2. Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.
Factores integrantes.
Caso I.
Cuando
𝑀 𝑦−𝑁 𝑥
𝑁
es función solo de x, entonces 𝑃(𝑥)=
𝑀 𝑦−𝑁 𝑥
𝑁
por lo que 𝑓(𝑥) = 𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
es un factor integrante.
Caso II.
Cuando
𝑁 𝑥−𝑀 𝑦
𝑁
es función solo de y, entonces 𝑃(𝑦)=
𝑁 𝑥−𝑀 𝑦
𝑀
lo que implica que
𝑓(𝑦) = 𝑒∫ 𝑝(𝑦)𝑑𝑦
es un factor integrante.
Ecuaciones diferenciales.
(4𝑥𝑦2
+ 3𝑦)𝑑𝑥 + (3𝑥2
𝑦 + 2𝑥)𝑑𝑦 = 0
Factor integrante 𝑥2
𝑦
Factores integrantes en función de una sola variable.
Ejercicios Resueltos.
Ejemplo 1.
( 𝟐𝒙𝒚 + y4
) 𝒅𝒙 + (𝟑x2
+ 𝟔𝒙y3
) 𝒅𝒚 = 𝟎
Se buscan las derivadas parciales para verificar si la E. D. es o no
exacta.
My = 2x + 4y3
Nx = 6x + 6y3
Dado que My ≠ 𝑁𝑥 la ecuación diferencial no es exacta.
Se busca un F. I. que al ser multiplicado por E. D. la convierta en
exacta.
𝑝(𝑦) =
𝑁 𝑥−𝑀 𝑦
M
𝑝(𝑦) =
6𝑥+6𝑦3−2𝑥−4𝑦3
2𝑥𝑦+𝑦4 =
4𝑥+2𝑦3
2𝑥𝑦+𝑦4 =
2 (2𝑥+𝑦3)
𝑦 (2𝑥+𝑦3)
𝑝(𝑦) =
2
y
3. Ecuaciones Diferenciales
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Luego:
F. I = e∫ p(y)dy
F. I = e
∫
2
y
dy
F. I = e2 ln y
F. I = 𝐞𝐥𝐧 𝐲 𝟐
F. I = y2
Se multiplica el F. I. por la ecuación diferencial y se calculan las
derivadas parciales.
𝐲 𝟐
(𝟐𝒙𝒚 + y4
) 𝒅𝒙 +y2
(𝟑x2
+ 𝟔𝒙y3
) 𝒅𝒚 = 𝟎
(2xy3
+ y6)𝑑𝑥 + (3𝑥2
𝑦2
+ 6𝑥𝑦5)𝑑𝑦 = 0
My = 6xy2
+ 6y5
Nx = 6xy2
+ 6y5
Ahora, se integra respecto a dx y a dy
∫(2𝑥𝑦3
+ 𝑦6) 𝑑𝑥 = 0
2𝑦3
∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦6
∫ 𝑑𝑥 = 𝐶
𝑥2
𝑦3
+ 𝑥𝑦6
= 𝐶1
∫(3𝑥2
𝑦2
+ 6𝑥𝑦5) 𝑑𝑦 = 0
3𝑥2
∫ 𝑦2
𝑑𝑦 + 6𝑥 ∫ 𝑦5
𝑑𝑥 = 𝐶
𝑥2
𝑦3
+ 𝑥𝑦6
= 𝐶2
Solución General
𝑥2
𝑦3
+ 𝑥𝑦6
= 𝐶
4. Ecuaciones Diferenciales
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Ejemplo 2.
(𝒙𝒚 𝟑
+ 𝟏) 𝒅𝒙 + 𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
𝒅𝒚 = 𝟎
Solución:
𝑀 𝑦 = 3𝑥𝑦2
𝑁𝑥 = 2𝑥𝑦2
Como se observa, la ecuación diferencial no es exacta.
Buscamos el F. I.
