Presentación diapositivas de calculo diferencial para administracion

1. CÁLCULO INTEGRAL Y
DIFERENCIAL
Mgs. Francisco
Cueva

4. Cálculo diferencial
O En el cálculo diferencial utilizamos la palabra derivada como
identificación, la derivada esta relacionada con la pendiente
de una recta tangente en un determinado punto de una
función, en otras palabras la derivada en un determinado
punto de una función al valor de la pendiente de la recta
tangente en ese punto.

5. Interpretación gráfica
Rectas
secante
s
Recta
tangente

6. P1(x , f(x))
x
f(x)
P2(x+h , f(x+h)
x+h
f(x+h)
- - - - - - h - - - - -
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
m =
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
𝑥 + ℎ − 𝑥
𝑚 =
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝒎𝒕𝒂𝒏 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
h
0

7. Ejemplo 1
O Encuentre la pendiente de la recta tangente a la
función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 cuando x=2.
𝒎𝒕𝒂𝒏 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
𝒎𝒕𝒂𝒏 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
= 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒙 + 𝒉 𝟐 − 𝒙𝟐
𝒉
= 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒉 + 𝒉𝟐 − 𝒙𝟐
𝒉
𝒎𝒕𝒂𝒏 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝟐𝒙𝒉 + 𝒉𝟐
𝒉
= lim
𝒉→𝟎
𝒉(𝟐𝒙 + 𝒉)
𝒉
= lim
𝒉→𝟎
𝟐𝒙 + 𝒉 = 𝟐𝒙 + 𝟎 = 𝟐𝒙
𝒎𝒕𝒂𝒏 = 𝟐𝒙 = 𝟐 𝟐 = 𝟒

8. 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
𝒎𝒕𝒂𝒏

9. Velocidad instantánea
Suponemos que un auto P se mueva a lo largo del eje x, de manera que
la posición al instante t viene dada por s=f(t)
to=t
f(t)
h t1=t+h
f(t+h)
𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚 =
Δ𝑓(𝑡)
Δ𝑡
=
𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓(𝑡)
𝑡 + ℎ − 𝑡
=
𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓(𝑡)
ℎ
h
0
𝑉𝑖𝑛𝑠𝑡 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓(𝑡)
ℎ

10. Un objeto inicialmente en reposo cae debido a la acción de la gravedad
Determine su velocidad instantánea en t= 3,8 s.
La ecuación que representa la caída de un cuerpo en función del
Tiempo es h 𝑡 = 4,9𝑡2 𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑉𝑖𝑛𝑠𝑡 = lim
ℎ→0
4,9(𝑡 + ℎ)2
−4,9𝑡2
ℎ
= lim
ℎ→0
4,9(𝑡2
+ 2𝑡ℎ + ℎ2
) − 4,9𝑡2
ℎ
Vinst = lim
ℎ→0
4,9𝑡2
+ 9,8𝑡ℎ + 4,9ℎ2
− 4,9𝑡2
ℎ
= lim
ℎ→0
4,9ℎ2 + 9,8𝑡ℎ
ℎ
Vinst = lim
ℎ→0
ℎ(4,9ℎ + 9,8𝑡)
ℎ
= lim
ℎ→0
4,9ℎ + 9,8𝑡 = 9,8𝑡
𝑉𝑖𝑛𝑠𝑡 = 9,8𝑡 = 9,8 3,8 = 37,24 𝑚/𝑠
𝑉𝑖𝑛𝑠𝑡 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓(𝑡)
ℎ

11. Cálculo diferencial definición
formal
O Derivada: La derivada de una función f es otra
función f’ (léase f prima) cuyo valor en cualquier
número x es:
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓′ 𝑥 = 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛

12. Ejemplo 1
O Sea𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 7𝑥 encuentre la derivada de la función cuando
x= 6
𝑓′
𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2
−7(𝑥 + ℎ) − 𝑥2
− 7𝑥
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 7𝑥 − 7ℎ − 𝑥2 + 7𝑥
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
ℎ2 + 2𝑥ℎ − 7ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(ℎ + 2𝑥 − 7)
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ + 2𝑥 − 7
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
0 + 2𝑥 − 7 = 2𝑥 − 7 = 2 6 − 7 = 5
𝑓′ 𝑥 = 5

