Este documento presenta la resolución de un problema de la vida cotidiana utilizando métodos numéricos. El problema consiste en determinar la frecuencia de autos que pasan por una intersección utilizando los métodos de Gauss y bisección. El método de Gauss resuelve el problema mediante ecuaciones lineales y matrices, mientras que el método de bisección utiliza un proceso iterativo de división de intervalos. Ambos métodos calculan la cantidad total de vehículos y sus porcentajes por hora. El documento incluye algoritmos, códigos en Matlab y resultados para validar las

1. 1
o
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
ESCUELA DE INGIENIERIA INFORMÁTICA
TEMA:
“PROBLEMA DE LA VIDA COTIDIANA: LA FRECUENCIA DE AUTOS QUE
PASAN POR UN DETERMINADO PUNTO RESUELTO MEDIANTE
METODOS NUMÉRICOS”
CURSO:
COMPUTACIÓN SIMBÓLICA Y NUMÉRICA
PROFESOR:
DIAZ PULIDO ARTURO
CICLO:
V
ALUMNO:
✓ CELIS JACINTO ROSA EULALIA
✓ RODRÍGUEZ MELÉNDEZ ERICK
✓ SAAVEDRA CARRERA JULIO
✓ SÁNCHEZ GÓMEZ WILLIANS
✓ ULLOA ORDAS MIGUEL
Trujillo – Perú
2018

2. 2
INDICE GENERAL
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES................................................................................................ 2
1 RESUMEN: ......................................................................................................................... 3
2 INTRODUCCIÓN: ............................................................................................................. 4
3 REALIDAD PROBLEMÁTICA: ...................................................................................... 5
4 INGENIERÍA DEL PROYECTO:.................................................................................... 5
4.1 Con referencia a los problemas de aplicación: ......................................................... 5
4.2 Con referencia al problema:....................................................................................... 6
4.3 Métodos de Resolución: .............................................................................................. 7
4.3.1 Método de Gauss.:............................................................................................... 7
4.3.2 Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana:................................. 8
4.3.3 Método de Bisección: ........................................................................................ 13
5 CONCLUSIONES............................................................................................................. 18
6 BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................... 19
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1. Tránsito vehicular....................................................................................... 6
Ilustración 2. Algoritmo del Método de Gauss................................................................. 9
Ilustración 3. Pseudocódigo del Método de Gauss.......................................................... 9
Ilustración 4. Código del Método de Gauss en Matlab ................................................. 10
Ilustración 5. Prueba del código con un ejemplo ........................................................... 11
Ilustración 6. Algoritmo del Método de Bisección......................................................... 14
Ilustración 7. Pseudocódigo del Método de Bisección................................................... 14
Ilustración 8. Código realizado en Matlab...................................................................... 15
Ilustración 9. Prueba del Código, resultados.................................................................. 15
Ilustración 10. Gráfica del código .................................................................................. 15

3. 3
1 RESUMEN:
En este trabajo nos hemos enfocado en darle una solución a un problema de la vida
cotidiana, que trata de buscar una solución a la frecuencia de autos que pasan por
un determinado punto, resuelto mediante métodos numéricos. Debemos de contar
cuantos vehículos transitan a una hora determinada; para ello empleamos dos
métodos de resolución: el método de gauss y el método de la bisección.
El primero consiste en resolver el problema a base de ecuaciones lineales,
transformarlo a una matriz y después hallar la cantidad de autos que circularon en
una hora determinada y también hallar su porcentaje para indicar en que horario
hay más circulación.
En el segundo método hallamos también la cantidad de vehículos y su porcentaje,
pero con el procedimiento distinto; ya que esta vez no se trabajaría con matrices
sino se estaría usando un método de corte para hallar nuestros valores.
Este trabajo fue realizado por medio del software matemático de Matlab, el cual
nos permitió la programación de ambos algoritmos orientados a la resolución de
nuestro problema.
Al finalizar nuestro trabajo pudimos concluir que no solo se puede hallar la solución
con un método, sino que con varios tipos. Es decir, varios métodos pueden
solucionar un problema, pero solo uno de ellos será el más óptimo para su resultado.

