Derivadas parciales

FACULTAD DE CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.A.P. de: INGENIERÍA ELÉCTRONICA CON
MENCIÓN EN TELECOMUNICACIONES
MATEMÁTICA APLICADA PARA INGENIERÍA III CICLO: III
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe
Web: http://jacobiperu.com/ 999685938
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TEMA: Derivadas parciales SEMANA: 10
TURNO: MAÑANA PABELLÓN: B AULA: 604 SEMESTETRE: 2017 - I
Derivadas parciales
DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), las primeras derivadas parciales de 𝒇 con respecto a 𝒙 𝑦 𝒚 son las
funciones 𝒇 𝒙 𝑦 𝒇 𝒚 definidas por
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧 𝑥 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥,𝑦)
∆𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧 𝑦 =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = lim
∆𝑦→0
𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥,𝑦)
∆𝑦
Para hallar𝒇 𝒙 se considera y constante y se deriva con respecto a x. De manera similar, para
calcular 𝒇 𝒚, se considera x constante y se deriva con respecto a y.
DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES
Si 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), las primeras derivadas parciales de 𝒇 con respecto a 𝒙, 𝒚 𝑦 𝒛 son las
funciones 𝒇 𝒙, 𝒇 𝒚 𝑦 𝒇 𝒛 definidas por
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑥 =
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)
∆𝑥

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𝜕
𝜕𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤 𝑦 =
𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim
∆𝑦→0
𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦, 𝑧) − 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)
∆𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim
∆𝑧→0
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 + ∆) − 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)
∆𝑧
Para hallar la derivada parcial con respecto a una de las variables, se mantienen constantes
las otras variables y se deriva con respecto a la variable dada.
Es importante tener presente que las derivadas parciales de una función de dos
variables, 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tienen una interpretación geométrica útil. Informalmente, los valores
𝜕𝑓
𝜕𝑥
y
𝜕𝑓
𝜕𝑦
en un punto 𝑃 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) = (𝑎, 𝑏, 𝑐) denotan las pendientes de la superficie en las
direcciones de 𝑥 𝑦 𝑦, respectivamente. Ver las siguientes figuras:
Plano 𝑦 = 𝑦0 = 𝑏
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= (𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑥)
𝑑𝑓
𝑑𝑦
= (𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑦)
Plano 𝑥 = 𝑥0 = 𝑎

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DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Como sucede en las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc.
Derivadas parciales de una función de varias variables.
Por ejemplo:
1) Derivar dos veces con respecto a x:
𝒇 𝒙𝒙 =
𝝏 𝟐 𝒇
𝝏𝒙 𝟐 =
𝝏
𝝏𝒙
(
𝝏𝒇
𝝏𝒙
)
2) Derivar dos veces con respecto a y:
𝒇 𝒚𝒚 =
𝝏 𝟐 𝒇
𝝏𝒚 𝟐
=
𝝏
𝝏𝒚
(
𝝏𝒇
𝝏𝒚
)
3) Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:
𝒇 𝒙𝒚 =
𝝏 𝟐 𝒇
𝝏𝒚𝝏𝒙
=
𝝏
𝝏𝒚
(
𝝏𝒇
𝝏𝒙
)
4) Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:
𝒇 𝒚𝒙 =
𝝏 𝟐 𝒇
𝝏𝒙𝝏𝒚
=
𝝏
𝝏𝒙
(
𝝏𝒇
𝝏𝒚
)
Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas.

