Integral indefinida

MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
1
1
1.1 DEFINICIÓN
1.2 INTEGRACIÓN
1.2.1. FÓRMULAS
1.2.2. PROPIEDADES
1.2.3. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
1.2.3.1.INTEGRACIÓN DIRECTA
1.2.3.2.INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
1.2.3.3.INTEGRACIÓN POR PARTES
1.2.3.4. INTEGRALES DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
1.2.3.5.INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
1.2.3.6.INTEGRALES DE FUNCIONES
RACIONALES. FRACCIONES
PARCIALES
1.2.3.7.INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS
OBJETIVO:
Encontrar algebraicamente antiderivadas

2
En la antigüedad existían dos problemas a resolver, el de la recta tangente y
el área bajo una curva. El problema de la determinación de la ecuación de la
recta tangente fue resuelto con la derivada y ya fue tratado en Cálculo
Diferencial. El problema del cálculo del área bajo una curva se lo resuelve con
las nociones del Cálculo Integral los cuales expondremos en este texto, sin
embargo empezaremos en este capítulo hallando antiderivadas y en el siguiente
capítulo utilizaremos antiderivadas para el propósito del Cálculo Integral.
1.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA
Sea f una función de variable real
definida en un intervalo I . Si f es la
derivada de una función F entonces a F
se la llama antiderivada, primitiva o
integral indefinida de f en I . Es decir:
( ) ´( )f x F x=
La función f ahora será una derivada.
Ejemplo
Suponga que ( ) 2
f x x= , entonces una antiderivada podría ser ( )
3
3
x
F x = (derive F para
asegurarse que se obtiene f ).
Observe que la f del ejemplo anterior podría tener otras antiderivadas, por
ejemplo ( )
3
5
3
x
F x = + , como también sería ( )
3
7
3
x
F x = − . Esto significa que
para una derivada habrá muchas antiderivadas, la diferencia sería sólo en la
constante. Lo cual también significa que las primitivas son una familia de curvas.
1.1.1 Teorema
Si ´( ) ´( )F x G x= , ( ),x a b∀ ∈ entonces existe
una constante C tal que ( ) ( )F x G x C= + ,
( ),x a b∀ ∈

3
Demostración:
Sea )()()( xGxFxH −= definida en un intervalo ( )ba, entonces )´()´()´( xGxFxH −= .
Por Hipótesis, como )´()´( xGxF = entonces 0)´( =xH , ( )bax ,∈∀ .
Como H es derivable ( )bax ,∈∀ , entonces de acuerdo el teorema del valor medio para
derivada, ( )baxxx ,),( 10 ⊆∈∃ tal que
xx
xHxH
xH
−
−
=
1
1
0
)()(
)´( . Haciendo 0)´( 0 =xH
tenemos 0
)()(
1
1
=
−
−
xx
xHxH
es decir CxHxH == )()( 1 .
Por lo tanto CxGxF =− )()(
1.1.2 NOTACIÓN
La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la
siguiente:
( ) ( )f x dx F x C= +∫
1.2 INTEGRACIÓN.
Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de
la derivación, como ya se habrá notado. Esto no es tan sencillo y requeriremos
de técnicas, las cuales presentaremos a continuación.
En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a poder
determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo hacia en el
calculo de derivadas.
1.2.1 Formas (fórmulas) estándares de Integrales
1. dx x C= +
∫
2.
1
1
n
n x
x dx C
n
+
= +
+∫ ; 1−≠n
3.
1
lndx x C
x
= +
∫
4.
x x
e dx e C= +
∫
5.
ln
x
x a
a dx C
a
= +
∫

4
6. sen cosxdx x C= − +
∫
7. cos senxdx x C= +
∫
8.
2
sec tgxdx x C= +
∫
9.
2
csc cotxdx x C= − +
∫
10. sec tg secx xdx x C= +
∫
11. csc cot cscx dx x C= − +
∫
12. tg ln cos ln secxdx x C x C= − + = +
∫
13. cot ln senxdx x C= +
∫
14. sec ln sec tgxdx x x C= + +
∫
15. csc ln csc cotxdx x gx C= − +
∫
16.
2 2
1
arcsen
x
dx C
aa x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠−∫
17. 2 2
1 1
arctg
x
dx C
a x a a
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
+ ⎝ ⎠∫
18.
2 2
1 1
arcsec
x
dx C
a ax x a
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
− ⎝ ⎠∫
19. 2 2
1 1
ln
2
x a
dx C
a x a x a
+
= +
− −∫
20. senh coshxdx x C= +
∫
21. cosh senhxdx x C= +
∫
Las primeras 11 fórmulas se las pueden entender fácilmente de acuerdo a las
fórmulas que se proporcionaron para derivadas.
Ejemplo 1
Calcular ∫ dxx2
SOLUCIÓN:
Sería cuestión de emplear la fórmula 2.
C
x
C
x
dxx +=+
+
=
+
∫ 312
312
2

5
Ejemplo 2
Calcular
∫ dx
x
1
SOLUCIÓN:
C
x
dxxdx
x
+==
+−
+−
−
∫∫ 1
1
2
1
2
1
2
1
1
Ejemplo 3
Calcular
∫ +
dx
x2
4
1
SOLUCIÓN:
2 2
1 1
arctan
2 2 2
x
dx C
x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
+ ⎝ ⎠∫
Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares hacemos uso de
las siguientes propiedades.
1.2.2 PROPIEDADES.
La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es decir:
1. [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
2. ( ) ( ) ;kf x dx k f x dx k= ∈
∫ ∫
Para situaciones un tanto más complejas se requerirá de técnicas para lograr
el objetivo.

6
1.2.3 TECNICAS DE INTEGRACIÓN
1.2.3.1 INTEGRACIÓN DIRECTA.
Sólo con recursos algebraicos, propiedades y fórmulas, en ocasiones, se
pueden encontrar antiderivadas de manera inmediata.
Ejemplo 1
Calcular ∫ dxx3
5
SOLUCIÓN:
Aplicando propiedades. El 5 es constante, por tanto lo ponemos afuera de la integral y luego aplicamos la
regla de la potencia:
CxC
x
C
x
dxxdxx +=+=+==
+
+
∫∫ 3
4
1
1
3
1
3
4
15
5555
3
4
3
4
3
1
3
1
Ejemplo 2
Calcular
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+ dxex
x
x
4sin3
2
SOLUCIÓN:
Se aplica la propiedad de la suma y resta de funciones, se separa en tres integrales, y luego se integra cada
función:
Cexx
dxexdxdx
x
dxedxdx
x
dxex
x
x
x
xx
+−−=
−+=
−+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
∫ ∫∫
∫ ∫∫∫
4cos3ln2
4sin3
1
2
4sin3
2
4sin3
2
Ejemplo 3
Calcular
∫ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −+
dx
x
xxex
2
46 3
SOLUCIÓN:
Se separa en tres integrales y se procede a integrar cada función:
3
2
2
3
6 4 2 1
3
2 2
1 1
3 2
2
1
3 2ln
6
x
x
x
x
xe x
dx e x dx
x x
e dx dx x dx
x
e x x C
⎛ ⎞+ − ⎛ ⎞
= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
= + −
= + − +
∫ ∫
∫ ∫ ∫

