1) Las ecuaciones diferenciales ordinarias describen cómo cambia una función de una o más variables cuando varía alguna de esas variables. Las parciales dependen de varias variables, mientras que las ordinarias dependen de una sola variable. 2) Existen métodos para resolver ecuaciones diferenciales como las de variables separables, lineales o exactas. El método del factor integrante permite convertir una ecuación no exacta en una exacta multiplicándola por una función adecuada. 3) Las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar diversos problemas

1. ECUACIONES DIFERENCIALES
0))(,...,( 1
)1()(
=−
xfffD nn
Ordinarias
• Cuando la función f depende de una sola variable
Parciales
• Cuando la función depende de varias variables
Ejemplo:
Dada la función )( 12 −
−+= xxφ . Diga si es solución de la Ecuación Diferencial
Ordinaria (EDO).
0
2
22
2
=− y
xdx
yd
Variable Separable

)()(
),(
ygxh
xyf
dx
dy
=
Si la función f(x,y) se puede escribir como el producto de dos funciones h(x)*g(y),
entonces:
∫∫ = dxxh
yg
dy
)(
)(
Ejemplo:

2. 1
2
2
+
+
=
y
xyx
dx
dy






+
+
=
1
2
2
y
y
x
dx
dy
∫∫ =
+
+
xdxdy
y
y
2
12
c
x
dy
y
dy
y
y
+=
+
+
+ ∫∫ 22
1
2
22
z = 2 + y dz = dy
dz
z
dz
z
z
∫∫ +
− 1)2( 2
∫∫∫ +−
z
dz
z
z
dz
z
z 442
c
x
zzz
z
+=++−
2
lnln44
2
22
c
x
yy
y
+=+++−
+
2
)2ln(5)2(4
2
)2( 22
c
x
yy
y
+=++−−
2
)2ln(562
2
22
Solución Implícita
Diga si es variable separable o no y la que sea encuentra su solución.
1. xy
dx
dy
+=1
2. 2
5
y
x
dx
dy −
=
3. 3
1
+
−
=
x
y
dx
dy
4. y
ey
xx
dx
dy
+
+−
=
cos
126 2
Resolver

3. 1. ( )yxy −= 1' 3
3)0( =y
2. ( )( )xy
dx
dy
tan1 2
+= 3)0( =y
3. xy
dx
dy
cos12 += 0)( =πy
4. 022
=+ ydydxx 2)0( =y

4. Ecuación Lineal
• Los coeficientes solo dependen de x
)()()()(')( 321 xaxyxaxyxa =+
)()('
)(
)(
)(
)(
'
)(
1
3
)(
1
2
xqyxpy
xa
xa
y
xa
xa
y
xqxp
=+
=+

Se busca una función )(xµ tal que )´)(( yxµ sea igual a todo el lado izquierdo
de la ecuación lineal multiplicada por )(xµ .
)()(' xqyxpy µµµ =+
'')'()(' yyyyxpy µµµµµ +==+
Igualando miembro a miembro
yyxp ')( µµ =
Eliminando la y se obtiene una ecuación diferencial de variables separables:
dx
d
xp
µ
µ =)(
∫∫ =
µ
µd
dxxp )(
tomando constante cero:
∫=
=∫
dxxP
e
dxxp
)(
)(ln
µ
µ
entonces con la función construida e integrando la ecuación lineal resulta:
( )
( )∫
∫
∫∫
+=
+=
=
cqdxy
cqdxy
qdxdxy
µ
µ
µµ
µµ
1
'

5. Aplicaciones:
1. Determine la función del precio de un producto si se conocen las funciones de
demanda y de oferta, que no existe Stoke y que el precio p(t) de un artículo varía
de modo que su razón de cambio con respecto al tiempo es proporcional a la
escasez
Desarrollo general:
[ ]
[ ]
( ) ( )ackPbdkP
kakckbPkdPP
kbPkakdPkcP
bPadPck
dt
dp
bPatS
dPctD
tStDk
dt
dP
+=++
+=++
−+−=
−+−=
+−=
−=
−=
'
'
'
)(
)(
)()(
( )[ ]
tbdk
tbdk
tbdk
tbdk
tbdk
tbdk
dtbdk
ce
bd
ac
tP
c
bdk
e
ack
e
tP
ceack
e
tP
et
et
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
)(
1
)(
)(
)(
+−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=






+
+
+=
++=
=
∫=
∫
µ
µ
Ejenplo:
pS
pD
+=
−=
2
28
3)2(
5)0(
=
=
P
P
[ ]
( )
kPkP
PkkP
kp
dt
dp
pSpDk
dt
dp
63'
36'
36
)()(
=+
−=
−=
−=

6. [ ]
kt
kt
kt
kt
kt
ktkdt
cetP
c
k
e
k
e
tP
cdtke
e
tP
eet
3
3
3
3
3
33
2)(
3
6
1
)(
6
1
)(
)(
−
+=






+=
+=
=∫=
∫
µ
3
25
=
+=
c
c
18.0
6)3/1ln(
31
323
6
6
=
−=
=
+=
−
−
k
k
e
e
k
k
t
etP 56.0
32)( −
+=
3. Determine la función de la cantidad de población de una ciudad si su tasa de
crecimiento es directamente proporcional a la cantidad de población mas la
diferencia entre inmigración y emigración.
K: (Nacimiento – Muerte)%
[ ]
kt
kt
kt
ktkt
ktkdt
ce
k
EI
P
cEI
k
e
eP
cdtEIeeP
ee
EIkPP
EIkP
dt
dp
+
−
−=






