Hablaré sobre la utilización de funciones Zeta en el estudio de efectos cuánticos de campo, en específico en el efecto Casimir. En el caso de analizar el efecto Casimir en un a superficie de revolución, es posible estudiar la repercusión de introducir perturbaciones en la superficie y como el efecto Casimir reacciona ante esto.

1. Perturbaciones en el efecto Casimir
Pedro Morales-Almaz´an
Department of Mathematics
The University of Texas at Austin
pmorales@math.utexas.edu
ECFM, USAC
Guatemala, 5 de agosto de 2016
Pedro Morales-Almaz´an Math Department
Perturbaciones

2. Pedro Morales-Almaz´an Math Department
Perturbaciones

3. Casimir
Hendrik Casimir
Pedro Morales-Almaz´an Math Department
Perturbaciones

4. Efecto Casimir, 1948
• Vac´ıo
• Placas conductoras perfectas
• Fluctuaciones de vac´ıo
• Presi´on de atracci´on entre
placas
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Perturbaciones

5. 70 an˜os despu´es
• De la teor´ıa a la experimentaci´on (1997)
• No solo atracci´on sino tambi´en repulsi´on (1961)
• Dependiente de la geometr´ıa (forma y condiciones de frontera)
• Manejo de cantidades infinitas (regularizaci´on)
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Perturbaciones

6. Regularizaci´on: Funci´on Zeta
ζ(s) =
∞
n=1
1
ns
Bernhard Riemann Leonhard Euler
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Perturbaciones

7. Regularizaci´on: Funci´on Zeta
ζ(s) =
∞
n=1
1
ns
, (s) > 1
Continuaci´on ana´ıtica:
ζ(s) = 2s
πs−1
sin
πs
2
Γ(1 − s)ζ(1 − s)
ζ(s) , s ∈ C
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Perturbaciones

8. Regularizaci´on en el Efecto Casimir
Energ´ıa Casimir
E =
1
2 n
ωn
Problema: ¡Diverge!
Soluci´on: Ver el significado, no el valor.
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Perturbaciones

9. Funciones Zeta
• Frecuencias fundamentales ωn
• Ecuaci´on de Klein-Gordon
ψ = ω2
ψ
• Funci´on Zeta asociada
ζ(s) =
ω
ω−2s
• Energ´ıa de vac´ıo
E =
1
2
ζ −
1
2
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Perturbaciones

10. Superficies de Revoluci´on
f (x) > 0 , x ∈ [a, b]
M: Superficie de revoluci´on
• Inmerso en R3
• Metrica inducida del espacio
Euclideano
• Funci´on Zeta asociada
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Perturbaciones

11. Funci´on Zeta en M
M´etrica inducida
g =
1 + f (x)2 0
0 f 2(x)
Laplaciano
∆ψ =
1
1 + f 2
∂2ψ
∂x2
+
f
f
−
f f
1 + f 2
∂ψ
∂x
+
1 + f 2
f 2
∂ψ
∂θ
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Perturbaciones

12. Funci´on Zeta en M
Problema de valores propios
∆ψ(x, θ) = ω2
ψ(x, θ)
Con: x ∈ [a, b] , θ ∈ [0, 2π)
Condiciones de Dirichlet: ψ(a, θ) = ψ(b, θ) = 0
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Perturbaciones

13. Funci´on Zeta en M
ζ(s) =Z0(s) + A0(s)
Z=(s) + A=(s) .
donde las partes finitas Z0 y Z= dependen de las soluciones del
problema de valores propios, y las partes sint´oticas A0 y A=
dependen solamente de f (x).
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Perturbaciones

14. Perturbaci´on en la Energ´ıa
FP ζ∆(−1/2) = −
1
π
1
0
dλ λ
d
dλ
log X0(b; ıλ)
−
1
π
∞
1
dλ λ
d
dλ

log X0(b; ıλ) − log A
+
−
2
i=−1
λ
−i
b
a
dt si (t)


−
1
8π
f 2
(a) + f 4
(a) − 2f (a)f (a)
f 2(a)(1 + f 2(a))2
+
f 2
(b) + f 4
(b) − 2f (b)f (b)
f 2(b)(1 + f 2(b))2
−
2
π
∞
k=1
k
∞
0
du u
d
du

log Xk (b; ıuk) − log B
+
−
2
i=−1
k
−i
b
a
dt wi (t)


+
1
2π
b
a
dt 1 + f (t)2 −
1
π
+
ζR (−2)
π
b
a
dt f
−2
1 + f 2
+
1
24
(f
−1
(a) + f
−1
(b)) +
1
16
b
a
dt f
−1 f f
(1 + f 2)4
.
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Perturbaciones