7
Ejemplo 4
Calcular
( )
∫
−
dx
xx
x
3
3
1
SOLUCIÓN:
Se eleva al cubo el binomio, luego se simplifica y se integra cada función:
( )
Cxxxx
C
xxxx
dxxdxxdxxdxx
dxxxxx
dx
x
x
x
x
x
x
x
dx
x
xxx
dx
xx
x
+−+−−=
+−+−
−
=
−+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−=
−+−
=
−
−
−
−−
−−
∫∫∫∫
∫
∫
∫∫
3
8
3
5
3
2
3
1
3
8
3
5
3
2
3
1
3
5
3
2
3
1
3
4
3
5
3
2
3
1
3
4
3
4
3
3
4
2
3
4
3
4
3
4
32
3
3
8
3
5
9
2
9
3
3
8
3
5
3
3
2
3
3
1
33
33
331
3311
Ejercicios Propuestos 1.1
Hallar:
1.
3
2 100 4
7
3
e
x x x x dxπ
−⎛ ⎞
+ − + −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
2. ( )
2
2 x dx−
∫
3. ( )
2
1x x dx−
∫
4. ( )
∫ − dxx
32
3
5.
( ) dx
x
x
∫
− 3
3
6.
( )
32
1z
dz
z
+
∫
7.
∫ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− dxxx
x2
1
1
8. ( )
3
4
5
2 1x dx
x
+
∫
9.
( )( )dx
x
xx
∫
−+
3 2
22
21
10.
2
2
2 3x senx x
dx
x
− +
∫
11.
2 secx
xe x x
dx
x
+ −
∫
12. ( )8 cosx x
e x dx+ +
∫
13. ( )1 2
3sec 2tanx
e x x dx+
+ −
∫
14. ( )1
4cot 8x
x dx−
−
∫
15. dx
x
xx
∫
++ −
3
44
2
16.
2 1
10 20
5
x x
x
dx
+ +
−
∫
17. dx
x
xx
∫
−+
−
10
52 11
18.
2
1
sen
7 1
x dx
x x
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
−⎝ ⎠∫
19. 22
5
17 1
e
dx
xx
π⎛ ⎞
+⎜ ⎟
+−⎝ ⎠∫
20.
sen cos
sen
x x
dx
x
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠∫

8
1.2.3.2 INTERGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
Cuando se presentan funciones con reglas de correspondencias un tanto más
complejas, en las que ya no es posible una integración directa, puede ser que
con un artificio matemático llamado cambio de variable se transformen en
integrales inmediatas.
En este caso las fórmulas de integrales se las puede observar no sólo para
" x " sino para otra variable.
Ejemplo 1
Calcular ( )
∫ − dxx 30
1
SOLUCIÓN:
No sería práctico obtener el desarrollo del binomio, porque el exponente es 30. Entonces, sería más
conveniente emplear el cambio de variable xt −= 1 .
Del cambio de variable, tenemos: 1
dt
dx dt
dx
= − ⇒ = − (despejamos dx )
Ahora sustituyendo resulta: ( ) ( )
31
30 30 30
1
31dt
t
t
x dx t dt t dt C
−
− = − = − = − +∫ ∫ ∫
Una vez integrado, reemplazamos “ t ”: ( ) ( ) C
x
dxx +
−
−=−
∫ 31
1
1
31
30
Ejemplo 2
Calcular
e x
dx
x∫SOLUCIÓN:
Aquí empleamos el cambio de variable: xt = .
De donde:
1
2
2
dt
dx xdt
dx x
= ⇒ = .
Sustituyendo resulta:
e e
2 2 e 2e
x t
t t
dx xdt dt C
x x
= = = +
∫ ∫ ∫
Ahora reemplazamos " t " :
e
2e
x
x
dx C
x
= +
∫
Ejemplo 3
Calcular dx
x
x
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+1
4
2
SOLUCIÓN:
Esta integral se la resuelve por el cambio de variable 12
+= xt ,
De donde x
dx
dt
2= , entonces
x
dt
dx
2
= .

9
Sustituyendo, resulta: 2
4 4 1
2 2ln
21
x x dt
dx dt t C
t x tx
= = = +
+∫ ∫ ∫Reemplazando " t " :
2
2
4
2ln 1
1
x
dx x C
x
= +
+∫
Ejemplo 4
Calcular
∫ − dxxx 1
SOLUCIÓN:
Aquí empleamos el cambio de variable: 1−= xt
Del cambio de variable se obtiene: 1
dt
dx dt
dx
= ⇒ =
∫∫ =− dttxdxxx 1
Como no se simplifica la x , debemos reemplazarla.
Despejamos x del cambio de variable: 1+= tx
Entonces:
( ) ( )
3 1
2 2
1
5 3
2 22 2
5 3
1
t
x tdt t tdt t t t dt t dt t dt
t t C
+
= + = + = +
= + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Ahora reemplazamos “ t ”:
( ) ( )
5 3
2 22 2
5 3
1 1 1x x dx x x C− = − + − +
∫
Podemos quedarnos hasta allí, pero simplificando la expresión resulta:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
5 3
2 2
3 2
2 2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2 2
1 1 1
5 3
1 1
2 1 1
5 3
1 1
2 1 1
5 3
1 1
2 1
5 5 3
2
2 1
5 15
3 2
2 1
15
2
1 1 3 2
15
x x dx x x C
x x C
x x C
x
x C
x
x C
x
x C
x x dx x x C
− = − + − +
⎡ ⎤
= − − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= − − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= − − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
+⎡ ⎤
= − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
− = − + +
∫
∫

10
Ejemplo 5
Calcular
( )
2
2
1 3
x
dx
x+∫SOLUCIÓN:
Aquí empleamos el cambio de variable: 1 3t x= +
3
dt dt
dx
dx
= ⇒ =
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
3 31 3
x x dt x
dx dt
tx t
= =
+∫ ∫ ∫
Como no se simplifica la x , debemos reemplazarla.
Despejamos x del cambio de variable:
1
3
t
x
−
=
Entonces:
2 2 2 2 2
2 1
2
1
2 2 2 1 2 13
3 3 9 9
2 1 2 2 1
ln ln
9 9 2 1 9
t
x t t
dt dt dt dt
t t t t t
t
t dt t C t C
t t
− +
−
−
− ⎛ ⎞
= = = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤
= − = − + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥− +⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Una vez integrado, reemplazamos “ t ”:
( )
( )2
2 2 1
ln 1 3
9 1 31 3
x
dx x C
xx
⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥+⎣ ⎦+∫
Ejemplo 6
Calcular
3
2
2
x
dx
x+∫SOLUCIÓN:
Aquí es mejor: 2 2
2t x= +
Derivando implícitamente: 2 2
dt t dt
t x dx
dx x
= ⇒ =
3 3 3
2
2 2
2
x x t dt x t dt
dx x dt
x t xx t
= = =
+∫ ∫ ∫ ∫
Despejamos
2
x :
2 2
2x t= −
Entonces:
( )
3
2 2
2 2
3
t
x dt t dt t C= − = − +
∫ ∫Una vez integrado, reemplazamos “ t ”:
( )
3
2
3
2
2
2
2 2
32
xx
dx x C
x
+
= − + +
+∫