+−
−
=
+−=
=∫=
−=−
−+=
−
−
−−
∫
)(
)(
)(
'
)(
µ

7. Ejercicios de Clase:
Resolver
1. xx
x
y
dx
dy
x
cos
21
2
=−
2. xyy 2
cos1' +=+ 4)1( =y
Problemas:
1. Un grupo de empresas empieza a invertir en t=o parte de sus ingresos a
razón de P dólares por año en un fondo previsto para reforzar la futura
expansión del grupo. Suponiendo que el fondo recibe un interés compuesto
continuamente de un r%, determine el comportamiento de la cantidad invertida
disponible en el fondo, suponga que:
La inversión inicial es igual a 0 y pqr
dt
dq
+= )100/(
5
101⋅=P
El interés (r) = 6%
Calcule la cantidad que tendrá en 5 años
Q= 583,098.01
Determinar el tiempo en el que el grupo obtiene
5
108⋅ pudiendo invertir
3
1075⋅ al año con una tasa de 8%.
t= 7.71
2. El jefe de personal de una empresa da como dato que 30 es el número máximo
de unidades que puede producir un trabajador diariamente. El ritmo de crecimiento

8. del número de unidades n producidas respecto del tiempo en días por un
empleado nuevo es proporcional a 30-n.
a.) Determine la ecuación diferencial que describe el ritmo de cambio.
kNkN 30´ =+
b.) Resolver la EDO
kt
ceN −
+= 30
c.) Calcular la solución particular para un empleado nuevo que produce 10
unidades el primer día y 19 unidades el día 12.
20−=c 05.0=k
3. La secreción de hormonas que ingresan a la sangre suele ser una actividad
periódica. Si una hormona es segregada en un ciclo de 24hrs. Entonces la razón
de cambio del nivel de la hormona en la sangre se puede representar por medio
del problema de valor inicial kx
t
dt
dx
−





−=
12
cos
π
βα 10)0( =x x=cantidad de
hormonas contenidas en la sangre en el instante t
α = velocidad de secreción media
β= cantidad de variación en la secreción
K= velocidad de eliminación de la hormona de la sangre
Si 2
1
=
==
k
βα
Encuentre la cantidad de hormonas en la sangre.

9. Método de las Ecuaciones Exactas
Dada una función y su diferencial total:
yx
F
xy
F
dy
y
F
dx
x
F
yxF
∂∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
22
0
0),(
Las derivadas cruzadas deben ser iguales.
Entonces, si la ecuación diferencial
  0),(),( =+
∂
∂
∂
∂
yxNdxyxM
y
F
x
F
cumple x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
se puede considerar que:
y
F
yxN
x
F
yxM
∂
∂
=
∂
∂
=
),(
),(
y se le llama Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) exacta.
Ejemplo 1.
Diga si la siguiente EDO es exacta o no
xy
x
yx
x
N
xy
y
xy
y
M
dyyxdxxy
4
)2(
4
)12(
0)2()12(
2
2
22
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
+∂
=
∂
∂
=++
Por lo tanto es una EDO exacta
Métodos:
Como:

10. x
F
M
∂
∂
=
Para calcular F(x , y) se integra M con respecto a x y la ¨constante¨ debe depende
de y:
)(),( 1 ycMdxyxF ∫ +=
El mismo proceso se realiza con N
)(),( 2 xcNdyyxF
y
F
N
∫ +=
∂
∂
=
Igualando y comparando ambas funciones se obtiene la función:
0),( =yxF
Otra manera de encontrar la solución es partiendo de )(),( 1 ycMdxyxF ∫ += , y
se deriva la función obtenida con respecto a y, para luego igualarla a N(x,y) para
encontrar )(1 xc .
Ejemplo 1
Resuelva la EDO que ya se demostró anteriormente que es exacta
( ) )(12 1
2
ycdxxyF ++= ∫
kxyxyxF
yxycyx
y
F
ycxyxyxF
++=
=++=
∂
∂
++=
22
2
1
2
1
22
),(
2)(02
)(),(
kyc
yc
=
=
)(
0)('
1
1
Si derivar
( ) )(12 1
2
ycdxxyF ++= ∫
)(),( 1
22
ycxyxyxF ++=

11. ( )
)(),(
)(2
2
22
2
2
xcyxyxF
xcdyyxF
+=
+= ∫
2
22
0),(
x
kx
y
kxyxyxF
−−
=
=++=
Ejercicios de Clase:
Resolver:
1. ( ) ( ) 02sec2 22
=++− dyyxdxxxy
2. ( ) ( ) 021 =++++ dyxedxyxeye xxx
3. ( ) ( ) 0cos3 32
=++ dyyxdxsenyxx
Clasificar en Separables, Lineales o Exactas:
1. ( ) 0cos 342
=−+ dyxdxxxyx
2. ( ) 023/10
=+− xdydxyx
3. ( ) ( ) 022 =−++ dyyxedxxye xyxy
4. ( ) 0232 22
=−++−− dyxxdxyy
5. ( ) 0cos22
=++ dyyxydxy

