matemáticas avanzadas

1. “ecuaciones
diferenciales”

2. Luis Enrique Martínez Ramírez
Matemática Educativa

3. Solución de una ecuación diferencial
 En una función desconocida y la variable
independiente X definida en un intervalo y es una
función que satisface la ecuación diferencial para
todos los valores de X en el intervalo dado.
Y¹¹= Y biprimaría

4. 1°-Ejemplo:
 Y= sen2x + cos2x Y¹¹ + 4y =0
Y¹= 2cos2x – 4cos (2x)
Y¹¹= – 4sen2x – 4 cos (2x)
 Comprobación:
– 4sen2x – 4cos2x + 4(sen2x + cos2x)=0
– 4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x =0
esto es una solución general

5. 2° ejemplo:
 Y= 5sen2x + 3cos2x Y¹¹+4y= 0
 5 (cos) (2x) + 3 (sen) 2x)
 Y¹= – 6sen2x + 10cos2x
 Y¹¹= – 20sen2x – 12cos2x
 Comprobación:
–20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x) = 0
– 20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x= 0
esto es una Solución particular

6. 3° ejemplo:
 Comprobar que:
 Y= X² – 1 es solución de (Y¹) +Y² = – 1
 Y¹ = 2x
 2x + (x² – 1 ) ²= 1

7. 4° ejemplo:
 Y=
1
𝑥
Y¹ + Y = 0
 Y¹= –
1
𝑋²
 Y¹¹=
2
𝑋³
–
1
𝑋²
+ – (
1
𝑋
)² = 0
–
1
𝑋²
+ –
1
𝑋²
= 0

8. 5° ejemplo
Y = 𝑒2𝑥
Y¹¹ + Y¹ – 6 Y = 0
Y¹=2𝑒2𝑥
Y¹¹= 4 𝑒2𝑥
4 𝑒2𝑥 + 2 𝑒2𝑥 – 6 (𝑒2𝑥) = 0
6 𝑒2𝑥 – 6 𝑒2𝑥 = 0

9. 6° ejemplo
 Y= 𝑒−2𝑥 + 𝑒3𝑥 Y¹¹ + Y ¹ - 6Y = 0
 Y ¹ = - 2 𝑒−2𝑥 + 3 𝑒3𝑥
 Y¹¹ = - 4 𝑒−2𝑥 + 9𝑒3𝑥
 - 4 𝑒−2𝑥+ 9 𝑒3𝑥 - 2 𝑒−2𝑥+ 3𝑒3𝑥 - 6 (𝑒−2𝑥 + 𝑒3𝑥) =0

10. 7° ejemplo
 Y= x² + 𝑒 𝑥 + 𝑒−2𝑥 Y¹¹ + Y¹ - 6Y =0
 Y¹ = 2x² + 𝑒 𝑥+ 𝑒−2𝑥
 Y¹¹ = 2 + 𝑒 𝑥+ 4𝑒−2𝑥
 2+ 𝑒 𝑥
+ 4 𝑒−2𝑥
+ 2x + 𝑒 𝑥
- 2 𝑒−2𝑥
-2 (x² + 𝑒 𝑥
+ 𝑒−2𝑥
)= 0
 2 + 𝑒 𝑥 + 4 𝑒−2𝑥 + 2x + 𝑒 𝑥 - 2 𝑒−2𝑥- 2 x²- 2 𝑒−2𝑥 =
 2( 1+ X - x² )
 2( 1+ X - x² ) = 2( 1+ X - x² )

11. 8°- ejemplo
 Y= C1 𝑒2𝑥
+ C2 𝑒2𝑥
Y¹¹-4 Y¹+ 4Y =0
 Y¹= 2 C1 𝑒2𝑥
+ 2C 2 𝑥𝑒2𝑥
+ C 2 𝑒2𝑥
 Y¹¹= 4 C1 𝑒2𝑥
+ 4C 2 𝑥𝑒2𝑥
+ 2C 2 𝑒2𝑥
+ 2 C2 𝑒2𝑥
 =4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥- 4(2 C1 𝑒2𝑥
+ 2C 2 𝑥𝑒2𝑥
+ C 2 𝑒2𝑥
) + 4 (C1 𝑒2𝑥
+ C2 𝑒2𝑥
) =0
 4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥 - 8C1 𝑒2𝑥 - 8C
2 𝑥𝑒2𝑥
- 4 C 2 𝑒2𝑥
+ 4C1 𝑒2𝑥
+ 4 C2 𝑒2𝑥
= 0
 8C1 𝑒2𝑥+ 8C 2 𝑥𝑒2𝑥+ 4 C 2 𝑒2𝑥 -12C2𝑒2𝑥- 8 C1𝑒2𝑥 = 0
 Y= 0