11
Ejemplo 7
Calcular 4 1
3 x
dx−
∫SOLUCIÓN:
Aquí empleamos el cambio de variable: 4 1t x= −
4
dt dt
dx
dx
= ⇒ =
Sustituyendo resulta: 4 1 1 1 3
3 3 3
4 4 4 ln3
t
x t tdt
dx dt C− ⎛ ⎞
= = = +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ ∫
Una vez integrado, reemplazamos “ t ”:
4 1
4 1 1 3
3
4 ln3
x
x
dx C
−
− ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
El ejemplo anterior nos da la idea de que se puede obtener integrales
rápidamente cuando se tiene funciones análogas a las que aparecen en las
fórmulas pero si sus argumentos son funciones lineales (porque la derivada es
una constante). Esto evita plantear la sustitución.
Ejemplo 8
Calcular 5 1x
e dx+
∫SOLUCIÓN:
Como ( )5 1 5
d
x
dx
+ = (constante)
Entonces rápidamente
5 1
5 1
5
x
x e
e dx C
+
+
= +
∫ (como la integral para la función exponencial pero
dividida para su derivada)
Ejemplo 9
Calcular sen3xdx
∫SOLUCIÓN:
Como ( )3 3
d
x
dx
= (constante)
Entonces rápidamente
cos3
sen3
3
x
xdx C
−
= +
∫ (como la integral para la función seno pero
dividida para su derivada)

12
Ejemplo 10
Calcular
1
2 1
dx
x +∫SOLUCIÓN:
Como ( )2 1 2
d
x
dx
+ = (constante)
Entonces rápidamente:
( )ln 2 11
2 1 2
x
dx C
x
+
= +
+∫
En otros ejercicios el cambio de variable podría no ser tan obvio, se requerirá
de mucha habilidad algebraica y quizás varios intentos.
Ejemplo 11
Calcular dx
x
extanarcx xtanarc
∫ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−+−
1
14
2
SOLUCIÓN:
Separando las integrales, tenemos:
dx
x
e
dx
x
arctanx
dx
x
dx
x
x xtanarc
∫∫∫∫ +
−
+
+
+
−
+ 111
1
1
4
2222
Ahora tenemos 4 integrales, que se las trata por separado.
1. dx
x
x
∫ +1
4
2
. Esta integral se la resuelve por cambio de variable 12
+= xt , de donde x
dx
dt
2= ,
entonces
x
dt
dx
2
= .
Sustituyendo, resulta: CxCtdt
tx
dt
t
x
dx
x
x
++=+===
+ ∫∫∫ 1ln2ln2
1
2
2
4
1
4 2
2
2. dx
x∫ +1
1
2
. Esta integral es directa. Carctanxdx
x
+=
+∫ 1
1
2
3. dx
x
x
∫ +1
arctg
2
. Esta integral se la resuelve por cambio de variable xt arctg= , de donde
1
1
2
+
=
xdx
dt
,
entonces ( )dtxdx 12
+= .
Sustituyendo, resulta:
( ) ( ) C
arctanx
C
t
tdtdtx
x
t
dx
x
arctanx
+=+==+
+
=
+ ∫∫∫ 22
1
11
22
2
22
4.
tan
2
1
arc x
e
dx
x +∫ . Para esta integral sirve el mismo cambio de variable, por tanto:
( )
∫∫∫ +=+==+
+
=
+
CeCedtedtx
x
e
dx
x
e arctanxtt
txtanarc
1
11
2
22
FINALMENTE:

13
( ) Ce
xtanarc
xtanarcxdx
x
extanarcx xtanarc
xtanarc
+−+−+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−+−
∫ 2
1ln2
1
14 2
2
2
Ejemplo 12
Calcular
( ) ( )2 2
1 ln 1
dx
x x x+ + +∫SOLUCIÓN:
Separando el radical:
( ) ( )2 2
1 ln 1
dx
x x x+ + +∫Ahora consideramos el cambio de variable: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++= 2
1ln xxt
Del cambio de variable:
2 2
2
2 2
2
2
1 1
1 2
1 2 1
1 1
1 1
1
1
1
dt
x
dx x x x
x x
x x x
dt
dx x dt
dx x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎜ ⎟
+ + +⎝ ⎠
⎛ ⎞+ +
⎜ ⎟=
⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
= → = +
+
Reemplazando, resulta:
( ) ( )
1
2
12
1 1
2 2
12
2 2 2
1
2
111 ln 1
dx x dt t
t dt C t C
x tx x x
− +
−+
= = = + = +
− +++ + +∫ ∫ ∫
Ahora reemplazamos “ t ”
( ) ( )
( )2
2 2
2 ln 1
1 ln 1
dx
x x C
x x x
= + + +
+ + +∫

14
Calcular:
1.
( )∫ − 2
5
25x
dx
2. dx
xx
x
∫ +−
−
384
1
2
3.
∫ − dxxx 12
4.
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
+
4
2sen2
x
dx
5. ( ) dxx
∫ − 2sen1
6. dx
x
x
∫ −
+
1
12
7.
( )
∫ +
+
dx
x
x
2
2
1
1
8.
( )∫ + xx
dx
1
9.
( )
arc tan
1
x
dx
x x+∫
10. dx
x
x
x∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
− 1
1
ln
1
1
2
11.
∫ −++ 11 xx
dx
12. dx
x
xxx
∫ −
−++
4
22
1
11
13.
∫ + xx
dxx
ln1
ln
14.
( )∫ xxx
dx
lnlnln
15.
∫ −
+
dx
xa
xa
16.
∫ +
dx
xbxa
xx
2222
cossen
cossen
17.
∫ 42
tgsen xcx
dx
18.
∫ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
dx
x
xx
2
2
1
1ln
19.
∫ −
dx
xx
xx
49
32
20.
( )∫ +++
322
11 xx
dxx
Existen funciones cuyas antiderivadas no pueden ser determinadas con los
métodos hasta aquí explicados. Suponga que estas funciones están formadas
por el producto de otras funciones, para este caso existe la integración por
partes.

15
1.2.3.3 INTEGRACION POR PARTES.
El diferencial para el producto de funciones es: ( )d uv udv vdu= +
Despejando e integrando término a término, resulta:
( )
( )
udv d uv vdu
udv d uv vdu
= −
= −
∫ ∫ ∫
En definitiva, la fórmula que se emplea en integración por partes es:
udv uv vdu= −
∫ ∫
Ejemplo 1
Calcular
∫ dxex x
SOLUCIÓN:
Haciendo xu = y dxedv x
= .
Entonces dxdu = y xx
edxev ==
∫ ( Se deriva u y se integra dv )
Ahora, tenemos:
dv v vu u du
x x x
x e dx x e e dx= −
∫ ∫
x x x
x e dx x e e C= − +
∫
Observe que en estos casos es mejor derivar la función polinomial. Sería
interesante que pruebe a ver qué ocurre si se escogiera x
u e= .
Ejemplo 2
Calcular ( )
∫ −+ dxxxx sen532 2
SOLUCIÓN:
Haciendo 532 2
−+= xxu y dxxdv sen= .