12. 6. 0=+dyxydx
7. ( ) 013 =−−+ θθθ drdr
8. ( ) ( ) 02coscos2 =−++ dyyxyxdxxyyx
Resolver:
1. ( ) 0cos22
1 22
=−+





+ dyyyxdxxy
x
π=)1(y
2. 0
1
2
=





++





− dy
y
x
xedx
y
ye xyxy
1)1( =y
3. ( ) ( ) 02 =+++ dytedtyteye ttt
1)0( =y
4. ( ) 0
12
=





−+ dy
x
y
x
dxsenxy 1)( =πy

13. Método del Factor Integrante
Se tiene una EDO que no es exacta, pero al multiplicarla por una función
determinada se convierte en exacta.
Ejemplo:
Sea la EDO
( ) ( ) 0cos3 43
=++ dyyxdxsenyxx
yx
y
F
M cos3 3
=
∂
∂
=
no es exacta, pero al multiplicarla por la función 1/x resulta:
( ) ( ) 0cos
1
3
1 43
=++ dyyx
x
dxsenyxx
x
( ) ( ) 0cos31 32
=++ dyyxdxsenyx
yx
y
F
M cos3 2
=
∂
∂
=
yx
x
F
N cos3 2
=
∂
∂
=
que ya se convierte en exacta y se resuelve por el método estudiado
anteriormente.
El problema consiste en encontrar la función que al multiplicar la EDO no exacta
por ella se transforma en una exacta.
Denotemos la función buscada por µ y multipliquemos la EDO por ella:
0),(),( =+ dyyxNdxyxM µµ
yx
x
F
N cos4 3
=
∂
∂
=

14. Para que sea exacta debe cumplir:
dx
N
y
M µµ ∂
=
∂
∂
x
N
N
xy
M
M
y ∂
∂
+⋅
∂
∂
=
∂
∂
⋅+⋅
∂
∂
µ
µ
µ
µ
Supongamos primero que )(xµ sólo depende de x.
x
N
N
xy
M
∂
∂
⋅+⋅
∂
∂
=
∂
∂
⋅ µ
µ
µ
factorizando )(xµ
N
x
N
y
M
x
x
N
y
M
x
N






∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂






∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
⋅
µ
µ
µ
µ
resulta una EDO de variables separables porque
N
x
N
y
M






∂
∂
−
∂
∂
sólo depende de x,
dx
N
x
N
y
M
x e
dx
N
x
N
y
M
x
N
x
N
y
M
d
∫












∂
∂
−
∂
∂
=












∂
∂
−
∂
∂
=
∂












∂
∂
−
∂
∂
=
∫
∫∫
)(
ln
µ
µ
µ
µ
Suponemos ahora que µ sólo depende de y, entonces la ecuación
xxyy NNMM µµµµ +=+

15. se transforma en:
dy
M
MN
dy
d
NMM
dy
d
yx
xy





 −
=
=+
µ
µ
µµ
µ
que es una EDO de variables separables porque
M
MN yx −
sólo depende de y,
dy
M
MNd yx
∫∫ 




 −
=
µ
µ
∫
=
−
dy
M
MN yx
eµ
Resumen: Método del Factor Integrante
( ) ( )
NxMy
dyyxNdxyxM
≠
=+ 0,,
1. 1 Si N
NM xy −
depende sólo de x entonces es factor integrante
1.2 Si M
MN yx −
depende sólo de y entonces es factor integrante
2.1 ∫
=
−
dx
N
NM xy
ex)(µ 2.2 ∫
=
−
dx
M
MN yx
ey)(µ
3. Multiplicar la EDO por µ
4. Resolver la EDO exacta
Ejemplo:
( ) ( ) 02 22
=−++ dyxyxdxyx
1=yM 12 −= xyN x

16. ( )
( )
2
lnln2
2
22
1
2
1
1222121
2
x
eee
xxyx
xy
xyx
xy
xyx
xy
N
NM
xx
dx
x
xy
===
∫
=
−=
−
−
−=
−
−
=
−
+−
=
−
−
−
−
µ
( ) ( )
0
2
0
1
2
1
22
2
22
2
2
2
2
2
=





−+





+
=−++
dy
x
x
x
yx
dx
x
y
x
x
dyxyx
x
dxyx
x
2
1
x
M y = 2
1
x
Nx =
( ) )(/2)(2, 112
ycxyxycdx
x
y
yxF +−=+





+= ∫
( ) )(/2/)(
1
, 2
2
2 xcxyyxcdy
x
yyxF +−=+





−= ∫
( ) kxyyxyxF +−+= /2/2, 2
Ejercicios de Clase:
Identifique si es separable, lineal, exacta o factor integrante
1. ( ) ( ) 02322 223
=+++ dyxyxydxyy
2. ( ) 012 =−+





+ dyxydx
x
y
x
3. ( ) ( ) 02 22
=−++ dyxdxxyy
4. ( ) ( ) 022 =−++ dyyxdxyx
5. ( ) 02 2
=+− xdydxyxy
6. ( ) 042
=++ xdydxysenxx

17. Resolver:
1. ( ) ( ) 03 22
=−++ dyxyxdxyx
2. ( ) ( ) 032 22
=−+ dyxydxxy
3. ( ) ( ) 02422 22
=++++ dyxxydxxyy
4. ( ) 04
=−+− xdydxyxx
5. ( ) 02 22
=−+ dyxdxxyy
6. ( ) 0
1
312 223
=