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IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS
Si f es una función de 𝒙 𝑦 𝒚 y tal que 𝒇 𝒙𝒚 y 𝒇 𝒚𝒙 son continuas, entonces, para todo (𝑥, 𝑦)
𝒇 𝒙𝒚(𝒙, 𝒚) = 𝒇 𝒚𝒙(𝒙, 𝒚)
Ejemplo 1.- Aplique la definición de derivada parcial para calcular 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) si:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2
– 2𝑥𝑦 + 𝑦2
Solución
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
3(𝑥+ ∆𝑥)2−2(𝑥+ ∆𝑥)𝑦 + 𝑦2− (3𝑥2− 2𝑥𝑦 + 𝑦2)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
3(𝑥2+ 2𝑥.∆𝑥 + (∆𝑥)2) −2𝑥𝑦−2.∆𝑥.𝑦+𝑦2−3𝑥2+2𝑥𝑦−𝑦2
∆𝑥
=
= lim
∆𝑥→0
6𝑥(∆𝑥) + 3(∆𝑥)2 – 2(∆𝑥)𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑥[6𝑥 + 3(∆𝑥) − 2𝑦]
∆𝑥
= 6𝑥 + 3(0) − 2𝑦 =
= 𝟔𝒙 − 𝟐𝒚
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = lim
∆𝑦→0
𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
∆𝑦
=
lim
∆𝑦→0
3𝑥2
− 2𝑥(𝑦 + ∆𝑦) + (𝑦 + ∆y)2
− (3𝑥2
− 2𝑥𝑦 + 𝑦2)
∆𝑦
= lim
∆𝑦→0
3𝑥2
− 2𝑥𝑦 − 2(∆𝑦) 𝑥 + 𝑦2
+ 2𝑦(∆𝑦) + (∆𝑦)2
− 3𝑥2
+ 2𝑥𝑦 − 𝑦2
∆𝑦
= lim
∆𝑦→0
∆𝑦[−2𝑥 + 2𝑦 + ∆𝑦]
∆𝑦
= −2𝑥 + 2𝑦 + 0 = −𝟐𝒙 + 𝟐𝒚
Ejemplo 2. Hallar las derivadas parciales 𝒇 𝒙 𝑦 𝒇 𝒚 de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 𝑥2
𝑦2
+
2𝑥3
𝑦.
Solución
∎ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 𝑥2
𝑦2
+ 2𝑥3
𝑦
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 3 − 2𝑥𝑦 2
+ 6𝑥2
𝑦
∎ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 𝑥2
𝑦2
+ 2𝑥3
𝑦
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −2𝑥2
𝑦 + 2𝑥3

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Ejemplo 3. Dada 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑥2 𝑦
, hallar 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑦, y evaluar cada una en el punto (1, 𝑙𝑛2).
Solución
∎ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑥2 𝑦
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑥. 𝑒 𝑥2 𝑦
. 2𝑥𝑦 + 𝑒 𝑥2 𝑦
= 𝑒 𝑥2 𝑦[2𝑥𝑦 + 1]
𝑓𝑥(1, 𝑙𝑛2) = 𝑒(1)2 𝑙𝑛2[2(1)𝑙𝑛2 + 1] = 2[2𝑙𝑛2 + 1] = 4𝑙𝑛2 + 2
∎ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑥2 𝑦
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑥. 𝑒 𝑥2 𝑦
. 𝑥2
= 𝑥3
. 𝑒 𝑥2 𝑦
𝑓𝑦(1, 𝑙𝑛2) = (1)3
. 𝑒(1)2 𝑙𝑛2
= 𝑒 𝑙𝑛2
= 2
Ejemplo 4. Hallar las pendientes en las direcciones de x y de y de la superficie dada por
𝑓(𝑥, 𝑦) = −
𝑥2
2
− 𝑦2
+
25
8
, en el punto (
1
2
, 1).
Solución
∎ 𝑓(𝑥, 𝑦) = −
𝑥2
2
− 𝑦2
+
25
8
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = −𝑥
Pendiente en la dirección de x es:
𝑓𝑥(
1
2
, 1) = −
1
2
∎ 𝑓(𝑥, 𝑦) = −
𝑥2
2
− 𝑦2 +
25
8
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −2𝑦
Pendiente en la dirección de y es:
𝑓𝑦(
1
2
, 1) = −2(1) = −2
Ejemplo 5. Hallar la derivada parcial de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧2
+ 𝑥𝑧 con respecto a z.
Solución
𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦𝑧 + 𝑥

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Ejemplo 6. Dada 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧. 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦2
+ 2𝑧), hallar 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧).
Solución
𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧. cos(𝑥𝑦 2
+ 2𝑧) [2] + 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦2
+ 2𝑧)
= 2𝑧. 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦2
+ 2𝑧) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦2
+ 2𝑧)
Ejemplo 7. Dada 𝑓𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) =
(𝑥+𝑦+𝑧)
𝑤3 , hallar 𝑓𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)
Solución
𝑓𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = −2
(𝑥+𝑦+𝑧)
𝑤3
Ejemplo 8. Dada 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦2
– 2𝑦 + 5𝑥2
𝑦2
, hallar
𝑓𝑥 𝑥(𝑥, 𝑦), 𝑓𝑦 𝑦(𝑥, 𝑦), 𝑓𝑥 𝑦(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑓𝑦 𝑥(𝑥, 𝑦).
Solución
∎ 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 3𝑦 2
+ 10𝑥𝑦2
𝑓 𝑥𝑥 = 10𝑦2
∎ 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦 – 2 + 10𝑥2
𝑦
𝑓𝑦 𝑦 = 6𝑥 + 10𝑥2
∎ 𝑓𝑥 𝑦(𝑥, 𝑦) = 6𝑦 + 20𝑥𝑦
∎ 𝑓𝑦 𝑥(𝑥, 𝑦) = 6𝑦 + 20𝑥𝑦
Ejemplo 9. Demostrar que 𝑓𝑥 𝑧 = 𝑓𝑧 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥𝑧𝑧 = 𝑓 𝑧𝑥𝑧 = 𝑓𝑧 𝑧𝑥 para la función dada por:
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑒 𝑥
+ 𝑥𝑙𝑛𝑧
Solución
∎ 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦. 𝑒 𝑥
+ 𝑙𝑛𝑧
∎ 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥
𝑧