16
Entonces ( )dxxdu 34 += y xxdxv cossen −==
∫
Por lo tanto, tenemos:
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2
2
2 3 5 sen 2 3 5 cos cos 4 3
2 3 5 cos 4 3 cos
u u v v dudv
x x x dx x x x x x dx
x x x x xdx
+ − = + − − − − +
= − + − + +
∫ ∫
∫
Ahora, la integral ( )
∫ + xdxx cos34 , también se la realiza por partes.
Haciendo 34 += xu y dxxdv cos= . Entonces dxdu 4= y xxdxv sencos ==
∫
Por tanto:
( ) ( ) ( )
( ) xxx
dxxxxxdxx
cos4sen34
4sensen34cos34
++=
−+=+
∫∫
Finalmente:
( ) ( ) ( ) Cxxxxxxdxxxx ++++−+−=−+
∫ cos4sen34cos532sen532 22
Ejemplo 3
Calcular xdxex
cos
∫SOLUCIÓN:
Aquí cualquiera de las funciones puede ser u .
Haciendo x
eu = y dxxdv cos= .
Entonces dxedu x
= y xxdxv sencos ==
∫
Por tanto: cos sen senx x x
u u v v dudv
e x dx e x x e dx= −
∫ ∫
La integral sen x
x e dx
∫ se la calcula por parte.
Hacemos x
eu = y dxxdv sen= . Entonces dxedu x
= y xxdxv cossen −==
∫ .
Por lo tanto
∫ ∫+−= xdxexexdxe xxx
coscossen
Finalmente:

17
cos sen cos cos
cos sen cos cos
x x x x
x x x x
e xdx e x e x e xdx
e xdx e x e x e xdx
⎡ ⎤
= − − +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
= + −
∫ ∫
∫ ∫
Note que la última integral es semejante a la primera; entonces, despejando
2 cos sen cosx x x
e xdx e x e x= +
∫
sen cos
cos
2
x x
x e x e x
e xdx C
+
= +
∫
Ejemplo 4
Calcular
∫ xdxx ln
SOLUCIÓN:
Aquí debemos tomar xu ln= y dxxdv = .(¿por qué?)
Entonces dx
x
du
1
= y
2
2
x
xdxv ==
∫Por tanto:
( ) ( )
2 2
21 1
2 2
2
21 1
2 2
1
ln ln
2 2
ln
ln
2
dv
u u
v duv
x x
x xdx x dx
x
x x xdx
x
x x C
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
= −
⎛ ⎞
= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
∫
2
21
2
ln ln
4
x
x xdx x x C= − +
∫
Ejemplo 5
Calcular
∫ xdxln
SOLUCIÓN:
Aquí sería también xu ln= y dxdv = . Entonces dx
x
du
1
= y xdxv ==
∫Por tanto:
1
ln ln
u dv v u v
du
xdx x x x dx
x
⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫
ln lnxdx x x x C= − +
∫

18
Ejemplo 6
Calcular
∫ dxxx arctg
SOLUCIÓN:
Tomamos xu arctg= y xdxdv = , entonces: dx
x
du
2
1
1
+
= y
2
2
x
v =
Por tanto:
( )
dx
x
x
xx
dx
x
xx
xxdxx
∫
∫∫
+
−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
arctg
1
1
22
arctgarctg
2
2
2
12
2
1
2
22
Para la última integral dividimos el numerador entre el denominador, resulta:
1
1
1
1 22
2
+
−=
+ xx
x
Reemplazando
∫ ∫∫∫ −=
+
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−=
+
xxdx
x
dxdx
x
dx
x
x
arctg
1
1
1
1
1
1 222
2
FINALMENTE: [ ] Cxxxxxdxx +−−=
∫ arctgarctgarctg 2
12
2
1
Algunas integrales pueden ser calculadas por diferentes métodos.
Ejemplo 7
Calcular
∫ − dxxx 1
SOLUCIÓN:
Esta integral ya fue calculada empleando cambio de variable (ejemplo 4), ahora la vamos a calcular
integrando por partes.
Sean u x= y 1dv x dx= − entonces:
du dx= y ( )
( )
( )
1
2
3
2
1
1
2
1
2
1 2
1 1 1
1 3
x
v x dx x dx x
+
−
= − = − = = −
+∫ ∫
( ) ( )
( )
( )
3 3
2 2
3
2
3
2
1
3
2
2 2
1 1 1
3 3
12 2
1
3 3 1
u u dudv
vv
x x dx x x x dx
xx
x C
+
⎡ ⎤
− = − − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
−
= − − +
+
∫ ∫
Por tanto:
( ) ( )
3 5
2 2
2 4
1 1 1
3 15
x
x x dx x x C− = − − − +
∫
Suficiente, pero para dejarla de la misma forma que el resultado que se obtuvo resolviéndola por
cambio de variable, simplificamos:

19
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
3 5
2 2
3 2
2 2
3
2
3
2
3
2
3
2
2 4
1 1 1
3 15
2 2
1 1
3 5
2 2
1 1
3 5
2 2 2
1
3 5 5
2 3 2
1
3 5 5
2
1 1 3 2
15
x
x x dx x x C
x x x C
x x x C
x
x x C
x
x C
x x dx x x C
− = − − − +
⎡ ⎤
= − − − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= − − − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= − − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
− = − + +
∫
∫
En otras ocasiones se puede necesitar hacer un cambio de variable primero.
Ejemplo 8
Calcular
2
3 x
x e dx
∫SOLUCIÓN:
Primero hagamos el cambio de variable 2
t x= , de aquí
2
2
dt xdx
dt
dx
x
=
=
Realizando la sustitución correspondiente:
2
3 3 21 1
2 2 2
x t t tdt
x e dx x e x e dt te dt
x
= = =
∫ ∫ ∫ ∫
La última integral se la realiza por partes:
Tenemos aquí u t= y t
dv e dt= entonces du dt= y t
v e=
Por tanto
1 1 1
2 2 2
t t t t t
u dv u v v du
t e dt t e e dt te e C
⎡ ⎤
⎡ ⎤= − = − +⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
Finalmente quedaría:
2 2 2
3 21
2
x x x
x e dx x e e C⎡ ⎤= − +
⎣ ⎦∫

20
Encuentre las antiderivadas de:
1.
∫ dxex x3
2. ( )
∫ + dxex x2
1
3. ( )
∫ − xdxx 3sen12
4. ( )
∫ − dxxx 13sen
5.
∫ −
dxex x22
6. ( )∫ +− dxexx x22
23
7. ( )
∫ − xdxx ln12
8.
∫ dxxx 2
ln
9.
∫ dxxx ln
10.
∫ x
dxxx
2
sen
cos
11. ( )
∫ dxxx 2
arctg
12.
∫ dxe x
13.
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++ dxxx 2
1ln
14.
∫ dxxarcsin
15.
∫ xdxarctg
16. ( )
∫ dxxtanarc
17. ( )
∫ dxxlncos
18. dxx
∫sen
19. ( )
∫ dxxlnsen
20. ( )
∫ dxxx tglnsen
1.2.3.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
Cuando se integran funciones trigonométricas que no sean directas, es
necesario utilizar identidades trigonométricas.
Tenemos aquí algunos casos:
CASO I: Integrales que contienen senos o cosenos con
exponentes enteros mayores que uno
Para este caso se sugiere, lo siguiente:
1. Si el exponente del seno o coseno es un número IMPAR usar:
xx
xx
22
22
sen1cos
cos1sen
−=
−=

21
2. Si el exponente del seno o coseno es un número PAR usar:
2
2cos1
cos
2
2cos1
sen
2
2
x
x
x
x
+
=
−
=
Ejemplo 1
Calcular
∫ dxx2
cos
SOLUCIÓN:
Usamos la regla para la potencia par:
C
x
x
xdxdx
dx
x
dxx
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
∫ ∫
∫∫
2
2sen
2
1
2cos1
2
1
2
2cos1
cos2
Ejemplo 2
Calcular
∫ dxx3
sen
SOLUCIÓN:
Ahora usamos la regla para la potencia impar:
( )
∫∫
∫
∫∫
−=
−=
=
xdxxxdx
xdxx
xdxxdxx
sencossen
sencos1
sensensen
2
2
23
De esto último, la primera integral es directa y la segunda es por sustitución.
1. xxdx cossen −=
∫
2.
∫ xdxx sencos2
requiere el cambio de variable xt cos= entonces xdxdt sen−= .
Reemplazando resulta: ( )
∫∫ −=−=
3
cos
sencos
3
22 x
dttxdxx
FINALMENTE: C
x
xxdx ++−=
∫ 3
cos
cossen
3
3
Ejemplo 3
Calcular
∫ dxx4
cos
SOLUCIÓN:
Ahora usamos la regla para la potencia par:

