presentación de la ecuación de Bessel Universidad de Cuenca Ecuaciones diferenciales

1. ECUACIÓN DIFERENCIAL
DE BESSEL
Integrantes: Allaico, Arévalo, Asmal, Cabrera, Delgado, Gallegos, Jerves,
Machado, Ordoñez, Sanchez, Solano, Zea.
Ecuaciones Diferenciales,
Grupo #2

2. INTRODUCCIÓN
 Las funciones de Bessel fueron definida en primer lugar por el
matemático Daniel Bernoulli y después generalizadas por el
matemático Friedrich Bessel, son soluciones para la ecuación
diferencial de Bessel.
 La ecuación de Bessel tiene gran importancia al momento de
determinar la distribución y el flujo del calor o la electricidad a
través de un cilindro circular, y para la solución de problemas
relacionados con el movimiento ondulatorio, la elasticidad y la
hidrodinámica.

3. BIOGRAFÍA
 Daniel Bernoulli ( 8 de febrero de 1700 -17 de marzo de 1782) fue
un matemático, estadístico, físico y médico holandés –suizo, que
hizo importantes contribuciones en hidrodinámica y elasticidad.

4.  Friedrich Bessel (22 de julio, 1784 - 17 de marzo, 1846) fue un matemático
alemán, astrónomo y sistematizador de las funciones de Bessel. Se hizo famoso
por elaborar el método estelar PARALLAX, el primero método exacto para medir
distancias estelares. También determinó el diámetro, el peso y la elipticidad de
la Tierra.

5. PRERREQUISITOS
 Método de Frobenius
𝑦 = 𝑛=0
∞
𝐶 𝑛(𝑥 − 𝑎) 𝑛+𝑟
En donde:
 x = a es un punto singular regular
 r es una raíz de la ecuación indicial

6. PRERREQUISITOS
 Función Gamma
La función Γ n para n>0, se define como:
Γ n =
0
∞
𝑡 𝑛−1
𝑒−𝑡
𝑑𝑡
 Γ n + 1 = 𝑛Γ n
 Γ 1 = 1
 Γ
1
2
= 𝜋

7. DEFINICIÓN
 Una ecuación de Bessel tiene la forma:
𝒙 𝟐
𝒚′′
+ 𝒙𝒚′
+ 𝒙 𝟐
− 𝒗 𝟐
𝒚 = 𝟎
Donde v≥0 es un parámetro real y x=0 es un punto singular regular

8. DESARROLLO POR MÉTODO DE
FROBENIUS
𝑦 =
𝑛=0
∞
𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+𝑟
Al derivar
𝑦′ =
𝑛=0
∞
𝐶 𝑛 𝑛 + 𝑟 𝑥 𝑛+𝑟−1
𝑦′′
=
𝑛=0
∞
𝐶 𝑛(𝑛 + 𝑟)(𝑛 + 𝑟 − 1) 𝑥 𝑛+𝑟−2

9. DESARROLLO POR MÉTODO DE
FROBENIUS
Sustituyendo queda
𝑥2
𝑛=0
∞
𝐶 𝑛 𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑥 𝑛+𝑟−2 + 𝑥
𝑛=0
∞
𝐶 𝑛 𝑛 + 𝑟 𝑥 𝑛+𝑟−1 + 𝑥2 − 𝑣2
𝑛=0
∞
𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+𝑟 = 0
Simplificando
𝑛=0
∞
𝐶 𝑛 𝑛 + 𝑟 𝑛 + 𝑟 − 1 𝑥 𝑛+𝑟 +
𝑛=0
∞
𝐶 𝑛 𝑛 + 𝑟 𝑥 𝑛+𝑟 +
𝑛=0
∞
𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+𝑟+2 − 𝑣2
𝑛=0
∞
𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+𝑟 = 0
Para n=0 (Frobenius)
𝐶0 𝑟 𝑟 − 1 + 𝑟 − 𝑣2 = 0

