 = 41 − 30 6 = 1.8333 = 1.83(𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎) 𝐴2 = 0.4664 El área entre x1y x2 es: 𝐴2 − 𝐴1 = 0.4664 − 0.0438 = 0.4226 d ) el valor de x que tiene 80% del área de la curva normal a la izquierda; 𝐴 = 0.3 = 0.2995 𝑍 = 0.84 𝑍 = 𝑥 − 𝜇 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = (𝜎 ∗ 𝑧) + 𝜇 𝑥 = (6 ∗ 0.84) + 30 = 35.04 e) los dos valores de x que contienen 75% central del área de la curva normal. 𝐴 = 0.375 = 0.3749 𝑍 = 1.15 𝑍 = 𝑥 − 𝜇 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = (𝜎 ∗ 𝑧) + 𝜇 𝑥1 = (6 ∗ 1.15) + 30 = 36.9 𝑥2 = (−6 ∗ 1.15) + 30 = 23.1 4. Una máquina expendedora de bebidas gaseosas se regula para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estandar igual a 15 mililitros, a) que fracción de los vasos contendrá mas de 224 mililitros?
  • 4. 𝑍 = 𝑥 − 𝜇 𝜎 = 224 − 200 15 = 1.60 𝑃(𝑥 > 224) = 𝑃(𝑧 > 1.60) = 𝑃(𝑧 > 0) − 𝑃(0 < 𝑧 < 1.60) = 0.5000 − 0.4452 = 0.0548 ≈ 5.48% b) cual es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros? 𝑍1 = 𝑥 − 𝜇 𝜎 = 191 − 200 15 = −0.60 𝑍2 = 𝑥 − 𝜇 𝜎 = 209 − 200 15 = 0.60 𝑃(191 < 𝑥 < 209) = 𝑃(−0.60 < 𝑧 < 0.60) = 𝑃(−0.60 < 𝑍 < 0) + 𝑃(0.60 < 𝑍 < 0) = 𝑃(0 < 𝑍 < 0.60) + 𝑃(0 < 𝑍 < 0.60) = 2 ∗ 𝑃(0 < 𝑍 < 0.60) = 0.4515 c) cuantos vasos probablemente se derramaran si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas? 𝑍 = 𝑥 − 𝜇 𝜎 = 230 − 200 15 = 2.00 𝑃(𝑥 > 230) = 𝑃(𝑍 > 2.00) = 𝑃(𝑍 > 0) − 𝑃(0 < 𝑍 < 2.00) = 0.5000 − 0.4772 = 0.0228 ≈ 2.28% d ) por debajo de que valor obtendremos el 25% mas bajo en el llenado de las bebidas? Debemos encontrar el valor de Zo para para el cual 𝑃(𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.25 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑍𝑜 > 0. 𝑃(𝑍 < −𝑍𝑜) = 0.25 → 𝑃(𝑍 > 𝑍𝑜) = 0.25 𝑃(𝑍 > 0) − 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.25 𝑃(𝑍 > 0) − 0.25 = 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.5 − 0.25 𝑃(0 < 𝑍 < 𝑍𝑜) = 0.25 Buscando en la tabla de valores el valor mas cercano de 0.25 es 0.2486 se tiene que Zo=0.67 asi: −𝑍𝑜 = 𝑥𝑜 − 𝜇 𝜎 𝑥𝑜 = 𝜇 − (𝑍𝑜 ∗ 𝜎) 𝑥𝑜 = 200 − (0.67 ∗ 15) = 189.95 ≈ 190
  • 5. 5. Un abogado viaja todos los días de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje solo de ida es de 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. Si se supone que la distribución de los tiempos de viaje esta distribuida normalmente. a) .Cual es la probabilidad de que un viaje tome al menos 1/2 hora? 𝑃(𝑋 > 30) = 1 − ∅ [ 30 − 24 3.8 ] = 1 − ∅[1.58] = 1 − 0.9428 = 0.0572 b) Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y el sale diario de su casa a las 8:45 a.m., .que porcentaje de las veces llegara tarde al trabajo? 𝑃(𝑋 > 15) = 1 − ∅ [ 15 − 24 3.8 ] = 1 − ∅[−2.37] = 1 − 0.0089 = 0.991 c) Si sale de su casa a las 8:35 a.m. y el café se sirve en la oficina de 8:50 a.m. a 9:00 a.m., .cual es la probabilidad de que se pierda el café? 