4. 4
2 INTRODUCCIÓN:
El uso de métodos matemáticos para la resolución de problemas cotidianos o
problemas numéricos no es algo reciente, ya desde antes de estas soluciones, la
mayoría de problemas han venido siendo solucionados gracias a estas técnicas,
para realizar este trabajo trabajamos con dos métodos ya conocidos como lo son
el método de gauss y el método de la bisección.
Se decidió utilizar este tipo de resolución para hallar una respuesta óptima y
adecuada, y para dar el resultado más acertado y que este mismo sea
corroborado con el otro método para evitar errores al momento de realizar los
cálculos respectivos.
El método de gauss nos permite resolver ejercicios a través de una matriz, no
utilizamos el método de Gauss-Jordán debido a que este realiza más pasos o
procesos para obtener los resultados que solicitamos.
Por otra parte, tenemos al método de la bisección o también conocido como el
método de intervalo medio, el cual se define que toda función continua en un
intervalo cerrado, toma los valores que se encuentran en dichas funciones.
A medida que vayamos avanzando en el desarrollo del trabajo, se detallará más
sobre este tema e iremos mostrando la implementación del código realizado en
Matlab, una herramienta matemática que nos permite hacer gráficos de una a
más dimensiones, mostrando con las pruebas respectivas a ambos métodos.

5. 5
3 REALIDAD PROBLEMÁTICA:
Una empresa de publicidad desea determinar la cantidad de autos que pasan por
la intersección de 2 calles para la colocación de un anuncio, el cual garantizara ser
visto por la mayor cantidad de personas (dentro de los vehículos) posibles.
Para los cual un empleado de dicha empresa tendrá el trabajo de observar
constantemente la cantidad de autos que pasan en una determinada hora (Hora
pico).
Mediante el software Matlab:
✓ Determinaremos mediante el método de Gauss (durante 6 días) y método
de bisección el total de autos que pasan entre las 7:00 a.m. y las 5:00 p.m.
4 INGENIERÍA DEL PROYECTO:
4.1 Con referencia a los problemas de aplicación:
Un problema es una situación que encierra una duda cuya respuesta
desconocida se puede hallar. El proceso de resolución de problemas requiere
capacidad de transferir experiencias pasadas a situaciones nuevas, para lo
cual es necesario:
➢ Analizar la nueva situación
➢ Determinar relaciones
➢ Seleccionar, entre los principios y conceptos conocidos, aquellos que
sirven para resolverla.
➢ Aplicar convenientemente estos principios. Para resolver un problema, se
debe de tener en cuenta las siguientes etapas:

6. 6
✓ Comprender el problema: se establecen incógnitas, datos, hay que
distinguir lo importante de lo superfluo en la información que nos
brindan.
✓ Concebir un plan: lo que nos permitirá, con los recursos disponibles,
encontrar la solución.
✓ Ejecutar el plan
✓ Examinar la solución obtenida
✓ Elaborar conclusiones: la solución que se acepta o rechaza permite
llegar a una conclusión, la que resuelve el problema y determina el
comienzo de una nueva investigación.
Hay que tener presente todo lo que se ha venido estudiando con relación a
matrices para que los datos que se nos da en cada problema se visualicen con
más comodidad y no sea tan complicada su resolución.
4.2 Con referencia al problema:
Tránsito Vehicular:
El concepto suele utilizarse para nombrar al movimiento de los vehículos
por una calle, una carretera u otro tipo de camino.
Ilustración 1. Tránsito vehicular

7. 7
Comúnmente causa el tráfico a lo cual ya una persona en Trujillo está
acostumbrada, pero a la vez genera un gran negocio para las empresas de
publicidad, la cual aprovechan los datos brindados para la ubicación
minuciosa de anuncios y general la mayor cantidad de vistas en los
peatones y conductores.
Una intersección vial hace referencia a aquellos elementos de la
infraestructura vial y de transporte donde se cruzan dos o más caminos.
Estas infraestructuras permiten a los usuarios el intercambio entre
caminos. El cruce de caminos se puede dar con una intersección a nivel o
con una intersección a desnivel.
4.3 Métodos de Resolución:
4.3.1 Método de Gauss.:
Permite la resolución de ecuaciones lineales de la forma:
Transformándola en una escalonado mediante transformaciones
elementales.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en
la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos
independientes

8. 8
4.3.2 Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana:
Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden
parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos
operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el método simple por
excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales
simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-
Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz
inversa.
En cambio, en el método de Gauss puede ocurrir división entre cero, errores
de redondeo, sistemas mal condicionados.