10. DESARROLLO POR MÉTODO DE
FROBENIUS
𝐶0 no puede ser cero, por tanto
𝑟 𝑟 − 1 + 𝑟 − 𝑣2
= 0
(𝑟 + 𝑣)(𝑟 − 𝑣) = 0
Entonces, las raíces son:
𝑟1 = 𝑣
𝑟2 = −𝑣

11. Cuando 𝑟1 = 𝑣 la ecuación anteriormente mencionada se transforma en cuando :
= 𝑥 𝑣
𝑛=1

𝐶 𝑛 𝑛 𝑛 + 2𝑣 𝑥 𝑛
+ 𝑥 𝑣
𝑛=0
∞
𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+2
Para que el exponente de x empiece elevada a la misma potencia en ambas sumatorias se
saca el primer contador de la primera sumatoria.
𝑥 𝑣
1 + 2𝑣 𝐶1 𝑥 +
𝑛=2
∞
𝐶 𝑛 𝑛 𝑛 + 2𝑣 𝑥 𝑛
+
𝑛=0
∞
𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+2
Entonces:
Para 𝑛=2
∞
𝐶 𝑛 𝑛 𝑛 + 2𝑣 𝑥 𝑛
Se hace que 𝑘 = 𝑛 − 2 entonces 𝑛 = 𝑘 + 2 reemplazamos en la sumatoria.
𝑘=0
∞
𝐶 𝑘+2(𝑘 + 2) 𝑘 + 2 + 2𝑣 𝑥 𝑘+2
Para 𝑛=0
∞
𝐶 𝑛 𝑥 𝑛+2
se hace 𝑘 = 𝑛 reemplazamos.
𝑘=0
∞
𝐶 𝑘 𝑥 𝑘+2

12. = 𝑥 𝑣 1 + 2𝑣 𝐶1 𝑥 +
𝑘=0
∞
𝐶 𝑘+2(𝑘 + 2) 𝑘 + 2 + 2𝑣 𝑥 𝑘+2 +
𝑘=0
∞
𝐶 𝑘 𝑥 𝑘+2
=𝑥 𝑣
1 + 2𝑣 𝐶1 𝑥 + 𝑘=0
∞
[𝐶 𝑘+2 𝑘 + 2 𝑘 + 2 + 2𝑣 + 𝐶 𝑘]𝑥 𝑘+2
Por lo tanto se debe cumplir que 1 + 2𝑣 𝐶1=0 y
𝐶 𝑘+2 𝑘 + 2 𝑘 + 2 + 2𝑣 + 𝐶 𝑘=0
𝐶 𝑘+2 = −
𝐶 𝑘
𝑘+2 𝑘+2+2𝑣
para k=0,1,2,3,…
Cuando 𝐶1=0 trae como consecuencia que 𝐶1=𝐶3 = 𝐶5 = 𝐶7 = ⋯ = 0
Así que cuando k=0,2,4,6,… 𝑘 + 2 = 2𝑛 , n=1,2,3,…
𝐶2𝑛 = −
𝐶2𝑛−2
22 𝑛 𝑛 + 𝑣

13. 𝐶2𝑛 = −
𝐶2𝑛−2
22 𝑛 𝑛 + 𝑣
Entonces:
𝐶2 = −
𝐶0
221 1+𝑣
𝐶4 = −
𝐶2
222 2 + 𝑣
=
𝐶0
241 ∗ 2 1 + 𝑣 (2 + 𝑣)
𝐶6 = −
𝐶4
223 3 + 𝑣
= −
𝐶0
261 ∗ 2 ∗ 3 1 + 𝑣 (2 + 𝑣)(3 + 𝑣
.
.
.
𝐶2𝑛 =
(−1) 𝑛
𝐶0
22𝑛 𝑛! 1 + 𝑣 2 + 𝑣 … (𝑛 + 𝑣)

