calculo.pdf

Cálculo para las Ciencias Biológicas
Guía didáctica
4 créditos
3 ƒ
ƒ Gestión Ambiental
Titulación
Ciclo
Modalidad Abierta y a Distancia
La Universidad Católica de Loja
Gestión
Ambiental
Área Biológica
ÍNDICE
PRELIMINARES
PRIMER
BIMESTRE
SEGUNDO
BIMESTRE
SOLUCIONARIO
ANEXOS
GLOSARIO

Departamento de Química
Sección Físico Química y Matemáticas
Asesoría virtual:
www.utpl.edu.ec
Autora:
Yuliana Del Cisne Jimenez Gaona
Cálculo para las Ciencias
Biológicas
Guía didáctica
4 créditos
La Universidad Católica de Loja
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
Titulación Ciclo
ƒ
ƒ Gestión Ambiental III
ÍNDICE
PRELIMINARES
PRIMER
BIMESTRE
SEGUNDO
BIMESTRE
SOLUCIONARIO
ANEXOS
GLOSARIO

CÁLCULO PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS
Guía didáctica
Yuliana Del Cisne Jimenez Gaona
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
CC 4.0, CC BY-NY-SA
Diagramación, diseño e impresión:
EDILOJA Cía. Ltda.
Telefax: 593-7-2611418
San Cayetano Alto s/n
www.ediloja.com.ec
edilojainfo@ediloja.com.ec
Loja-Ecuador
Maquetación y diseño digital
EDILOJA Cía. Ltda.
Primera Edición
ISBN digital - 978-9942-04-963-6
LaversióndigitalhansidoacreditadasbajolalicenciaCreativeCommons4.0,CCBY-NY-SA:Reconocimiento-Nocomercial-Compartirigual;la
cualpermite:copiar,distribuirycomunicarpúblicamentelaobra,mientrassereconozcalaautoríaoriginal,noseutiliceconfinescomercialesyse
permitenobrasderivadas,siemprequemantengalamismalicenciaalserdivulgada.https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.es
Abril, 2016
ÍNDICE
PRELIMINARES
PRIMER
BIMESTRE
SEGUNDO
BIMESTRE
SOLUCIONARIO
ANEXOS
GLOSARIO

2. Índice
2. Índice ............................................................................................................................................................ 4
3. Introducción............................................................................................................................................. 6
4. Bibliografía............................................................................................................................................... 7
4.1. Básica........................................................................................................................................... 7
4.2. Complementaria...................................................................................................................... 7
5. Orientaciones generales para el estudio.............................................................................. 9
6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias................. 11
PRIMER BIMESTRE
6.1. Competencias genéricas de la UTPL................................................................................. 11
6.2. Planificación para el trabajo del alumno......................................................................... 12
6.3. Sistema de la evaluación del componente educativo (primero y segundo
bimestres).................................................................................................................................. 14
6.4. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias............................ 15
UNIDAD 0. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO........................................................................................... 15
0.1. Repaso de Álgebra................................................................................................................... 16
0.2. Repaso de Geometría: ........................................................................................................... 24
0.3. Repaso de Funciones.............................................................................................................. 28
UNIDAD 1. LÍMITES............................................................................................................................... 31
1.1. Definición de Límite................................................................................................................ 31
1.2. Definición de continuidad y discontinuidad................................................................... 35
1.3. Continuidad aplicada a las desigualdades...................................................................... 36
Autoevaluación 1 ................................................................................................................................ 37
UNIDAD 2. DERIVADAS......................................................................................................................... 38
2.1. Definición de Derivada........................................................................................................... 38
2.2. Reglas de la derivación.......................................................................................................... 40
2.3. Regla del producto y regla del cociente........................................................................... 42
2.4. La regla de la cadena y la regla de la potencia............................................................... 45
Autoevaluación 2 ................................................................................................................................ 50
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

UNIDAD 3. INTEGRALES....................................................................................................................... 51
3.1. Definición de Integral............................................................................................................. 52
3.2. Métodos y técnicas de integración..................................................................................... 54
3.3. Integrales definidas................................................................................................................ 57
3.4. Área bajo la curva.................................................................................................................... 59
3.5. Integración numérica............................................................................................................. 59
Autoevaluación 3 ................................................................................................................................ 61
SEGUNDO BIMESTRE
6.5. Competencias genéricas de la UTPL.................................................................................. 62
6.6. Planificación para el trabajo del alumno......................................................................... 63
6.7. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias............................ 65
UNIDAD 4. TRAZADO DE CURVAS....................................................................................................... 65
4.1. Extremos relativos................................................................................................................... 66
4.2. Concavidad................................................................................................................................. 72
4.3. Prueba de la segunda derivada:.......................................................................................... 76
Autoevaluación 4 ................................................................................................................................ 78
UNIDAD 5. CÁLCULO MULTIVARIABLE............................................................................................... 79
5.1. Funciones de varias variables.............................................................................................. 79
5.2. Derivadas Parciales.................................................................................................................. 82
5.3. Optimización:............................................................................................................................ 85
5.4. Aplicaciones de las derivadas parciales............................................................................ 90
Autoevaluación 5 ................................................................................................................................ 92
UNIDAD 6. ECUACIONES DIFERENCIALES......................................................................................... 93
6.1. Definición................................................................................................................................... 93
6.2. Origen de las ecuaciones diferenciales............................................................................. 95
6.3. Tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden...................................................... 95
6.4. Tipos de soluciones en ecuaciones diferenciales........................................................... 96
6.5. Formato de resolución de ecuaciones diferenciales..................................................... 96
Autoevaluación 6 ................................................................................................................................ 104
7. Solucionario.............................................................................................................................................. 105
8. Glosario de términos........................................................................................................................... 111
9. Anexos........................................................................................................................................................... 114
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