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1
(x, y,z)
(x, y,z) (x, y,z)
1
(x, y,z)
xz
xz zx
zx
f
z f f
f
z

 



2
2
2
1
(x, y,z)
1
(x, y,z) (x, y,z) (x, y,z) (x, y,z)
1
(x, y,z)
xzz
zxz xzz zxz zzx
zzx
f
z
f f f f
z
f
z

  


   


  

EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Encuentre 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) dadas:
a) z = 𝑙𝑛
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
b) z =
𝑥2
2𝑦
+
4𝑦2
𝑥
c) z = 𝑒 𝑦
. 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦
d) z =
𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2
e) 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥). 𝑐𝑜𝑠(3𝑦)
2) Empleando la definición de derivadas, calcule 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) dada:
𝑓(𝑥, 𝑦) = √ 𝑥 + 𝑦
3) Encuentre 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑦 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧), dada:
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
b) 𝑤 =
3𝑥𝑧
𝑥 + 𝑦
4) Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observe que las derivadas
parciales mixtas de segundo orden son iguales
a) 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑦
𝑥

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b) 𝑧 = 2𝑥. 𝑒 𝑦
− 3𝑦. 𝑒−𝑦
REGLA DE LA CADENA
REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
Sea 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦), donde 𝑓 es una función derivable de 𝑥 𝑦 𝑦. Si 𝑥 = 𝑔(𝑡) y 𝑦 = ℎ(𝑡),
donde 𝑔 𝑦 ℎ son funciones derivables de 𝑡, entonces 𝑤 es una función diferenciable de
𝑡, 𝑦
𝒅𝒘
𝒅𝒕
=
𝝏𝒘
𝝏𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒘
𝝏𝒚
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
w
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
x y
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
t t
Regla de la cadena: una variable dependiente 𝒘, es función de 𝒙 𝑦 𝒚, lasque a su vez son
funciones de 𝒕. Este diagrama representa la derivada de 𝒘 con respecto a 𝒕.

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Ejemplo 1. Hallar
dw
dt
cuando 𝑡 = 0, aplicando la regla de la cadena, dada 2 2
,w x y y 
donde x sent y t
y e
Solución
w
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
x y
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
t t
𝑑𝑤
𝑑𝑡
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2𝑥𝑦. cos( 𝑡) + ( 𝑥2
− 2𝑦) 𝑒 𝑡
=
= 2. 𝑠𝑒𝑛( 𝑡). 𝑒 𝑡
. cos( 𝑡) + ( 𝑠𝑒𝑛2
𝑡 − 2. 𝑒 𝑡) 𝑒 𝑡
=
= 2. 𝑒 𝑡
. 𝑠𝑒𝑛( 𝑡). cos( 𝑡) + 𝑒 𝑡
. 𝑠𝑒𝑛2( 𝑡) − 2. 𝑒2𝑡
Cuando 𝑡 = 0
𝑑𝑤
𝑑𝑡
= 2. 𝑒0
. 𝑠𝑒𝑛(0). cos(0) + 𝑒0
. 𝑠𝑒𝑛2(0) − 2. 𝑒2(0)
= −2
REGLA DE LA CADENA: DOS VARIABLES INDEPENDIENTES
Sea 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑓 es una función diferenciable de 𝑥 𝑦 𝑦. Si 𝑥 = 𝑔(𝑠, 𝑡) 𝑦 𝑦 = ℎ(𝑠, 𝑡),
son tales que las derivadas parciales de primer orden
𝜕𝑥
𝜕𝑠
,
𝜕𝑥
𝜕𝑡
,
𝜕𝑦
𝜕𝑠
y
𝜕𝑦
𝜕𝑡
, existen, entonces
𝜕𝑤
𝜕𝑠
y
𝜕𝑤
𝜕𝑡
existen y están dadas por:
𝝏𝒘
𝝏𝒔
=
𝝏𝒘
𝝏𝒙
.
𝝏𝒙
𝝏𝒔
+
𝝏𝒘
𝝏𝒚
.
𝝏𝒚
𝝏𝒔
𝒚
𝝏𝒘
𝝏𝒕
=
𝝏𝒘
𝝏𝒙
.
𝝏𝒙
𝝏𝒕
+
𝝏𝒘
𝝏𝒚
.
𝝏𝒚
𝝏𝒕