14.  Se acostumbra a elegir un valor patrón especifico para 𝐶0 que es:
𝐶0 =
1
2 𝑣Γ(1+𝑣)
 Sabemos que Γ(1+ ∝ )= ∝ Γ( ∝)
 Ejemplos:
Γ(1+𝑣 + 1)= 𝑣 + 1 Γ(𝑣 + 1)
Γ(1+𝑣 + 2)= 𝑣 + 2 Γ(𝑣 + 2) = 𝑣 + 2 (v+1)Γ(𝑣 + 1)
 Por lo que podemos expresar a 𝐶2𝑛 en
𝐶2𝑛 =
(−1) 𝑛
22𝑛+2 𝑛! 1+𝑣 2+𝑣 …(𝑛+𝑣)Γ(1+ 𝑣 )
=
(−1) 𝑛
22𝑛+2 𝑛!Γ(1+ 𝑣 +𝑛)

15. Funcion de Bessel
𝑱 𝒏 𝒙 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝑽 =
𝒏 𝐞𝐧𝐭𝐞𝐫𝐨

16. LOS VALORES ENTEROS DE V SE DENOTAN POR N. ESTA ES LA NORMA.
PARA V = N LA RELACIÓN ANTERIOR QUEDA COMO:
𝒂 𝟐𝒎 =
−𝟏 𝒎
𝒂 𝟎
𝟐 𝟐𝒎 𝒎! 𝒏 + 𝟏 𝒏 + 𝟐 … 𝒏 + 𝒎
, 𝑚 = 1,2, … .
DONDE 𝑎0 SIGUE SIENDO ARBITRARIA. ES NECESARIO HACER UNA
ELECCIÓN 𝑎0 = 1, PERO MAS PRACTICO ES:
𝑎0 =
1
2 𝑛 𝑛!
PORQUE ENTONCES 𝑛! 𝑛 + 1 … 𝑛 + 𝑚 = (𝑚 + 𝑛)!, DE DONDE:
𝒂 𝟐𝒎 =
−𝟏 𝒎
𝟐 𝟐𝒎+𝒏 𝒎! 𝒏 + 𝒎 !
, 𝑚 = 1,2, … .
CON ESTOS COEFICIENTES Y 𝑟1 = 𝑣 = 𝑛 SE OBTIENE UNA SOLUCIÓN
PARTICULAR, DENOTADA POR 𝐽 𝑛 𝑥 , LLAMADA LA FUNCIÓN DE BESSEL
DE PRIMERA CLASE DE ORDEN N:
𝑱 𝒏 𝒙 = 𝒙 𝒏
𝒎=𝟎
∞
−𝟏 𝒎 𝒙 𝟐𝒎
𝟐 𝟐𝒎+𝒏 𝒎! 𝒏 + 𝒎 !

17. Esta serie converge para toda x, con mucha rapidez debido
a los factoriales del denominador.
EJEMPLO: Funciones de Bessel 𝐽 𝑛 𝑥 𝑦 𝐽1 𝑥
Para n = 0 se obtiene la función de Bessel de orden 0
𝐽0 𝑥 = 𝑥 𝑛
𝑚=0
∞
−1 𝑚
𝑥2𝑚
22𝑚(𝑚!)2 = 1 −
𝑥2
22 1! 2 +
𝑥4
24 2! 2 −
𝑥6
26 3! 2 + − ⋯ ,
Que es similar al coseno. Para n = 1 se obtiene la función de
Bessel de orden 1
𝐽1 𝑥 = 𝑥 𝑛
𝑚=0
∞
−1 𝑚 𝑥2𝑚+1
22𝑚+1 𝑚! (𝑚 + 1)!
=
𝑥
2
−
𝑥3
231! 2!
+
𝑥5
252! 3!
−
𝑥7
273! 4!
+ − ⋯ ,
Que es similar al seno.