Guía didáctica: Cálculo para las Ciencias Biológicas
6 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
PRELIMINARES
3. Introducción
“El aprendizaje es un tesoro que
seguirá a su dueño a todas partes”
Proverbio Chino
La asignatura de cálculo para las ciencias biológicas, es un componente educativo que se imparte en
tercer ciclo de la titulación de gestión ambiental, es una asignatura genérica equivalente a 4 créditos.
Estamateriatienecomofinalidadcontribuirenlaenseñanzadelasaplicacionesylautilizacióndelcálculo
en el área de gestión ambiental como base fundamental para el beneficio de la investigación científica,
logrando a través de sus contenidos determinar problemas como el peso de una rama, la diversidad
y crecimiento de las especies, el grado de humedad, el espacio vital para los individuos, cantidad de
biodiversidad por metro cuadrado, entre otras aplicaciones.
El estudio de esta materia contribuirá de manera única para comprender algunos fenómenos naturales
en su futuro profesional, así como sus diversas aplicaciones fundamentales en muchos campos de la
ciencia y de interés para la sociedad, esto la hace importante para los estudiantes de la titulación.
El presente componente educativo está dividido en seis unidades del texto básico, correspondientes al
primer bimestre UNIDAD 1. Límites, UNIDAD 2. Derivadas, UNIDAD 3. Integrales. Y al segundo bimestre
UNIDAD 4. Trazado de curvas, UNIDAD 5. Cálculo multivariable, UNIDAD 6. Ecuaciones diferenciales.
Como base para desarrollar las competencias y los contenidos de esta materia será necesario el
conocimiento de: Funciones y gráficas, fundamentos de geometría analítica. Finalmente, recuerden que
las matemáticas y ciencias afines a ella están presentes en todos los aspectos de la vida cotidiana y que
su conocimiento requiere de la dedicación y perseverancia de quienes la estudien para lograr una mejor
comprensión de nuestro entorno desde el punto de vista biológico.
Les deseo el mayor de los éxitos y que la motivación por cumplir las metas que se han trazado esté
siempre presente en ustedes. Estaré presta para atender sus inquietudes del componente educativo.
¡Éxitos y Sigan Adelante…!
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRELIMINARES
4. Bibliografía
4.1. Básica
[1]
Haeussler, E. et al (2008). Matemáticas para administración y economía. México DF: Pearson
Educación.
La bibliografía básica de Cálculo para las Ciencias Biológicas, es un texto que abarca todos los
contenidos del componente educativo, en donde hace una clara exposición de los temas
seleccionados para el estudio del presente ciclo. Además, muestra a los estudiantes una gran
variedad de problemas resueltos y ejercicios planteados e información que pueden ser aplicados
para el desarrollo de sus habilidades para la comprensión de cada unidad.
Por lo tanto, consideramos que es el texto apropiado para que usted pueda estudiar y comprender
sin mayor dificultad los contenidos propuestos en el mismo.
[2]
Jiménez, Y. (2014). Guía didáctica de Cálculo para las ciencias biológicas. Loja,Ecuador: Ediloja.
La guía didáctica de Cálculo para las Ciencias Biológicas fue elaborada para que usted pueda
llevar su estudio de manera continua en función del texto básico y desarrollar las competencias
planteadas para el componente educativo, en donde se incluyen algunas herramientas didácticas
que le serán de utilidad para su estudio.
4.2. Complementaria
[3]
D.Demana,K.etal.(2007).Precálculo,gráfico,numérico,algebraico.MéxicoDF:PearsonEducation.
Libro que nos permitirá profundizar y entender el capítulo 0 sobre Introducción al cálculo, capítulo
importante para el éxito del alumno en la presente asignatura, estimado alumno usted debe
conocer temas indispensables como Álgebra, Geometría, Trigonometría, Funciones, entre otros.
[4]
Jagdish, A. et al. (2002). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. México DF:
Pearson Education.
En este libro podremos encontrar similares contenidos que el texto básico, sin embargo, las
explicaciones están enfocadas a la parte biológica lo que nos permitirá profundizar un poco más
en la aplicabilidad del cálculo.
[5] Larson, R. et al. (2006). Cálculo I. México DF: McGraw Hill.
Libro en el que se encuentran en detalle cada uno de los métodos de derivación y de integración
lo que permitirá al estudiante realizar ejercicios adicionales para profundizar sus conocimientos y
resolver dudas sobre estos temas.
[6] Leithold L. (1998). El Cálculo. México: Oxford.
En este libro complementario usted encontrará ciertos contenidos que le ayudarán a reforzar sus
conocimientos en cuanto a cálculo diferencial, funciones, ecuaciones, límites y derivadas. Este
texto ofrece temas de cálculo, cuya aplicación puede encontrarse en campos como la ingeniería,
la química e incorpora tendencias modernas como la llamada reforma al cálculo y la calculadora
graficadora.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRELIMINARES
[7]
Nagle, R.K. (2001). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. México DF:
Pearson Education.
Libro que nos permitirá profundizar y entender el capítulo sobre ecuaciones diferenciales debido
al detalle de su contenido y su diversidad de ejemplos.
[8] Pérez, J.G. (2006). Instituto de tecnologías educativas. España. Recuperado de: http://mimosa.
pntic.mec.es/jgomez53/matema/docums/perez-calculo1.pdf.
Enlace que nos muestra los conceptos básicos de cálculo, los que servirán al estudiante como una
muestra del resumen de los temas más importantes con respecto a las derivadas e integrales.
[9]
Swokowski E.W. et al. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México D.F:
Thomson Editores, S.A.
Texto complementario que ofrece mayor riqueza en recursos para reforzar el aprendizaje en
temas como: conceptos fundamentales de álgebra, ecuaciones y desigualdades, funciones
polinomiales, racionales, inversas, exponenciales y logarítmicas, funciones trigonométricas de
números reales, trigonometría analítica, sistemas de ecuaciones y desigualdades, sucesiones,
series y probabilidades, así como la inclusión de nuevos ejemplos y ejercicios.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRELIMINARES
5. Orientaciones generales para el estudio
A continuación se presentan algunas sugerencias que le permitirán lograr un aprendizaje significativo
y de esta manera desarrollar las competencias que se pretende conseguir con el estudio de este
componente educativo:
Ÿ
Ÿ Usted contará con el texto básico para el desarrollo de la asignatura “Matemáticas para
administración y economía”, este le servirá a usted como referente teórico, cuya lectura es
obligatoria. La guía didáctica es el material de apoyo en donde se plantean actividades que
le ayudarán a reforzar cada una de las temáticas.
Ÿ
Ÿ Estimado alumno en el sistema de estudios a distancia la distribución de su tiempo es clave
planifíquelo y elabore un cronograma de estudio diario, trate de cumplir este horario, para
que su aprendizaje sea exitoso, dejar al final todas sus actividades le ocasionará estrés lo
cual impide que usted pueda asimilar los conocimientos.
Ÿ
Ÿ Le sugiero que antes de empezar con el estudio de esta asignatura evalúe sus conocimientos
previos de algebra, geometría, trigonometría, funciones entre otros adquiridos en
Matemáticas paras las Ciencias Biológicas, revise la planificación general del componente
educativo esto le guiará para el desarrollo de cada tema y le permitirá organizar su tiempo.
Ÿ
Ÿ Escoja un lugar tranquilo, cómodo, con luz apropiada de tal manera que el tiempo dedicado
al estudio de este componente académico sea aprovechado al 100%.
Ÿ
Ÿ Como apoyo al proceso de enseñanza – aprendizaje, la UTPL cuenta con el EntornoVirtual de
Aprendizaje (EVA), donde usted puede ingresar y encontrar anuncios, recursos educativos
abiertos (REA), foros, chat, video colaboración y actividades encaminadas a reforzar la
comprensión de los temas que comprende el componente educativo. Su participación
activa en este tipo de actividades le permitirá obtener un punto adicional por foro, chat y
video colaboración que suman un total de tres puntos a la nota final.
Ÿ
Ÿ Usted puede elaborar resúmenes, esquemas, organizar formularios, cuadros sinópticos
como estrategias de aprendizaje que le permitan condensar y asimilar la temática abordada.
Ÿ
Ÿ Le sugiero leer con atención los contenidos de la guía didáctica, y luego remítase al texto
básico de acuerdo a lo que se indique en la misma, resuelva todos los ejercicios propuestos
y las autoevaluaciones, esto le permitirá aclarar y profundizar el tema en estudio. Al final de
la guía se indican las respuestas de las autoevaluaciones.
Ÿ
Ÿ Participe activamente en foros, chats y video colaboración a través del Entorno Virtual de
Aprendizaje (EVA) donde usted puede interactuar con el docente/ compañeros, y obtener
documentos(diapositivas,resolucióndeejercicios,videos)queleayudaránadespejardudas
sobre los temas de mayor dificultad, permitiéndole mejorar su aprendizaje, o comunicarse
a través de mi correo electrónico ydjimenez@utpl.edu.ec.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRELIMINARES
Ÿ
Ÿ La Universidad cuenta con varios canales de comunicación que están a su disposición, estos
le permiten acercarse al profesor y exponer sus inquietudes, entre ellos tenemos: línea
telefónica, correo, video colaboración, EVA. Recuerde que como su profesor estoy siempre
presto a resolver sus inquietudes, en los horarios y extensiones telefónicas que se indica al
iniciar cada ciclo académico. No duden en llamar estaré gustosa en atenderlos.
Ÿ
Ÿ Revise la planificación general del componente educativo, esto le guiará para el desarrollo
de cada tema y le permitirá organizar su tiempo.
¡Éxitos en su preparación académica…!
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias
PRIMER BIMESTRE
6.1. Competencias genéricas de la UTPL
Ÿ
Ÿ Orientación a la innovación y a la investigación.
Ÿ
Ÿ Pensamiento crítico y reflexivo.
Ÿ
Ÿ Trabajo en equipo.
Ÿ
Ÿ Compromiso e implicación social.
Ÿ
Ÿ Comportamiento ético.
Ÿ
Ÿ Organización y planificación del tiempo.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
6.2.
Planificación
para
el
trabajo
del
alumno
Competencias
específicas
de
Titulación
Competencias
específicas
del
componente
educativo
Contenidos
Actividades
de
aprendizaje
Indicadores
de
aprendizaje
Tiempo
de
dedicación
Unidades
•
Conocer
los
conceptos,
principios
y
teorías
fundamentales
del
Cálculo
para
la
Ciencias
Biológicas,
aplicando
técnicas
de
estudio
eficaz.
•
Formular
planes
para
evaluar
y
valorar
impactos
ambientales,
así
como
prevenir,
minimizar,
mitigar
y
compensar
sus
efectos.
•
Comprender
y
aplicar
el
conocimiento
del
cálculo
en
la
solución
de
problemas
cualitativos
y
cuantitativos.
•
Planificar,
diseñar
y
ejecutar
proyectos
de
investigación
aplicados
al
ámbito
de
la
biología
y
medio
ambiente.
•
Levantar,
analizar
e
interpretar
información
de
campo.
•
Valorar
bienes
y
servicios
ambientales.
•
Comprender
los
fundamentos
teóricos
matemáticos,
físicos,
químicos,
bioquímicos
y
biológicos
aplicados
a
los
procesos
ambientales.
•
Describir
la
problemática
ambiental
global,
nacional
y
local;
e
identificar
las
herramientas
para
abordar
los
problemas
ambientales.
•
Obtener,
describir,
analizar
y
modelar
datos
socio-
ambientales,
utilizando
herramientas
informáticas.
UNIDAD
0.
Introducción
a
Cálculo
0.1.
Repaso
de
algebra
0.2.
Repaso
de
geometría
0.3.
Repaso
de
funciones
1.
Revisar
la
primera
unidad
de
la
guía
didáctica
y
lea
los
capítulos
0,
1
,2,
y
4
de
su
texto
básico.
2.
Resolver
los
problemas
0.1.1,
0.1.2
y
0.3.1
de
la
Unidad
0
de
su
guía.
3.
Realizar
un
resumen
de
la
unidad
mediante
un
cuadro
sinóptico.
4.
Interactuar
con
el
EVA.
5.
Iniciar
con
el
desarrollo
de
la
evaluación
a
distancia
•
Aplica
el
conocimiento
de
conceptos
elementales
de
álgebra
y
operaciones
básicas
de
cálculo.
Semana
1
4
horas
de
autoestudio
4
horas
de
interacción
UNIDAD
1.
Límites
1.1.
Límites
1.2.
Continuidad
y
discontinuidad
1.3.
Continuidad
aplicada
a
desigualdades
Autoevaluación
N°
1
1.
Revisar
la
segunda
unidad
de
la
guía
didáctica
y
lea
el
capítulo
10
de
su
texto
básico.
2.
Resolver
los
problemas
1.1,
1.2
y
1.3
de
la
guía
tomados
del
texto
básico.
3.
Realizar
un
resumen
de
la
unidad
mediante
un
cuadro
sinóptico.
4.
Interactuar
con
el
EVA.
5.
Continuar
el
desarrollo
de
la
evaluación
a
distancia
•
Resuelva
ecuaciones,
desigualdades
y
problemas
que
impliquen
la
aplicación
del
concepto
y
propiedades
de
límites.
Semana
2
y
3
8
horas
de
autoestudio
8
horas
de
interacción
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Competencias
específicas
de
Titulación
Competencias
específicas
del
componente
educativo
Contenidos
Actividades
de
aprendizaje
Indicadores
de
aprendizaje
Tiempo
de
dedicación
Unidades
UNIDAD
2.
Derivadas
2.1.
Definición
2.2.
Reglas
de
la
derivación
2.3.
Regla
del
producto
y
del
cociente
2.4.
Regla
de
la
cadena
y
de
la
potencia
Autoevaluación
N°
2
1.
Revisar
la
tercera
unidad
de
la
guía
didáctica
y
lea
el
capítulo
11
de
su
texto
básico.
2.
Resolver
los
problemas
2.1,
2.2,
2.3
y
2.4
de
su
guía
tomados
del
texto
básico.
3.
Realizar
un
resumen
de
la
unidad
mediante
un
cuadro
sinóptico.
4.
Interactuar
con
el
EVA.
5.
Continuar
con
el
desarrollo
de
la
evaluación
a
distancia
•
Aplica
el
concepto
de
diferenciación
en
la
resolución
de
problemas
biológicos.
•
Identifica
y
caracteriza
las
técnicas
de
derivación.
