Este documento resume los métodos de optimización con restricciones, incluyendo problemas con restricciones de igualdad y desigualdad. Explica el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización sujetos a restricciones, como encontrar la distancia mínima entre un punto y un plano definido por una ecuación. Aplica este método a un ejemplo para determinar analíticamente la distancia mínima entre el origen y el plano dado por una ecuación.

1. 1
Pedro García
CI: 16.659.967
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN PORLAMAR
ESCUELA DE SISTEMAS
METODOS DE OPTIMIZACION

2. OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES

3. PROBLEMAS CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD 1

4. EJEMPLO CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD 1

5. EJEMPLO CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD 1

6. PROBLEMA CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD 2

7. EJEMPLO CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD 2

8. EJEMPLO CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD 2

9. PROBLEMAS CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD 3

10. PROBLEMAS CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD 4

11. PROBLEMA DE PROGRAMACION NO-LINEAL NLP

12. CONDICIONES DE KUHN-TUCKER

13. INTERPRETACION DE LAS CONDICIONES DE KUHN-TUCKER

14. METODO DE LOS MULTIPICADORES DE LAGRANGE
Este es un método que permite encontrar valores extremos,
máximos o mínimos (maximizar o minimizar) de una función general
sometida o sujeta a alguna condición o restricción de la forma.
Ejemplo:
Determine cual es la distancia más corta entre el plano cuya ecuación es
y el punto origen del sistema.
Solución:
Del enunciado se obtiene que la función que se quiere minimizar, en este
caso, es la función distancia entre dos puntos de . Fíjese que el enunciado
establece: la distancia más corta, eso se refiere a la menor de las
distancias, a la mínima distancia entre dos puntos, donde uno de los
puntos es el origen y el otro punto debe estar sobre la superficie dada. Se
desea optimizar la distancia.

15. Entonces debemos escribir la llamada función distancia (d).
Además, se identifica la condición a cumplir o la restricción, eso es que el punto debe estar contenido en
el plano dado por:
Una observación muy importante y que nos ahorraría mucho tiempo y esfuerzo es que podemos trabajar
con la distancia al cuadrado, es decir la función a minimizar se puede escribir como:
el alumno deberá demostrar que esto es cierto. Para ello deberá trabajar con la ecuación normal
de la distancia y/o revisar bibliografías para llegar a comprender y concluir que se
obtienen los mismos valores.
Determinamos los gradientes.
a) primero de la función a minimizar, la función distancia:
dx= 2x
dy= 2y
dz= 2z
b) luego el gradiente de la restricción
Sx = 1
Sy = 2
Sz = 3
La ecuación de Lagrange se escribe: =

16. Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente:
……ec nº1
……ec nº2
……ec nº3, y además
……ec nº4
Se resuelve el sistema de ecuaciones a partir de la igualación de.
Al igualar las ecuaciones nº 1 y nº 2:
y queda: …ec nº 5
Al igualar las ecuaciones nº 1 y nº 3:
y queda: …ec nº 6
Se sustituyen las expresiones de restas dos variables en la ec nº 4 para que quede respecto de una
variable.
Se obtienen los valores de los otras dos variables:
Así que la distancia mas corta entre el punto (0,0,0) y el plano dado es:
( ) ( ) ( )222
7
18
7
12
7
6 ++=d 21.329,10 ≅≅