𝑝 (𝑥) =
𝑀 𝑦−𝑁 𝑥
𝑁
𝑝 (𝑥) =
3𝑥𝑦2−2𝑥𝑦2
𝑥2 𝑦2
=
𝑥𝑦2
𝑥2 𝑦2
=
1
𝑥
𝑝 (𝑥) =
1
𝑥
F. I.= 𝑒∫ 𝑝(𝑥) 𝑑𝑥
F. I.= 𝑒∫
1
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑒∫
𝑑𝑥
𝑥 = 𝑒ln 𝑥
F. I.= 𝒙
Ahora se multiplica a x por la E. D.
𝑥 ( 𝑥𝑦3
+ 1) 𝑑𝑥 + 𝑥 ( 𝑥2
𝑦2) 𝑑𝑦 = 0
( 𝑥2
𝑦3
+ 1) 𝑑𝑥 + 𝑥3
𝑦2
𝑑𝑦 = 0 Luego:
𝑀 𝑦 = 3𝑥2
𝑦2
𝑁𝑥 = 3𝑥2
𝑦2
Como se muestra, la E. D. ha sido convertida en exacta.
Ahora se procede a integrar con respecto a cada diferencial.
∫( 𝑥2
𝑦3
+ 1) 𝑑𝑥 = 0
𝑥3 𝑦3
3
+ 𝑥 = 𝐶
Solución general
𝑥3 𝑦3
3
+ 𝑥 = 𝐶
∫ 𝑥3 𝑦2 𝑑𝑦 = 0
𝑥3 𝑦3
3
+ 𝑥 = 𝐶
5. Ecuaciones Diferenciales
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Ejemplo 3.
𝑥2
𝑦2
𝑑𝑥 + (𝑥3
𝑦 + 𝑦 + 3) 𝑑𝑦 = 0
Se calculan las derivadas parciales.
𝑀 𝑦 = 2𝑥2
𝑦
𝑁𝑥 = 3𝑥2
𝑦
Como se observa, 𝑀 𝑦 ≠ 𝑁𝑥 la E. D. no es exacta.
𝑝 (𝑥) =
𝑀 𝑦−𝑁 𝑥
𝑁
𝑝 (𝑥) =
2𝑥2 𝑦−3𝑥2 𝑦
𝑥3 𝑦+𝑦+3
=
−𝑥2 𝑦
𝑥3 𝑦+𝑦+3
Como se observa, con p (𝑥) no es posible expresar en función de una sola
variable.
𝑝 (𝑦) =
𝑁 𝑥−𝑀 𝑦
𝑀
𝑝 (𝑦) =
3𝑥2 𝑦−2𝑥2 𝑦
𝑥2 𝑦2
=
𝑥2 𝑦
𝑥2 𝑦2
=
1
𝑦
𝑝 (𝑦) =
1
𝑦
F. I.= 𝑒∫ 𝑝(𝑦) 𝑑𝑦
F. I.= 𝑒
∫
1
𝑦
𝑑𝑦
= 𝑒
∫
𝑑𝑦
𝑦 = 𝑒ln 𝑦
F. I.= 𝒚
Se multiplica y por la E. D.
𝑦 (𝑥2
𝑦2
𝑑𝑥) + 𝑦 (𝑥3
𝑦 + 𝑦 + 3) 𝑑𝑦 = 0
𝑥2
𝑦3
𝑑𝑥 + (𝑥3
𝑦2
+ 𝑦2
+ 3𝑦) 𝑑𝑦 = 0
Se calculan las derivadas parciales.
𝑀 𝑦 = 3𝑥2
𝑦2
𝑁𝑥 = 3𝑥2
𝑦2
Al ser 𝑀 𝑦 = 𝑁𝑥 la ecuación diferencial es exacta.
6. Ecuaciones Diferenciales
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Ahora se integra con respecto a dx y con respecto a dy
∫ 𝑥2
𝑦3
𝑑𝑥 = 𝐶
𝑦3
∫ 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝐶
𝑦3 𝑥3
3
= 𝐶
Se integra con respecto a dy
∫(𝑥3
𝑦2
+ 𝑦2
+ 3𝑦) 𝑑𝑦 = 0
𝑥3
∫ 𝑦2
𝑑𝑦 + ∫ 𝑦2
𝑑𝑦 + 3 ∫ 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶
𝑦3 𝑥3
3
+
𝑦3
3
+
3𝑦2
2
= 𝐶
Solución general
𝑦3 𝑥3
3
+
𝑦3
3
+
3𝑦2
2
= 𝐶
7. Ecuaciones Diferenciales
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Caso III.