Semana
4
4
horas
de
autoestudio
4
horas
de
interacción
UNIDAD
3.
Integrales
3.1.
Funciones
de
varias
variables
3.2.
Métodos
y
técnicas
de
integración
3.3.
Integrales
definidas
3.4.
Área
bajo
la
curva
3.5.
Integración
numérica
Autoevaluación
N°
3
1.
Revisar
la
cuarta
unidad
de
la
guía
didáctica
y
lea
el
capítulo
14
de
su
texto
básico.
2.
Resolver
los
problemas
de
su
guía
3.1,
3.2,
3.2.2,
3.3,
3.5
tomados
del
texto
básico.
3.
Realizar
un
resumen
de
la
unidad
mediante
un
cuadro
sinóptico.
4.
Interactuar
con
el
EVA.
5.
Entregar
de
la
evaluación
a
distancia
•
Analiza
y
aplica
las
propiedades
de
integración
a
la
resolución
de
problemas
biológicos
•
Identifica
y
explica
gráficas
basadas
en
los
métodos
y
técnicas
de
integración.
Semana
5
y
6
8
horas
de
estudio
8
horas
de
interacción
Unidades
1
a
la
4
Preparación
para
la
evaluación
presencial
1.
Realizar
un
estudio
global
del
primer
bimestre.
2.
Desarrollar
las
actividades
recomendadas
en
la
guía
didáctica.
3.
Resolver
los
ejercicios
propuestos
en
el
texto
básico.
4.
Interactuar
con
el
EVA
Semana
7
y
8
8
horas
de
estudio
8
horas
de
interacción
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
6.3. Sistema de la evaluación del componente educativo (primero y segundo bimestres)
Formas de evaluación
Competencia: criterio
1.
Autoevaluación
*
2. Heteroevaluación
3.
Coevaluación
Evaluación a
distancia **
Evaluación
presencial
Parte
objetiva
Parte
de
ensayo
Interacción
en
el
EVA***
Prueba
objetiva
Actitudes
Comportamiento ético x x x x x x
Cumplimiento, puntualidad,
responsabilidad
x x x x
Esfuerzo e interés en los trabajos x x x x x x
Respeto a las personas y a las normas
de comunicación
x x x x x
Habilidades
Creatividad e iniciativa x x x x
Contribución en el trabajo
colaborativo y de equipo
x x x
Presentación, orden y ortografía x x x x
Emite juicios de valor
argumentadamente
x x x
Conocimientos
Dominio del contenido x x x x x x
Investigación (cita fuentes de
consulta)
x x x x
Aporta con criterios y soluciones x x x
Análisis y profundidad en el
desarrollo de temas
x x x x
PORCENTAJE
Estrategia
de
aprendizaje
10% 20% 30%
xActividades
xen
el
EVA:
3
puxntos
en
cada
bimestre
70%
Actividades
presenciales
y
en
el
EVA
Puntaje 2 4 6 14
TOTAL 20 puntos
Para aprobar el componente se requiere obtener un puntaje mínimo de 28/40 puntos, que equivale al 70%.
* Son estrategias de aprendizaje, no tienen calificación; pero debe responderlas con el fin de autocomprobar su proceso
de aprendizaje.
** Recuerde: que la evaluación a distancia del primero y segundo bimestre consta de dos partes: una objetiva y otra de
ensayo, debe desarrollarla y enviarla a través del EVA según las fechas establecidas.
*** Estrategias de aprendizaje opcionales y de tipo colaborativa: foro, chat y video colaboración con una valoración de un
punto cada una.
Señor estudiante:
Tenga presente que la finalidad de la valoración cualitativa es
principalmente formativa.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
6.4. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias
Estimado estudiante este apartado comprende siete unidades: cuatro para el primer bimestre y tres para
el segundo. Iniciaremos con el estudio de los contenidos específicos del componente académico Cálculo
para las Ciencias Biológicas. Se le sugiere que siga las recomendaciones expuestas en las orientaciones
generales para el estudio.
Para llegar al éxito en este componente educativo, es necesario combinar adecuadamente los recursos
con los que usted cuenta, es decir texto básico, guía didáctica, evaluaciones a distancia, Entorno Virtual
de Aprendizaje (EVA) y otros recursos que la UTPL pone a su disposición para ayudarle a incrementar sus
conocimientos y facilitar su aprendizaje. ¡Mucha suerte…!
UNIDAD0.INTRODUCCIÓNALCÁLCULO
Estimado estudiante, ¿Cómo le fue con el estudio de los temas matemáticos anteriores?, y no me
refiero únicamente a la asignatura de “Matemáticas para las Ciencias Biológicas” que debió aprobar en
periodos anteriores; sino también cito sus competencias generales adquiridas en secundaria o cursos
adicionales en los temas de: Álgebra, Geometría, Trigonometría, Funciones, entre otros, los cuales son
indispensables para el éxito de la presente asignatura Cálculo para las ciencias biológicas. ¿Domina
usted éstos temas?¿Si?.
İMuy bien!, si su respuesta es positiva, le sugiero dar solución a los planteamientos que se encuentra
enmarcados y resaltados en cada sección denominada “Repaso de “ ,si tiene éxito en el 80% de los
ejercicios, le felicito. Con organización, estudio y constancia durante todo el periodo académico, le
garantizo el éxito total.
Caso contrario, si usted no puede responder o responde con dificultad a cada ejercicio de este Unidad
1 preparación para el cálculo, por favor, de forma honesta y seria le pido repasar cada tema de esta
unidad cero la cual es realmente es indispensable para el cálculo que estudiaremos en las unidades 1 a 6.
Usted de pronto se podrá preguntar: ¿Por qué voy a estudiar o perder el tiempo en algo que ya vi en la
secundariaomásaún,entemasqueyaestudieenlaasignaturade“MatemáticasparalasCienciasBiológicas”
?. Para esa pregunta, mi respuesta como su docente es la siguiente: En la experiencia como profesor no
soloenlaModalidadaDistancia,sinotambiénenlaPresencial,losestudiantestienenmuchasdificultades
en analizar, operar, resolver, simplificar, factorizar, graficar, etc. expresiones, ecuaciones, funciones,
propiedades, entre otros temas de algebra y geometría, por lo que en los exámenes presenciales no
tienen las competencias para analizar, interpretar o reescribir los problemas que se plantean, o mucho
menos pueden aplicar correctamente las propiedades, reglas, formas, etc. a dichos problemas, y eso es
debido no a la extrema dificultad del cálculo, sino más bien, debido a que pretendemos comprender y
dominar con facilidad los límites, derivadas, integrales y ecuaciones diferenciales sin primero dominar a
la perfección estos temas indispensables de pre-cálculo como lo son: Álgebra, Geometría y Funciones,
temas que no vamos a estudiar en esta asignatura, pero que usted (si no los domina) es quien los debe
preparar antes de iniciar con el estudio de la Unidad 1.
Por lo tanto, y con total honestidad, si usted contesta correctamente las preguntas de éstos temas de
repaso, no ahonde en esta Unidad 0 preparación para el cálculo, sino que, inicie directamente el estudio
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
de la Unidad 1 límites. Caso contrario, tómese el tiempo que usted considere pertinente para dominar
primero estos temas de pre- cálculo, y luego si, inicie el estudio de la Unidad 1.
A continuación esquematizamos el tema Introducción al cálculo (Unidad 0) con cada sub-tema
respectivamente:
0.1. Repaso de Álgebra: Números reales, Exponentes y radicales, Operaciones con Expresiones
Algebraicas, Expresiones Faccionarias y Racionalización, Ecuaciones y Forma Cuadrática, Sistemas
de ecuaciones.
0.2. Repaso de Geometría: Rectas, Circunferencia, Parábola, Elipse, Hipérbola.
0.3. Repaso de Funciones: Ecuaciones y Gráficas, Exponencial y Logarítmicas, Trigonométricas.
Es hora de empezar con su aprendizaje.
Listo, entonces revisemos los sub-temas de Álgebra indicados.
0.1. Repaso de Álgebra
Dentro de los conjuntos numéricos, los números reales se clasifican en racionales e irracionales, como se
muestra en el siguiente diagrama:
Números reales
Le sugiero desarrollar los siguientes ejercicios:
Ejercicios 0.1.1.1
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
¿Dio usted respuesta a los planteamientos anteriores sin mayor dificultad? ¿Si?
¡Muy Bien!
C
C ¿Qué tal, cómo le fue?
C
C ¿Estuvieron sencillos?
C
C ¿Respondió todos bien?
Si respondió correctamente, por favor, continuemos con el siguiente sub-tema de repaso
“Exponentes y radicales”, caso contrario, le sugiero remitirse a la bibliografía básica[1]
(Haeussler,
E. et al. 2008) capítulo 0 sección 0.1, 0.2 o en la bibliografía complementaria[9]
(Swokowski, E.W. et
al. (2009)) y revise los temas referentes a “Números reales”, y una vez concluido, resuelva los
siguientes ejercicios:
Ejercicios 0.1.1.1
1.) Responda VERDADERO o FALSO a los siguientes planteamientos, exponga las razones de su
respuesta.
a. -13 es un entero
b. 5 es racional
c. √25 no es un entero positivo
d. -2/7 es racional
e. 0 no es racional
f. √3 es un número natural
g. 0/0 es racional
2.) Responda VERDADERO o FALSO a los siguientes planteamientos.
a. (x + 2) (4) = 4x + 8
b. (x + 2) / 2 = (x / 2) + 1
c. x ( 5 ∙ y) = (x5) ∙ (xy)
d. 5/11 = (1/11) ∙ 5
3.) Simplifique si es posible cada una de las siguientes expresiones.
a. –[–6 + (–y)]
b. –1 / (–1/9)
c. –aby / –ax
d. (x / √5) + (y / √5)
e. (L / 3) / M
f. 0 / 0
4.) Si x < 0 y y > 0 determine el signo del número real.
a. Xy
b. x2
y
c. (x / y) + x
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
d. y – x
5.) Sustituya el símbolo ? con <, > o = para que el enunciado resultante sea VERDADERO.
a. – 7 ? – 4
b. (Π / 2) ? 1.57
c. √225 ? 15
6.) Exprese el enunciado como una desigualdad.
a. x es negativo
b. y es no negativo
c. q es menor o igual a π
d. d es entre 4 y 2
e. t no es menor a 5
f. El negativo de z no es mayor a 3
g. El cociente de p y q es a lo más 7
h. El reciproco de w es al menos 9
i. El absoluto de x es mayor a 7
7.) Sustituya el símbolo ? con = o ≠ para que el enunciado resultante sea VERDADERO para todos los
números reales a, b, c, d, siempre que la expresión este definida.
a. [ (ab + ac) ÷ a ] ? [ b + ac]
b. (a ÷ b) ÷ c ? a ÷ (b ÷ c)
c. (a – b) / (b – a) ? – 1
8.) Exprese el número en forma científica.
a. 427,000
b. 0.000 000 098
c. 810,000,000
9.) Exprese el número en forma decimal.
a. 8.3 X 105
b. 2.9 X 10-2
c. 5.63X108
Estimado estudiante una vez resueltos los ejercicios 0.1.1.1 y 0.1.1.2 le sugiero ir al Anexo A,
en donde usted podrá comprobar las respuestas de cada uno de los ejercicios planteados.
Si al comparar sus respuestas se siente satisfecho, continúe revisando el sub-tema
Exponentes y radicales, caso contrario revise nuevamente la información.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
0.1.2. Repaso de Álgebra: Exponentes y radicales
Estimado alumno, es necesario que usted revise estos ejercicios sobre exponentes y radicales no sin
antes haber asimilado el tema de números reales, ya que es la base para expresiones polinomiales o
compuestas con exponentes y radicales.
Ejemplo: Exponentes
a)
b)
c)
d)
e)
Ejemplo: Radicales
a)
b)
c)
d)
e)
Indicado lo anterior, ¿Puede usted dar respuesta a los siguientes planteamientos?
Ejercicios 0.1.2.1
¿Realizó bien los ejercicios? ¡Estoy seguro que Si! ¡Lo felicito!
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Ahora, continúe revisando el sub-tema “Operaciones con expresiones algebraicas”, caso contrario,
revise la siguiente información y desarrolle los ejercicios sugeridos sobre“Exponentes y radicales”.
Exponentes y radicales
En la bibliografía complementaria[9]
(Swokowski E. W. et al. (2009)) capitulo 1, usted podrá
encontrar ejemplos desarrollados y sugeridos sobre este tema. De igual manera, en su texto
básico[1]
(Haeussler,E. et al. (2008)) hay problemas similares a los expuestos en la guía y en la
bibliografía complementaria. Yo le sugiero algunos a continuación:
EJERCICIOS 0.1.2.2
1.) Resuelva las siguientes expresiones:
a.
b.
c.
2.) Racionalice el denominador y simplifique
a.
b.
c.
3.) Exprese el número de la forma a/b, donde a y b son enteros
a. (20
+ 02
) / (2 + 0) =
b. (0.008)-2/3
=
0.1.3. Repaso de Álgebra: Operaciones con expresiones algebraicas
Lasexpresionesalgebraicaslasencontramosduranteeldesarrollodetodalaasignatura,ylasoperaciones
sobre ellas se utilizan en cada ejercicio de las Unidades 0 a la 6 (Unidad 0: Repaso de álgebra, Unidad
1: Límites, Unidad 2: Derivadas, Unidad 3: Integrales, Unidad 4: Trazado de curvas, Unidad 5: Cálculo
multivariableyUnidad6:Ecuacionesdiferenciales),sudominioesimprescindible.Resuelvalossiguientes
planteamientos guiándose del resumen de propiedades de los productos especiales y reglas para
factorización localizado en la portada de su texto básico o en la página 16, y 19 de la sección 0.4. y 0.5
allí encontrará ejemplos de suma, resta, multiplicación y división sobre estas expresiones. Si usted desea
profundizar con la bibliografía complementaria[9]
, le propongo remitirse a la sección 1.3 del capítulo 1.
Si usted ya tiene conocimiento de estos temas, pase a revisar el sub-tema “Expresiones faccionarias
y racionalización”, caso contrario deténgase, revise, analice y resuelva los ejercicios propuestos a
continuación, de la mano de sus libros y de su tutor.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Ejercicios 0.1.3.1
ACTVIDAD RECOMENDADA: Ejercicios
Los ejercicios de repaso sobre “operaciones con expresiones algebraicas y factorización”
usted los podrá encontrar en el capítulo 0 de su texto básico apartados 04 y 05.
0.1.4. Repaso de Álgebra: Expresiones faccionarias y racionalización
La racionalización es un proceso matemático muy utilizado en límites analíticos o algebraicos, para
simplificar una derivada o integral ya aplicadas sus reglas, y en ecuaciones diferenciales, por ello revise
este tema en su texto básico capítulo 0, apartado 06 y en su bibliografía complementaria[9]
los temas se
encuentran en el capítulo 1 sección 1.4.
En caso de resolver los siguientes ejercicios sin problema alguno, pase a revisar el sub-tema “Ecuaciones