14. Notación de las derivadas
O f’(x)
O 𝐷𝑥f(x)
O
𝑑𝑦
𝑑𝑥
diferenciales
O
𝑑 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥

15. Reglas de la derivación

17. Ejemplos
1. Si f(x)=6 calcular f’(x)
f’(x)=0 porque f es una función constante
2. Si 𝒇 𝒙 = 𝟓𝒙𝟐 calcular 𝑫𝒙
𝐷𝑥𝑓 𝑥 = 𝐷𝑥5𝑥2 = 5 ∗ 𝐷𝑥𝑥2 = 5 ∗ 2𝑥2−1 = 10𝑥
3. Si 𝒇 𝒙 =2x calcular
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2𝑥 = 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
x=2(1)=2
4. Si 𝒇 𝒙 = −𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑 calcular 𝑫𝒙
𝐷𝑥𝑓 𝑥 = −𝐷𝑥 (𝑥2) + 𝐷𝑥( 5𝑥) − 𝐷𝑥 ( 3)
𝐷𝑥𝑓 𝑥 = −2𝑥2−1
+ 5 ∗ 𝐷𝑥( 𝑥) − 0
𝐷𝑥𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 5 ∗ 1
𝐷𝑥𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 5

19. Derivadas de funciones especiales

20. Hallar la derivada de 𝒉(𝒙) = (𝟑𝒙 − 𝟐𝒙𝟐
)(𝟓 + 𝟒𝒙)
𝑑ℎ(𝑥)
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
∙ 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 ∙
𝑑𝑔 𝑥
𝑑𝑥
𝑑ℎ(𝑥)
𝑑𝑥
=
𝑑 3𝑥 − 2𝑥2
𝑑𝑥
∙ 5 + 4𝑥 + 3𝑥 − 2𝑥2 ∙
𝑑(5 + 4𝑥)
𝑑𝑥
𝑑ℎ(𝑥)
𝑑𝑥
=
𝑑3𝑥
𝑑𝑥
−
𝑑𝑥2
𝑑𝑥
∙ 5 + 4𝑥 + (3𝑥 − 2𝑥2) ∙ (
𝑑5
𝑑𝑥
+
𝑑4𝑥
𝑑𝑥
)
𝑑ℎ(𝑥)
𝑑𝑥
= 3 − 2x . 5 + 4𝑥 + (3𝑥 − 2𝑥2
) ∙ (4)
𝑑ℎ(𝑥)
𝑑𝑥
= 15 + 12𝑥 − 20𝑥 − 16𝑥2 + 12𝑥 − 8𝑥2 = 15 + 4𝑥 − 24𝑥2

23. Aplica la regla del cociente

27. Deber Nro 2

33. Aplicaciones de la derivada

34. El costo total de la producción de q unidades de cierto producto se describe por medio de la
función C(𝑞) = 100 000 + 1 500𝑞 + 0,2𝑞²
donde C(q) es el costo total expresado en dólares.
a. Determina cuantas unidades q deberían fabricarse a fin de minimizar el costo promedio
por unidad.
b. Cual es el costo promedio mínimo de fabricación en este nivel de producción?
a. Costo promedio por unidad 𝐶𝑢 =
𝐶(𝑞)
𝑞
𝐶𝑢 =
100000
𝑞
+ 1500 + 0,2𝑞 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝐶′
𝑢 = −100000𝑞−2
+ 0,2 igualamos a cero
−100000𝑞−2 + 02 = 0 y determinamos 𝑞2 = 500000 ; 𝑞 = 707,11 unidad
b. El costo pronedio mínimo para este valor de unidad de producción es:
𝐶𝑢 =
100000
𝑞
+ 1500 + 0,2𝑞 =
100000
707,11
+ 1500 + 0,2 707,11 = 1782,8
=
100000
𝑞
+
1500𝑞
𝑞
+
0,2𝑞2
𝑞

35. Deber 4
2. Una compañia estima que la demanda anual de su producto fluctúa con su precio. La
función de demanda es q = 180.000 - 250 p donde q es el numero de unidades
demandadas y p el precio en dólares. El costo total de producir q unidades se estima con
la función C = 350 000 + 300q + 0,001q²
Determina:
¿Cuantas unidades q deberían producirse con objeto de maximizar la utilidad anual?.
Que precio debería fijarse?
.Cual se espera que sea la máxima utilidad anual?