Factor integrante de la forma 𝑥 𝑚
𝑦 𝑛
En este caso el factor integrante estará dado por la expresión 𝑀 𝑦 − 𝑁𝑥 = 𝑚
𝑁
𝑥
− 𝑛
𝑀
𝑦
Ejemplo 1.
(𝑥2
𝑦5
+ 𝑦3)𝑑𝑥 + (𝑥3
𝑦4
+ 𝑥)𝑑𝑦 = 0
𝑀 𝑦 = 5𝑥2
𝑦4
+ 3𝑦2
𝑁𝑥 = 3𝑥2
𝑦4
+ 1
Dado que 𝑀 𝑦 ≠ 𝑁𝑥 la ecuación diferencial no es exacta, por lo que:
𝑴 𝒚 − 𝑵 𝒙 = 𝒎
𝑵
𝒙
− 𝒏
𝑴
𝒚
5𝑥2
𝑦4
+ 3𝑦2
− 3𝑥2
𝑦4
− 1 = 𝑚
𝑥3 𝑦4+𝑥
𝑥
− 𝑛
𝑥2 𝑦5+𝑦3
𝑦
2𝑥2
𝑦4
+ 3𝑦2
− 1 = 𝑚( 𝑥2 𝑦4 + 1) − 𝑛(𝑥2
𝑦4
+ 𝑦2)
2𝑥2
𝑦4
+ 3𝑦2
− 1 = 𝑚 𝑥2 𝑦4 + 𝑚 − 𝑛𝑥2
𝑦4
− 𝑛𝑦2
2𝑥2
𝑦4
+ 3𝑦2
− 1 = (𝑚 − 𝑛) 𝑥2 𝑦4 − 𝑛𝑦2
+ 𝑚
De lo anterior, se extrae lo siguiente:
{
𝑚 − 𝑛 = 2
−𝑛 = 3
𝑚 = −1
Al resolver este sistema de ecuaciones, nos queda que:
𝒎 = −𝟏 𝒚 𝒏 = −𝟑
Esto indica que el factor integrante es 𝒙−𝟏
𝒚−𝟑
Ahora se multiplica este factor por la ecuación diferencial
𝒙−𝟏
𝒚−𝟑 (𝑥2
𝑦5
+ 𝑦3)𝑑𝑥 + 𝒙−𝟏
𝒚−𝟑 (𝑥3
𝑦4
+ 𝑥)𝑑𝑦 = 0
(𝑥𝑦2
+ 𝑥−1)𝑑𝑥 + (𝑥2
𝑦 + 𝑦−3)𝑑𝑦 = 0
Se calculan nuevamente las derivadas parciales
𝑀 𝑦 = 2𝑥𝑦 𝑁𝑥 = 2𝑥𝑦
Dado que 𝑀 𝑦 = 𝑁𝑥 la ecuación diferencial es exacta.
8. Ecuaciones Diferenciales
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Ahora se integra con respecto a dx y con respecto a dy
∫(𝑥𝑦2
+ 𝑥−1) 𝑑𝑥
𝑦2
∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥−1
𝑑𝑥 = 𝐶
𝑦2 𝑥2
2
+ ln 𝑥 = 𝐶
∫( 𝑥2
𝑦 + 𝑦−3
) 𝑑𝑦 = 𝐶
𝑥2
∫ 𝑦 𝑑𝑦 + ∫ 𝑦−3
𝑑𝑦 = 𝐶
𝑦2 𝑥2
2
+
𝑦−2
−2
= 𝐶
𝑦2 𝑥2
2
−
1
2𝑦2
= 𝐶
Solución General
𝑦2 𝑥2
2
−
1
2𝑦2
+ ln 𝑥 = 𝐶
𝑥2
𝑦2
−
1
𝑦2
+ 2 ln 𝑥 = 𝐶
𝒙 𝟐
𝒚 𝟐
−
𝟏
𝒚 𝟐
+ 𝐥𝐧 𝒙 𝟐
= 𝑪
9. Ecuaciones Diferenciales
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Ejemplo 2.