y Forma Cuadrática”, caso contrario le invito a revisar nuevamente sus libros y estudiar paso a paso
ejercicios de este tema. ¡Ánimo!, con esfuerzo y sacrificio todo es posible.
Ejercicios 0.1.4.1
ACTIVIDAD RECOMENDADA: Ejercicios
Los ejercicios de repaso sobre “Expresiones fraccionarias y racionalización” son muy
importantes, ya que problemas muy similares aparecen cuando se debe operar un límite,
derivada, integral o ecuaciones diferenciales por tal motivo le recomiendo que inclusive
conociendo este tema, haga un alto y practique, recuerde y desarrollo los ejercicios del capítulo
0 de su texto básico apartados 06, y en su bibliografía complementaria[9]
la sección 1.4.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
0.1.5. Repaso de Álgebra: Ecuaciones y Forma Cuadrática
Las ecuaciones se presentan en muchos tópicos del mundo matemático, y en el cálculo están presentes
en un límite, una derivada, integral y ecuaciones diferenciales en forma de función. Existirán casos en los
cuales necesitaremos hallar el valor de una variable, para ello es necesario al menos identificar el tipo de
ecuación y determinar el método a resolver.
Ejemplos:
1. Ecuación equivalente:
2. Ecuación de primer grado o lineal:
3. Ecuación de segundo grado o cuadrática: ; donde a, b y c son números reales
Encontramos x mediante la fórmula cuadrática
4. Ecuación polinómica P(x)=0 ;
a. Ecuación polinómica racional
b. Ecuación polinómica irracional
i.
ii.
iii.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Revise los siguientes problemas, si los encuentra demasiado complicados, recomiendo ir al texto básico
capítulo 0 y revisar la explicación que se da para resolver ejercicios sobre ecuaciones, esto facilitará su
comprensión.
Ejercicios 0.1.5.1
En su texto básico apartados 06 y 0.7 del capítulo 0, podrá encontrar ejercicios similares a los
que le he sugerido, desarrolle al menos tres de cada bloque que le permitirá recordar las técnicas
para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
0.1.6. Repaso de Álgebra: Sistemas de ecuaciones
Lossistemasdeecuacionestambiénsonusadosdeformaespecialeneltemadeecuacionesdiferenciales,
máximos y mínimos, no son sistemas extensos, ya que para las ecuaciones diferenciales en la mayoría
de ejercicios se emplean ecuaciones de 2 y 3 variables. De todas maneras revise los ejercicios expuestos
a continuación.
Ejercicios 0.1.6.1
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
¿Realizó todos los ejercicios, sin ningún inconveniente?, Seguro que Si. ¡Muy bien! ¡Lo felicito! .Ahora lo
invito a continuar con el tema repaso de geometría.
0.2. Repaso de Geometría:
Rectas, Circunferencia, Parábola, Elipse, Hipérbola.
En cuanto a Geometría y considerado pertinente abarcar su repaso en un solo tema ya que lo necesario
es comprender de manera general el espacio geométrico de cada figura así como sus ecuaciones, no
memorizarlas (aunque si así lo hiciera no estaría mal) pero si está en la capacidad de reconocer de que
figura se trata cuando nos presentan únicamente su ecuación.
Rectas
En su texto básico[1]
capítulo 3, sección 3.1. y en la bibliografía complementaria[9]
usted va a
encontrar los conceptos, propiedades ejemplos desarrollados y problemas sobre las rectas. De
lo que destaco: pendiente, punto pendiente, forma punto intersección, pendiente vertical-
horizontal.
Secciones cónicas
capítulo 3, sección 3.3. y en la bibliografía complementaria[9]
capítulo 11
secciones 11.1, 11.2, 11.3 revise la forma de las ecuaciones, sus propiedades, y algunos ejemplos
resueltos y a continuación de respuestas a las siguientes interrogantes:
EJERCICIOS 0.2.1.1
1. Unir con líneas la ecuación y su gráfica correspondiente, no utilice calculadora u otro programa
para graficar ya que en su examen presencial no podrá ayudarse de estos recursos, únicamente
mire la forma de la ecuación y recordando las propiedades de cada espacio geométrico y las figuras
presentadas, emita su respuesta, si necesita dirigirse a sus textos para recordar dichas propiedades
por favor hágalo, o si requiere desarrollar algún calculo adicional (calcular pendientes, focos,
vértices, intersecciones, directrices, etc.) le sugiero se tome la molestia, lograra habilidad para
reconocer fácilmente los tipos de ecuaciones y sus espacios geométricos.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Ecuación Gráfica
a. 9y2
- 144 + 16x2
= 0
b. x2
+ y2
– 8x = 0
c. x2
+ y2
= 25
d. x2
+ 2y2
= 8
e. y = (1/2)x + 3
f. 9y2
-144 – 16x2
= 0
g. x + 5 = 0
h. 9y + 2x2
= 0
i. y2
– 4y – 2x – 4 =0
j. 10y2
+ 9x2
= 9
k. x = 3y + 4
Estimado estudiante una vez resueltos todos los ejercicios 0.1.2.1, 0.1.2.2, 0.1.3.1, 0.1.4.1,
0.1.5.1, 0.1.6.1, 0.2.1.1 propuestos durante el repaso de ésta Unidad 0, le sugiero ir al Anexo A
donde usted podrá comprobar las respuestas de cada uno de los ejercicios planteados. Si al
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
comparar sus respuestas se siente satisfecho, continúe revisando el sub-tema Ecuaciones y gráficas, caso
contrario prosiga con la siguiente recomendación.
Estimado estudiante, en caso de haber tenido dificultades para dar respuesta al problema
anterior, le recomiendo desarrolle más ejercicios en las secciones de sus libros ya indicadas.
Resaltó la importancia del tema Rectas, ya que todo lo referente a pendientes se requerirá para
hacer y comprender la demostración del concepto de Derivadas.
0.3.1. Repaso de Funciones: Ecuaciones y Gráficas
La gráfica de una ecuación no necesariamente corresponde a una recta (ecuaciones lineales) o a una
cónica (ecuación cuadrática). En este apartado recordemos las definiciones, propiedades, y formas de las
funciones en general (lineales, cuadráticas, cubicas, etc.).
Importante
Noolvidequetodafunciónestambiénunaecuación,peronotodaecuaciónesobligatoriamente
una función. Si desea detalles de esta afirmación usted lo podrá encontrar en su bibliografía
complementaria [6] sección 3.4 del capítulo 3.
El tema de funciones es obligatorio y son la base para el cálculo, ya que los límites, derivadas, integrales y
ecuaciones diferenciales se aplican/resuelven sobre éstas. Por tal motivo si en su curso Matemáticas para
las Ciencias Biológicas tuvo algún vacío sobre funciones, remítase a cualquiera de sus dos libros (base y/o
complementaria) y repase este tema.
Funciones y gráficas
Sus dos libros (base[1]
y complementario[2]
) han dedicado un capítulo completo (N. 2 y N. 3
respectivamente) al estudio de este tema, por lo tanto, usted tiene suficientes recursos para
recordar y apuntar los conceptos, definiciones, operaciones, tipos y graficas aplicados sobre
este tema tan básico e inicial para el cálculo como lo son las funciones.
Los temas que le voy a sugerir recuerde son:
!
! Sistema de coordenadas rectangulares
!
! Dominio y codominio (o rango)
!
! Gráficas de ecuaciones/funciones. Cuál es la diferencia?
!
! Operaciones sobre funciones (suma, resta, multiplicación y división)
!
! Funciones especiales.
C
C ¿Concluyo la revisión?
C
C ¿Qué le pareció? ¿Sencilla, complicada?
Si estuvo sencilla le sugiero dar respuesta a los siguientes ejercicios para medir sus competencias al
respecto, si por el contrario, las funciones son muy complicadas para usted, remítase a sus libros
(complementarios[5 y 9]) e inclusive a los recursos del EVA o de la WEB en general y revisemos este tema
bien, solo una vez asimilado el mismo pasemos al estudio de límites, derivadas, etc.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
EJERCICIOS 0.3.1.1
1.) Haciendo el uso de su graficador (calculadora, geogebra, etc.) grafique las siguientes funciones y
diga cuales son las intersecciones con los ejes x y y.
a. y = – x + 1
b. y = – 4x2
c. y = (–1/2)x3
2.) Si a es un número real positivo, encuentre cada uno de los siguientes literales para la función:
g(x) = 2x / (x2
+1)
a. g(1/a)
b. 1 / g(a)
c. g(√a)
d. √g(a)
3.) Explique porque la gráfica es o no es la gráfica de una función:
a. b.
4.) Determinesilasfuncionesdadasconiguales.Paraellousteddebeobtenersudominioycodominio
a. ;
b. ;
5.) Si f(x) = 5 − 8x, encuentre:
a. el dominio
b. f (1)
c. f (−2)
d. F(5/8)
e. f (t)
f. f (x + 2)
6.) Si f(x) = (x + 8) / x encuentre:
a. f(x + h)
b.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
7.) Dadas las siguientes funciones determine lo que se pide:
a. g(x) = 3-2
x- 2
es polinomial?
b. g(x) = 4x-4
es racional?
c. Cuál es el dominio de
8.) Si F(x) = √t , y G(x) = 3t2
+ 4t + 2 encuentre
a. (F◦G)(t)
b. (G◦F)(t)
Estimado estudiante una vez resueltos los ejercicios 0.3.1.1, le sugiero ir al Anexo A donde
usted podrá comprobar las respuestas de cada uno de los ejercicios planteados. Si al
comparar sus respuestas se siente satisfecho, continúe revisando el sub-tema Exponencial
y logarítmicas, caso contrario revise nuevamente la información.
0.3. Repaso de Funciones
Exponencial y Logarítmicas
Ensuasignaturaanterior“Matemáticasparalascienciasbiológicas”ustedyaestudioestetipodefunciones
(definiciones, propiedades, ejercicios, etc.); ahora en “Cálculo para las ciencias biológicas” vamos a usarlas
de forma especial en los modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial (Unidad no. 6 Ecuaciones
Diferenciales), por supuesto, no sin antes mirar cómo se derivan e integran. Por ello, antes de iniciar el
estudio de estas funciones desde la orientación al Cálculo, le recomiendo revisar, recordar y practicar
cada definición, propiedad y ejercicios sobre funciones exponenciales y logarítmicas.
Función logarítmica y exponencial.
capítulo 5, secciones de la 5.1–5.5 (todas las secciones) y en la bibliografía
complementaria[9]
se dedica de igual manera todo el capítulo 4 para su estudio. Una vez
revisados estos temas resuelva los siguientes ejercicios:
EJERCICIOS 0.3.2.1
1.) Grafique cada par de función y explique las diferencias. (usted puede usar calculador o graficador, el
objetivo aquí es conocer las diferencias entre una y otra gráfica)
a) y = 3x
; y=(1/3)x
b) y = 2x
– 1; y = 3x – 1
– 1
2.) Haciendo uso de las propiedades exponenciales/logarítmica resuelva las siguientes ecuaciones:
a) 7x
+ 6 = 73x – 4
b) 4x
∙ (1/2)3 – 2x
= 8 ∙ (2x
)2
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
3.) Exprese cada forma logarítmica de manera exponencial y cada forma exponencial de manera
logarítmica.
a) log2
64 = 6
b) 2 = log12
144
c) e0.33647
= 1.4
d) log 5 = 0.6990
4.) Encuentre el valor de x:
a) ln x = 1
b)
c)
d)
5.) Aplicando el modelos de crecimiento poblacional P(1 + r)n
, resuelva los siguientes ejercicios
prácticos.
a) En un bosque la población de árboles crece a una tasa efectiva de 2.1% . Si la población
actual es 53,000, ¿cuál será la población dentro de 8 años?
b) La población de una ciudad crece de 110,000 a 116,600 en un año. Si la ciudad continúa
creciendo a esa tasa, encuentre el número de años para que la población se duplique.
6.) Se establece que log 2 = a; log 3 = b; y log 5 = c. Exprese el logaritmo indicado en términos de a, b, c
a) log (16)
b) log (6/25)
c) log3
(5)
7.) Encuentre x y redondee sus respuestas en tres cifras decimales:
a) log x – log 5 = 7
b) ln (4 – x) + ln 2 = 2 ln x
c) 34x
= (3/4)
d) log4
(2x + 4) – 3 = log4
3
Estimado estudiante una vez resueltos los ejercicios 0.3.2.1, le sugiero ir al Anexo A donde
comparar sus respuestas se siente satisfecho, continúe revisando el sub-tema Exponencial
y logarítmicas, caso contrario revise nuevamente la información.
Estimado estudiante, si los ejercicios que les he sugerido no son suficientes para recordar y
aplicar las operaciones y propiedades sobre funciones exponenciales y logarítmicas, pido
se dirija a su texto básico y desarrolle ejercicios adicionales (usted podría desarrollar los
impares, cuyas respuestas las encontrará en sus libros.) de cada sub-tema. Los ejercicios
que aquí se han desarrollado corresponden a los ejercicios pares de su texto básico[1]
.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
0.3.3. Repaso de Funciones: Trigonométricas.
Funciones trigonométricas.
El repaso de funciones trigonométricas únicamente lo podrá encontrar en su bibliografía
complementaria[9]
en el capítulo 6.
Ahora si podemos continuar con la primera unidad.
İMUY BIEN! SIGA ADELANTE.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
UNIDAD1.LÍMITES
Apreciado estudiante, continuamos con el estudio de la asignatura abordando este tema fundamental
el cual nos servirá de guía para el desarrollo de temas más avanzados.
A continuación esquematizamos cada tema de límites con sus sub-temas respectivamente:
1.1 Límites: Definición, estimación, propiedades, ejercicios
1.2 Continuidad y discontinuidad: Definición, ejercicios
1.3 Continuidad aplicada a desigualdades: Definición, ejercicios
Listo, entonces revisemos los sub-temas de Límites indicados.
¿Sabe qué es un límite?
En esta primera parte vamos a conocer una breve definición y la representación de límite, su estudio es
muy importante puesto que con ello se trabajará más adelante. Se usan dentro de cálculo y se denotan
con la abreviatura lím.
1.1. Definición de Límite
Según, D. Demana (2007). Precálculo, gráfico, numérico y algebraico.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Representación
, en donde, lim = límite
x a, en donde:
Ÿ
Ÿ x tiende a C
Ÿ
Ÿ x se aproxima lo más cerca C
Ÿ
Ÿ x se acerca arbitrariamente a C
a # real cualquiera
L # real
f(x) funciones racionales, polinomiales, logarítmicas o exponenciales
Orientaciones para el texto básico