18. 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑎
𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑣 ≥ 0

19. Observando la función de Bessel con
v = n entero se observa
𝐽 𝑛 𝑥 = 𝑥 𝑛
𝑚=0
∞
(−1) 𝑚 𝑥2𝑚
22𝑚+𝑛 𝑚! (𝑛 + 𝑚)!
 El problema al plantear para cualquier 𝑣 ≥ 0 es que no hay factorial de números racionales por esto
recurrimos a la función Gamma Γ
 DEFINICION DE LA FUNCION GAMMA
Γ 𝛼 =
0
∞
𝑒−𝑡
𝑡 𝛼−1
𝑑𝑡
 PROPIEDADES DE LA FUNCION GAMMA
 Γ 𝛼 + 1 = 𝛼Γ 𝛼 Propiedad 1
 Γ 𝑛 + 1 = 𝑛! Propiedad 2
 La segunda propiedad de Gamma generaliza la función factorial para cualquier 𝑣 ≥ 0

20. Se conoce que para 𝑣 = 𝑛 ∈ 𝐼 𝑎0 =
1
2 𝑛 𝑛!
entonces con Γ 𝑛 + 1 = 𝑛! tenemos
𝑎0 =
1
2 𝑛Γ 𝑛 + 1
 Reemplazando n por v se tiene
𝑎0 =
1
2 𝑣Γ 𝑣 + 1
 Luego
𝑎2𝑚 =
(−1) 𝑚
22𝑚 𝑚! 𝑣 + 1 𝑣 + 2 . . . (𝑣 + 𝑚)
. 𝑎0
𝑎2𝑚 =
(−1) 𝑚
22𝑚+𝑣 𝑚! 𝑣 + 1 𝑣 + 2 . . . (𝑣 + 𝑚)Γ 𝑣 + 1

21. En el denominador se tiene que:
𝑣 + 1 Γ 𝑣 + 1 = Γ 𝑣 + 1 + 1 = Γ 𝑣 + 2 para m=1
𝑣 + 2 Γ 𝑣 + 2 = Γ 𝑣 + 3 ,etc. Para m=2
 De modo que para cualquier m
𝑣 + 1 𝑣 + 2 . . . 𝑣 + 𝑚 Γ 𝑣 + 1 = 𝑣 + 𝑚 Γ 𝑣 + 𝑚 = Γ 𝑣 + 𝑚 + 1
 Entonces la expresión para 𝑎2𝑚 se reduce a:
𝑎2𝑚 =
(−1) 𝑚
22𝑚+𝑣 𝑚!Γ 𝑣+𝑚+1
Finalmente con 𝑟 = 𝑟1 = 𝑣 ≥ 0 obtenemos
𝑱 𝒗 𝒙 = 𝒙 𝒗
𝒎=𝟎
∞
(−𝟏) 𝒎 𝒙 𝟐𝒎
𝟐 𝟐𝒎+𝒗 𝒎! 𝜞 𝒗 + 𝒎 + 𝟏
Denominada Función de Bessel de primera clase de orden v

22. SOLUCIÓN DE LA
ECUACIÓN DE
BESSEL(TEOREMA 1)

23. (Ecuación diferencial de Bessel)
(funciones de Bessel)
Solución de la ecuación de diferencial de Bessel

24. (Ecuación diferencial de Bessel)
(funciones de Bessel)
Solución de la ecuación de diferencial de Bessel

25.  Ejemplo:
Donde,

26. DEPENDENCIA LINEAL DE LA FUNCIÓN DE BESSEL(TEOREMA 2)
Y(x)= c1Jv(x)+c2J-v (x)
Con v = n (entero):
Por definición:
y(x)= c1Jn (x)+c2J-n(x)
Jn (x) = xn (-1)m
x2m
22m+n
m!(m+n)!m=0
¥
å

27. DEPENDENCIA LINEAL DE LA FUNCIÓN DE BESSEL
J-n (x) =
(-1)m
x2m-n
22m-n
m!(m-n)!m=n
¥
å =
(-1)n+s
x2s+n
22s+n
s!(s+n)!m=n
¥
å
m = n+ ss = m-n
G(m-n+1) = (m-n)!
(-1)n+s
x2s+n
22s+n
s!(s+n)!m=n
¥
å = (-1)s (-1)n
x2s+n
22s+n
s!(s+n)!m=n
¥
å = (-1)s
Jn (x)
(-1)n
Jn (x) = J-n(x)