22
( )
C
x
xxx
xdxdxxx
dx
xx
x
xdxxdxdx
dx
x
dxxdxx
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
++=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
=
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
4
4sen
2
1
2sen
4
1
4cos1
2
1
2sen
4
1
2
4cos1
2
2sen
2
4
1
2cos2cos21
4
1
2
2cos1
coscos
2
2
224
Ejemplo 4
Calcular
∫ −
dxxx 43
cossen
SOLUCIÓN:
Como el exponente de seno es impar, hacemos lo siguiente:
( )
( ) ( )
∫ ∫
∫
∫∫
−−
−
−−
−=
−=
=
dxxxdxxx
dxxxx
dxxxxdxxx
sencossencos
cossencos1
cossensencossen
24
42
4243
Ambas integrales se resuelven por sustitución. Haciendo cambio de variable xt cos= de donde
xdxdt sen−= , resulta
( ) ( ) ( ) ( )
Cx
x
C
tt
dttdttdxxxdxxx
+−=
+
−
+
−
−=
−−−=−
−
−
−−
−−−−
∫ ∫∫ ∫
1
3
13
2424
cos
3
cos
13
sencossencos
Ejemplo 5
Calcular 3 6
cos senx x dx−
∫
SOLUCIÓN:
Como el exponente de coseno es impar, hacemos lo siguiente:

23
( )
( ) ( )
3 6 2 6
2 6
6 2 6
6 4
cos sen cos cos sen
1 sen cos sen
cos sen sen cos sen
sen cos sen cos
x x dx x x x dx
x x x dx
x x dx x x x dx
x xdx x x dx
− −
−
− −
− −
=
= −
= −
= −
∫ ∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
Ambas integrales se resuelven por sustitución. Haciendo cambio de variable sent x= de donde
cosdt xdx= , resulta
( ) ( ) ( ) ( )
6 4 6 4
5 3
5 3
sen cos sen cos
5 3
sen sen
5 3
dt dtt t
x xdx x x dx t dt t dt
t t
C
x x
C
− − − −
− −
− −
− = −
= − +
− −
= − + +
∫ ∫ ∫ ∫
Finalmente:
5 3
3 6 sen sen
cos sen
5 3
x x
x x dx C
− −
−
= − + +
∫
Ejemplo 6
Calcular
∫ dxxx 42
cossen
SOLUCIÓN:
Como ambos son pares, entonces:
( )
( )( )
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−+=
−−+=
++−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
=
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
∫∫
xdxxdxxdxdx
dxxxx
dxxxx
dx
xx
dxxxdxxx
2cos2cos2cos1
8
1
2cos2cos2cos1
8
1
2cos2cos212cos1
8
1
2
2cos1
2
2cos1
cossencossen
32
32
2
2
22242
Las dos últimas integrales son trigonométricas

24
( )
C
xxxxx
x
xdxxxdx
x
x
x
x
xxxdxdx
x
x
xdxxdx
xx
x
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−−+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−+=
∫ ∫
∫∫ ∫
∫ ∫
6
2sen
2
2sen
8
4sen
22
2sen
8
1
2cos2sen2cos
4
4sen
2
1
2
2sen
8
1
2cos2sen14cos1
2
1
2
2sen
8
1
2cos2cos
2
4cos1
2
2sen
8
1
3
2
2
2
FINALMENTE:
C
xxx
dxxx +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−=
∫ 6
2sen
8
4sen
28
1
cossen
3
42
Ejemplo 7
Calcular 4 2
sen cosx x dx
∫SOLUCIÓN:
Como ambos son pares, entonces:
( )
( )( )
( )
( )
24 2 2 2
2
2
2 2 3
2 3
2 3
sen cos sen cos
1 cos2 1 cos2
2 2
1
1 2cos2 cos 2 1 cos2
8
1
1 2cos2 cos 2 cos2 2cos 2 cos 2
8
1
1 cos2 cos 2 cos 2
8
1
1 cos2 cos 2 cos 2
8
x x dx x x dx
x x
dx
x x x dx
x x x x x dx
x x x dx
dx xdx xdx xdx
=
− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= − + +
= − + + − +
= − − +
⎡
= − − +
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
Las dos últimas integrales son trigonométricas:
( )
2
2
2
1 sen 2 1 cos4
cos 2 cos2
8 2 2
1 sen 2 1
1 cos4 1 sen 2 cos2
8 2 2
1 sen 2 1 sen 4
cos2 sen 2 cos2
8 2 2 4
1 sen 2
8 2 2
x x
x dx x xdx
x
x dx xdx x xdx
x x
x x xdx x xdx
x x
x
⎡ ⎤+⎛ ⎞
= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟= − − + + −
⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟= − − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
= − − −
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
3
sen 4 sen 2 sen 2
8 2 6
x x x
C
⎡ ⎤⎛ ⎞
+ − +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
Finalmente:
3
4 2 1 sen 4 sen 2
sen cos
8 2 8 6
x x x
x x dx C
⎡ ⎤
= − − +⎢ ⎥
⎣ ⎦∫

25
CASO II. Integrales que contienen productos del seno y
coseno con argumentos múltiplo de x.
nxdxxm cossen
∫ , nxdxxm sensen
∫ , nxdxxm coscos
∫
En este caso se recomienda usar, las siguientes identidades como sea
conveniente:
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]xnmxnmnxmx
xnmxnmnxmx
xnmxnmnxmx
−++=
−−+−=
−++=
coscos
2
1
coscos
coscos
2
1
sensen
sensen
2
1
cossen
Ejemplo 1
Calcular: sen3 cos5x x dx
∫SOLUCIÓN:
Empleando la identidad trigonométrica respectiva y simplificando, resulta:
( ) ( )
( )
( )
1
sen3 cos5 sen 3 5 sen 3 5
2
1
sen8 sen 2
2
cos 21 cos8
2 8 2
x x dx x x dx
xdx x dx
xx
C
= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤
= + −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
−⎡ ⎤
= − − +⎢ ⎥
−⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
Por tanto:
cos8 cos2
sen3 cos5
16 4
x x
x x dx C= − + +
∫

26
Ejemplo 2
Calcular xdxxx 3sen2sensen
∫
SOLUCIÓN:
Agrupando y aplicando identidades, tenemos:
( )
( ) ( )[ ]
( )[ ]
[ ] [ ]
C
xxx
xdxxdxxdx
dxxxxx
xdxxxdxx
dxxxxx
xdxxx
xdxxxxdxxx
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−+−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−=
−−−=
−−+−=
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫∫
∫
∫
∫∫
2
2cos
4
4cos
6
6cos
4
1
2sen4sen6sen
4
1
2sen4sen
2
1
0sen6sen
2
1
2
1
cos3sen3cos3sen
2
1
3sencos3sen3cos
2
1
3sen21cos21cos
2
1
3sen2sensen3sen2sensen
CASO III. Integrales que contienen tangentes y cotangentes
con exponentes enteros mayores que uno
∫ dxxn
tg y
∫ dxxg n
cot
Aquí se recomienda usar las identidades:
1csccot
1sectg
22
22
−=
−=
xxg
xx
Ejemplo 1
Calcular
∫ dxx3
tg
SOLUCIÓN:
( )
∫∫
∫
∫∫
−=
−=
=
xdxxdxx
xdxx
gxdxtxdxx
tgtgsec
tg1sec
tgtg
2
2
23
La segunda integral es directa, mientras que la primera es por sustitución.
xt tg= de donde xdxdt 2
sec=
FINALMENTE:

27
( )
Cx
x
xtdtdxx
++=
−−=
∫∫
cosln
2
tg
coslntg
2
3
Ejemplo 2
Calcular 4
cot x dx
∫
SOLUCIÓN:
Empleando la identidad trigonométrica respectiva y aplicando propiedades, resulta:
( )
∫∫
∫
∫∫
−=
−=
=
xdxgxdxxg
dxxxg
dxxgxgdxxg
222
22
224
cotcsccot
1csccot
cotcotcot
La primera integral es por sustitución y la segunda se emplea la identidad trigonométrica respectiva, es decir:
( )
Cxgx
xg
dxxdx
xg
dxx
xg
dxxgdxxgxdxxg
dtt
+++−=
+−−=
−−−=
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∫∫
∫
∫ ∫∫ −
cot
3
cot
csc
3
cot
1csc
3
cot
cotcsccotcot
3
2
3
2
3
22
2
4
CASO V. INTEGRALES DE LA FORMA:
∫ xdxx nm
sectg Y
∫ xdxxg nm
csccot
1. Si el exponente de la secante o cosecante "n " es par, se procede
con el diferencial de la tangente o cotangente.
Ejemplo
Calcular
∫
−
xdxx 42
3
sectg
SOLUCIÓN:

28
( )
∫∫
∫
∫∫
−
−
−−
+=
+=
=
dxxxdxxx
dxxxx
xdxxxdxxx
22
3
22
1
222
3
222
3
42
3
sectgsectg
sec1tgtg
secsectgsectg
Las dos integrales últimas se hacen por sustitución:
Cxx
C
xx
dxxxdxxxxdxx
dttdtt
+−=
+
−
+=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
−
−
−
∫∫∫
2
1
2
3
3
2
2
1
2
3
2
2
3
2
2
1
42
3
tg2tg
2
1
tg
2
3
tg
sectgsectgsectg
2. Si el exponente de la tangente o cotangente " m " es impar, se
procede con el diferencial de la secante o cosecante.
Ejemplo
Calcular
∫
−
xdxx 2
1
3
sectg
SOLUCIÓN:
Descomponiendo para obtener el diferencial de la secante
( )
( )∫∫
−−
=
xd
xdxxxxxdxx
sec
2
3
22
1
3
tgsecsectgsectg
y luego resolviendo, tenemos:
( ) ( )
( ) ( )
∫∫
∫∫
−
−−
−=
−=
xdxxxxdxxx
xdxxxxxdxx
tgsecsectgsecsec
tgsecsec1secsectg
2
3
2
1
2
3
22
1
3
estas últimas integrales se resuelven por sustitución:
( ) ( )
xx
xdxxxxdxxxxdxx
dttdtt
2
1
2
3
3
2
2
3
2
1
2
1
3
sec2sec
tgsecsectgsecsecsectg
−
−
−
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∫∫∫
Otras integrales trigonométricas pueden requerir tratamientos ya definidos:

29
Ejemplo
Calcular
∫ dxx3
sec
SOLUCIÓN:
Esta integral se resuelve por partes
∫∫ =
dvu
xdxxdxx 23
secsecsec
Entonces si tomamos xu sec= tenemos xdxxdu tgsec= y si tomamos xdxdv 2
sec= tenemos
xv tg=
Ahora, integrando
( )
xxxdxxxdxx
xdxxdxxx
xdxxxx
xdxxxx
xdxxxxxdxx
duvvu
tgseclnsectgsecsec
secsectgsec
sec1sectgsec
sectgtgsec
tgsectgtgsecsec
33
3
2
2
3
++−=
+−=
−−=
−=
−=
∫∫
∫∫
∫
∫
∫∫
FINALMENTE, despejamos la integral buscada
Cxxxxdxx
xxxxdxx
+++=
++=
∫
∫
tgseclntgsecsec
tgseclntgsecsec2
2
1
2
13
3
1. ( )dxx
∫ − 2cos32 2
2.
∫ xdx3sen3
3.
∫ dxx6
cos
4.
∫ dxxx sencos5
5.
∫ dxxx 5sen3sen
6.
∫ dx
xx
3
2
cos
3
sen
11.
∫ dxxtan5
12.
∫ dxxc 6
tg
13. dxx
∫ 5tan2
14. xdxx
∫ − 2
3
sectg5
15.
∫ xx
dx
22
cossen
16.
( ) ( )∫ 2
3
2
xx CosSen
dx

30
7.
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− dxxxsen
4
3cos
6
2
ππ
8.
∫ dxxx 3coscos 2
9. ( ) ( )dxxx
∫ 2cos2sen 73
10.
∫ dxxxx 3cos2coscos
17.
∫ xx
dx
42
cossen
18.
( )
∫
π+
dx
xx
x
cossen
sen 4
19.
∫ xx
dx
cossen2
20.
∫ dxx3
csc
1.2.3.5 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Se trata ahora de convertir las integrales dadas en directas mediante una
sustitución trigonométrica. Usualmente presentan la forma de radicales con
suma o diferencia de cuadrados, en tal caso se recomienda:
Si tenemos 22
xa − sustituir tax sen=
Si tenemos 22
xa + sustituir tax tg=
Si tenemos 22
ax − sustituir tax sec=
Ejemplo 1
Calcular
∫
−
dx
x
x
2
2
4
SOLUCIÓN:
En este caso hacemos tx sen2= entonces tdtdx cos2=
Reemplazando y resolviendo, resulta:
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
4 2sen4 4 4sen
2cos 2cos
4sen2sen
4 1 sen 4cos
cos cos
2sen 2sen
2cos cos
cos cot
2sen sen
csc 1 csc
cot
tx t
dx tdt tdt
x tt
t t
tdt tdt
t t
t t
tdt dt g tdt
t t
t dt tdt dt
gt t C
−− −
= =
−
= =
= = =
= − = −
= − − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Ahora hay que regresar a un expresión en " x ", para lo cual del cambio de variable tenemos
2
sen
x
t = . Por
trigonometría, hacemos el siguiente triángulo:

31
De la figura, observamos que
x
x
tg
2
4
cot
−
= y como
2
arcsen
x
t = tenemos:
C
x
x
x
Ctgtdx
x
x
+−
−
−=
+−−=
−
∫
2
arcsen
4
cot
4
2
2
2
Ejemplo 2
Calcular
( )∫ + 2
3
2
3
9x
dxx
SOLUCIÓN:
En este caso hacemos tx tg3= entonces dttdx 2
sec3=
( )
( )
( )( )
( )
( )
[ ] Ctt
tdttdtt
dt
t
t
dt
t
tt
dt
t
tt
dt
t
tt
dt
t
t
dt
t
tt
dt
t
tt
dt
t
tt
tdt
t
t
x
dxx
++=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
−
=
=
=
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
=
+
∫ ∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
cossec3
sentgsec3
sec
tg
sec
sectg
3
sec
1sectg
3
sec
tgtg
3
sec
tg
3
sec27
sectg81
sec3
sectg81
9tg9
sec3tg27
sec3
9tg3
tg3
9
2
2
2
3
3
23
3
23
3
2
23
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
4 x−
x
2
t