Para iniciar con el estudio de límites refiérase a su texto básico[1]
en el capítulo 10: Límites y
continuidad en las páginas 449-450.
¿Qué le pareció está primera lectura? Por medio del ejemplo del automóvil ¿Es más fácil entender el
concepto de límites? Una vez que tenga claro el tema podemos continuar.
1.1.1. Estimación de un límite
Veremos que existen dos formas de estimar límites: analítica y gráfica.
Forma analítica: consiste en aplicar las propiedades para determinar el límite. Su texto básico en las
páginas 452-454 detalla una a una las propiedades y la aplicación de la misma.
Forma gráfica: consiste en calcular los valores de la función, realizar el bosquejo de la gráfica y analizar
la gráfica de la función para finalmente determinar el límite.
Para estimar un límite gráficamente es recomendable realizar un cuadro donde se coloquen a la izquierda
valores menores a C y por la derecha valores mayores a C, luego reemplazar en x cada valor del cuadro,
así obtenemos el valor del límite.
Ejemplo:
Forma analítica
X 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1
f(x) 0,3448 0,3344 0,3332 0,33 0,3332 0,332 0,33332
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Representación gráfica.
Figura 1. Representación gráfica de un límite. Fuente: el autor.
Como puede apreciar en la gráfica existe una evidente discontinuidad asintótica, con límites laterales
distintos (+α,- α), además se observa que cuando x se acerca al número 2 por la izquierda f(x) crece sin
límite, y decrece por derecha sin límite cuando x se acerca al 1.
1.1.2. Propiedades de los límites
Es importante que usted conozca e identifique las propiedades algebraicas básicas de los límites
para aplicarlas en la solución de los diferentes problemas planteados. Los límites cumplen con ciertas
propiedades tales como:
Una vez que usted es capaz de diferenciar y establecer su propio criterio acerca de de estas propiedades,
le invito a revisar los siguientes ejemplos.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Ejemplos:
Ÿ
Ÿ Aplicación de las propiedades 1 y 2 de los límites
a)
b)
c)
d)
Ÿ
Ÿ Aplicación de las propiedades 3, 4 y 5 de los límites
e)
f)
g)
Adicional en su texto básico en las páginas 452-454 detalla algunas otras de las propiedades de los
límites y la aplicación de las mismas.
En las secciones 10.1–10.2 de su texto básico[1]
capítulo 10, se dedican al estudio de este tema. Le
sugiero revisarlas y luego resolver los ejercicios 1.1:
Ejercicios 1.1:
C
C ¿Qué tal, cómo le fue con el desarrollo de los ejercicios anteriores?
C
C
Si respondió correctamente, por favor, continuemos con la actividad recomendada y luego con
el sub-tema de límites “continuidad y discontinuidad”. Caso contrario, le sugiero remitirse a la
bibliografía básica [1]
y complementaria [3 y 4] y revise nuevamente los temas.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
ACTIVIDAD RECOMENDADA : Ejercicios
Desarrollar los ejercicios de repaso sobre “límites” usted los podrá encontrar en el capítulo 10,
problemas 10.1-10.2 de su texto básico páginas 457-458; 465-466.
Estimadoestudiante,ahoraquetenemosclaroelconceptoycómopodemosresolverlímites,analizaremos
dos características de las funciones que son: continuidad y discontinuidad.
1.2. Definición de continuidad y discontinuidad
Una función f es continua en a si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
Importante
Ÿ
Ÿ Si f no es continua en a, entonces se dice que f es discontinua en a, y a se llama punto
de discontinuidad de f.
Ÿ
Ÿ Una función polinomial es continua en todo punto.
Ÿ
Ÿ Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es 0, y es
continua en cualquier otra parte.
Si desea detalles de estas afirmaciones usted lo podrá encontrar en su bibliografía básica [1]
en la
sección 10.3 del capítulo 10.
¿Qué tal? ¿Qué le parecieron estos temas? Espero que su respuesta sea positiva. ¡Muy bien! Ahora, le
invito a continuar con el tema resolviendo los ejercicios 1.2:
Ejercicios 1.2:
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
C
C ¿Qué tal, Cómo le fue con el desarrollo de los ejercicios anteriores?
C
C
Si respondió correctamente, por favor, continuemos con el siguiente sub-tema de límites 10.4
“Continuidad aplicada a discontinuidades”del texto básico, y resuelva los ejercicios 1.4.1.
Caso contrario, le sugiero remitirse a la bibliografía básica capítulo 10 sección 10.3 o en la
bibliografía complementaria y revise nuevamente los temas.
1.3. Continuidad aplicada a las desigualdades
La continuidad también está presente dentro de las desigualdades y se la usa para resolver problemas
con desigualdades. En el apartado 10.3 de su texto básico usted puede encontrar detalladamente la
forma de solucionar este tipo de problemas y el concepto de desigualdad.
Una vez revisados estos temas resuelva los ejercicios 1.3:
Ejercicios 1.3:
C
C
C
Si es así una vez resueltos todos los ejercicios 1.1, 1.2, 1.3 propuestos durante el repaso de
ésta Unidad 1, le sugiero ir al Anexo B donde usted podrá comprobar las respuestas de
cada uno de los ejercicios planteados. Si al comparar sus respuestas se siente satisfecho,
continúe con el desarrollo de la autoevaluación.
Caso contrario, le sugiero remitirse nuevamente a la bibliografía básica y complementaria
para volver a revisar los temas que aún no estén claros.
Al culminar la Unidad N° 1 es necesario realizar una evaluación de lo aprendido, esto nos
indicará el nivel de aprendizaje que ha alcanzado y al final de ello reforzará los aspectos en
los que presente una mayor dificultad.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Autoevaluación 1
Coloque una X en el casillero que corresponda, según el enunciado sea verdadero (V) o falso (F)
1. ( ) Se puede considerar como límite de una función cuando x se aproxima a un número
que está fuera del dominio.
2. ( ) En el momento de evaluar un límite no es importante cuando x es igual a ɑ, sino solo
cuando x es cercana a ɑ en f(x).
3. ( ) Existen dos formas de estimar límites: gráfica y por medio de sus propiedades
4. ( ) El límite de una función constante es igual a la función más la constante.
5. ( ) Cuando una función no presenta pausa alguna, en sus gráficas se denomina
continuidad.
6. ( ) Para que una función sea discontinua en ɑ, el límite de f(a) debe existir.
7. ( ) Una función polinomial es discontinua sobre su dominio.
8. ( ) Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es 0, y es
continua en cualquier otra parte.
9. ( ) Las funciones exponenciales no tienen discontinuidades.
10. ( ) Las funciones logarítmicas son continuas.
MUY BIEN! SIGA ADELANTE.
Si dentro de la evaluación le surgió alguna duda revise nuevamente los temas y trabájelo con su
profesor.
Ahora si podemos continuar con la segunda unidad. GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
UNIDAD2.DERIVADAS
Estimado estudiante luego de haber aprendido los temas referentes a continuidad y límites es momento
de introducirnos aún más en el mundo del cálculo a través de la diferenciación o derivadas.
A continuación esquematizamos cada tema de diferenciación con sus subtemas respectivamente:
2.1 Derivada: Definición, representación, ejercicios
2.2 Reglas de la derivación: Definición, ejercicios
2.3 Regla del producto y del cociente: ejercicios
2.4 Regla de la cadena y de la potencia: ejercicios
Listo, entonces revisemos los sub-temas indicados con respecto a Derivadas.
¡Bien! Es momento de comenzar con la definición, representación y algunos ejemplos acerca de las
derivadas.
2.1. Definición de Derivada
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Representación
Al igual que los límites las derivadas y=f(x)también tienen varias formas de representación, le invito a que
revise su texto básico en la página 484 donde se detallan varias formas de notación para una derivada.
Para nuestro estudio usaremos las que se muestran a continuación:
Ejemplo: Si f(x) = x2
, encuentre la derivada de f.
ACTIVIDAD RECOMENDADA
Desarrollar los ejercicios 2.1 de repaso sobre “Derivadas” usted los podrá encontrar en el
capítulo 11, problemas 11.1 de su texto básico páginas 488-489.
Ejercicios 2.1
Analice el capítulo 11: Diferenciación, en este encontrará los conceptos fundamentales de
diferenciación. Páginas 480-520.
Apreciado estudiante, si usted respondió correctamente le invito a continuar con el tema las reglas de
derivación.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
2.2. Reglas de la derivación
Para desarrollar la diferenciación directa de una función por medio de la definición de derivada, existen
reglas que evitan el uso directo de límites, a continuación detallaremos cuatro de ellas, las mismas que
se encuentran ampliamente explicadas en su texto básico páginas 489-495.
Ejemplo Regla 1:
, porque 5 es una función constante
Ejemplo Regla 2:
Ejemplo Regla 3:
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Ejemplos Regla 4:
1. Calcular la derivada de f(x)= 7x4
-2x3
+8x+5
2. Calcular la derivada de y=3x-4
-3x4
Ordenando
Estimado alumno, luego de revisar el capítulo 11, entenderemos que la diferenciación nos permite
encontrar el límite, es decir la continuidad en cualquier punto.Y el proceso para encontrar la derivada se
llama diferenciación.
Recuerde: Si una función es continua no es derivable pero una función derivable siempre
será continua. ¿Puede usted explicar por qué?, si no es así, revise nuevamente el tema a
partir de la página 480.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Desarrollar los ejercicios 2.2 de repaso sobre “Reglas de diferenciación” usted los podrá
encontrar en el capítulo 11, problemas 11.2 de su texto básico páginas 496-497.
Ejercicios 2.2
C
C
C
¡Muy Bien!, si usted respondió correctamente a los ejercicios, continuemos con algunas de las reglas
adicionales importantes para el estudio de esta asignatura.
2.3. Regla del producto y regla del cociente
Tal vez usted notó durante el desarrollo de las actividades recomendadas que se presentan funciones en
forma de multiplicación o división ¿Cree usted que se pueden resolver por las reglas básicas hasta ahora
estudiadas?
Pues está en lo cierto, no se pueden resolver. Para estas funciones existen dos reglas que nos permiten
derivar de una manera sencilla, en su texto básico se explican de manera amplia desde la página 506 a
la 513.
¿Ahora ya conoce de qué se trata cada una de estas reglas?
¡Bien!. Estimado alumno le propongo una forma más sencilla de recordar la Regla del producto.
Recuerde: La derivada de un producto es igual a la primera función por la derivada de la
segunda, más la segunda función por la derivada de la primera, es decir:
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Ejemplo regla del producto:
1. Hallar la derivada de f(x)=(3x-2x²)(5+4x)
Primer término f(x)=( 3x-2x²)
Segundo término g(x)= (5+4x)
Simplificando
= 4x - 24x2
+ 15
Ordenando
f'(x) = - 24x2
+ 4x + 15
Recuerde: La regla del cociente, la segunda función por la derivada de la primera, menos
la primera función por la derivada de las segunda; dividido para la segunda función elevada
al cuadrado, es decir:
Ejemplo regla del cociente:
1. Hallar la derivada de y= aplicando la regla del cociente.
Donde f(x)= 2x+5 ; g(x)= 3x-2
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Simplificando
Al inicio estas reglas suelen parecer muy complicadas y extensas. Una vez que se familiarice y se haga
la aplicación de las mismas, usted se dará cuenta que simplemente se aplican las reglas básicas de la
derivación.
Desarrollar los ejercicios 2.3 de repaso sobre “Regla del producto y regla del cociente” usted
los podrá encontrar en el capítulo 11, problemas 11.4 de su texto básico páginas 513-514.
Ejercicios 2.3
Si resolvió correctamente todos los ejercicios, puede continuar con el siguiente tema “La regla
de la cadenas y regla de la potencia”. Pero si aún tiene dificultad revise nuevamente en su texto
básico, o contacte al profesor para despejar sus dudas.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
2.4. La regla de la cadena y la regla de la potencia
2.4.1. La regla de la cadena
La regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Para iniciar
este tema revisemos que es una función compuesta.
Una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos
funciones.
Luego revise su texto básico en la página 515-517 donde obtendrá más información y ejercicios acerca
de la regla de la cadena.
Ejemplo:
¿Puede usted resolver esta función con las reglas básicas?, ¿Qué regla básica aplicaría? Como se puede
observar, está función no se puede resolver por las reglas básicas ya que no existe ninguna que nos
indique cómo resolver una función elevada a un exponente.
En este momento es útil la regla de la cadena ya que esta nos permite, utilizar la función auxiliar y adaptar
la función a las reglas básicas de derivación, para ello hacemos el siguiente reemplazo:
Ahora ya tenemos una función la cual podemos resolver por las reglas básicas de derivación. Aplicando
la fórmula de la regla de la cadena tenemos:
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Como usted se da cuenta, se ha resuelto las derivadas, sin embargo no podemos dejarla ahí. Debemos
colocar todos los términos en función de la variable original, para esto reemplazamos las variables u y
dejamos todo en función de x.
2.4.2. La regla de la potencia
A partir de la regla de la cadena surge un caso especial llamado la regla de la potencia. La siguiente regla