𝑃(𝑋 > 25) = 1 − ∅ [ 25 − 24 3.8 ] = 1 − ∅[0.26] = 1 − 0.6038 = 0.3962 d ) Calcule la duración mayor en la que se encuentra el 15% de los viajes más lentos. 1 − ∅(𝑧) = 0.15∅(𝑧) = 0.85(𝑧) = 1.04 𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇 = (1.04)(3.8) + 24 = 27.94 e) Calcule la probabilidad de que 2 de los siguientes 3 viajes tomen al menos 1/2 hora Del inciso a) P=0.0578 𝑃(𝑌 = 2) = 3𝐶2(0.0572)2(0.9428) = 0.00925 6. La resistencia a la tensión de cierto componente de metal se distribuye normalmente con una media de 10,000 kilogramos por centímetro cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramos por centímetro cuadrado. Las mediciones se redondean a los 50 kilogramos por centímetro cuadrado más cercanos. a) .Que proporción de estos componentes excede a 10,150 kilogramos por centímetro cuadrado de resistencia a la tensión? 𝜇 = 15.90 𝜎 = 1.5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 = 50 𝑒 = ±25 𝑃(𝑋 > 10150) = 𝑃(𝑋 ≥ 10175) = 1 − ∅ [ 10175 − 10000 100 ] = 1 − 0.9599 = 0.0401 b) Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan una resistencia a la tensión de entre 9800 y 10,200 kilogramos por centímetro cuadrado, .que proporción de piezas esperaría que se descartara? 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒 = 1 − 𝑃(9800 ≤ 𝑋 ≤ 10200) 𝑃(9800 ≤ 𝑋 ≤ 10200) = 𝑃(9775 ≤ 𝑋 ≤ 10225) = ∅ [ 10225 − 10000 100 ] − ∅ [ 9775 − 10000 100 ] = ∅[2.25] − ∅[−2.25] = 0.9756 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒 = 1 − 0.9756 = 0.0244
  • 6. 1. En un proceso para fabricar un componente electrónico, 1% de los artículos resultan defectuosos. Un plan de control de calidad consiste en seleccionar 100 artículos de un proceso de producción y detenerlo o continuar con el si ninguno esta defectuoso. Use la aproximación normal a la binomial para calcular a) la probabilidad de que el proceso continúe con el plan de muestreo descrito; b) la probabilidad de que el proceso continúe aun si este va mal (es decir, si la frecuencia de componentes defectuosos cambio a 5.0% de defectuosos). 6.25 𝑛 = 100 a) 𝑝 = 0.01 𝜇 = (100)(0.01) = 1 𝜎√(100)(0.01)(0.99) = 0.995 𝑧 = (0.5 − 1) 0.995 𝑃(𝑋 ≤ 0) ≈ 𝑃(𝑍 ≤ −0.503) = 0.3085 𝑧 = −0.503 b) 𝑝 = 0.05 𝜇 = (100)(0.05) = 5 𝜎√(100)(0.05)(0.95) = 2.1794 𝑧 = (0.5 − 5) 2.1794 𝑃(𝑋 ≤ 0) ≈ 𝑃(𝑋 ≤ −2.06) = 0.0197 𝑧 = −2.06 2. Un proceso produce 10% de artículos defectuosos. Si se seleccionan al azar 100 artículos del proceso, .cual es la probabilidad de que el número de defectuosos 6.26 𝜇 = 𝑛𝑝 = (100)(0.1) = 10 𝜎 = √(100)(0.1)(0.9) = 3 a) exceda los 13? 𝑧 = (13.5 − 10) 3 𝑃(𝑋 > 13.5) = 𝑃(𝑍 > 1.17) = 0.1210 𝑧 = 1.17 b) sea menor que 8? 𝑧 = (7.5 − 10) 3 𝑃(𝑋 < 7.5) = 𝑃(𝑍 < −0.83) = 0.2033 𝑧 = −0.83 3. Un paciente tiene 0.9 de probabilidad de recuperarse de una operación de corazón delicada. De los siguientes 100 pacientes que se someten a esta operación, .cual es la probabilidad de que 6.27 𝜇 = 𝑛𝑝 = (100)(0.9) = 90 𝜎 = √(100)(0.1)(0.9) = 3 a) sobrevivan entre 84 y 95 inclusive?