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Regla de la cadena: una variable dependiente 𝒘, es función de 𝒙 𝑦 𝒚 las que a su vez son
funciones de 𝒔 𝑦 𝒕. Este diagrama representa la derivada de w con respecto a 𝒕 𝑦 𝒔.
Ejemplo 2. Encuentre
𝜕𝑤
𝜕𝑠
𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑡
, dada 𝑤 = 2𝑥𝑦, x = s2 + t2 y y = s/t
Solución
w
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
x y
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑠
𝜕𝑦
𝜕𝑡
𝜕𝑦
𝜕𝑠
t s t s
𝜕𝑤
𝜕𝑠
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
.
𝜕𝑥
𝜕𝑠
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
.
𝜕𝑦
𝜕𝑠
𝜕𝑤
𝜕𝑡
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
.
𝜕𝑥
𝜕𝑡
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
.
𝜕𝑦
𝜕𝑡
𝜕𝑤
𝜕𝑠
= 2𝑦(2𝑠) + 2𝑥 (
1
𝑡
) = 2 (
𝑠
𝑡
) 2𝑠 + 2(𝑠2
+ 𝑡2) (−
𝑠
𝑡2
) = 4𝑠 −
2𝑠3+2𝑠𝑡2
𝑡2
=
6𝑠2 + 2𝑡2
𝑡
𝜕𝑤
𝜕𝑡
= 2𝑦(2𝑡) + 2𝑥 (−
𝑠
𝑡2
) = 2 (
𝑠
𝑡
) 2𝑡 + 2(𝑠2
+ 𝑡2) (−
𝑠
𝑡2
) = 4𝑠 −
2𝑠3
+ 2𝑠𝑡2
𝑡2
=
=
4𝑠𝑡2
− 2𝑠3
− 2𝑠𝑡2
𝑡2
=
2𝑠𝑡2
− 2𝑠3
𝑡2

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La regla de la cadena puede extenderse a cualquier número de variables.
Ejemplo 3.- Dada 𝑤 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧, 𝑥 = 𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑦 𝑧 = 𝑡, para
𝑠 = 1 𝑦 𝑡 = 2𝜋. Hallar
𝜕𝑤
𝜕𝑠
𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑡
.
Solución
w
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑧
x y z
𝜕𝑥
𝜕𝑠
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑦
𝜕𝑠
𝜕𝑦
𝜕𝑡
𝑑𝑧
𝑑𝑡
s t s t t
∎
𝜕𝑤
𝜕𝑠
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
.
𝜕𝑥
𝜕𝑠
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
.
𝜕𝑦
𝜕𝑠
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
.
𝜕𝑧
𝜕𝑧
= (𝑦 + 𝑧)𝑐𝑜𝑠𝑡 + (𝑥 + 𝑧)𝑠𝑒𝑛𝑡 + (𝑦 + 𝑥). 0 =
= [𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑡]𝑐𝑜𝑠𝑡 + [𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑡]𝑠𝑒𝑛𝑡
Entonces, para 𝑠 = 1 𝑦 𝑡 = 2𝜋, tenemos que:

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𝜕𝑤
𝜕𝑠
= [1. 𝑠𝑒𝑛2𝜋 + 2𝜋]𝑐𝑜𝑠2𝜋 + [1. 𝑐𝑜𝑠2𝜋 + 2𝜋]𝑠𝑒𝑛2𝜋 = 2𝜋
∎
𝜕𝑤
𝜕𝑡
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
.
𝜕𝑥
𝜕𝑡
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
.
𝜕𝑦
𝜕𝑡
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
.
𝜕𝑧
𝜕𝑡
= −(𝑦 + 𝑧)𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝑡 + (𝑥 + 𝑧)𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝑡 + (𝑦 + 𝑥). 1 =
= −[𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑡]𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝑡 + [𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑡]𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝑡 + [𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝑡](1) =
= −[1. 𝑠𝑒2𝜋 + 2𝜋](1)𝑠𝑒𝑛2𝜋 + [(1)𝑐𝑜𝑠2𝜋 + 2𝜋](1)𝑐𝑜𝑠2𝜋
+ [(1)𝑠𝑒𝑛2𝜋 + (1)𝑐𝑜𝑠2𝜋](1) =
= −[1. (0) + 2𝜋](1)(0) + [(1)(1) + 2𝜋](1)(1) + [(1). (0) + (1). (1)](1) = [1 + 2𝜋] + 1=
= 2 + 2𝜋
REGLA DE LA CADENA: DERIVACIÓN IMPLICITA
Si la ecuación 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 define a y implícitamente como función derivable de x, entonces:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −
𝑭 𝒙(𝒙,𝒚)
𝑭 𝒚(𝒙,𝒚)
, 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) ≠ 0
Si la ecuación 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 define a z implícitamente como una función diferenciable
de 𝑥 𝑦 𝑦, entonces:
𝝏𝒛
𝝏𝒙
= −
𝑭 𝒙(𝒙, 𝒚, 𝒛)
𝑭 𝒛(𝒙, 𝒚, 𝒛)
𝒚
𝝏𝒛
𝝏𝒚
= −
𝑭 𝒚(𝒙, 𝒚, 𝒛)
𝑭 𝒛(𝒙, 𝒚, 𝒛)
, 𝑭 𝒛(𝒙, 𝒚, 𝒛) ≠ 𝟎
Ejemplo 4. Dada 𝑦 3
+ 𝑦2
– 5𝑦 – 𝑥2
+ 4 = 0, hallar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
.
Solución
Definiendo: 𝐹(𝑥 , 𝑦) = 𝑦 3
+ 𝑦2
– 5𝑦 – 𝑥2
+ 4
𝐹𝑥(𝑥, 𝑦) = −2𝑥
𝐹𝑦(𝑥, 𝑦) = 3𝑦 2
+ 2𝑦 – 5
Luego:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝐹𝑥(𝑥,𝑦)
𝐹𝑦(𝑥,𝑦)
= −
(−2𝑥)
3𝑦2+ 2𝑦 − 5
=
2𝑥
3𝑦2+ 2𝑦 − 5
Ejemplo 5. Dada la ecuación: 3𝑥2
𝑧 – 𝑥2
𝑦2
+ 2𝑧3
+ 3𝑦𝑧 – 5 = 0, hallar
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
Solución

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Definiendo: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥2
𝑧 – 𝑥2
𝑦2
+ 2𝑧3
+ 3𝑦𝑧 – 5
∎
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= −
𝐹𝑥(𝑥,𝑦,𝑧)
𝐹𝑧(𝑥,𝑦,𝑧)
= −
6𝑥𝑧−2𝑥𝑦2
3𝑥2+ 6𝑧2+3𝑦
=
2𝑥𝑦2− 6𝑥𝑧
3𝑥2+ 6𝑧2+3𝑦
∎
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −
𝐹𝑦(𝑥,𝑦,𝑧)
𝐹𝑧(𝑥,𝑦,𝑧)
= −
−2𝑥2 𝑦 + 3𝑧
3𝑥2+ 6𝑧2 + 3𝑦
=
2𝑥2 𝑦 − 3𝑧
3𝑥2+ 6𝑧2 + 3𝑦
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Sean 𝑢 = 𝑥 2
+ 𝑦3
, 𝑥 = 𝑟. 𝑒 𝑠
y 𝑦 = 𝑟. 𝑒−𝑠
, aplicar la regla de la cadena para calcular
𝜕𝑢
𝜕𝑟
𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑠
.
Resp.
𝜕𝑢
𝜕𝑟
= 2𝑟. 𝑒2𝑠
+ 3𝑟2
𝑒−3𝑠
.
𝜕𝑢
𝜕𝑠
= 2𝑟2
𝑒2𝑠
− 3𝑟3
𝑒−3𝑠
.
2) Sean 𝑦 = 2𝑤𝑧 + 𝑧2
, 𝑤 = 𝑒 𝑥
y 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑥, calcule la derivada total
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, aplicando la
regla de la cadena.
Resp.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑒 𝑥
. 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑒 𝑥
. 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
3) Sean 𝑢 = 𝑥2
+ 𝑦𝑧, 𝑥 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑦 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝑡 y 𝑧 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛2
𝑡; calcule
𝜕𝑢
𝜕𝑟
𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑡
.
Resp.
𝜕𝑢
𝜕𝑟
= 2𝑟𝑠𝑒𝑛2
𝑡(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡).
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑟2
. 𝑠𝑒𝑛𝑡(2𝑐𝑜𝑠𝑡 + 2𝑐𝑜𝑠2
𝑡 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑡).
4) Calcule
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, si 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑦. 𝑐𝑜𝑠𝑥 – 1 = 0.
Resp.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑦.𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦
.
5) Calcule
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
si 4𝑧3
+ 3𝑥𝑧2
– 𝑥𝑦2
– 2𝑥2
𝑦 + 7 = 0.
Resp.
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
𝑦2+ 4𝑥𝑦− 3𝑧2
12𝑧2+ 6𝑥𝑧
.
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
𝑥𝑦 + 𝑥2
6𝑧2+ 3𝑥𝑧
6) Calcule
𝜕𝑢
𝜕𝑟
𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑡
si ,
y
r
u e 𝑥 = 2𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝑡 y 𝑦 = 4𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝑡.
Resp.
𝜕𝑢
𝜕𝑟
=
2𝑒
𝑦
𝑥⁄
𝑥2
(2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑡);
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
2𝑟𝑒
𝑦
𝑥⁄
𝑥2 (𝑦𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑡)