llamada regla de la potencia, generaliza el resultado y es un caso especial de la regla de la cadena:
En su texto básico a partir de la página 517 puede encontrar ejercicios de este tipo para lograr una mejor
comprensión.
Ejemplo:
Esta es otra ecuación que no se puede resolver por las reglas básicas de derivación. Lo primero que se
debe realizar es reescribir la función, ya que no existe ninguna regla de derivación para la raíz cuarta, sin
embargo, recordando un poco, las raíces se pueden expresar como exponentes de la siguiente forma:
Ahora ya podemos utilizar la regla de la potencia. Así tenemos:
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Ahora le recomiendo revisar los siguientes ejemplos, los mismos que están aplicados a las ciencias
ambientales.
Ejemplo: Forestación
Estimar la cantidad de madera que produce el tronco de un árbol, el mismo que tiene la forma de cono
truncado como indica la figura.
Siendo r, el radio de la guía superior; R el radio de la guía inferior y h la altura.
Recordando que el volumen V de un tronco de cono está dado por la expresión:
¿Cuál es la rapidez de variación del volumen V en el momento en que r=80cm, R=100cm y h=3m, si el
incremento de r es de 20 cm/año, el incremento de R es de 30cm/año y el de h de 40cm/año?t
El volumen del tronco de cono al cual asimilamos la cantidad de madera que puede extraerse de un
árbol está dado por la fórmula [1]
.
Deseamos calcular siendo h.R y r funciones del tiempo t.
Derivamos entonces la relación [1]
que cumple .
Obtenemos:
Sustituyendo en [2]
los valores dados:
Se tiene:
La cantidad de madera que produce el árbol es aproximadamente de 5,295
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Ejemplo Contaminación:
Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m³ de
petróleo.
Calcular con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m, si el espesor
disminuye a razón de 10 en el instante en que R=50m.
Podríamos pensar en hallar la expresión R(t) para derivarla posteriormente.
Sin embargo no se indica como dato del problema la forma en que el espesor h varía con el tiempo por
lo que no lograremos encontrar R(t).
Para ello se debe encarar el ejercicio partiendo de la relación entre R y h que nos proporciona el volumen
de la mancha que sabemos se mantiene constante.
Tendremos:
Derivamos ambos miembros de la igualdad [1]
respecto de (t):
Como V es constante, es decir independiente de t, sabemos que : lo que nos permite concluir [2]
que:
Despejando obtenemos:
Como tenemos el dato de que la altura de la mancha disminuye a razón de 10 será:
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
De la relación [1]
, h=
Como V=100m³, R=50m, h=
Sustituyendo valores en la ecuación [3]
se tiene finalmente:
La velocidad con que aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m, es aproximado a los
20 .
Estimado estudiante, como parte del estudio revise en su texto básico: derivadas de las funciones
logarítmicas, exponenciales y trigonométricas de la página 529 a la 532, y las derivadas de orden superior
en la página 557. Luego realice la siguiente actividad recomendada.
Le sugiero desarrollar los siguientes ejercicios de repaso 2.4 y los problemas 11.5 sobre “Regla
de la cadena y regla de la potencia” usted los podrá encontrar en el capítulo 11, de su texto
básico página 521.
Ejercicios 2.4
C
C
C
Si es así una vez resueltos todos los ejercicios 2.1, 2.2, 2.3 y 2.4 propuestos durante el repaso
de ésta Unidad 2, le sugiero ir al Anexo C donde usted podrá comprobar las respuestas de
cada uno de los ejercicios planteados. Si al comparar sus respuestas se siente satisfecho,
continúe con el desarrollo de la autoevaluación.
Una vez concluida la revisión de la Unidad N° 2 es necesario realizar una evaluación de lo
aprendido, esto nos indicará el nivel de aprendizaje que ha alcanzado y al final de ello
reforzará los aspectos en los que presente una mayor dificultad.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Autoevaluación 2
1. ( ) La derivada de una constante es siempre la constante por n+1.
2. ( ) “derivada de x con respecto a y”.
3. ( ) La diferenciabilidad en un punto implica continuidad, pero la continuidad no implica
diferenciabilidad.
4. ( ) La pendiente de una curva en un punto P es igual a la pendiente de la recta tangente
en P, en caso de que exista.
5. ( ) La regla de la cadena se aplica a una composición de funciones
6. ( ) Una recta secante es una línea que interseca una curva en dos o más puntos.
7. ( ) Si f es diferenciable en a entonces es discontinua en todo su dominio.
8. ( ) La regla de la potencia es un caso especial de la regla de la cadena.
9. ( ) La regla del producto establece: la derivada de un producto es igual a, la primera
función por la segunda menos la primera función por la derivada de la segunda.
10. ( ) La derivada de x elevada a una potencia constante f(x)=xn se denomina función
potencia.
İMUY BIEN! SIGA ADELANTE.
Si dentro de la evaluación le surgió alguna duda revise nuevamente los temas y consúltelo con su
profesor.
Ahora si podemos continuar con la tercera unidad.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
UNIDAD3.INTEGRALES
Estimado estudiante hemos llegado a la parte final del primer bimestre. En esta unidad aprenderemos
integrales, siendo esta una rama fundamental de la asignatura de cálculo esto nos permitirá estudiar dos
problemas clásicos del análisis matemático.
Ÿ
Ÿ El cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas.
Ÿ
Ÿ Obtención de primitivas de una función
A continuación esquematizamos cada tema de integración con sus subtemas respectivamente:
3.1 Funciones de varias variables: Definición, representación, ejemplos, ejercicios
3.3 Métodos y técnicas de integración: Definición, ejemplos, ejercicios
3.3 Integrales definidas: Definición, ejemplos, ejercicios
3.4 Área bajo la curva
3.5 Integración numérica
Listo, entonces revisemos los sub-temas de Integrales indicados. Para iniciar con el estudio de
integrales, refiérase a su texto básico en el capítulo 14 desde la página 618 a la 622.
¡Muy bien!, apreciado estudiante iniciemos con la definición de integral su representación y algunos
ejemplos.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
3.1. Definición de Integral
Antiderivación o integración es el procedimiento en el cual partiendo de la diferencial de una función se
busca encontrar la función de la cual se constituye dicha diferencial.
3.1.1. Representación
Figura 2. Representación de una integral. Fuente el autor.
Se lee: integral o antiderivada de la función f con respecto a x.
3.1.2. Integrales indefinidas
Seguidamente veremos las reglas básicas de integración, para ellos le recomiendo revise una a una las
reglas y desarrolle los ejercicios individuales propuestos. Su texto básico presenta en las páginas 623-
638 ejercicios y la explicación de cada regla. Así mismo usted encontrará en las tablas 14.1 y 14.2 las
reglas de integración.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
En estos ejemplos presentamos varias reglas de integración: integral de una constante, integral de una
potencia, integral de una constante por una función, la integral de la suma y diferencia. Para profundizar
en este tema le sugiero revisar los ejemplos adicionales de su texto básico en las páginas 634 a la 638.
Recuerde, siempre que hablamos de integrales indefinidas se debe usar la constante de integración.
Ejercicios 3.1
C
C
C
Si resolvió correctamente todos los ejercicios, puede continuar con el siguiente sub-tema
“Métodos y técnicas de integración”. Pero si aún tiene dificultad revise nuevamente en su
texto básico, o contacte al profesor para despejar sus dudas.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Analice el capítulo 14: Integración, en las páginas 618-638 de su texto básico encontrará los
conceptos fundamentales y ejemplos basados en las reglas de integración.
3.2. Métodos y técnicas de integración
3.2.1. Método de sustitución
Cuando se nos presentan integrales que no podemos resolver por las reglas básicas de integración es
necesario utilizar el método de sustitución. En su texto básico encontrará en detalle está técnica en las
páginas 640-643.
A continuación detallamos los pasos para resolver integrales por medio de este método.
1. Tomamos una variable diferente de la utilizada (u ó v)
2. Asignamos a la nueva variable la parte más larga o compleja de la integral
3. Derivamos
4. Despejamos dx
Ejemplo:
1. Re-escribimos la función.
2. Tomanos la variable diferente
u
3. Asignamos la parte más compleja a U y la reemplazamos en la función
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
4. Derivamos y despejamos dx
5. Reemplazamos en la función
6. Integramos
7. Debemos dejar el resultado en función de la variable incial en este caso x
Laclavedeestemétodoestáenanalizarlafunciónpormediodelmétododesustitución,lograrsimplificar
mayor cantidad de términos.
Ejercicios 3.2
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
3.2.2. Técnica de integración por partes
Consiste en realizar una doble sustitución, y se basa en la regla de la derivada del producto. En su texto
básico capítulo 15, página 684 encontrará en detalle técnica.
A continuación describimos los pasos para resolver integrales por medio de la integración por partes.
1. Re-escribimos la función
2. Tomamos dos variables diferentes a la que utilizamos (u o v)
Fórmula de integración por partes
Ejemplo:
Aplicando ahora la fórmula:
Esta técnica es útil para funciones logarítmicas y exponenciales. Para una mejor comprensión del tema
le invito a desarrollar la siguiente actividad.
Desarrollar los ejercicios 3.2.2 de repaso sobre “Integración por partes”, ejercicios adicionales
usted los podrá encontrar en el capítulo 15, problemas 15.1 de su texto básico páginas 688.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Ejercicios 3.2.2
3.2.3. Integración por tablas
Para una explicación detallada de este método refiérase a la página 695, sección 15.3 de su texto básico
y al apéndice C para revisar las tablas de integración.
3.3. Integrales definidas
Su texto básico presenta toda una unidad para desarrollar ejercicios y conceptos respecto a este tema.
Revise el apartado 14.6 La integral indefinida en lo relacionado a conceptos y en la página 654 revise las
propiedades de toda integral definida, a continuación mostramos la representación de una integral así
como la forma de resolver.
Forma de resolver:
1. Se realiza la integración de manera normal con los métodos y procedimientos planteados.
2. Luego se evalúa el resultado para los límites.
Ejemplo:
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Procedemos a resolver como si fuera una integral indefinida, de la siguiente manera.
Luego aplicamos la fórmula para resolver las integrales definidas ls-li:
Desarrollar los ejercicios 3.3 de repaso sobre “Integrales definidas”, ejercicios adicionales
usted los podrá encontrar en el capítulo 14, problemas 14.7 de su texto básico en las páginas
657 a la 658.
Ejercicios 3.3
C
C
C
Apreciado estudiante, si resolvió correctamente todos los ejercicios, puede continuar con los
sub-temas “Área bajo la curva e integración numérica”. Pero si aún tiene dificultad revise
nuevamente en su texto básico, o contacte al profesor para despejar sus dudas.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
3.4. Área bajo la curva
Las integrales definidas nos permiten evaluar uno de los más grandes problemas dentro de cálculo que
es el área bajo la curva. Para esto iniciaremos nuestro estudio definiendo que es área.
Revise el apartado 14.9 en la página 664 hasta la página 672, donde podrá encontrar varios ejercicios
respecto a este tema.
Ejemplo: Encontrar el área de la región limitada por
1. Se realiza la representación gráfica.
2. Se resuelve el sistema entre las dos ecuaciones: se tiene que x=4,
y=3; x=1,y=0. Luego tomando rectángulos verticales:
3.5. Integración numérica
Ahora pasaremos al estudio de los procedimientos numéricos para hallar una integral definida a la cual
no se le puede dar solución por medio de las reglas básicas. Existen dos técnicas de integración: la regla
de los trapecios y la regla de Simpson.
La diferencia entre estas dos radica en el número de divisiones que requieren y el patrón de coeficientes.
Le pido revisar el apartado 14.8 en la página 659 hasta la 663 donde se pueden apreciar claros de la
forma de resolver.
Desarrollar los ejercicios de repaso sobre “Áreas” propuestos en el texto básico usted los podrá
encontrar en el capítulo 14, problemas 14.9 y 14.10 en las páginas 667-668 y 673-674.
Desarrollar los ejercicios 3.5 de repaso sobre “Integración numérica”, ejercicios adicionales usted
los podrá encontrar en el capítulo 14, problemas 14.8 de su texto básico en las páginas 659 a la 663.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Ejercicios 3.5
C
C
C
Apreciado estudiante, si usted respondió correctamente todos los ejercicios 3.1, 3.2, 3.2.2,
3.3 y 3,5 propuestos durante el repaso de ésta Unidad 3, le sugiero ir al Anexo D donde
comparar sus respuestas se siente satisfecho, continúe con el desarrollo de la
autoevaluación.
Al culminar la Unidad N° 3 es necesario realizar una evaluación de lo aprendido, esto nos
indicará el nivel de aprendizaje que ha alcanzado y al final de ello reforzará los aspectos en
los que presente una mayor dificultad.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

