Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales. Método de Solución Gaussiana

1. UNIVERSIDAD "FERMÍN TORO"
VICE-RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE MANTENIMIENTO MECANICO
CABUDARE - LARA
ANALISIS NUMERICO.
INTEGRANTE:
ANGEL ARRIECHE
C.I - 21.459.711
Barquisimeto 03 de Diciembre del 2016

2. Introducción
Este método propone la eliminación progresiva de variables en un sistema de ecuaciones, hasta
tener una sola ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta se procede por sustitución
regresiva hasta obtener los valores de todas las variables. La idea de esto es lograrlo en una
cantidad de pasos finitos y lograr obtener un resultado exacto.
Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una
de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra.
A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de una serie de pasos en los que las
ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones
previas.
Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se utilice un método ( el de
reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se utilice otro método.
Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, se sustituye esta incógnita por su solución
para obtener así ecuaciones con menos incógnitas.

3. ELIMINACIÓN GAUSSIANA
 Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma:
 El método de eliminación Gaussiana (simple), consiste en escalonar la matriz aumentada del sistema:
 Para obtener un sistema equivalente:

4. Donde la notación se usa simplemente para denotar que el elemento cambió. Se despejan las incógnitas
comenzando con la última ecuación y hacia arriba. Por esta razón, muchas veces se dice que el método de
eliminación Gaussiana consiste en la eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás.
Ejemplo:
Escalonamos la matriz aumentada del sistema:
Y dividiendo el segundo renglón entre –3, tenemos la matriz equivalente:

5. Por lo tanto, el sistema equivale a:
Sustituimos este valor en la ecuación de arriba para obtener:

6. Sistema de Ecuaciones Lineales.
 Es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación
es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillito conmutativo. Un ejemplo de sistema
lineal de ecuaciones sería el siguiente:
 El problema consiste en encontrar valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen
las tres ecuaciones.
 El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y
tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural,
estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación
de problemas no lineales de análisis numérico.

7.  En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal
como:
 Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:
 Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

8. Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector
columna de longitud m.
El sistema de eliminación de Gauss-Jordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea
el cuerpo del que provengan los coeficientes.
La matriz A se llama matriz de coeficientes de este sistema lineal. A b se le llama vector de
términos independientes del sistema y a x se le llama vector de incógnitas.
FIN.