28. DEPENDENCIA LINEAL DE LA FUNCIÓN DE BESSEL
y(x)= c1Jn (x)+c2J-n(x)
y(x)= c1Jn (x)+c2(-1)n
Jn(x)
y(x)= Jn (x)(c1 +c2 (-1)n
)
por lo tanto son linealmente dependientes, y no es una solución a la ecuación diferencial
Pudo ser comprobada directamente con las propiedades, pero aquí se demostró dicha propiedad

29. PROPIEDADES
ADICIONALES
DE 𝐽𝑣(𝑥)

30. 𝐏𝐫𝐨𝐩𝐢𝐞𝐝𝐚𝐝𝐞𝐬 𝐀𝐝𝐢𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝑱 𝒗 𝒙
 Las funciones de Bessel 𝐽𝑣 𝑥 satisfacen un número alto de
relaciones, estas son posibles descubrir por propiedades de
las funciones especiales a partir de sus series.
 A continuación se discuten cuatro de las más elementales:

35. Ejemplos
 Ejemplo 1 Calcule J3(x):
Usando
𝟐𝒗
𝒙
𝑱 𝒗 𝒙 = 𝑱 𝒗−𝟏 𝒙 + 𝑱 𝒗+𝟏 𝒙
𝟐
𝒙
𝑱 𝟏 𝒙 = 𝑱 𝟎 𝒙 + 𝑱 𝟐 𝒙
𝑱 𝟐 𝒙 =
𝟐
𝒙
𝑱 𝟏 𝒙 − 𝑱 𝟎 𝒙 𝟏
𝑱 𝟑 𝒙 =
𝟒
𝒙
𝑱 𝟐 𝒙 − 𝑱 𝟏 𝒙 𝟐
Reemplazando 1 en 2:
𝑱 𝟑 𝒙 =
𝟖
𝒙 𝟐
− 𝟏 𝑱 𝟏 𝒙 −
𝟒
𝒙
𝑱 𝟎 𝒙

36.  Ejemplo 2 Evalúe:
𝐼 =
1
2
𝑥−3 𝐽4(𝑥) 𝑑𝑥
Usando
𝑑(𝑥−𝑣 𝐽 𝑣 𝑥 )
𝑑𝑥
= −𝑥−𝑣 𝐽𝑣+1(𝑥)
𝑢 = 𝑥−3 𝐽3 𝑥
𝑑𝑢 = −𝑥−3
𝐽4(𝑥)𝑑𝑥
𝐼 =
1
2
𝑑𝑢 =
−1
8
𝐽3 2 + 𝐽3 1
Sabiendo lo que definimos anteriormente podemos obtener mediante tablas que:
−1
8
𝐽3 2 + 𝐽3 1 = 0.0038

37. 𝑱 𝒗 𝒙 𝒄𝒐𝒏 𝒗 = ±
𝟏
𝟐
, ±
𝟑
𝟐
, … … 𝒔𝒐𝒏 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔
Para explicar esto definiremos primero:
𝐽1
2
𝑥 =
2
𝑥
𝑚=0
∞
(−1) 𝑚
𝑥2𝑚+1
22𝑚+1 𝑚! Г 𝑚 +
3
2
Sabemos que:
Г
1
2
= 𝜋
Luego definimos que:
Г 𝑚 +
3
2
= 𝑚 +
1
2
𝑚 −
1
2
∗ ⋯ ∗
3
2
∗. .∗
1
2
Г
1
2
Г 𝑚 +
3
2
= 2− 𝑚+1
2𝑚 + 1 2𝑚 − 1 ∗ ⋯ ∗ 3 ∗. .∗ 1 𝜋
22𝑚+1
𝑚! = 2 𝑚+1
2𝑚 2𝑚 − 2 ∗ ⋯ .∗ 4 ∗. .∗ 2
Con estas dos definiciones llegamos a determinar que:
𝐽1
2
𝑥 =
2
𝑥𝜋
𝑚=0
∞
(−1) 𝑚
𝑥2𝑚+1
2𝑚 + 1 !
Esta serie que obtenemos se denomina como serie de Maclaurin de sen(x):
𝐽1
2
𝑥 =
2
𝑥𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝑥)