PRIMER BIMESTRE
Autoevaluación 3
1. ( ) Una integral indefinida se puede evaluar por la regla de los trapecios.
2. ( ) Toda integral definida tiene un valor distinto de cero.
3. ( ) Cualquier función posee integral indefinida o definida.
4. ( ) La integral de 0 es C.
5. ( ) La regla de Simpson es proceso numérico de integración.
6. ( ) Los elementos representativos para hallar el valor de una integral son los rectángulos.
7. ( ) La integral de una función es un intervalo dado representa, necesariamente el valor
de área bajo la curva en dicho intervalo.
8. ( ) No existen integrales definidas de valor mínimo.
9. ( ) La integral de un producto no es igual al producto de las integrales de las funciones
consideradas.
10. ( ) Cualquier función se puede integrar por partes.
İMUY BIEN!, SIGA ADELANTE.
Si dentro de la evaluación le surgió alguna duda revise nuevamente los temas y consúltelo con su
profesor.
Finalizamos con el aprendizaje del primer bimestre.
Felicidades por la dedicación en este Primer Bimestre. Adelante y Éxitos.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
SEGUNDO BIMESTRE
6.5. Competencias genéricas de la UTPL
Ÿ
Ÿ Comunicación oral y escrita.
Ÿ
Ÿ Orientación a la innovación y a la investigación.
Ÿ
Ÿ Pensamiento crítico y reflexivo.
Ÿ
Ÿ Trabajo en equipo.
Ÿ
Ÿ Compromiso e implicación social.
Ÿ
Ÿ Organización y planificación del tiempo.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
6.6.
Planificación
para
el
trabajo
del
alumno
Competencias
específicas
de
Titulación
Competencias
específicas
del
componente
educativo
Contenidos
Actividades
de
aprendizaje
Indicadores
de
aprendizaje
Tiempo
de
dedicación
Unidades
•
Conocer
los
conceptos,
principios
y
teorías
fundamentales
del
trazado
de
curvas,
aplicando
técnicas
de
estudio
eficaz.
•
Formular
planes
para
evaluar
y
valorar
impactos
ambientales,
así
como
prevenir,
minimizar,
mitigar
y
compensar
sus
efectos
•
Comprender
y
aplicar
el
conocimiento
de
cálculo
en
la
solución
de
problemas
cualitativos
y
cuantitativos.
•
Planificar,
diseñar
y
ejecutar
proyectos
de
investigación
aplicados
al
ámbito
de
la
biología
y
medio
ambiente.
•
Levantar,
analizar
e
interpretar
información
de
campo.
•
Valorar
bienes
y
servicios
ambientales.
•
Comprender
los
fundamentos
teóricos
matemáticos,
físicos,
químicos,
bioquímicos
y
biológicos
aplicados
a
los
procesos
ambientales.
•
Describir
la
problemática
ambiental
global,
nacional
y
local;
e
identificar
las
herramientas
para
abordar
los
problemas
ambientales.
•
Obtener,
describir,
analizar
y
modelar
datos
socio-
ambientales,
utilizando
herramientas
informáticas.
UNIDAD
4.
Trazado
de
Curvas
4.1.
Extremos
relativos
4.1.1.
Máximos
y
mínimos
relativos
4.1.2.
Máximo
absoluto
4.2.
Concavidad
4.3.
Prueba
de
la
segunda
derivada
Autoevaluación
N°
4
1.
Revisar
la
cuarta
unidad
de
la
guía
didáctica
y
lea
el
capítulo
13
de
su
texto
básico.
2.
Resolver
los
problemas
4.1,
4.2
y
4.3
de
su
guía
tomados
del
texto
básico.
3.
Realizar
un
resumen
de
la
unidad
mediante
un
cuadro
sinóptico.
4.
Interactuar
con
el
EVA.
5.
Iniciar
con
el
desarrollo
de
la
evaluación
a
distancia
Aplica
los
conceptos
básicos
de
trazado
de
curvas,
para
caracterizar
y
graficar
funciones
de
variables.
Aplica
de
manera
correcta
los
cálculos
necesarios
para
graficar
curvas
de
funciones.
Semana
1
y
2
8
horas
de
estudio
8
horas
de
interacción
UNIDAD
5.
Cálculo
multivariable
5.1.
Funciones
de
varias
variables
5.1.1.
Funciones
y
dominios
5.2.
Derivadas
parciales
5.3.
Optimización
5.3.1.
Máximos
y
mínimos
para
funciones
de
dos
variables
5.4.
Aplicación
de
las
derivadas
parciales.
Autoevaluación
N°
5
1.
Revisar
la
quinta
unidad
de
la
guía
didáctica
y
lea
el
capítulo
17
de
su
texto
básico.
2.
Resolver
los
problemas
5.1,
5.2
y
5.3
de
su
guía
tomados
del
texto
básico.
3.
Realizar
un
resumen
de
la
unidad
mediante
un
cuadro
sinóptico.
4.
Interactuar
con
el
EVA.
5.
Continuar
con
el
desarrollo
de
la
evaluación
a
distancia
Resuelve
problemas
de
optimización
con
varias
variables.
Resuelve
ejercicios
de
cálculo
multivariable.
Analiza
y
resuelve
problemas
con
derivadas
parciales.
Semana
3
y
4
8
horas
de
estudio
8
horas
de
interacción
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Competencias
específicas
de
Titulación
Competencias
específicas
del
componente
educativo
Contenidos
Actividades
de
aprendizaje
Indicadores
de
aprendizaje
Tiempo
de
dedicación
Unidades
UNIDAD
6.
Ecuaciones
diferenciales
6.1.
Definición
6.2.
Origen
de
las
E.D
6.3.
Tipos
de
E.D
6.4.
Tipos
de
soluciones
en
E.D
6.5.
Formato
de
resolución
de
E.D
Autoevaluación
N°
6
1.
Revisar
la
sexta
unidad
de
la
guía
didáctica
y
lea
el
capítulo
15
secciones
15.5
y
15.6
del
texto
básico.
2.
Resolver
los
problemas
6.1
de
su
guía
tomados
del
texto
básico.
3.
3.
Realizar
un
resumen
de
la
unidad
mediante
un
cuadro
sinóptico.
4.
4.
Interactuar
con
el
EVA.
5.
5.
Continuar
con
el
desarrollo
de
la
evaluación
a
distancia
Analiza
y
resuelve
sistemas
de
ecuaciones
diferenciales
por
diferentes
métodos.
Aplica
de
forma
correcta
las
fórmulas
para
realizar
cálculos
en
análisis
ambientales.
Semana
5
y
6
8
horas
de
estudio
8
horas
de
interacción
Repaso
de
las
Unidades
de
4
a
6
Prepararse
para
la
evaluación
presencial
1.
Realizar
un
estudio
global
del
segundo
bimestre.
2.
Desarrollar
las
actividades
recomendadas
en
la
guía
didáctica.
3.
Resolver
los
ejercicios
propuestos
en
el
texto
básico.
4.
4.
Interactuar
con
el
EVA
Semana
7
y
8
8
horas
de
estudio
8
horas
de
interacción
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
6.7. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias
Estimado estudiante iniciaremos con el estudio de los contenidos específicos del segundo bimestre del
componente Cálculo para las ciencias biológicas. Se le sugiere que siga las recomendaciones expuestas
en las orientaciones generales para el estudio.
Para llegar al éxito en este componente educativo, es necesario combinar adecuadamente los recursos
con los que usted cuenta: texto básico, guía didáctica, evaluaciones a distancia y otros recursos que la
UTPL pone a su disposición para incrementar sus conocimientos y facilitar su aprendizaje.
¡No se desanime, ponga mucho empeño, usted es capaz de lograrlo, tenga fe en usted mismo y verá
como alcanzará el éxito…!
UNIDAD4.TRAZADODECURVAS
Apreciado estudiante, hemos llegado a uno de los puntos cruciales en el análisis de nuestra asignatura
por lo que a partir de la presente unidad, utilizaremos todos los conocimientos adquiridos durante el
primer bimestre, por eso le recomiendo revise nuevamente los temas anteriores para tener una idea más
fresca de lo aprendido.
A continuación esquematizamos cada tema de Trazado de curvas con sus subtemas respectivamente:
4.1 Extremos relativos: Función creciente y decreciente, ejemplo, Actividad recomendada
4.1.1 Máximo y mínimo relativo (o extremos relativos): Definición, Ejemplo
4.1.2 Máximo absoluto (o extremos absolutos): Definición, Ejemplo
4.2 Concavidad: Definición, criterio, ejemplo, Actividad recomendada
4.4 Prueba de la segunda derivada: Definición, ejemplo, Actividad recomendada
Listo, entonces revisemos los sub-temas de Trazado de curvas indicados.
¡Muy bien!, vamos a iniciar con el estudio de esta unidad con la que se pretende revisar conceptos básicos
referentes al trazado de curvas, para despejar cualquier inquietud que encuentre en el estudio de los
posteriores capítulos, tales como Ecuaciones diferenciales y Cálculo multivariable. Cabe indicar que usted
debe revisar los capítulos correspondientes a cada temática en el texto básico capítulo 13 de acuerdo a
la planificación antes descrita.
La aplicación del cálculo permite descubrir los aspectos más interesantes de las gráficas y en muchos
casos, calcular exactamente los puntos máximos/mínimos y los puntos de inflexión, y no solo en forma
aproximada.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

