Este documento presenta los criterios para determinar si un punto crítico de una función de dos variables es un máximo, mínimo o punto de silla. Explica que si el determinante de la matriz hessiana es positivo, el punto es un máximo o mínimo dependiendo del signo de sus elementos. Si el determinante es negativo, es un punto de silla. Además, incluye ejemplos de aplicación de los extremos para funciones específicas.

1. Realizado Por:
Franklin Marín
C.I: 19.435.096
Profesor: Ing. Diógenes Rodríguez

2. Extremos no Restrictos con dos Variables
Se dice que una función z=f(x,y) tiene un máximo relativo en x=a y y=b, si para
todos los puntos (x,y) “suficientemente cercanos” a (a,b):
f(a,b) >= f(x,y)
Un máximo relativo suele aparecer en la parte superior de un montículo de
la superficie que representa a f(x,y).
Se dice que una función z=f(x,y) tiene un mínimo relativo cuando x=a y y=b,
si para todos los puntos (x,y) “suficientemente cercanos” a (a,b):
F(a,b) <= f(x,y)
Un mínimo relativo suele aparecer en la parte inferior de un montículo de la
superficie que representa a f(x,y).
Los criterios para determinar si se trata de un máximo, un mínimo o un
punto de silla son los siguientes:
1-. Se tiene un máximo o un mínimo relativo si: D(x*,y*)>0.
a) El punto crítico es un máximo relativo si tanto fxx(x*,y*) como
fyy(x*,y*) son negativas.
b) El punto crítico es un mínimo relativo si tanto fxx(x*,y*) como
fyy(x*,y*) son positivas.
2-. Si D(x*,y*)<0, el punto crítico es un punto de silla.
3-. Si D(x*,y*)=0, se necesitan otras técnicas para determinar la naturaleza
del punto crítico.

3. Ejercicios de Extremos no Restrictos con
dos Variables
Ejercicio 1:
1) f (x , y) = x² + y² - 2x
1. Obtenemos las derivadas parciales de primer orden, las igualamos a cero, y
resolvemos el sistema:
La única solución de este sistema es x = 1, y = 0.
2. Obtenemos las derivadas parciales de segundo orden:

4. Extremos no Restrictos con dos Variables
y calculamos:
3. Tenemos, . Por tanto, en el punto (1, 0)
tenemos un mínimo local.
Ejercicio 2:
2) f (x , y) = x² + y²
1. Obtenemos las derivadas parciales de primer orden, las igualamos a cero, y
resolvemos el sistema:
La única solución de este sistema es x = 0, y = 0.

5. Ejercicios de Extremos no Restrictos con
dos Variables
2. Obtenemos las derivadas parciales de segundo orden:
y calculamos:
3. Tenemos, . Por tanto, en el
punto (0,0) tenemos un mínimo local.

6. Llamados así en honor al matemático, físico y
astrónomo Joseph Lagrange, son un procedimiento para
encontrar el punto máximo y mínimo de una función de
varias variables sujetas a restricciones. El método se
reduce a un problema de restringido con una n
cantidad de variables o a uno sin restricciones. Dichas
variables son nombradas como multiplicadores de
Lagrange.
El método dice que: los puntos donde la función tiene
un extremo condicionado con una cantidad de
restricciones, se encuentran entre los puntos
estacionarios de una nueva función sin restricciones
como una combinación lineal de la función y las
funciones implicadas en las restricciones, cuyos
coeficientes son los multiplicadores.
Este método hace uso de derivadas parciales y de
la regla de la cadena para funciones de varias
variables.
En él se busca extraer una función implícita de las
restricciones, y encontrar las condiciones para que las
derivadas parciales con respecto a las variables
independientesde la función sean iguales a cero.

7. Uso
Este método de Lagrangue se puede utilizar para la solución de
problemas en optimización dinámica, ya que se encuentra
vinculado a la resolución de problemas de optimización de
campos escalares sujetos a restricciones de las variables. Dentro
de la optimización de restricción es utilizada para resolver
situaciones de complejidad mayor, restricciones de igualdad y
desigualdad y transformación de situaciones. Así como también se
pueden utilizar para resolver problemas no lineales.
Campo de Aplicación
Este tipo de cálculo o método son aplicados en el campo de la
producción en base a la optimización de los procedimientos
administrativos con respecto a la valuación y determinación de
costos, presupuestos, etc.