15. Perturbaci´on en la Energ´ıa
Original Perturbaci´on
positiva
Perturbaci´on
negativa
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16. Perturbaci´on en la Energ´ıa
f (x) → f (x) + g(x)
Donde es peque˜no y g(x) es
• No-negativa
• Suave
• Concentrada alrededor de un punto
• Cero en x = a y x = b
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Perturbaciones

17. Perturbaci´on en la Energ´ıa
Plan:
• Calcular la funci´on Zeta al hacer el cambio
f (x) → f (x) + g(x)
• Calcular el cambio en la Energ´ıa calculando la derivada con
respecto de
• Obtener el cambio instant´aneo al calcular la derivada en = 0
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Perturbaciones

18. Perturbaci´on en la Energ´ıa
Cambio instant´aneo en Zeta
d
d =0
ζ −
1
2
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Perturbaciones

19. Perturbaci´on en la Energ´ıa
Parte asint´otica
A0 y A= se calculan reemplazando formalmente
f (x) → f (x) + g(x)
Parte finita
Z0 y Z= se calculan analizando el cambio en las funciones propias
enla ecuaci´on de valor propio al hacer f (x) → f (x) + g(x)
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Perturbaciones

20. Perturbaci´on: T´erminos asint´oticos
• Sustituir f (x) con f (x) + g(x) en las expresiones asint´oticas
• Expandir en serie de potencias en
• Tomar el coeficiente lineal
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Perturbaciones

21. Perturbaci´on en la Energ´ıa
FP ζ∆(−1/2) = −
1
π
1
0
dλ λ
d
dλ
log X0(b; ıλ)
−
1
π
∞
1
dλ λ
d
dλ

log X0(b; ıλ) − log A
+
−
2
i=−1
λ
−i
b
a
dt si (t)


−
1
8π
f 2
(a) + f 4
(a) − 2f (a)f (a)
f 2(a)(1 + f 2(a))2
+
f 2
(b) + f 4
(b) − 2f (b)f (b)
f 2(b)(1 + f 2(b))2
−
2
π
∞
k=1
k
∞
0
du u
d
du

log Xk (b; ıuk) − log B
+
−
2
i=−1
k
−i
b
a
dt wi (t)


+
1
2π
b
a
dt 1 + f (t)2 −
1
π
+
ζR (−2)
π
b
a
dt f
−2
1 + f 2
+
1
24
(f
−1
(a) + f
−1
(b)) +
1
16
b
a
dt f
−1 f f
(1 + f 2)4
.
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22. Perturbaci´on: T´erminos finitos
X +
f
f
−
f f
1 + f 2
X + (1 + f 2
) λ2
−
k2
f 2
X = 0
• Reemplazar f (x) por f (x) + g(x)
• Expandir en serie de potencias en hasta O( 2)
• Escribir la soluci´on del sistema perturbado como ˜X = X + ˆX
• Encontrar ˆX utilizando variaci´on de par´ametros
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Perturbaciones

23. Perturbaci´on en la Energ´ıa
FP ζ∆(−1/2) = −
1
π
1
0
dλ λ
d
dλ
log X0(b; ıλ)
−
1
π
∞
1
dλ λ
d
dλ

log X0(b; ıλ) − log A
+
−
2
i=−1
λ
−i
b
a
dt si (t)


−
1
8π
f 2
(a) + f 4
(a) − 2f (a)f (a)
f 2(a)(1 + f 2(a))2
+
f 2
(b) + f 4
(b) − 2f (b)f (b)
f 2(b)(1 + f 2(b))2
−
2
π
∞
k=1
k
∞
0
du u
d
du

log Xk (b; ıuk) − log B
+
−
2
i=−1
k
−i
b
a
dt wi (t)


+
1
2π
b
a
dt 1 + f (t)2 −
1
π
+
ζR (−2)
π
b
a
dt f
−2
1 + f 2
+
1
24
(f
−1
(a) + f
−1
(b)) +
1
16
b
a
dt f
−1 f f
(1 + f 2)4
.
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Perturbaciones

24. Perfil constante
Cilindro: f (x) = c
Intervalo [0, 1]
Perturbaci´on en la Energ´ıa
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25. Perfil constante
Cilindro: f (x) = c
Intervalo [0, 10]
Perturbaci´on en la Energ´ıa
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Perturbaciones

26. Perfil constante
Cilindro: f (x) = c
Intervalo [0, 100]
Perturbaci´on en la Energ´ıa
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Perturbaciones

27. Conclusiones
• Los bordes son la principal influencia en el efecto Casimir
• Perturbaciones alejadas de los bordes no se ven afectadas
• El Casimir busca que la curvatura del borde sea normal a la
superficie
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28. Referencias
Morales-Almazan P., Zeta function for perturbed surfaces of
revolution, arXiv:1412.8575
Jeffres, T. et al. Zeta Function on Surfaces of Revolution,
arXiv:1211.4043
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Perturbaciones

29. Preguntas
@p3d40
Pedro Morales-Almaz´an Math Department
Perturbaciones