9. 9
4.3.2.1 Algoritmo
Ilustración 2 . Algoritmo del Método de Gauss
4.3.2.2 Pseudocódigo:
Ilustración 3. Pseudocódigo del Método de Gauss

10. 10
4.3.2.3 Código:
Ilustración 4. Código del Método de Gauss en Matlab

11. 11
4.3.2.4 Prueba para el código:
Ilustración 5. Prueba del código con un ejemplo
4.3.2.5 EXPLICACIÓN DEL CÓDIGO
La primera parte del código es para el ingreso de datos de la matriz
“A”, que siempre debe ser una matriz cuadrada, el vector “b” se
genera internamente en el programa (con una formula conveniente
para la resolución del problema). La primera condición del programa
es para verificar si cumple con las condiciones para el este método; la

12. 12
matriz “A” debe ser cuadrada, el número de columnas de la matriz
“A” debe ser igual al número de filas del vector “b” y el vector “b”
solo puede tener una sola columna. Si es que se cumpliera todas estas
condiciones nos aparecerá un tipo de interfaz para que el usuario se
guie y vea el ingreso de datos.
La siguiente línea aparece un “for”, que lo único que hace es recorrer
toda la matriz verificando si el pivote de cada columna es el valor
máximo, si no lo fuera pasaría al intercambio de filas. En la línea 60,
aparece otro “for”, también recorre toda la matriz haciendo ceros los
valores debajo del pivote de cada columna.
En la línea 65, se inicializa con ceros el vector resultante “x”, que
almacenara todas las respuestas generadas por medio de este método.
A partir de la línea 73, se calcula las respuestas de nuestro problema;
el promedio total de vehículos por hora específica y su porcentaje.

13. 13
4.3.3 Método de Bisección:
El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición
de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda incremental en el que el
intervalo se divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un
intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de
la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo, dentro del
cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor
aproximación.
Criterios de paro y estimaciones de errores.
El método se repite para obtener una aproximación más exacta de la raíz.
Ahora se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir cuándo debe
terminar el método. Una sugerencia inicial sería finalizar el cálculo cuando
el error verdadero se encuentre por debajo de algún nivel prefijado. Se
puede calcular el error relativo porcentual de la siguiente manera:
𝜀 𝑎 = |
𝑋 𝑟
𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜
− 𝑋 𝑟
𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑋 𝑟
𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 |
Donde 𝑋 𝑟
𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜
es la raíz en la iteración actual y 𝑋 𝑟
𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
es el valor de la
raíz en la iteración anterior. Se utiliza el valor absoluto, ya que por lo
general importa sólo la magnitud de 𝜀 𝑎sin considerar su signo. Cuando 𝜀 𝑎
es menor que un valor previamente fijado es, termina el cálculo.

14. 14
4.3.3.1 Algoritmo:
Ilustración 6.Algoritmo del Método de Bisección
4.3.3.2 Pseudocódigo:
Ilustración 7. Pseudocódigo del Método de Bisección

15. 15
4.3.3.3 Código:
Ilustración 8. Código realizado en Matlab

16. 16
4.3.3.4 Prueba para el código:
Ilustración 9. Prueba del Código, resultados

17. 17
4.3.3.5 Gráfica:
Ilustración 10. Gráfica del código
4.3.3.6 EXPLICACIÓN DEL CÓDIGO
En el siguiente código por el método de bisección se resolverá el
problema planteado. Primero tenemos que ingresar cuantas iteraciones
serán para ello va ser los días que se requieren obtener. Luego
ingresaremos los valores para ello método de bisección trabaja con 2
valores nosotros ingresaremos datos de 2 días de un día será para el valor
"a" y el otro día para el valor "b" el ingreso es el número de autos que

18. 18
transitan durante las horas que son desde 7 am a 5pm p cada 2 horas
luego de ingresado los valores ingresaremos 2 funciones que serán la
calles una vez ingresado esos valores se obtendrá una raíz que por ello
será el punto de intersección de las 2 calles que los autos van a pasar y
luego para calcular el número de autos que se intersectan en cada hora se
sumara todos los valores que será el número de autos ingresados por los
6 días divido entre el número de días luego de eso se obtendrá la gráfica
como se ve en la Ilustración 10.
5 CONCLUSIONES
•Se logró dar la solución al problema que teníamos originalmente; y no solo de una
forma, sino que fue resuelta a través de dos métodos matemáticos.
•Se logró calcular la cantidad de vehículos que transitaban por las intersecciones
de esas carreteras y también se determinó la hora donde transitaba el mayor
porcentaje de automóviles.

19. 19
6 BIBLIOGRAFÍA
•Métodos numéricos, José María Arias Cabezas y Juan Antonio Infante del Río,
1999.
•Métodos numéricos para ingenieros, Steven C. Chapra, 2006.
•CIMNE. (1992). Métodos Numéricos en Ingeniería y Ciencias Aplicadas.
Barcelona.
•Lipschutz, S., Abellanas, L., & Martínez Ontalba, C. (2010). Algebra lineal.
Madrid [etc]: McGraw-Hill Interamericana de España.
•Código obtenido de https://steemit.com/spanish/@fcaschetto/resolucion-de-sel-
por-el-metodo-de-gauss-en-matlab