32
Ahora por trigonometría, del cambio de variable
3
tg
x
t = tenemos el siguiente triángulo:
Ejemplo 3
Calcular
∫
−
dx
x
x
3
2
16
SOLUCIÓN:
En este caso hacemos tx sec4= entonces tdttdx tgsec4=
92
+x
3
t
x
Por tanto
3
9
sec
2
+
=
x
t y
9
3
cos
2
+
=
x
t
FINALMENTE,
( )
C
x
x
x
dxx
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
+∫ 9
3
3
9
3
9
2
2
2
3
2
3

33
( )
( )
( )
C
tt
t
C
t
t
tdtdt
dt
t
tdt
dt
t
t
t
dt
t
t
tdt
t
t
tdt
t
t
tdt
t
t
tdtt
t
t
tdtt
t
t
dx
x
x
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
=
=
=
=
=
−
=
−
=
−
=
−
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
2
cossen2
8
1
2
2sen
8
1
2cos1
8
1
2
2cos1
4
1
sen
4
1
cos
1
cos
sen
4
1
sec4
tg
tg
sec4
tg4
tg
sec4
tg16
tg
sec4
1sec16
tgsec4
sec4
16sec16
tgsec4
sec4
16sec416
2
2
2
2
2
2
22
22
2
22
2
33
2
3
2
3
2
Ahora por trigonometría , del cambio de variable
4
sec
x
t = tenemos el siguiente triángulo:
FINALMENTE:
C
xx
xx
arc
C
tt
tdx
x
x
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
−=
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
−
∫
416
4
sec
8
1
2
cossen2
8
116
2
3
2
En otras integrales, es necesario completar cuadrado primero.
4
162
−x
t
x
Por tanto,
4
sec
x
arct = ,
x
x
t
16
sen
2
−
= y
x
t
4
cos =

34
Ejemplo 4
Calcular
∫ −− dxxx 2
45
SOLUCIÓN:
Primero completamos cuadrado, para de allí realizar una simple sustitución algebraica y luego la sustitución
trigonométrica que convenga.
( )
( ) dxx
dxxxdxxx
∫
∫∫
+−=
+++−=−−
2
22
29
444545
En la última integral podemos hacer 2+= xu entonces dxdu = y la integral quedará así:
∫ − duu2
9
Para la cual la sustitución trigonométrica adecuadas es tu sen3= de la cual resulta tdtdu cos3= .
Reemplazando y resolviendo, tenemos:
C
tt
t
C
t
t
dttdt
dt
t
tdt
tdtt
tdttduu
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
=
=
−=−
∫∫
∫
∫
∫
∫∫
2
cossen2
2
9
2
2sen
2
9
2cos1
2
9
2
2cos1
9
cos9
cos3cos3
cos3sen999
2
22
Del cambio de variable
3
sen
u
t = obtenemos el siguiente triángulo:
Por tanto,
2
9 u−
u
t
3
Entonces:
3
arcsen
u
t = y
3
9
cos
2
u
t
−
=

35
[ ]
C
uuu
Ctttduu
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
++=−
∫
3
9
33
arcsen
2
9
cossen
2
9
9
2
2
Finalmente, como 2+= xu , reemplazando resulta:
( ) ( )
C
xxx
C
uuu
duu
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ +−+
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=−
∫
9
292
3
2
arcsen
2
9
9
9
3
arcsen
2
9
9
2
2
2
Ejercicio Propuestos 1.5
1.
∫ − dxxx 22
9
2.
( )∫ − 2
3
2
1 x
dx
3.
( )∫ −
dx
x
x
2
3
2
2
1
4.
∫ −
dx
x
x
2
2
9
5.
2
2
2
x dx
x−∫
6.
∫ + 92
xx
dx
7.
∫ − 923
xx
dx
8.
∫ −124
xx
dx
9.
∫ −
dx
x
x
22
2
10.
∫ − 2
2
4 xx
dxx
11.
( )∫ ++
32
134xx
dx
12.
2
16
x
x
e dx
e +∫
13.
∫ + x
e
dx
2
1
14.
∫ ++ 1tg4tg
sec
2
2
xx
xdx
15.
∫ + x
xdxx
4
sen9
cossen
16.
∫ + 2
1
arctg
x
xdxx
17.
( )∫ +
dx
x
ex tanxarc
2
3
2
1
18.
∫ dxxarcx cos2
19.
∫ −− xxx
dxx
2
lnln41
ln
20.
( )∫ −+ 42
11 xx
xdx

36
1.2.3.6 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Una función racional tiene regla de correspondencia de la forma
)(
)(
)(
xq
xp
xf =
donde tanto )(xp como )(xq con funciones polinomiales.
Si el grado de )(xp es mayor o igual que el grado de )(xq se dirá que es una
Fracción Impropia. Si el grado de )(xp es menor que el grado de )(xq se dirá
que es una Fracción Propia.
CASO I. FRACCIÓN IMPROPIA
En este caso se sugiere empezar dividiendo )(xp entre )(xq y luego integrar.
Ejemplo 1
Calcular
∫ +
+++
dx
x
xxx
12
132 23
SOLUCIÓN:
Aquí el numerador tiene grado 3 y el denominador tiene grado 1, por lo tanto realizamos la división del
polinomio 132 23
+++ xxx entre 12 +x . Es decir:
1
2
12
12
2
132
2
2
223
23
+
−−
++
+
+
−−
+++
xx
xx
xx
x
xx
xxx
Entonces:
12
1
12
132 2
23
+
++=
+
+++
x
xx
x
xxx
Integrando ahora, tenemos:
C
xxx
dx
x
xdxdxx
dx
x
xxdx
x
xxx
+
+
++=
+
++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
++=
+
+++
∫ ∫ ∫
∫∫
2
12ln
23
12
1
12
1
12
132
23
2
2
23
CASO II. FRACCIÓN PROPIA
Cuando la función racional
)(
)(
xq
xp
es una fracción propia, primero determine si
es que se trata de una integración directa.

37
Ejemplo
Calcular 2
10 3
5 3 1
x
dx
x x
−
− +∫
SOLUCIÓN:
En este caso tenemos una fracción propia (el grado del numerador es uno mientras que el grado del
denominador es dos) y además se observa que ( )2
5 3 1 10 3
d
x x x
dx
− + = −
Entonces integramos por sustitución:
Considerando 2
5 3 1t x x= − + tenemos ( )10 3dt x dx= −
2
10 3
ln
5 3 1
x dt
dx t C
tx x
−
= = +
− +∫ ∫
Por tanto:
2
2
10 3
ln 5 3 1
5 3 1
x
dx x x C
x x
−
= − + +
− +∫
Si lo anterior no se da y el denominador se puede factorizar se recomienda
usar el método de fracciones parciales, el cual consiste en expresar la fracción
propia del integrando como una suma de fracciones equivalentes y proceder a
integrar estas fracciones. La regla general para las fracciones parciales es la
siguiente:
Sea
( )
( )
p x
q x
una fracción propia. Entonces:
1. Se podrá expresar en tantas fracciones
parciales como factores tenga el
denominador ( )q x .
2. Cada denominador de las fracciones
parciales es un factor de ( )q x .
3. El numerador de cada fracción parcial será
un polinomio de un grado menor a su
denominador.
Podemos considerar los siguientes tipos:
TIPO I: Suponga que ( )q x (el denominador) se puede expresar en
factores lineales diferentes

