Ejemplos de series divergentes en aplicaciones de matemática y física.

1. Series divergentes en
matem´atica y f´ısica
Pedro Morales-Almaz´an
Department of Mathematics
The University of Texas at Austin
pmorales@math.utexas.edu
Puebla, M´exico, 5 de marzo de 2014
Pedro Morales-Almaz´an Math Department
Series Divergentes

2. “Las series divergentes son la invenci´on del demonio, y es una
verg¨uenza basar cualquien demonstraci´on en ellas.”
N. H. Abel
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3. Un n´umero infinito de . . .
Un n´umero infinito de matem´aticos, que entran a un bar. El
primero pide una cerveza. El segundo pide media cerveza. El
tercero pide un cuarto de cerveza . . .
A lo que responde el camarero: ¡¡ idiotas !!
Les pone dos cervezas
Se retira y piensa: No saben sus l´ımites.
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4. Zen´on
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5. Series convergentes
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · · = 1
∞
n=0
1
2
n
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · · = 2
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6. Series geom´etricas
Suma de una serie geom´etrica
∞
n=0
rn
=
1
1 − r
, |r| < 1
∞
n=0
1
2
n
=
1
1 − 1
2
= 2
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7. ¿Series geom´etricas?
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · · =? r = 2
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =? r = −1
Radio de convergencia
∞
n=0
rn
=
1
1 − r
, para |r| < 1
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8. • Las series divergen (no tienden a un n´umero)
• Los valores de r est´an fuera de la regi´on de convergencia
(ilegal)
• ¿ Y ahora, qui´en podr´a ayudarnos?
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9. Regularizaci´on
Tomar otro punto de vista
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16. Ver el significado, no el l´ımite
El valor de una serie es el valor de la expresi´on algebraica de la
cual proviene.
Valor de una serie divergente
“.. la nueva definici´on de la palabra suma coincide con el
significado usual cuando la serie converge; y puesto que las series
divergentes no dan una suma en el sentido propio de la palabra, no
existe ninguna ambig¨uedad con esta terminolog´ıa.”
Leonhard Euler
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17. ¡Series geom´etricas!
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · · =
∞
n=0
2n
=
1
1 − 2
= −1
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =
∞
n=0
(−1)n
=
1
1 − (−1)
=
1
2
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18. M´etodos de regularizaci´on
• Continuaci´on anal´ıtica
• Sumas de Ces`aro (Promedios de Nørlund )
• Promedios de Abel (M´etodo del n´ucleo de calor)
• Promedios de funciones enteras
• M´etodos de momentos
• Sumas de Ramanujan
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19. Energ´ıa del vac´ıo
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · = −
1
12
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20. Energ´ıa del vac´ıo
E ∼ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . .
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21. Energ´ıa del vac´ıo
Funci´on zeta de Riemann
ζ(s) = 1 +
1
2s
+
1
3s
+
1
4s
+ . . .
Converge para s > 1
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22. Energ´ıa del vac´ıo
Continuaci´on anal´ıtica de ζ(s)
E ∼ ζ(−1)= −
1
12
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23. Aproximaci´on semicl´asica de sistemas cu´anticos
• Aproximar un sistema cu´antico por medio de un sistema
cl´asico
• Considerar correcciones cu´anticas
• Γ[φ] = S[φ] + Γ(1)
[φ]
Determinante funcional
Γ(1)
[φ] ∼ e−ζ (0)
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24. Aproximaci´on semicl´asica de sistemas cu´anticos
e−ζ (0)
= 1 · 2 · 3 · 4 · · · =
√
2π
F´ormula de Stirling
n! ∼
√
2π
nn+1/2
en
para n → ∞
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25. Ecuaciones diferenciales
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + 720 − . . .
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26. Ecuaciones diferenciales
x2
y + y = x
M´etodo de Frobenius
y(x) =
∞
0
e−t/x
1 + t
dt
∞
n=0
(−1)n
n! = y(−1) = eE1(1) ∼ 0.596347 . . .
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27. Propabilidad de ser primo
1 −
1
2
−
1
3
+
0
4
−
1
5
+
1
6
−
1
7
+ . . .
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28. Probabilidad de ser primo
Principio de Inclusi´on-Exclusi´on
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
p
−
1
2 · 3
−
1
3 · 5
− · · · −
1
2 · p
+
1
2 · 3 · 5
+
1
3 · 5 · 7
. . .
. . .
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29. Probabilidad de ser primo
Funci´on µ de M¨obius
µ(n) =
0 n es divisible por un cuadrado
(−1)k k es el n´umero de factores primos distintos en n
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30. Probabilidad de ser primo
p
n=1
µ(n)
n
1
ζ(s)
=
∞
n=1
µ(n)
ns
para s > 1.
Densidad de primos
∞
n=1
µ(n)
n
=
1
ζ(1)
= 0
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31. Preguntas
@p3d40
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