Medir irracionalidad geométricamente

Una forma geométrica de medir irracionalidad
Pedro Morales-Almazán
Department of Mathematics
The University of Texas at Austin
pmorales@math.utexas.edu
Universidad del Valle de Guatemala
Guatemala, 6 de enero de 2016
Pedro Morales-Almazán Math Department
Irracionalidad

“Los problemas no pueden ser resueltos al mismo nivel de
pensamiento en el que fueron generados.”
Albert Einstein
Irracionalidad

Historia
Irracionalidad

Historia
¿Qu´e tan irracional puede ser un n´umero?
Irracionalidad

Historia
¿Qu´e tan irracional puede ser un n´umero?
α ∈ Q, α /∈ Q
Irracionalidad

Historia
• La irracionalidad es una propiedad, no una medida.
Irracionalidad

Historia
• La irracionalidad es una propiedad, no una medida.
• Todo real es aproximable por racionales.
Irracionalidad

Historia
Medir irracionalidad
Sea α ∈ R. La irracionalidad de α se puede estudiar por medio de
analizar el conjunto de racionales p/q tales que
α −
p
q
<
1
qµ
,
para distintos valores de µ.
Irracionalidad

Historia
lim
n→∞
pn
qn
= α
Irracionalidad

Historia
lim
n→∞
pn
qn
= α
1 Raz´on de crecimiento de qn
Irracionalidad

Historia
lim
n→∞
pn
qn
= α
1 Razón de crecimiento de qn
2 La sucesión pn
qn
más eficiente (qn creciente)
Irracionalidad

Interpretaci´on geom´etrica
Irracionalidad

1 α es la pendiente de la recta L
Irracionalidad

2 El sector circular Sr es sim´etrico al rededor de L.
Irracionalidad

3 Sr no contiene ning´un punto entero.
Irracionalidad

4 Medir el ´area A(r) de Sr .
Irracionalidad

Problema
Irracionalidad

Problema
Analizar el comportamiento de A(r) cuando r → ∞.
Irracionalidad

Gr´aﬁcas de A(r)
Irracionalidad

Gr´aﬁcas de A(r)
(e) α = e (f) α = π
(g) α =
√
2 (h) α =
√
3
Irracionalidad

Deﬁniciones
Irracionalidad

Deﬁniciones
θ(r) = 2 arctan(α) − arctan
p
q
,
p
q
∈ Q y p2
+ q2
< r2
.
Irracionalidad

Deﬁniciones
A(r) =
r2
2
θ(r)
Irracionalidad

Fracciones Continuas
h0 = a0
Irracionalidad

h1 = a0 +
1
a1
Irracionalidad

h2 = a0 +
1
a1 +
1
a2
Irracionalidad

h3 = a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
a3
Irracionalidad

h = a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
a3 +
1
...
Irracionalidad

h = a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
a3 +
1
...
h = [a0; a1, a2, a3, . . . ]
Irracionalidad

Fracciones continuas: Ejemplos
Irracionalidad

1
10
7
= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +
1
3
Irracionalidad

1
10
7
= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +
1
3
2 φ = [1; 1]
Irracionalidad

1
10
7
= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +
1
3
2 φ = [1; 1]
3
√
2 = [1; 2]
Irracionalidad

1
10
7
= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +
1
3
2 φ = [1; 1]
3
√
2 = [1; 2]
4
√
3 = [1; 1, 2]
Irracionalidad

1
10
7
= [1; 2, 3] = 1 +
1
2 +
1
3
2 φ = [1; 1]
3
√
2 = [1; 2]
4
√
3 = [1; 1, 2]
5 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . ]
Irracionalidad

Propiedades
Irracionalidad

Propiedades
• Todo real tiene representaci´on en fracci´on continua.
Irracionalidad

Propiedades
• Las convergentes producen la aproximación más eficiente de
un número.
Irracionalidad

Propiedades
un n´umero.
eg. π ∼ [3] = 3
Irracionalidad

Propiedades
un n´umero.
eg. π ∼ [3] = 3
π ∼ [3; 7] =
22
7
= 3.142857...
Irracionalidad

Propiedades
un n´umero.
eg. π ∼ [3] = 3
π ∼ [3; 7] =
22
7
= 3.142857...
π ∼ [3; 7, 15] =
333
106
= 3.141509...
Irracionalidad

Propiedades
un n´umero.
eg. π ∼ [3] = 3
π ∼ [3; 7] =
22
7
= 3.142857...
π ∼ [3; 7, 15] =
333
106
= 3.141509...
π ∼ [3; 7, 15, 1] =
355
113
= 3.141592...
Irracionalidad

Propiedades
Aproximación geométrica
Los puntos enteros más cercanos a la recta y = αx están dados
por las convergentes de α.
Irracionalidad

Sucesi´on de ´areas
Irracionalidad

h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1
Irracionalidad

h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1
mn = (p2
n + q2
n) arctan(α) − arctan(hn)
Irracionalidad

h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1
mn = (p2
n + q2
Mn = (p2
n+1 + q2
n+1) arctan(α) − arctan(hn)
Irracionalidad

Irracionalidad

mn = (p2
n + q2
Mn = (p2
n+1 + q2
n+1) arctan(α) − arctan(hn)
Irracionalidad

Cotas
Irracionalidad

Cotas
Teorema sobre cotas inferiores
mk <
h2
k + 1
α2 + 1
qk
qk+1
1 +
3
√
3
16
(α2
+ 1) k ,
h2
k + 1
α2 + 1
qk
qk+1

 1
1 + 1
ak+2
qk
qk +1
−
3
√
3
16
(α2
+ 1) k

 < mk .
Irracionalidad

Cotas
Teorema sobre cotas superiores
Mk <
h2
k+1 + 1
α2 + 1
qk+1
qk
1 +
3
√
3
16
(α2
+ 1) k ,
h2
k+1 + 1
α2 + 1
qk+1
qk

 1
1 + 1
ak+2
qk
qk+1
−
3
√
3
16
(α2
+ 1) k

 < Mk .
Irracionalidad

Fracciones continuas eventualmente peri´odicas
Irracionalidad

α = [a0; a1, . . . , ak, b1, b2, . . . , bn]
Irracionalidad

α = [a0; a1, . . . , ak, b1, b2, . . . , bn]
Teorema
1
Ci + 1
bi+1
≤ lim inf
k→∞
ml+kn+i−1 ≤
1
Ci
.
Irracionalidad

Teorema
lim sup
k→∞
Ml+kn+i−1 ≤ Ci ,
C2
i
Ci + 1
bi+1
≤ lim inf
k→∞
Ml+kn+i−1 .
Irracionalidad

√
3 = [1; 1, 2]
Irracionalidad

√
2 = [1; 1]
Irracionalidad

Preguntas
@p3d40
Irracionalidad

Medir irracionalidad geométricamente

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Más de Pedro Morales

Más de Pedro Morales (6)

Último

Último (20)

Medir irracionalidad geométricamente