8. Ejemplo:
Determine las dimensiones de un cilindro circular recto con
volumen máximo si el área de su superficie es de 24π (unidades de
longitud cuadradas).
Solución:
Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar,
en este caso, es la función volumen del cilindro circular recto. La
expresión de volumen para un cilindro circular recto es:
V(h,r) = πhr²
h: es la altura del cilindro
r: es el radio del cilindro

9. La restricción o la condición que debe cumplir la caja es que la
superficie de la caja será igual a 24π (unidades de longitud
cuadradas), escribimos la expresión de la superficie del envase
cilindro circular recto considerando el fondo del recipiente y su
“tapa”.
S(h,r)= 2 πr² + 2 πhr = 24 π
Observe que las expresiones del volumen y de la superficie
están dadas respecto a las mismas dos variables: h y r.

10. Determinamos los gradientes.
a) primero de la función a maximizar, la función volumen
Vh = πr²
Vr = 2 πhr
V   r hr h r  ,2 2
,  
b) luego el gradiente de la restricción
Sh =2πr
Sr = 4πr + 2 πh
  S  r r h h r 2 ,4 2 ,   
La ecuación de Lagrange se escribe:
r ,2hr 2
=2r,4r  2h
Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación
de cada componente:
πr² = λ 2πr …ec nº 1
2 πhr = λ (4πr + 2 πh) …ec nº 2, además de
2 πr² + 2 πhr = 24 π …ec nº 3

11. Despejando λ de las ecuaciones nº 1 y nº 2, se tiene:
2 r
r
r

 
2 
2

hr
hr
2


 r h
 r 
h



2 2 2

Al igualar ambas se obtiene:
r hr

2 2
r 
h
r2r  h 2hr
2r  h  2h
h  2r , se sustituye en la ecuación nº 3 y se obtiene:
2 πr² + 2 π2rr = 24 π
2 πr² + 4πr² = 24 π
6 πr² = 24 π
r² = 4
r = ± 2, pero solo se considera el valor positivo ya que r
representa una distancia, así que el valor del radio r es 2, la
altura h=4.
Finalmente se concluye que las dimensiones que producen el
volumen máximo de un cilindro circular recto para una superficie de
24 π son: h = 4 ; r = 2

12. Es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden
de una función. Esta función está determinada por m funciones
reales: y1(x1,..., xn),..., ym(x1,..., xn). Las derivadas parciales de
estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz m por n, la
matriz Jacobiana de F:
Esta matriz se denota por
o

13. Ejemplo:

14. Estas condiciones se nombran en honor de Harold W. Kuhn,
miembro emérito del Departamento de Matemáticas de Princeton,
y Albert W. Tucker, quien formuló por primera vez y estudió las
condiciones.
El teorema que las soporta se basa en las condiciones
necesarias de optimalidad que constituyen la generalización de las
funciones dadas por Lagrange para problemas con restricciones de
desigualdad. Por lo tanto, para poder aplicarla este método será
necesario en primer lugar que todas las funciones que intervengan en
el problema admitan derivadas parciales de primer orden continuas.
En este método se tiene en cuenta el proceso de maximización
por lo cual los resultados a considerar son aquellos diferentes de 0 o
valores positivos, pero teniendo siempre en consideración que se
deben conservar los valores negativos como referencia en las
graficas. Ya que además dentro de este método se busca expresar los
resultadosmediante gráficas que puedan utilizarse para la
interpretación de los resultados obtenidos.
Dicho método fue creado con la finalidad de demostrar condiciones
que no son sencillas de verificar pero que si es posible hacerlo
mediante una serie de cálculos basados en hipótesis de
restricciones.

15. Campo de Aplicación
Esta se encuentra enfocada al campo de la investigación de
mercadeo en condiciones de desigualdad para determinar cuál de
ellas se cumple en una solución. Dicho método es de gran
aplicabilidad dentro del campo de la economía y en el mercadeo de
capital.