38. Teorema
 Las funciones de Bessel Jv de órdenes v = ±
𝟏
𝟐
, ±
𝟑
𝟐
, … son elementales; pueden
expresarse por un número finito de cosenos y senos y potencias de x.
𝐽3/2 𝑥 =
2
𝜋𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
− cos(𝑥)
𝐽−3/2 𝑥 = −
2
𝜋𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥
+ sen(𝑥)

39. Ejemplos

40.  Reducir la ecuación diferencial a la ecuación de Bessel
9𝑥2 𝑦′′ + 9𝑥𝑦′ + 36𝑥4 − 16 𝑦 = 0
 Cambio de variable
𝑥2 = 𝑧
𝑑𝑥 = 2𝑧
1
2 𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 2𝑧
1
2
𝑦′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑧
2𝑧
1
2 = 𝑦′′ =
𝑑
𝑑𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑦′′
=
𝑑
𝑑𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2𝑧
1
2 = 𝑦′′
=
𝑑
𝑑𝑧
2𝑧
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑧
2𝑧
1
2
𝑦′′
=
2𝑑𝑦
𝑑𝑧
+ 4𝑧
𝑑2 𝑦
𝑑𝑧2

41. 𝑥2 𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + 4𝑥4 −
16
9
𝑦 = 0
2𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+ 4𝑧2
𝑑2 𝑦
𝑑𝑧2
+ 2𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+ 4𝑧2
−
16
9
𝑦 = 0
4𝑧2
𝑑2 𝑦
𝑑𝑧2
+ 4𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+ 4𝑧2 −
16
9
𝑦 = 0
𝑧2
𝑑2 𝑦
𝑑𝑧2
+ 𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+ 4𝑧2 −
4
9
𝑦 = 0
𝑦 = 𝐽2
3
(𝑧) + 𝑐2 𝐽−2
3
(𝑧)
𝑦 = 𝐽2
3
(𝑥2) + 𝑐2 𝐽−2
3
(𝑥2)

42.  Expresar la siguiente integral en términos de funciones de Bessel
𝐼 = 𝑥−2
𝐽2 𝑑𝑥
𝐼 = 𝑥−4
(𝑥2
𝐽2)𝑑𝑥
 Integrando por partes
𝑢 = 𝑥2
𝐽2
𝑑𝑢 = 𝑥2
𝐽1 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑥−4
𝑑𝑥
𝑣 = −
𝑥−3
3
𝐼 = −
1
3𝑥
𝐽2 +
1
3
𝑥−1
𝐽1 𝑑𝑥
𝐼 = −
1
3𝑥
𝐽2 +
1
3
𝑥−2 (𝑥𝐽1)𝑑𝑥

43. 𝐼 = −
1
3𝑥
𝐽2 +
1
3
𝑥−2 (𝑥𝐽1)𝑑𝑥
 Integrando por partes nuevamente
𝑢 = 𝑥𝐽1
𝑑𝑢 = 𝑥𝐽0 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑥−2
𝑑𝑥
𝑣 = −
1
𝑥
𝐼 = −
1
3𝑥
𝐽2 +
1
3
− 𝐽1 + 𝐽0 𝑑𝑥
𝐼 = −
1
3𝑥
𝐽2 −
𝐽1
3
+
1
3
𝐽0 𝑑𝑥