12. 9° ejemplo:

𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
 ∫
𝑑𝑦
𝑦
= ∫
𝑑𝑥
𝑥
 lny= lnx + ln C1
 lny = lnC1x
 Aplicado antilogaritmos
 Y= C1x
 Comprobacion
 Y= C1x

𝑑𝑦
𝑑𝑥
= C1

13.  Sustituyendo:

𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
 C1=
𝐶1𝑥
𝑥
C1= C1

𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥
𝑦
 ∫y dy = ∫x dx
 [=
𝑦²
2
=
𝑥²
2
+
𝐶¹
2
]²
 y² = x² + C1

14. Ecuaciones diferenciales exactas
 (x² + 2xy + x) dx + Y² dy =0
 X²dx + 2xy dx + x dx + Y² dyno se puede separar
 M= x² + 2xg + x

𝑀
𝑑𝑦
= 2x no se puede con los exactos
 N= y²
𝑁
𝑑𝑋
= 0

15. 2° ejemplo:
 (X² + Y² + X ) dx + xydy =0
 M (x,y) dx + N (x,y) dy =0 │
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 M= X² + Y² + X *
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 2Y
 N= XY *
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= Y
 No es exacta porque:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
+
𝜕𝑁
𝜕𝑥

16. 3° ejemplo:
 (5x + 4y) dx + (4x – 8y³) dy =0
(5x + 4y) + (4x+8y)
𝑑𝑥
20𝑥³
−
𝑑𝑦
32𝑦5
5x dx – 4y dx + 4x dy - 8y³ dy =0
M= 5x + 4y
𝑑𝑚
𝑑𝑦
= 4
N= 4x – 8y³
𝑑𝑛
𝑑𝑥
= 4

17. 4° ejemplo:
 a veces es posible encontrar un factor (que llamamos
factor integrante) el cual al multiplicarse por la
ecuación diferencial la convierte en exacta para
encontrar este factor integrante se utiliza la sig.
Formula:
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
__________
N

18.  Ahora utilizamos este resultado para obtener el
factor integrante por medio de la siguiente
expresión.
M (x)= e∫
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
= e∫
1
𝑥
𝑑𝑥
= e∫
𝑑𝑥
𝑥 = 𝑒 𝑙𝑛𝑥
= x

20.  A continuación simplemente aplicamos
 Integramos:
 (x³+ xy² + x² ) dx
 (x³+ xy² + x² )dx =∫ x³dx + y² ∫ x dx + ∫ x² dx

𝑥4
4
+ y²
𝑥2
2
+
𝑥3
3
+ g (y)

21.  Solo nos falta encontrar el valor de g (y) para determinar
el valor g (y) derivamos la función ƒ encontrada con
respecto a Y
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 2y
𝑥2
2
+ g (y)*
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= x²y + g¹(y)
Este resultado se iguala con N (x²y)
X²y + g¹ (y) = X²y
 Simplificado:
 +g¹ (y)= X²y - X²y g¹ (y) = 0

22.  Si g¹ (y) = 0 entonces g(y) = C1 es una constante cualquiera
 Por lo tanto la función buscada es:
ƒ =
𝑥4
4
+ y²
𝑥2
2
+
𝑥3
3
+ C1
 Y la solucion se obtiene igualando esta función a una constante (C2)

𝑥4
4
+ y²
𝑥2
2
+
𝑥3
3
+ C1 = C2
 Simplificando:

𝑥4
4
+
𝑥2 𝑦2
2
+
𝑥3
3
= C

24. 5° ejemplo

25.  Integramos:
 Ƒ (3 +
𝑦²
𝑥²
) dx
 ∫(3 +
𝑦²
𝑥²
)dx = 3∫dx + y² ∫
𝑑𝑥
𝑥²
= 3xy² ∫ x-²
 Ƒ= 3x+y²
𝑥−¹
−1
+ g (y)
 Ƒ= 3x-
𝑦²
𝑥
+ g (y)

26.  Derivar función f
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
2𝑦
𝑥
+ g¹(y)
g¹(y) =0
 sustitución:
F= 3x
−𝑦²
𝑥
+ C1
 Reduciendo
3x
−𝑦²
𝑥
= C
Multiplicado por X
[3x
−𝑦²
𝑥
= C] 3x³- y² = cx
Solución :
3x
𝑥𝑦²
𝑥
+ c1= c2