−++ dy
y
yxdxxy

18. METODO DE SUSTITUCIÓN
Este método se puede utilizar si al hacer un cambio de la variable toda la ecuación
queda en función de “x” y “z”
Ecuación Homogénea:
Pasos:
x
y
z =
Derivando el cambio de variable:
),( zxGx
dx
dz
z
x
dx
dz
z
dx
dy
yxz
x
y
z
=+
+=
=
=
1. Transformar la ecuación
2. Resolver la nueva EDO con variable z
3. Transformar el resultado con la variable original
Ejemplo:
( ) 0=++ xdydxyx dividir entre x
Sustituyendo en la ecuación:

19. ( )
zx
dx
dz
zx
dx
dz
z
x
y
z
dx
dy
x
y
dydx
x
y
21
1
1
01
−−=
+−=+
=
=





+−
=+





+
Que es una ecuación de variables separable:
∫∫ =
+
−
x
dx
z
dz
21
cxz +=+− )ln()21ln(
2
1
2
)1(
21
)ln(2)21ln(
)ln(2)21ln(
2
2
−
=
=+
+−=+
+−=+
−
−
Axx
y
Axz
cxz
cxz
Ejercicios:
a. ( ) 0222
=−++ dyxdxxyxy
b. xy
yxxy
dx
dy
222
++
=
Sustitución ( )byaxG
dx
dy
+=
Cuando las variables y se pueden sustituir por la variable byaxz += , derivando
dz
dy
ba
dx
dz
dz
dy
ba
dx
dz
=−
+=
/)(

20. Ejemplo:
Resolver
1−+= yx
dx
dy
Cambio de variable
dx
dy
dx
dz
yxz
+=
+=
1
11 −=− z
dx
dz
z
dx
dz
=
que es una ecuación de variable separable
∫∫ = dx
z
dz
cxz +=2
• Resolver los siguientes ejercicios
1.- ( )2
2++= yx
dx
dy
2.- ( )2
5+−= yx
dx
dy
3.- ( )yxsen
dx
dy
−=
4.- x
yxyx
dx
dy +
=
)/sec(
5.- ( ) 0222
=++ xydydxyx
6.- ( ) 022
=+− dyxdxxyy

21. 7.- xy
yx
dx
dy
3
22
−
=
8.- ( ) 022
=−+ dyxdxyxy
9.- ( ) ( )dyyxxydxyx 1322
3 −
−+−
10.- ( ) 1
21
−
+−+−−= yxxy
dx
dy
11.-
tx
xttx
dt
dx 222
++
=
12.- ( ) 03
3
22
=





−+− dy
y
x
xydxyx
ECUACIÓN DE BERNOULLI
Se llama ecuación de Bernoulli a una ecuación de primer orden que se puede
expresar en la forma:
( ) ( ) n
yxQyxP
dx
dy
=+
donde ( )xP y ( )xQ son continuas en un intervalo (a, b), y n es un número real.
Dividiendo la ecuación diferencial por
n
y
( ) ( )xQyxPyy nn
=+′ −− 1
tomando el cambio de variable
n
yv −
= 1
y derivando ´)1(´ yynv n−
−= , se tiene:
´
1
´
yy
n
v n−
=
−
sustituyendo en la ecuación diferencial:

22. ( ) ( )xQvxP
n
v
=+
−1
´
( ) ( ) ( ) ( )xQnvxPnv −=−+′ 11
que es una ecuación lineal.
Ejemplo:
Resuelve
3
2
5
5 xyyy −=−′
como n = 3 el cambio de variable sería:
231 −−
== yyv
entonces la ecuación se transforma en:
( ) ( ) )
2
5
(2)5(2 xvv −−=−−+′
xvv 510 =+′
xdx
eex 1010
)( =∫=µ
( )cxdxe
e
xv x
x
+= ∫ 5
1
)( 10
10






+−= cee
x
e
xv xx
x
)
100
1
10
(5
1
)( 1010
10






+−= x
e
cx
xv 10
50
1
2
)(
regresando a la variable original:






+−=−
x
e
cx
y 10
2
50
1
2
Ejercicios:
1.
32
yey
dx
dy x
=−

23. 2. ( ) 2/1
25
2
yx
x
y
dx
dy
−=
−
+
3. 03
=++
x
y
xy
dx
dy
COEFICIENTES LINEALES
ECUACIONES CON COEFIENTES LINEALES
Hemos utilizado varias sustituciones para y con el fin de transformar la ecuación
original en una nueva ecuación que pueda ser resuelta. En algunos casos se
deben transformar tanto c como y en nuevas variables. Esta es la situación para
las llamadas ecuaciones con coeficientes lineales esto es, ecuaciones de la
forma:
( ) ( ) 0222111 =+++++ dycybxadxcybxa
Donde los ia , ib y ic son constantes. Se deja como ejercicio demostrar que
cuando 1221 baba = , la ecuación se puede poner en la forma dy / dx = G (ax + by),
la cual se resolvió por medio de la sustitución z = ax + by.
( ) ( ) 0222111 =+++++ dycybxadxcybxa
se toma como cambio de variable:
x = u +h y = v + k
con h y k constantes, por lo tanto dx=du y dy=dv
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0
0
2222211111
22211
=+++++++++
=+++++++++
dvckbhavbuaduckbhavbua
dvckvbhuaduckvbhua