  • 7. 𝑧1 = (83.5 − 90) 3 𝑧1 = −2.17 𝑧2 = (95.5 − 90) 3 𝑃(83.5 < 𝑋 < 95.5) = 𝑃(−2.17 < 𝑍 < 1.83) = 0.9664 − 0.0150 = 0.9514 𝑃(𝑍 < −1.50) = 0.0668 𝑧2 = 1.83 b) sobrevivan menos de 86? 𝑧 = (85.5 − 90) 3 𝑃(𝑋 < 85.5) = 𝑃(𝑍 < −1.50) = 0.0668 𝑧 = −1.50 4. Investigadores de la Universidad George Washington y del Instituto Nacional de Salud informan que aproximadamente 75% de las personas cree que “los tranquilizantes funcionan muy bien para lograr que una persona este más tranquila y relajada”. De las siguientes 80 personas entrevistadas, .cual es la probabilidad de que 6.28 𝜇 = 𝑛𝑝 = (80)(3 4⁄ ) = 60 𝜎 = √(80)(3/4)(1/4) = 3.873 a) al menos 50 tengan esta opinión? 𝑧 = (49.5 − 60) 3.873 𝑃(𝑋 > 49.5) = 𝑃(𝑍 > −2.71) = 1 − 0.0034 = 0.9966 𝑧 = −2.71 b) a lo sumo 56 tengan esta opinión? 𝑧 = (56.5 − 60) 3.873 𝑃(𝑋 < 56.5) = 𝑃(𝑍 < −0.90) = 0.1841 𝑧 = −0.90 5. Una empresa farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras anticonceptivas no contiene la cantidad suficiente de un ingrediente, lo que las vuelve ineficaces. .Cual es la probabilidad de que menos de 10 píldoras en una muestra de 200 sean ineficaces? 6.32 𝜇 = 𝑛𝑝 = (200)(0.05) = 10 𝜎 = √(200)(0.05)(0.95) = 3.082 𝑧 = (9.5 − 10) 3.082 𝑃(𝑋 < 10) = 𝑃(𝑍 < −0.16) = 0.4364 𝑧 = −0.16 Aproximación normal a la binomial
  • 8. 1. En un proceso para fabricar un componente electrónico, 1% de los artículos resultan defectuosos. Un plan de control de calidad consiste en seleccionar 100 artículos de un proceso de producción y detenerlo o continuar con el si ninguno esta defectuoso. Use la aproximación normal a la binomial para calcular a) la probabilidad de que el proceso continúe con el plan de muestreo descrito; b) la probabilidad de que el proceso continúe aun si este va mal (es decir, si la frecuencia de componentes defectuosos cambio a 5.0% de defectuosos). 2. Un proceso produce 10% de artículos defectuosos. Si se seleccionan al azar 100 artículos del proceso, .cual es la probabilidad de que el número de defectuosos a) exceda los 13? b) sea menor que 8? 3. Un paciente tiene 0.9 de probabilidad de recuperarse de una operación de corazón delicada. De los siguientes 100 pacientes que se someten a esta operación, .cual es la probabilidad de que a) sobrevivan entre 84 y 95 inclusive? b) sobrevivan menos de 86? 4. Investigadores de la Universidad George Washington y del Instituto Nacional de Salud informan que aproximadamente 75% de las personas cree que “los tranquilizantes funcionan muy bien para lograr que una persona este mas tranquila y relajada”. De las siguientes 80 personas entrevistadas, .cual es la probabilidad de que a) al menos 50 tengan esta opinión? b) a lo sumo 56 tengan esta opinión?