44. FÓRMULAS DE RECURRENCIA
•
𝒅
𝒅𝒙
= [𝒙 𝒗
𝑱 𝒗 𝒙 ] = 𝒙 𝒗
𝑱 𝒗−𝟏 𝒙 (1)
•
𝒅
𝒅𝒙
= [𝒙−𝒗 𝑱 𝒗 𝒙 ] = −𝒙−𝒗 𝑱 𝒗+𝟏 𝒙 (2)
Al derivar el lado izquierdo de (1) como un producto, se tiene
𝒗𝒙 𝒗−𝟏
𝑱 𝒗 𝒙 + 𝒙 𝒗
𝑱′ 𝒗 𝒙 = 𝒙 𝒗
𝑱 𝒗−𝟏 𝒙
De donde al multiplicar por 𝒙−𝒗
, resulta
•
𝒗
𝒙
𝑱 𝒗 𝒙 + 𝑱′ 𝒗 𝒙 = 𝑱 𝒗−𝟏 𝒙 (3)
Las fórmulas (1) y (2) también resultan útiles escritas en la forma
• 𝒙 𝒗 𝑱 𝒗−𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒗 𝑱 𝒗 𝒙 + 𝑪 (4)
• 𝒙−𝒗
𝑱 𝒗+𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒙−𝒗
𝑱 𝒗 𝒙 + 𝑪 (5)
Primera Relación de Recurrencia:
•
𝟐𝒗
𝒙
𝑱 𝒗 𝒙 = 𝑱 𝒗−𝟏 𝒙 + 𝑱 𝒗+𝟏 𝒙 (6)

45. Ejemplo 1. Hallar
𝐝
𝐝𝐱
[𝐱 𝟐 𝐉 𝟑 𝟐𝐱 ] en términos de funciones de Bessel.
Solución.
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥2 𝐽3 2𝑥 ] = 2x𝐽3 2𝑥 + 𝑥2. 2𝐽′3 2𝑥
Nota: Al derivar la función de Bessel se multiplica por la derivada del argumento.
Al utilizar (3) con v=3 y 2x en lugar de x, tenemos como sigue
𝟑
𝟐𝒙
𝑱 𝟑 𝟐𝒙 + 𝑱′
𝟑 𝟐𝒙 = 𝑱 𝟐 𝟐𝒙
𝑱′
𝟑 𝟐𝒙 = 𝑱 𝟐 𝟐𝒙 -
𝟑
𝟐𝒙
𝑱 𝟑 𝟐𝒙
Al sustituir 𝑱′
𝟑 𝟐𝒙 , se obtiene
𝒅
𝒅𝒙
[𝒙 𝟐 𝑱 𝟑 𝟐𝒙 ] = 𝟐𝒙𝑱 𝟑 𝟐𝒙 + 2𝒙 𝟐[𝑱 𝟐 𝟐𝒙 -
𝟑
𝟐𝒙
𝑱 𝟑 𝟐𝒙 ]
= 2𝑥2 𝐽2 2𝑥 - 𝑥𝐽3 2𝑥

46. Ejemplo 2. Hallar I = 𝒙 𝟒
𝑱 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 en términos de 𝑱 𝟎 𝒙 y 𝑱 𝟏 𝒙
Solución.
𝑰 = 𝒙 𝟐
. 𝒙 𝟐
𝑱 𝟏 𝒙 𝒅𝒙
Integrando por partes:
u = 𝑥2; du = 2x.dx
dv = 𝑥2 𝐽1 𝑥 ; v = 𝑥2 𝐽1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝐽2 𝑥
I = 𝑥4 𝐽2 𝑥 - 2 𝑥3 𝐽2 𝑥 𝑑𝑥
Al utilizar (4) nuevamente, se obtiene como sigue
I = 𝑥4 𝐽2 𝑥 - 2𝑥3 𝐽3 𝑥 + C
Al sustituir los resultados conocidos 𝑱 𝟐 𝒙 y 𝑱 𝟑 𝒙 en la ecuación anterior
𝐽2 𝑥 =
2
𝑥
𝐽1 𝑥 − 𝐽0 𝑥 ^ 𝐽3 𝑥 =
4
𝑥
𝐽2 𝑥 − 𝐽1 𝑥 = (
8
𝑥2 − 1) 𝐽1 𝑥 -
4
𝑥
𝐽0 𝑥
Y aplicando (6), resulta finalmente
I = 𝑥4 𝐽1 𝑥 𝑑𝑥 = (8𝑥2−𝑥4) 𝐽0 𝑥 + (4𝑥3−16𝑥)𝐽1 𝑥 + 𝐶
Nota: Se puede obtener 𝑱 𝟐 𝒙 y 𝑱 𝟑 𝒙 aplicando con v = 1 y v = 2 en la Primera Relación de Recurrencia (6).