Aplicaciones de ecuaciones diferenciales en ingeniería civil

1. APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERÍA CIVIL.
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
LILIANA MARCELA MOJICA SEPULVEDA
Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan
para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas y sociales. A
partir de la formulación matemática de distintas situaciones se describen procesos reales
aproximados.
Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería civil, una de las múltiples
aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con el estudio de las flexiones, un
ejemplo es:
 FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO PARA PEQUEÑAS FLEXIONES:
Una viga o una barra delgada son
sólidos homogéneos e isótropos
cuya longitud es grande comparada
con las dimensiones de su sección
trasversal.
Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican, existen
algunas partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se alargan. Pero hay
una línea, denominada eje neutro, que no se acorta ni se alarga. Este eje se
encuentra en el centro de gravedad de la sección trasversal.
Se usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de
anchura a y de espesor b. Se fijará uno de sus extremos y se aplicará una fuerza en
su extremo libre. Mediremos el desplazamiento del extremo libre y(L) o flecha en
función de la fuerza aplicada F, comprobando su relación de proporcionalidad,
mientras que la flexión de la barra sea pequeña.
A continuación, examinaremos la teoría de la flexión de una viga en voladizo en
detalle, calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una
fuerza en dicho extremo que produce una flexión considerable.
Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados al
 Cálculo de la raíz de una ecuación.
 Integral definida.

2. Supongamos que
 La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su
sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es
despreciable.
 Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de
la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección
trasversal cambia muy poco.
En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el
momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra
deformada
El radio de curvatura de una función y(x) es
Para pequeñas pendientes (dy/dx)2≈0
Si despreciamos el peso de la propia barra, el momento de la fuerza F aplicada en el
extremo libre, respecto del punto P (x, y) es M=F(xf-x)≈F(L-x)
Que integramos dos veces con las siguientes condiciones iníciales x=0, y=0, dy/dx=0.

3. El desplazamiento yf del extremo libre x=L es proporcional a la fuerza F aplicada
 Y es el módulo de Young del material
 I se denomina momento de inercia de la sección trasversal respecto de la
fibra neutra
Se considera que la aproximación de pequeñas flexiones: el desplazamiento y del
extremo libre de la barra, es proporcional a la fuerza F aplicada, produce resultados
aceptables hasta un cierto valor del parámetro a dimensional α<0.375, (véase al final
del siguiente apartado) o bien, hasta un valor máximo de la fuerza aplicada
Fm=2Y·I·α/L2
Ejemplo:
 Sea L=30 cm=0.3 m, la longitud de la barra.
 Sea b=0.78 mm=0.00078 m, el espesor de la barra.
 La anchura a=0.03 m está fijada por el programa interactivo y no se puede
cambiar.
 Elegimos como material, el Acero.
Después de realizar la experiencia. La pendiente de la recta que relaciona la
desviación del extremo libre y(L) con la fuerza aplicada F en dicho extremo es
m=3.683 cm/N=0.03683 m/N
 El momento de inercia I vale
 Dada la pendiente (coeficiente de proporcionalidad de F) calculamos el
módulo de Young Y

4.  ESTUDIO DE LA FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO:
Supongamos que:
 La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección
trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.
 Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra
es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy
poco.
En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el
momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra
deformada
Donde Y es el módulo de Young del material e I es el momento de inercia de la sección
trasversal respecto del eje neutro. El radio de curvatura:
ρ=ds/dφ
Consideremos una barra delgada de
longitud L en posición horizontal,
empotrada por un extremo y sometida a
una fuera vertical F en el extremo libre.
Determinaremos la forma de la barra y las
coordenadas (xf, yf) del extremo libre para
grandes flexiones de la barra.

5. El momento flector M de la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra respecto del
punto P (x, y) es M=F(xf-x)
Derivando con respecto a s, y teniendo en cuanta que cosφ=dx/ds
Para determinar φ(s) se resuelve la ecuación diferencial con las siguientes condiciones
iníciales:
Para obtener una solución de la ecuación diferencial, multiplicamos por dφ/ds la ecuación
diferencial
La constante de integración la determinamos a partir de las condiciones iníciales
especificadas anteriormente:

6. La Longitud L de la barra y las coordenadas x e y de cada uno de los puntos de la misma se
obtienen:
Dada la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra y conocida la longitud L de la barra,
se resuelve la primera ecuación para calcular el ángulo φ0, que forma la recta tangente a la
barra en su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal X
Una vez que se conoce este ángulo φ0, se calcula la abscisa x dando valores al ángulo φ en
el intervalo (0, φ0)
El cálculo de la ordenada y es más complicado, ya que para cada valor del ángulo φ hay que
hallar una integral definida en el intervalo (0, φ) empleando procedimientos numéricos.
Cálculo numérico
Las ecuaciones anteriores las podemos expresar
Donde α es un parámetro a dimensional que engloba las características geométricas de la
barra, del material del que está hecha, y de la fuerza aplicada en su extremo libre
Cálculo de φ0.
Empezamos con la primera ecuación que nos determina el ángulo φ0 que forma la recta

7. tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal X, tal como
se ve en la figura:
Requiere dos pasos:
1. Hallar la integral
2. Calcular la raíz de la ecuación
f(φ0)=0
La integral se puede expresar en términos de la suma de dos integrales elípticas de primera
especie, haciendo cambios de variable. El primer cambio es θ=φ+π/2
El segundo cambio de variable es

8. Finalmente, calculamos la raíz de la ecuación
Cálculo de las coordenadas (x/L, y/L) de cada punto de la barra deformada
El cálculo de x/L no reviste dificultad alguna. Conocido φ0, se calcula x/L para cada ángulo φ
en el intervalo (0, φ0). La posición xf del extremo libre es
El cálculo de y/L es más problemático. Conocido φ0, se determina la ordenada y/L para cada
ángulo φ en el intervalo (0, φ0) calculando la integral definida,
por el procedimiento numérico de Simpson
Cuando φ→φ0 el denominador de la integral tiende a cero. El ordenador no calcula
correctamente la ordenada yf/L del extremo libre de la barra cuando φ=φ0. Para solucionar
este inconveniente, empleamos el procedimiento de interpolación que se muestra en la
figura.

9.  Calculamos las coordenadas (x/L, y/L) para el ángulo φ=φ0-Δφ, siendo Δφ un ángulo
pequeño.
 Calculamos la abscisa xf/L para el ángulo φ0.
La ordenada yf/L se obtiene resolviendo el triángulo rectángulo de la figura
Aproximación de pequeñas flexiones
Para pequeñas flexiones cuando el ángulo φ0 es pequeño. Sustituimos senφ≈φ y escribimos
la ecuación que calcula φ0.
El resultado es φ0=α
Las coordenadas (x, y) de cada punto de la barra se aproximan a
Para el extremos libre de la barra, cuando φ= φ0=α, xf=L, lo que implica que en la
aproximación de pequeñas flexiones, no hay desplazamiento horizontal del extremo libre
de la barra.
La ordenada y la podemos aproximar
Integrando por partes y después de hacer algunas simplificaciones obtenemos la siguiente
expresión
Las coordenadas x e y, las hemos expresado en función del parámetro φ, eliminando el
parámetro obtenemos la función y=f(x) que describe la flexión de la barra cuando se aplica
una fuerza F en su extremo libre.

10. Para el extremos libre de la barra, cuando φ= φ0=α, x=L,
Límite de la aproximación de pequeñas flexiones
En la figura, se muestra la desviación y/L del extremo libre de la barra en función del
parámetro a dimensional α.
 En color rojo, los resultados del cálculo, empleando procedimientos numéricos,
descrito en el apartado anterior
 En color negro, la recta y/L=2α/3, aproximación de pequeñas flexiones
Podemos considerar, que la aproximación lineal produce resultados aceptables hasta un
cierto valor límite del parámetro αm o bien, hasta un cierto valor máximo de la fuerza
aplicada Fm en el extremos libre de la barra
Ejemplo:
Sea una regla de acero de longitud L=30 cm, sección rectangular a=3.04 cm, y b=0.078 cm.
El módulo de Young es Y=2.06·1011 N/m2
El momento de inercia I vale

11. Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=0.25, es decir
Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones
En la aproximación de pequeñas flexiones xf≈L, no hay desviación apreciable en sentido
horizontal y la desviación en sentido vertical yf es proporcional a la fuerza F aplicada en el
extremo libre.
Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=1.25, es decir
Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones
En la aproximación de pequeñas flexiones deja de ser válida ya que hay una desviación
apreciable en sentido horizontal y la desviación en sentido vertical yf ya no es proporcional
al a la fuerza F aplicada en el extremo libre.

12. BIBLIOGRAFIA:
 Feynman, Leighton, Sands. The Feynman Lectures on Physics V-II. Edt. Fondo
Educativo Interamericano, págs. 38.15-17.
 Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Flexión de una barra delgada empotrada en un
extremo: Aproximación para pequeñas pendientes. Revista Brasileira de Ensino de
Física. 24 (4) Dezembro 2002, págs, 399- 407.
 Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Large and small defections of a cantilever beam.
Eur. J. Phys. 23 (2002) pp. 371-379