(𝑥−3
𝑦4
− 2𝑥4
𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥−2
𝑦3
+ 𝑥5
𝑦) 𝑑𝑦 = 0
Se calculan las derivadas parciales
𝑀 𝑦 = 4𝑥−3
𝑦3
− 4𝑥4
𝑦
𝑁𝑥 = −2𝑥−3
𝑦3
+ 5𝑥4
𝑦
Dado que las derivadas parciales, no son iguales, esta ecuación
diferencial no es exacta.
Ahora se procede a buscar el F. I. utilizando para esto la fórmula:
𝑀 𝑦 − 𝑁𝑥 = 𝑚
𝑁
𝑥
− 𝑛
𝑀
𝑦
4𝑥−3
𝑦3
− 4𝑥4
𝑦 + 2𝑥−3
𝑦3
− 5𝑥4
𝑦 = 𝑚
𝑥−2
𝑦3
+𝑥5
𝑦
𝑥
− 𝑛
𝑥−3
𝑦4
−2𝑥4
𝑦2
𝑦
6𝑥−3
𝑦3
− 9𝑥4
𝑦 = 𝑚 (𝑥−3
𝑦3
+ 𝑥4
𝑦) − 𝑛 (𝑥−3
𝑦3
− 2𝑥4
𝑦)
6𝑥−3
𝑦3
− 9𝑥4
𝑦 = 𝑚 𝑥−3
𝑦3
+ 𝑚 𝑥4
𝑦 − 𝑛 𝑥−3
𝑦3
+ 2 𝑛𝑥4
𝑦
6𝑥−3
𝑦3
− 9𝑥4
𝑦 = (𝑚 − 𝑛) 𝑥−3
𝑦3
+ (𝑚 + 2𝑛) 𝑥4
𝑦
De la expresión anterior, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
{
𝑚 − 𝑛 = 6
𝑚 + 2𝑛 = −9
Al resolver este sistema de ecuaciones, nos queda que:
𝒎 = 𝟏 𝒚 𝒏 = −𝟓
Por lo que el Factor integrante es 𝒙 𝒚−𝟓
Se multiplica el Factor integrante por la ecuación diferencial
𝑥𝑦−5(𝑥−3
𝑦4
− 2𝑥4
𝑦2)𝑑𝑥 + 𝑥𝑦−5(𝑥−2
𝑦3
+ 𝑥5
𝑦) 𝑑𝑦 = 0
(𝑥−2
𝑦−1
− 2𝑥5
𝑦−3) 𝑑𝑥 + (𝑥−1
𝑦−2
+ 𝑥6
𝑦−4) 𝑑𝑦 = 0
Se calculan las derivadas parciales.
𝑀 𝑦 = −𝑥−2
𝑦−2
+ 6𝑥5
𝑦−4
𝑁𝑥 = −𝑥−2
𝑦−2
+ 6𝑥5
𝑦−4
10. Ecuaciones Diferenciales
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Comprobada la exactitud de la ecuación diferencial, se procede ahora a
integrar respecto a dx y dy.
∫(𝑥−2
𝑦−1
− 2𝑥5
𝑦−3) 𝑑𝑥 = 0
∫ 𝑥−2
𝑦−1
𝑑𝑥 − ∫ 2𝑥5
𝑦−3
= 𝐶
𝟏
𝒙 𝒚
−
𝟐𝒙 𝟔
𝟔𝒚 𝟑 = 𝑪 𝟏
𝟏
𝒙 𝒚
−
𝒙 𝟔
𝟑𝒚 𝟑 = 𝑪 𝟏
∫(𝑥−1
𝑦−2
+ 𝑥6
𝑦−4) 𝑑𝑦 = 0
∫ 𝑥−1
𝑦−2
𝑑𝑦 + ∫ 𝑥6
𝑦−4
= 𝐶
𝟏
𝒙 𝒚
−
𝒙 𝟔
𝟑𝒚 𝟑 = 𝑪 𝟐
Solución general:
𝟏
𝒙 𝒚
−
𝒙 𝟔
𝟑𝒚 𝟑 = 𝑪
11. Ecuaciones Diferenciales
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Ejemplo 3.