INGENIERÍA
Página 14 de 14
7) Calcule
𝜕𝑢
𝜕𝑟
𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑠
si 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 𝑦), 𝑥 = 𝑟2
. 𝑒 𝑥
, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑟𝑠).
Resp.
𝜕𝑢
𝜕𝑟
=
6𝑟𝑒 𝑠− 𝑠.cos(𝑟𝑠)
√1−(3𝑥+𝑦)2
;
𝜕𝑢
𝜕𝑠
=
3𝑒2.𝑒 𝑠+ cos(𝑟𝑠)
√1−(3𝑥+𝑦)2
8) Calcule
𝜕𝑢
𝜕𝑟
,
𝜕𝑢
𝜕∅
𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝜃
si 𝑢 = 𝑥 2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
,
𝑥 = 𝑟𝑠𝑒𝑛∅𝑐𝑜𝑠𝜃,
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛∅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦
𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠∅.
Resp.
𝜕𝑢
𝜕𝑟
= 2𝑥𝑠𝑒𝑛∅𝑐𝑜𝑠𝜃 + 2𝑦𝑠𝑒𝑛∅𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2𝑧𝑐𝑜𝑠∅
𝜕𝑢
𝜕∅
= 2𝑥𝑟𝑐𝑜𝑠∅𝑐𝑜𝑠𝜃 + 2𝑦. 𝑟𝑐𝑜𝑠∅𝑠𝑒𝑛𝜃 − 2𝑧. 𝑟𝑠𝑒𝑛∅
𝜕𝑢
𝜕𝜃
= −2𝑥. 𝑟𝑠𝑒𝑛∅. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2𝑦. 𝑟𝑠𝑒𝑛∅𝑐𝑜𝑠𝜃
9) Calcule
𝜕𝑤
𝜕𝑠
𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑡
si 𝑤 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 3𝑦), 𝑥 = 𝑠 + 𝑡 y 𝑦 = 𝑠 – 𝑡; evalúe para
𝑠 = 0, 𝑡 =
𝜋
2
.
10) Calcule aplicando la regla de la cadena la
𝜕𝑤
𝜕𝑢
𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑣
dada 𝑤 = 𝑙𝑛(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
),
𝑥 = 𝑢. 𝑒 𝑣
. 𝑠𝑒𝑛𝑢, 𝑦 = 𝑢. 𝑒 𝑣
. 𝑐𝑜𝑠𝑢, 𝑧 = 𝑢. 𝑒 𝑣
. Evaluar para (𝑢, 𝑣) = (−2, 0).
BIBLIOGRAFÍA
Nakamura - Métodos numéricos aplicados con software
Hirsh - Numerical computation of internal and external flows. I
REFERENCIAS
https://www.derivadas.es/2014/02/18/derivadas-parciales-2/
http://crashdanny1996.blogspot.pe/p/noviembre_5.html
https://www.google.com.pe/search?q=files%20upc%20cohortejun%202013%20webnode%20es%20MA
TEMATICA%20PARA%20INGENIE
https://urmate.jimdo.com/c%C3%A1lculo-integral/

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