24. a. Encontrar k y h
222
111
ckbha
ckbha
=+
−=+
entonces resulta:
( ) ( ) 02211 =+++ dvvbuaduvbua
La cual es una ecuación homogénea que con el cambio de variable:
u
v
z =
du
dv
du
dz
vz =+
se transforma en:
zba
zba
u
v
ba
u
v
ba
vzz
22
11
22
11
)(
´
+
+−
=






+






+−
=+
z
zba
zba
dv
dz
v −
+
+−
=
22
11 )(
que es una ecuación de variables separable, se resuelve y nuevamente se
transforma a sus variables originales con las h y las k calculadas anteriormente.
Ejemplo:
( ) ( ) 02633 =+++++− dyyxdxyx
Resolver:
1. (-3x - y – 1) dx + (x + y + 3) dy = 0.
2. (x + y - 1)dx + (y - x - 5) dy = 0.
3. (2x – y + 4) dx + (x - 2y - 2) dy = 0.

25. 4. (2x - y) dx + (4x + y - 3)dy = 0

26. Ejercicios de Práctica
Ecuaciones Separables
En los problemas 1 a 6 determine si la ecuación diferencial dada es separable.
1. yy
dx
dy
+= 3
2. ( )yxsen
dx
dy
+=
3.
2
3
2
+
=
+
x
e
dx
dy yx
4.
22
8)ln( tst
dt
ds t
+=
5. st
s
dt
ds
s
12 +
=+
6. ( ) 023 22
=−+ xdxdyyxy
En los problemas 7 a 16 resuelva la ecuación dada.
7. 2
2
1
y
x
dx
dy −
=
8. 3
1
xydx
dy
=
9. yx
dx
dy 2
3=
10. ( )senxy
dx
dy
+= 2
11. ( )22
13 yx
dx
dy
+=
12. yy
dx
dy
=+ 2
13. v
v
dx
dv
x
3
41 2
−
=
14. 2
2
1 x
yseg
dx
dy
+
=

27. 15. 01cos
=+ −
dyydxysenxe x
16. ( ) 0
2
2
=++ ydyedxxyx x
En los problemas 17 a 26 resuelva el problema de valor inicial indicado.
17. 022
=+ ydydxx 2)0( =y
18.
y
ex
dx
dy 23
8 −
= 0)1( =y
19. ysenx
dx
dy
= 3)( −=πy
20. 12
243 2
+
++
=
y
xx
dx
dy
1)0( −=y
21. xy
dx
dy
cos12 += 0)( =πy
22. ( )yxy −=′ 13
3)0( =y
23. ( ) xy
dx
dy
tan1 2
+= 3)0( =y
24. yx
dx
dy 2
cos2= 4/)0( π=y
25. ( )yx
dx
dy
+= 12
3)0( =y
26. ( ) 01 =++ dyxdxy 1)0( =y

28. Ecuaciones Exactas
En los problemas 1 a 12 determine si la ecuación es exacta. Si es exacta,
resuélvala.
1. ( ) ( ) 0132 2
=−−+ dyxdxxy
2. ( ) ( ) 022 =−++ dyyxdxyx
3. ( ) ( ) 0/2/1 2
=−− dyyxydxy
4. ( ) ( ) 0/ln1 =++ dyytdty
5. ( ) ( ) 022coscos =+−+ dyysenxsenydxxyx
6. ( ) ( ) 03/cos3 3/22
=++− −
dyyyedxxsenye xx
7. ( ) 0cos =−− θθθ θ
dersendr
8. ( ) ( ) 0//1 2
=++− dyyxxedxyye xyxy
9. ( ) ( ) 01 =++− dyedttye tt
10. 02
11
2 2222
=





−
+
+





+
+ dyy
yx
x
dx
yx
y
x
11. ( )[ ] ( )[ ] 0cos2cos2 2
=−+−++−+ dyeyxxydxyxyx y
12. ( ) ( )[ ] 0coscos
1
2 3/1
2
=−+





+
−
−
dyyxyxdxxyy
x
En los problemas 13 a 18 determine si la ecuación es separable, exacta, ninguna
de las dos cosas, o ambas.
13. ( ) ( ) 03cos6 2
=+− dyxdxxxy
14. ( ) ( ) 022 =−++ dyyxedxxye xyxy
15. ( )[ ] ( )[ ] 02cos1cos =+−++− dyyyxdxyx
16. ( ) 02
=++ dysenyxsenyxdx
17. ( )[ ] ( ) 02cos2
1
2cosarctan 2
=





+++
+
++− dyyyx
y
x
dxyxy
18. 01sec2
=−+ dyyxdx
En los problemas 19 a 24 resuelva el problema de valor inicial indicado.