𝑥 (4𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑦) + 𝑦3(3𝑦 𝑑𝑥 + 5𝑥 𝑑𝑦) = 0
Solución:
(4𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥2
𝑑𝑦) + (3𝑦4
𝑑𝑥 + 5𝑥 𝑦3
𝑑𝑦) = 0
(4𝑥𝑦 + 3𝑦4) 𝑑𝑥 + (2𝑥2
+ 5𝑥 𝑦3) 𝑑𝑦 = 0
Se calculan las derivadas parciales.
𝑀 𝑦 = 4𝑥 + 12𝑦3
𝑁𝑥 = 4𝑥 + 5𝑦3
Como se observa, la ecuación diferencial no es exacta.
Ahora se procede a buscar el F. I. utilizando para esto la fórmula:
𝑀 𝑦 − 𝑁𝑥 = 𝑚
𝑁
𝑥
− 𝑛
𝑀
𝑦
4𝑥 + 12𝑦3
− 4𝑥 − 5𝑦3
= 𝑚
2𝑥2+5𝑥 𝑦3
𝑥
− 𝑛
4𝑥𝑦+3𝑦4
𝑦
12𝑦3
− 5𝑦3
= 𝑚 (2𝑥 + 5𝑦3) − 𝑛 (4𝑥 + 3𝑦3)
7𝑦3
= 2𝑚𝑥 + 5𝑚𝑦3
− 4𝑛𝑥 − 3𝑛𝑦3
7𝑦3
= (5𝑚 − 3𝑛) 𝑦3
+ (2𝑚 − 4𝑛)𝑥
De lo anterior se deduce que:
{
5𝑚 − 3𝑛 = 7
2𝑚 − 4𝑛 = 0
Resolviendo este sistema de ecuaciones, nos queda que:
𝒎 = 𝟐 𝒚 𝒏 = 𝟏
Luego el F. I. es 𝒙 𝟐
𝒚
Se multiplica 𝒙 𝟐
𝒚 por la ecuación diferencial
𝒙 𝟐
𝒚 (4𝑥𝑦 + 3𝑦4) 𝑑𝑥 + 𝒙 𝟐
𝒚 (2𝑥2 + 5𝑥 𝑦3) 𝑑𝑦 = 0
(4𝑥3
𝑦2
+ 3𝑥2
𝑦5) 𝑑𝑥 + (2𝑥4
𝑦 + 5𝑥3
𝑦4) 𝑑𝑦 = 0
12. Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.
Se calculan nuevamente las derivadas parciales para verificar si la E.
D. es exacta.
𝑀 𝑦 = 8𝑥3
𝑦 + 15𝑥2
𝑦4
𝑁𝑥 = 8𝑥3
𝑦 + 15𝑥2
𝑦4
Dado que la ecuación diferencial es exacta, se procede a integrar
respecto a dx y a dy.
∫ (4𝑥3 𝑦2 + 3𝑥2 𝑦
5
) 𝑑𝑥 = 0
∫ 4𝑥3 𝑦2 𝑑𝑥 + ∫ 3𝑥2 𝑦
5
𝑑𝑥 = 𝐶
𝑥4
𝑦2
+ 𝑥3
𝑦5
= 𝐶1
∫(2𝑥4 𝑦 + 5𝑥3 𝑦4) 𝑑𝑦 = 0
∫ 2𝑥4 𝑦 𝑑𝑦 + ∫ 5𝑥3 𝑦
4
𝑑𝑦 = 𝐶
𝑥4
𝑦2
+ 𝑥3
𝑦5
= 𝐶2
Solución General:
𝒙 𝟒
𝒚 𝟐
+ 𝒙 𝟑
𝒚 𝟓
= 𝑪