SEGUNDO BIMESTRE
Para trazar una curva se necesitan conocer algunos conceptos básicos como: dominio, intervalo, simetría,
Límites, continuidad, asíntotas, derivadas, tangentes, valores extremos, intervalos de incremento y
decremento, concavidad y puntos de inflexión; todo esto nos revela las características importantes de
las funciones (Ver glosario).
Antes de iniciar, es preciso se dirija a su texto básico capítulo 13“Trazado de curvas” y realice su
primera lectura de las páginas 566 a la 571 para profundizar su aprendizaje en el sub-tema
sobre“Extremos relativos”.
4.1. Extremos relativos
Naturaleza creciente y decreciente de una función
Función creciente: una función f es creciente en el intervalo y cuando, para cualesquiera dos números
x1
,x2
, en y, x1
<x2
, entonces f(x1
)< f(x2
).
Función decreciente: una función f es decreciente en el intervalo y cuando, para cualesquiera dos
números x1
, x2
en y, si x1
<x2
, entonces f(x1
)> f(x2
).
Figura 3. Extremos relativos. a) Función creciente. b) Función decreciente. Fuente: el autor.
En términos de la gráfica de la función f es creciente en y si la curva se eleva hacia la derecha y f es
decreciente en y si la curva cae hacia la derecha.
¿Qué es lo que debe realizar?
Estrategia para hallar los intervalos donde la función es creciente o decreciente
1. Localizar los números críticos de f en (a, b).
2. Determinar los intervalos de prueba limitados por los puntos críticos.
3. Determinar el signo de f’(x) en un valor x en cada uno de los intervalos de prueba.
4. De acuerdo al signo obtenido, decidir si f es creciente o decreciente.
GLOSARIO
ANEXOS
SOLUCIONARIO
SEGUNDO
BIMESTRE
PRIMER
BIMESTRE
PRELIMINARES
ÍNDICE

calculo.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a calculo.pdf

Similar a calculo.pdf (20)

Más de francisco cueva mendoza

Más de francisco cueva mendoza (9)

Último

Último (20)

calculo.pdf