29. 19. ( ) ( ) 011 =−++ dyedxye xx
1)1( =y
20. ( ) ( ) 0//1 2
=++− dyyxxedxyye xyxy
1)0( =y
21. ( ) ( ) 02 =+++ dytedtyteye ttt
1)0( −=y
22. ( ) ( ) 0cos22/1 22
=−++ dyyyxdxxyx π=)1(y
23. ( ) ( ) 0//12
=−+ dyxyxdxsenxy 1)( =πy
Ecuaciones Lineales
En los problemas 1 a 10 obtenga la solución general de la ecuación.
1.
x
ey
dx
dy 3
=−
2. 12 ++= x
x
y
dx
dy
3. yex
dx
dy x
442
−= −
4.
3
2 −
=− xy
dx
dy
x
5. θθ
θ
sectan =+ r
d
dr
6. ( ) 01 =−++ dydtyt
7.
3
52 yx
dy
dx
y =+
8. ( ) xxy
dx
dy
x =++12
9. xxxy
dx
dy
x 423 32
+=++
10. ( ) xyxx
dx
dy
x 4121 22
−−+=+
En los problemas 11 a 16 resuelva el problema de valor inicial indicado.
11.
x
xe
x
y
dx
dy
=− 1)1( −=ey
12. 04 =−+ −x
ey
dx
dy
3
4
)0( =y
13. xsenxxy
dx
dy
senx =+ cos 2
2
=




π
y
14. x
x
y
dx
dy
32
3
=++ 1)1( =y

30. 15. xyx
dx
dy
x =+ 23
3 0)2( =y
16. xxysenx
dx
dy
x 2
cos2cos =+
32
215
4
2
ππ −
=





y
17. Resuelva la ecuación
xedx
dy
y
2
1
4
+
=
18. Múltiplos constantes de soluciones.
a) Demuestre que
x
ey −
= es una solución de la ecuación lineal:
0=+ y
dx
dy
Y
1−
= xy es una solución de la ecuación no lineal:
02
=+ y
dx
dy
b.) Demuestre que para cualquier constante C,
x
Ce−
es una solución de la
ecuación 0=+ y
dx
dy
, mientas que
1−
Cx es solución de la ecuación 02
=+ y
dx
dy
solamente cuando C=0 o 1.
c.) Demuestre que para cualquier ecuación lineal de la forma
0)( =+ yxP
dx
dy
si )(xy es solución, entonces para cualquier constante C la
función )(xCy es también solución.
19. Soluciones no expresables en términos de funciones elementales.
Resuelva los siguientes problemas de valor inicial usando integración definida.
a.) 12 =+ xy
dx
dy
1)2( =y
b.) 1
)1(2
2
2
=
+
+ y
xsen
xsen
dx
dy
0)0( =y

31. Problemas:
En los problemas 1 al 12, escriba una ecuación diferencial que describa la
situación dada. Defina todas las variables introducidas.
Crecimiento de
bacterias.
Desintegración
radiactiva.
Crecimiento de
inversiones.
Concentración de
medicamentos.
Crecimiento de la
población.
Costo marginal.
Recordación.
Propagación de
una epidemia.
1. La cantidad de bacterias en un cultivo crece a un
ritmo que es proporcional al número de baterías
presente.
2. Una muestra de radio se desintegra a un ritmo que
es proporcional a su tamaño.
3. Una inversión crece a una razón igual al 7% de su
tamaño.
4. El ritmo al que decrece la concentración de un
medicamento en el flujo sanguíneo es proporcional a la
concentración.
5. La población de cierta ciudad crece a un ritmo
constante de 500 personas por año.
6. El costo marginal para un fabricante es $us. 60 por
unidad.
7. Cuando a una persona se le pide que recuerde una
serie de hechos, el ritmo al que éstos se recuerdan es
proporcional al número de hechos importantes,
existentes en la memoria de la persona, que aún no ha
sido recordados.
8. El ritmo al que una epidemia se propaga en una
comunidad es conjuntamente proporcional a la cantidad

32. Corrupción en el
gobierno.
Propagación de
un rumor.
Depreciación.
de personas que ha enfermado y a la cantidad que no
ha enfermado.
9. El ritmo al que las personas resultan implicadas en
un escándalo gubernamental es conjuntamente
proporcional al número de personas ya implicadas y al
número de personas involucradas que aún no ha sido
implicadas.
10. El ritmo al que se propaga un rumor en una
comunidad es conjuntamente proporcional a la cantidad
de personas en la comunidad que ha oído el rumor y a
la cantidad de las que no lo han oído.
11. Compruebe que la función
ky
Cey = es una solución
de la ecuación diferencial ky
dx
dy
=
12. Compruebe que la función
ky
CeBQ −
−= es una
solución de la ecuación diferencial )( QBk
dt
dQ
−= .
13. El valor de reventa de cierta maquinaria industrial
decrece a un ritmo que depende de su antigüedad.
Cuando la maquinaria tiene t años, el ritmo al que
cambia su valor es 5
1
960
−
dólares por año.
a) Exprese el valor de la maquinaria en términos de su
antigüedad y de su valor inicial.
b) Si la maquinaria valía en principio $us. 5.200
¿Cuánto valdrá cuando tenga 10 años?
14. En cierta fábrica el costo marginal es
2
)4(3 −p

