1. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Linealizaci´n de problemas por medio de valores
o
propios
Pedro Fernando Morales
Departamento de Matem´ticas
a
Universidad de Baylor
pedro morales@baylor.edu
USAC, Guatemala, 20/11/2012
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

2. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Outline
1 Fundamentos
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

3. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Outline
1 Fundamentos
2 Series de Fourier
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

4. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Outline
1 Fundamentos
2 Series de Fourier
3 Filtrado y Equalizaci´n
o
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

5. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Outline
1 Fundamentos
2 Series de Fourier
3 Filtrado y Equalizaci´n
o
4 M´todos Multivariados
e
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

6. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Valor Propio
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

7. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Fundamentos te´ricos
o
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

8. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Fundamentos te´ricos
o
Definici´n
o
Sea V un espacio vectorial y P un operador lineal de V en
s´ mismo. Si para un vector v existe un escalar λ tal que
ı
P(v ) = λv (1)
v se dice un vector propio y λ un valor propio de P.
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

9. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Fundamentos te´ricos
o
Definici´n
o
Sea V un espacio vectorial y P un operador lineal de V en
s´ mismo. Si para un vector v existe un escalar λ tal que
ı
P(v ) = λv (1)
v se dice un vector propio y λ un valor propio de P.
En muchas aplicaciones P es una matriz y v es un vector de un
espacio vectorial de dimensi´n finita.
o
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

10. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Ejemplos
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

11. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Ejemplos
−7 4
• Sea A = , entonces
3 −6
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

12. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Ejemplos
−7 4
• Sea A = , entonces
3 −6
λ1 = −10 v1 = (−4, 3)
λ2 = −3 v2 = (1, 1)
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

13. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Ejemplos
−7 4
• Sea A = , entonces
3 −6
λ1 = −10 v1 = (−4, 3)
λ2 = −3 v2 = (1, 1)
d
• Sea P = , entonces
dx
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

14. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Ejemplos
−7 4
• Sea A = , entonces
3 −6
λ1 = −10 v1 = (−4, 3)
λ2 = −3 v2 = (1, 1)
d
• Sea P = , entonces
dx
λ = k, k ∈ C, vλ = e λx .
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

15. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Convenciones
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

16. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Convenciones
• Al conjunto de valores propios de P se le conoce como el
espectro de P, σ(P)
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

17. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Convenciones
• Al conjunto de valores propios de P se le conoce como el
espectro de P, σ(P)
• El espectro de P puede contener otras cosas (espectro
puntual, residual, continuo)
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

18. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Convenciones
• Al conjunto de valores propios de P se le conoce como el
espectro de P, σ(P)
• El espectro de P puede contener otras cosas (espectro
puntual, residual, continuo)
• Se trabaja sobre C
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

19. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Convenciones
• Al conjunto de valores propios de P se le conoce como el
espectro de P, σ(P)
• El espectro de P puede contener otras cosas (espectro
puntual, residual, continuo)
• Se trabaja sobre C
• En dimensi´n finita, n = dim V
o
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

20. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Caracterizaci´n (Dimensi´n Finita)
o o
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

21. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Caracterizaci´n (Dimensi´n Finita)
o o
Pv = λv
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

22. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Caracterizaci´n (Dimensi´n Finita)
o o
Pv = λv
P − λI = 0
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

23. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Caracterizaci´n (Dimensi´n Finita)
o o
Pv = λv
P − λI = 0
det(P − λI ) = 0
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

24. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Caracterizaci´n (Dimensi´n Finita)
o o
Pv = λv
P − λI = 0
det(P − λI ) = 0
Polinomio Caracter´
ıstico
p(λ) = det(P − λI )
es el polinomio caracter´
ıstico de P.
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

25. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

26. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Valores propios como ra´ de p(λ)
ıces
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

27. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Valores propios como ra´ de p(λ)
ıces
´
P tiene n valores propios!(Teorema fundamental del Algebra)
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

28. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
El ejemplo contraataca
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

29. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
El ejemplo contraataca
−7 4
A=
3 −6
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

30. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
El ejemplo contraataca
−7 4
A=
3 −6
−7 − λ 4
A − λI =
3 −6 − λ
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

31. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
El ejemplo contraataca
−7 4
A=
3 −6
−7 − λ 4
A − λI =
3 −6 − λ
p(λ) = det(A − λI ) = λ2 + 13λ + 30 = (λ + 10)(λ + 3)
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

32. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
El ejemplo contraataca
−7 4
A=
3 −6
−7 − λ 4
A − λI =
3 −6 − λ
p(λ) = det(A − λI ) = λ2 + 13λ + 30 = (λ + 10)(λ + 3)
p(λ) = 0 provee una ecuaci´n caracter´
o ıstica para los valores propios
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

33. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

34. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
x1
λ1 = −10, v1 = vector propio
y1
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

35. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
x1
λ1 = −10, v1 = vector propio
y1
3x1 + 4y1
A − λ1 v = =0
3x1 + 4y1
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

36. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
x1
λ1 = −10, v1 = vector propio
y1
3x1 + 4y1
A − λ1 v = =0
3x1 + 4y1
v = (−4t, 3t)
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

37. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
El ejemplo retorna
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

38. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
El ejemplo retorna
d
P=
dx
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

39. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
El ejemplo retorna
d
P=
dx
Py = λy
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

40. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
El ejemplo retorna
d
P=
dx
Py = λy
y − λy = 0
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

41. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
El ejemplo retorna
d
P=
dx
Py = λy
y − λy = 0
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

42. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

43. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Ecuaci´n auxiliar o caracter´
o ıstica:
s −λ=0
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

44. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Ecuaci´n auxiliar o caracter´
o ıstica:
s −λ=0
y = e λx
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

45. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Ecuaci´n auxiliar o caracter´
o ıstica:
s −λ=0
y = e λx
todo λ ∈ C es valor propio
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

46. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Espacio Propio (Dimensi´n Finita)
o
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

47. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Espacio Propio (Dimensi´n Finita)
o
λ un valor propio de P
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

48. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Espacio Propio (Dimensi´n Finita)
o
λ un valor propio de P
Espacio Propio
1
Nλ = ker(P − λI )
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

49. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Espacio Propio (Dimensi´n Finita)
o
λ un valor propio de P
Espacio Propio
1
Nλ = ker(P − λI )
P|N 1 = λ
λ
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

50. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Multiplicidad
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

51. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Multiplicidad
Espacio propio generalizado
Sea k entero positivo,
Nλ = ker(P − λI )k ,
k
se dice el k ´simo espacio propio generalizado.
e
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

52. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Multiplicidad
Espacio propio generalizado
Sea k entero positivo,
Nλ = ker(P − λI )k ,
k
se dice el k ´simo espacio propio generalizado.
e
k k
mλ = dim Nλ es la multiplicidad generalizada
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

53. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Multiplicidad
Espacio propio generalizado
Sea k entero positivo,
Nλ = ker(P − λI )k ,
k
se dice el k ´simo espacio propio generalizado.
e
k k
mλ = dim Nλ es la multiplicidad generalizada
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

54. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

55. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Sea ν(λ) ∈ N tal que
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

56. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Sea ν(λ) ∈ N tal que
ν(λ)−1 ν(λ) ν(λ)+1
mλ < mλ = mλ
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

57. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Sea ν(λ) ∈ N tal que
ν(λ)−1 ν(λ) ν(λ)+1
mλ < mλ = mλ
ν(λ)
• mλ es la multiplicidad algebraica de λ
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

58. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Sea ν(λ) ∈ N tal que
ν(λ)−1 ν(λ) ν(λ)+1
mλ < mλ = mλ
ν(λ)
• mλ es la multiplicidad algebraica de λ
1
• mλ es la multiplicidad geometrica de λ
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

59. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Decomposici´n
o
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

60. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Decomposici´n
o
Decomposici´n de Jordan
o
ν(λ)
V = Nλ
λ∈σ(P)
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

61. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Decomposici´n
o
Decomposici´n de Jordan
o
ν(λ)
V = Nλ
λ∈σ(P)
• Descompone al espacio en partes sencillas
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

62. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Decomposici´n
o
Decomposici´n de Jordan
o
ν(λ)
V = Nλ
λ∈σ(P)
• Descompone al espacio en partes sencillas
• Descompone al operador en multiplos escalares
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

63. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
El ejemplo recargado
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

64. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
El ejemplo recargado
−7 4
A= , V = C2
3 −6
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

65. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
El ejemplo recargado
−7 4
A= , V = C2
3 −6
C2 = (−4, 3) ⊕ (1, 1)
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

66. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
El ejemplo recargado
−7 4
A= , V = C2
3 −6
C2 = (−4, 3) ⊕ (1, 1)
A = −10 · ⊕ − 3·
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

67. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Dimensi´n Infinita
o
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

68. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Dimensi´n Infinita
o
• Si λ = µ, Nλ ∩ Nµ = {0}
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

69. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Dimensi´n Infinita
o
• Si λ = µ, Nλ ∩ Nµ = {0}
• Si V es un espacio de Hilbert, Nλ ⊥ Nµ
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

70. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Dimensi´n Infinita
o
• Si λ = µ, Nλ ∩ Nµ = {0}
• Si V es un espacio de Hilbert, Nλ ⊥ Nµ
• La decomposici´n da una base ortogonal (espacio separable)
o
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

71. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Dimensi´n Infinita
o
• Si λ = µ, Nλ ∩ Nµ = {0}
• Si V es un espacio de Hilbert, Nλ ⊥ Nµ
• La decomposici´n da una base ortogonal (espacio separable)
o
H= Eλ
λ∈σ(P)
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

72. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Dimensi´n Infinita
o
• Si λ = µ, Nλ ∩ Nµ = {0}
• Si V es un espacio de Hilbert, Nλ ⊥ Nµ
• La decomposici´n da una base ortogonal (espacio separable)
o
H= Eλ
λ∈σ(P)
P|Eλ = λ
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

73. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

74. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
d2
Sea P = − en L2 [0, 1] con f (0) = f (1) = 0
dx 2
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

75. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
d2
Sea P = − en L2 [0, 1] con f (0) = f (1) = 0
dx 2
d2
− f (x) = λf (x)
dx 2
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

76. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
d2
Sea P = − en L2 [0, 1] con f (0) = f (1) = 0
dx 2
d2
− f (x) = λf (x)
dx 2
√
f (x) = C sin( λx) ,
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

77. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
d2
Sea P = − en L2 [0, 1] con f (0) = f (1) = 0
dx 2
d2
− f (x) = λf (x)
dx 2
√
f (x) = C sin( λx) , λ = m2 π 2 , m ∈ N
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

78. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
d2
Sea P = − en L2 [0, 1] con f (0) = f (1) = 0
dx 2
d2
− f (x) = λf (x)
dx 2
√
f (x) = C sin( λx) , λ = m2 π 2 , m ∈ N
Serie de Fourier
∞
√
L2 [0, 1] = sin( mπx)
m=0
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

79. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Polinomios Ortogonales
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

80. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Polinomios Ortogonales
• Polinomios de Hermite
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

81. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Polinomios Ortogonales
• Polinomios de Hermite
d2 d
− f (x) + x f (x) = λf (x)
dx 2 dx
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

82. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Polinomios Ortogonales
• Polinomios de Hermite
d2 d
− f (x) + x f (x) = λf (x)
dx 2 dx
• Polinomios de Laguerre
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

83. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Polinomios Ortogonales
• Polinomios de Hermite
d2 d
− f (x) + x f (x) = λf (x)
dx 2 dx
• Polinomios de Laguerre
d2 d
−x 2
f (x) + (x − 1) f (x) = λf (x)
dx dx
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

84. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Importancia
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

85. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Importancia
• La mayor´ de sistemas f´
ıa ısicos son modelados por ecuaciones
diferenciales
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

86. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Importancia
• La mayor´ de sistemas f´
ıa ısicos son modelados por ecuaciones
diferenciales
• Al descomponer el sistema en espacios propios se obtiene el
principio de superposici´n
o
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

87. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Importancia
• La mayor´ de sistemas f´
ıa ısicos son modelados por ecuaciones
diferenciales
• Al descomponer el sistema en espacios propios se obtiene el
principio de superposici´n
o
• Se pueden analizar espectros distintos de forma separada
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

88. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Importancia
• La mayor´ de sistemas f´
ıa ısicos son modelados por ecuaciones
diferenciales
• Al descomponer el sistema en espacios propios se obtiene el
principio de superposici´n
o
• Se pueden analizar espectros distintos de forma separada
• Se puede la cantidad de informaci´n que aporta una
o
componente
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

89. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Tratamiento de espectro
En espectrometr´ y filtrado se mide o se altera la cantidad
ıa
presente de cierta frecuencia
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

90. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Tratamiento de espectro
En espectrometr´ y filtrado se mide o se altera la cantidad
ıa
presente de cierta frecuencia
• Sonido
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

91. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Tratamiento de espectro
En espectrometr´ y filtrado se mide o se altera la cantidad
ıa
presente de cierta frecuencia
• Sonido
• Procesamiento de im´genes
a
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

92. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Tratamiento de espectro
En espectrometr´ y filtrado se mide o se altera la cantidad
ıa
presente de cierta frecuencia
• Sonido
• Procesamiento de im´genes
a
• Espectroscop´
ıa
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

93. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Sonido
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

94. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Sonido
Filtrado, ecualizaci´n, procesamiento digital, efectos, distorsiones,
o
formatos digitales, compresi´n, etc.
o
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

95. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Sonido
Filtrado, ecualizaci´n, procesamiento digital, efectos, distorsiones,
o
formatos digitales, compresi´n, etc.
o
Sistema base: una bocina
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

96. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Sonido
Filtrado, ecualizaci´n, procesamiento digital, efectos, distorsiones,
o
formatos digitales, compresi´n, etc.
o
Sistema base: una bocina
Modelado por un integrador (filtro pasa bajo)
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

97. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Sonido
Filtrado, ecualizaci´n, procesamiento digital, efectos, distorsiones,
o
formatos digitales, compresi´n, etc.
o
Sistema base: una bocina
Modelado por un integrador (filtro pasa bajo)
Vectores propios: funciones exponenciales (series de Fourier)
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

98. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Im´genes
a
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

99. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Im´genes
a
Filtrado, espectro/histograma, procesamiento digital, efectos,
distorsiones, formatos digitales, compresi´n, etc.
o
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

100. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Im´genes
a
Filtrado, espectro/histograma, procesamiento digital, efectos,
distorsiones, formatos digitales, compresi´n, etc.
o
Sistema base: M 2 × Lk con transformaciones lineales
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

101. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Im´genes
a
Filtrado, espectro/histograma, procesamiento digital, efectos,
distorsiones, formatos digitales, compresi´n, etc.
o
Sistema base: M 2 × Lk con transformaciones lineales
Vectores propios: Polinomios ortogonales, Vectores propios de
matrices
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

102. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Espectroscop´
ıa
Proceso inverso: Radiar con una frecuencia particular
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

103. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Espectroscop´
ıa
Proceso inverso: Radiar con una frecuencia particular
Ver patrones de resonancia sensibles solo a determinadas
frecuencias (independencia lineal)
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

104. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
M´todos Multivariados
e
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

105. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
M´todos Multivariados
e
An´lisis Factorial
a
Es un m´todo multivariado para reducir el n´mero de variables
e u
infuyentes en un estudio
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

106. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
M´todos Multivariados
e
An´lisis Factorial
a
Es un m´todo multivariado para reducir el n´mero de variables
e u
infuyentes en un estudio
Utilizado con un n´mero grande de datos (muchas variables)
u
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

107. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
M´todos Multivariados
e
An´lisis Factorial
a
Es un m´todo multivariado para reducir el n´mero de variables
e u
infuyentes en un estudio
Utilizado con un n´mero grande de datos (muchas variables)
u
Se desea reducir el n´mero de variables estudiadas (costo y
u
log´
ıstica)
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

108. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

109. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
• Se analiza la matriz de correlaciones Σ
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

110. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
• Se analiza la matriz de correlaciones Σ
• Se obtienen los valores propios de Σ
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

111. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
• Se analiza la matriz de correlaciones Σ
• Se obtienen los valores propios de Σ
• λ representa la cantidad total de informaci´n
o
λ∈σ(Σ)
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

112. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
• Se analiza la matriz de correlaciones Σ
• Se obtienen los valores propios de Σ
• λ representa la cantidad total de informaci´n
o
λ∈σ(Σ)
• Se trunca la suma para perder parte de la informaci´n sin que
o
afecte mayormente
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

113. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

114. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Responde a la pregunta ¿qu´ variables son importantes?
e
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

115. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Responde a la pregunta ¿qu´ variables son importantes?
e
Reduce el n´mero de variables
u
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

116. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Responde a la pregunta ¿qu´ variables son importantes?
e
Reduce el n´mero de variables
u
Explica el fen´meno con una menor cantidad de variables
o
Pedro Fernando Morales Departamento de Matem´ticas
a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o

117. Fundamentos Series de Fourier Filtrado y Equalizaci´n
o M´todos Multivariados
e
Preguntas
¡Gracias!
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a
Linealizaci´n de problemas por medio de valores propios
o