  • 9. 5. Una empresa farmaceutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras anticonceptivas no contiene la cantidad suficiente de un ingrediente, lo que las vuelve ineficaces. .Cual es la probabilidad de que menos de 10 píldoras en una muestra de 200 sean ineficaces? Distribución gamma y distribución exponencial 1. En cierta ciudad, el consumo diario de agua (en millones de litros) sigue aproximadamente una distribución gamma con α = 2 y β = 3. Si la capacidad diaria de dicha ciudad es de 9 millones de litros de agua, .cual es la probabilidad de que en cualquier dia dado el suministro de agua sea inadecuado? 𝑃(𝑋 > 9) = 1 9 ∫ 𝑥− 𝑥 3 ∞ 9 𝑑𝑥 = [− 𝑥 3 𝑒− 𝑥 3 − 𝑒− 𝑥 3] ∞ 9 = 4𝑒−3 = 0.1992 2. Si una variable aleatoria X tiene una distribución gamma con α = 2 y β = 1, calcule P(1.8 < X < 2.4). 𝑃(1,8 < 𝑋 < 2,4) = ∫ 𝑥𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = [−𝑥𝑒−𝑥 2.4 1.8 − 𝑒−𝑥 ] 2.4 1.8 = 2.8𝑒−1.8 − 3.4𝑒−2.4 = 0.1545 3. En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilowatts-hora, es una variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con media μ = 6 y varianza σ2 = 12. a) Calcule los valores de α y β. b) Calcule la probabilidad de que en cualquier dia dado el consumo diario de energía exceda los 12 millones de kilowatts-hora. A) 𝜇 =∝ 𝛽 = 6 𝜎2 =∝ 𝛽2 = 12 ∝= 6 𝛽 6𝛽 = 12 𝛽 = 2 ∝= 3 B)
  • 10. 𝑃(𝑋 > 12) = 1 16 ∫ 𝑥2 𝑒− 𝑥 2 𝑑𝑟 ∞ 12 𝑃(𝑋 > 12) = 1 16 [−2𝑥2 𝑒− 𝑥 2 − 8𝑥𝑒− 𝑥 2 − 16𝑒− 𝑥 2] ∞ 12 = 25𝑒−6 = 0.0620 4. El tiempo necesario para que un individuo sea atendido en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. .Cual es la probabilidad de que una persona sea atendida en menos de 3 minutos en al menos 4 de los siguientes 6 días? 𝑃(𝑋 > 3) = 1 4 ∫ 𝑒−𝑥/4 3 0 𝑑𝑥 = −𝑒−𝑥/4 ] 3 0 = 1 − 𝑒− 3 4 = 0.5276 𝑃(𝑌 ≥ 4) = ∑ 𝑏 (𝑦; 6, 1 − 𝑒− 3 4) 6 𝑥=4 = ( 6 4 ) (0.5276)4(0.4724)2 + ( 6 5 ) (0.5276)5(0.4724) + ( 6 6 ) (0.5276)6 = 0.3968 5. La vida, en anos, de cierto interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con una vida promedio de β = 2. Si 100 de estos interruptores se instalan en diferentes sistemas, .cual es la probabilidad de que, a lo sumo, fallen 30 durante el primer año? 𝑃(𝑋 < 1) = 1 2 ∫ 𝑒− 𝑥 2 1 0 𝑑𝑥 = −𝑒− 𝑥 2 ] 1 0 = 1 − 𝑒− 1 2 = 0.3935 𝜇 = (100)(0.3935) = 39.35 𝜎 = √(100)(0.3935)(0.6065) = 4.885 𝑧 = 30.5 − 39.35 4.885 = −1.81 𝑃(𝑌 ≤ 30) = 𝑃(𝑍 < −1.81) = 0.0352