33. Costo marginal.
Precios al por
menor.
Producción de
petróleo.
Inversión.
Concentración de
medicamentos.
Decrecimiento
dólares por unidad cuando el nivel de producción es q
unidades.
a) Exprese el costo total de producción en términos de
los costos indirectos (el costo de producir 0
unidades) y del número de unidades producidas?
b) ¿Cuál es el costo de producir 14 unidades si los
costo indirectos son $us. 436?
15. En cierta zona del país el precio del pollo en la
actualidad es $us. 3 por kilogramo. Se estima que
dentro de x semanas el precio crecerá a una razón de
13 +x centavos por semana. ¿Cuánto costará el pollo
dentro de ocho semanas?
16. Cierto pozo petrolífero que produce 400 barriles
mensuales de petróleo crudo se secará en 2 años. En
la actualidad el precio del petróleo crudo es $us. 20 por
barril y se espera que aumente a una razón constante
de 4 centavos mensuales por barril. Si el petróleo se
vende tan pronto como se extrae del suelo. ¿Cuál será
el ingreso futuro total del pozo?
17. Una inversión de $us. 1.000 crece a una razón igual
al 7% de su tamaño. Exprese el valor de la inversión
como una función del tiempo.
18. El ritmo al que decrece la concentración de un
medicamento en el flujo sanguíneo es proporcional a la
concentración. Exprese la concentración de
medicamento en el flujo sanguíneo como una función
del tiempo.

34. exponencial.
Funciones
exponenciales.
Recordación.
Propagación de
una epidemia.
Propagación de
una epidemia.
19. Demuestre que una cantidad que disminuye a un
ritmo proporcional a su tamaño decrece
exponencialmente.
20. Demuestre que si una función derivable es igual a su
derivada, entonces la función debe ser de la forma
t
Cey = .
21. Algunos psicólogos creen que cuando a una
persona se le pide que recuerde una serie de hechos, el
ritmo al que éstos se recuerdan es proporcional al
número de hechos importantes, existentes en la
memoria de la persona, que no han sido recordados
todavía. Exprese el número de hechos que han sido
recordados como una función del tiempo y dibuje la
gráfica.
22. El ritmo al que se propaga una epidemia en una
comunidad es conjuntamente proporcional al número de
residentes que ha sido infectado y al número de
residentes propensos a la enfermedad que no ha sido
infectado. Exprese el número de residentes que ha sido
infectado como una función del tiempo (en semanas), si
la comunidad tenían la enfermedad inicialmente y si 855
residentes habían sido infectados hacia finales de la
primera semana.
23. El ritmo al que se propaga una epidemia en una
comunidad es conjuntamente proporcional al número de
residentes que ha sido infectado y al número de
residentes propensos a la enfermedad que no ha sido
infectado. Demuestre que la epidemia se propaga con

35. Corrupción en el
gobierno.
Curvas logísticas.
Ajuste de precios.
mayor rapidez cuando la mitad de los residentes
propensos ha sido infectada. (Sugerencia: No tiene que
resolver una ecuación diferencial para hacerlo.
Simplemente empiece con una fórmula para determinar
el ritmo al que se propaga la epidemia y emplee el
cálculo para maximizar este ritmo).
24. El número de personas implicadas en cierto
escándalo gubernamental aumente a un ritmo
conjuntamente proporcional al número de personas ya
implicadas y al número de personas relacionas con el
caso que aún no han sido implicadas. Suponga que 7
personas fueran implicadas cuando un periódico de
Washington hizo público el escándalo por primera vez,
que 9 personas más resultaron implicadas en los 3
meses siguientes, y otras 12 en los 3 meses
posteriores. ¿Cuántas personas aproximadamente
estaban involucradas en el escándalo? (Advertencia:
¡Este problema probará su ingenuidad algebraica!).
25. Demuestre que si una cantidad Q satisface la
ecuación diferencia kQ
dt
dQ
= )( QB − , donde k y B son
constantes positivas, entonces la razón de cambio dt
dQ
es mayor cuando 2
)(
B
tQ = . ¿Qué le dice este
resultado acerca del punto de inflexión de una cuerva
logística? Fundamente su respuesta. (Sugerencia:
Veáse la sugerencia del problema 23).
26. Suponga que el precio p(t) de determinado artículo
varía de modo que su razón de cambio dt
dp
es
proporcional a la escacez D – S, donde D = 7 – p y S =1

36. Ahorros.
Ahorros.
+ p son las funciones de demanda y de oferta del
artículo.
a) Si el precio es $us. 6 cuando t = 0 y $us. 4 cuando t
= 4, halle p(t).
b) Demuestre que cuando t crece sin límite. p(t) se
aproxima al precio en que la oferta es igual a la
demanda.
27. El precio actual de cierto artículo es $us. 3 por
unidad. Se estima que dentro de t semanas el precio
P(t) se incrementará a la razón de 0.02
t
etP 1.0
)( +
centavos por semana. ¿Cuánto costará el artículo
dentro de 10 semanas?
28. Chris tiene un salario inicial de $us. 27.000 por año y
estima que con los incrementos de salario y las primas
su compensación aumentará a una tasa media anual
del 9%. Ella deposita regularmente el 5% de su salario
en una cuenta de ahorros que devenga intereses a la
tasa anual del 8% capitalizado continuamente.
a) Desarrolle una ecuación diferencial lineal de primer
orden para la cantidad de dinero en la cuenta de
ahorros dentro de t años. Suponga que ella realiza
depósito de modo continuo.
b) ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta de ahorros
dentro de 20 años?
29. Chuck ahorra para realizar una excursión por
Europa que dentro de 6 años vale $us.8.000. Sus
padres desean ayudarlo y depositan una cantidad total

37. Absorción de un
medicamento.
Crecimiento de la
población con
inmigración.
de A dólares en una cuenta de ahorros que devenga
intereses del 9% anual capitalizado continuamente.
Chuck planea aumentar esta cantidad haciendo
depósitos frecuentes que asciendan a $us. 800 por año.
Desarrolle una ecuación diferencial para la cantidad de
dinero Q(t) existente en la cuenta después de t años,
revuélvala y determine cuál debe ser A para que
alcance su meta.
30. El ritmo al que cierto medicamento se absorbe en el
sistema circulatorio está dado por sxr
dt
dx
−= , donde
x(t) es la concentración del medicamento en el flujo
sanguíneo en el tiempo t; r y s son constantes positivas.
Supóngase que al comienzo no había indicios del
medicamento en la sangre:
a) Halle x(t)
b) ¿Qué le sucede a x(t) a “largo plazo” (a medida que
t crece sin límite)?
31. Sea P(t) la población de cierto país en el tiempo t.
Supóngase que la tasa de natalidad r y la de
mortalidad s del país son constantes y que hay una tasa
constante de inmigración m.
a) Explique por qué la población de cierto país en el
tiempo t. Suponga que la tasa de natalidad r y la de
mortalidad s del país son constantes y que hay una
tasa constante de inmigración m.
mtPsr
dt
dP
+−= )()(
b) Halle P(t)

38. Historia de
espías.
c) Si la población del país era 100 millones en 1990,
con una tasa de crecimiento (tasa de natalidad
menos tasa de mortalidad) del 2%, y si se permite la
inmigración a la tasa de 300.000 personas por año.
¿Cuál será la población en el año 2000?
32. Mientras el espía analiza sus opciones de retiro
(veáse problema 10 en el capítulo 6, sección 4) es
capturado por su mayor enemigo André Seélérat. El
espía es atado a una silla y encerrado en un armario
hacia el cual se bombea lentamente gas venenoso. El
armario tiene un volumen de 400 pies
3
. El gas venenoso
entra con lentitud al ritmo de 0.2 pies
3
por minuto, y la
mezcla de aire (gas y aire fresco) escapa al mismo
ritmo por una rendija bajo la puerta. El gas se vuelve
mortífero cuando el aire de la habitación contiene 0.8
pies
3
de gas venenoso. Si el espía tarda 3 minutos en
desatarse y 45 segundos para dar una patada a la
puerta y abrirla. ¿Podrá sobrevivir?.
33. El valor de reventa de cierta maquinaria industrial
decrece a un ritmo proporcional a la diferencia entre su
valor actual y su valor residual de $us. 40.000 y valía
$us. 30.000 después de 4 años. ¿Cuánto valdrá la
maquinaria cuando tenga 8 años?.
34. Cierto pozo petrolífero que produce 600 barriles de
petróleo crudo al mes se secará en 3 años. En la
actualidad, el precio del petróleo crudo es $us. 24 por
barril y se espera que aumente a una razón constante
de 8 centavos mensuales por barril. Si el petróleo se
vende tan pronto como se extrae del suelo. ¿Cuál será
el ingreso futuro total obtenido del pozo?

39. 35. Un tanque contiene actualmente 200 galones de
salmuera que tiene 3 libras de sal por galón. Hacia el
tanque fluye agua clara a un ritmo de 4 galones por
minuto, mientras que la mezcla, que se mantiene
uniforme, sale del tanque a un ritmo de 5 galones por
minuto. ¿Cuánta sal hay en el tanque al final de 100
minutos?
36. El ritmo al que crece la población de cierto país es
conjuntamente proporcional al límite superior de 10
millones impuesto por factores del entorno y a la
diferencia entre el límite superior y el tamaño de la
población. Exprese la población del país (en millones)
como una función del tiempo (en años medidos desde
1985). Si la población en ese año era 4 millones y en
1990, de 4.74 millones.
37. Un país tiene $us. 5.000 millones en moneda
corriente. Todos los días cerca de $us. 18 millones
ingresan a los bancos y se desembolsa la misma
cantidad. Suponga que el país decide que cada vez que
llega al banco un billete de dólar, éste es destruido y
reemplazado por un nuevo tipo de moneda. ¿Cuánto
tiempo se necesitará para que el 90% de la moneda en
circulación sea del nuevo estilo?
38. Un tanque contiene en principio 30 libras de sal
disueltas en 50 galones de agua. Hacia el tanque fluye
salmuera, que contiene 2 libras de sal por galón, a
razón de 2 galones por minuto, y la mezcla, que se
mantiene uniforme al agitarla, sale a razón de 1 galón
por minuto.
a) Halle la cantidad de sal disuelta en el tanque en el

40. tiempo t.
b) ¿Cuántos galones de solución hay en el tanque en
el momento en que hay en el tanque en el momento
en que hay 40 libras de sal?
39. La ley de Pareto en economía dice que la razón de
cambio (decrecimiento) del número de personas P, en
una economía estable, que tienen un ingreso de al
menos x dólares es directamente proporcional al
número de estas personas e inversiomente proporcional
a su ingreso. Exprese esta ley como una ecuación
diferencial y despeje P en términos de x.
40. Los demógrafos emplean la función de Gompertz
para predecir la población. Sea P0 la población inicial de
un región (un país, el mundo, etc.) y β la tasa de
crecimiento de la población. Entonces, la función de
Gompertz P(t) representa la población en el tiempo t y
satisface la ecuación diferencial.