38
Ejemplo 1
Calcular 2
4
2 5 2
x
dx
x x
−
+ +∫
SOLUCIÓN:
Note que tenemos la integral de una fracción propia (el grado del numerador es uno mientras que el grado del
denominador es dos). Además observe que la derivada del denominador no es el numerador.
Empecemos factorizando el denominador
( )( )2
4 4
2 1 22 5 2
x x
x xx x
− −
=
+ ++ +
El denominar se expresa en 2 factores lineales diferentes, entonces sus fracciones parciales serían de la
forma siguiente:
( )( )
4
2 1 2 2 1 2
x A B
x x x x
−
= +
+ + + +
Ahora debemos encontrar los valores de A y B
Multiplicando por ( )( )2 1 2x x+ + a cada término, resulta:
( )4 2 (2 1)x A x B x− = + + +
Una manera rápida y efectiva es evaluando la última expresión en las raíces de )(xq :
Si 2x = − , resulta:
( ) ( ) ( )( )
( )
4 2 2 2 2 2 1
6 3
2
A B
B
B
− − = − + + − +
= −
= −
Si 1
2
x = − , resulta:
( ) ( ) ( )( )1 1 1
2 2 2
4 2 2 1
9 3
2 2
3
A B
A
A
− − = − + + − +
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
Integrando,
( )( )
4 3 2
2 1 2 2 1 2
1 1
3 2
2 1 2
x
dx dx
x x x x
dx dx
x x
− −⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
+ + + +⎝ ⎠
= −
+ +
∫ ∫
∫ ∫
( )( )
ln 2 14
3 2ln 2
2 1 2 2
xx
dx x C
x x
+−
= − + +
+ +∫

39
Ejemplo 2
Calcular
2
3 2
6 7 4
2
x x
dx
x x x
+ −
+ −∫
SOLUCIÓN:
Aquí también tenemos la integral de una fracción propia (el grado del numerador es dos mientras que el
grado del denominador es tres). Empecemos factorizando el denominador
( ) ( )( )
2 2 2
3 2 2
6 7 4 6 7 4 6 7 4
2 12 2
x x x x x x
x x xx x x x x x
+ − + − + −
= =
+ −+ − + −
forma siguiente:
( )( )
2
6 7 4
2 1 2 1
x x A B C
x x x x x x
+ −
= + +
+ − + −
Ahora debemos encontrar los valores de A , B y C
Multiplicando por ( )( )2 1x x x+ − a cada término, resulta:
( )( )2
6 7 4 2 1 ( 1) ( 2)x x A x x Bx x Cx x+ − = + − + − + +
Evaluando :
Si 0=x , resulta:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
6 0 7 0 4 0 2 0 1 0 (0 1) 0 (0 2)
4 2
2
A B C
A
A
+ − = + − + − + +
− = −
=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
6 2 7 2 4 2 2 2 1 2 ( 2 1) 2 ( 2 2)
24 14 4 6
6 6
1
A B C
B
B
B
− + − − = − + − − + − − − + − − +
− − =
=
=
Si 1x = , resulta:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
6 1 7 1 4 1 2 1 1 1 (1 1) 1 (1 2)
9 3
3
A B C
C
C
+ − = + − + − + +
=
=
Integrando,
2
3 2
6 7 4 2 1 3
2 12
1 1 1
2 3
2 1
x x
dx dx
x x xx x x
dx dx dx
x x x
+ − ⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
+ −+ − ⎝ ⎠
= + +
+ −
∫ ∫
∫ ∫ ∫
2
3 2
6 7 4
2ln ln 2 3ln 1
2
x x
dx x x x C
x x x
+ −
= + + + − +
+ −∫

40
Ejemplo 3
Calcular dx
xxx
x
∫ −−
+
32
35
23
SOLUCIÓN:
Note que tenemos la integral de una fracción propia (el grado del numerador es uno mientras que el grado del
denominador es tres). Empecemos factorizando el denominador:
( ) ( )( )13
35
22
35
32
35
223 +−
+
=
−−
+
=
−−
+
xxx
x
xxx
x
xxx
x
forma siguiente:
( )( ) 1313
35
+
+
−
+=
+−
+
x
C
x
B
x
A
xxx
x
Ahora debemos encontrar los valores de A , B y C
Multiplicando por ( )( )13 +− xxx a cada termino, resulta:
( )( ) )3()1(1335 −++++−=+ xCxxBxxxAx
Una manera rápida y efectiva es evaluando la última expresión en las raíces de )(xq :
Si 0=x , resulta:
( )( )
1
33
)30)(0()10)(0(10303)0(5
−=
−=
−++++−=+
A
A
CBA
Si 3=x , resulta:
( )( )
2
3
1218
)33)(3()13)(3(13333)3(5
=
=
−++++−=+
B
B
CBA
Si 1−=x , resulta:
( )( )
2
1
42
)31)(1()11)(1(11313)1(5
−=
=−
−−−++−−++−−−=+−
C
C
CBA
Integrando:
Cxxx
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xxx
dx
xxx
x
++−−+−=
+
−
−
+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−
+
−
=
−−
+
∫ ∫ ∫
∫∫
−
1ln3lnln
1
1
2
1
3
1
2
31
13
1
32
35
2
1
2
3
2
1
2
3
23
TIPO II. Suponga que ( )q x se puede expresar en factores lineales donde
hay alguno repetido
Ejemplo 1
Calcular
( )( )
2
2
4 15
1 2
x x
dx
x x
− − +
+ −∫
SOLUCIÓN:
En este caso las fracciones parciales para el integrando serían de la forma:
( )( ) ( )
2
2 2
4 15
1 21 2 2
x x A B C
x xx x x
− − +
= + +
+ −+ − −
Multiplicando por ( )( )
2
1 2x x+ − se obtiene:

41
( ) ( )( )
22
4 15 2 1 2 ( 1)x x A x B x x C x− − + = − + + − + +
Evaluando para las raíces:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
2 2
1 4 1 15 1 2 1 1 1 2 ( 1 1)
1 4 15 9
18 9
2
A B C
A
A
A
− − − − + = − − + − + − − + − +
− + + =
=
=
Si 2x = , resulta:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
2 2
2 4 2 15 2 2 2 1 2 2 (2 1)
4 8 15 3
3 3
1
A B C
C
C
C
− − + = − + + − + +
− − + =
=
=
Como ya no disponemos de otra raíz, evaluamos para cualquier otro valor de x y empleamos los valores
de las constantes ya encontrados:
Si 0=x , resulta:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
0 4 0 15 2 0 2 0 1 0 2 1(0 1)
15 2 4 2 1 1
6 2
3
B
B
B
B
− − + = − + + − + +
= + − +
= −
= −
Integrando:
( )( ) ( )
( )
2
2 2
2
4 15 2 3 1
1 21 2 2
1 1 1
2 3
1 2 2
x x
dx dx
x xx x x
dx dx dx
x x x
⎛ ⎞− − + −
⎜ ⎟= + +
⎜ ⎟+ −+ − −⎝ ⎠
= − +
+ − −
∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )( )
2
2
4 15 1
2ln 1 3ln 2
21 2
x x
dx x x C
xx x
− − +
= + − − − +
−+ −∫
Ejemplo 2
Calcular
( )( )∫ −+
+−
dx
xx
xx
2
2
13
1383
SOLUCIÓN:
En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma:
( )( ) ( )22
2
11313
1383
−
+
−
+
+
=
−+
+−
x
C
x
B
x
A
xx
xx
multiplicando por ( )( )2
13 −+ xx se obtiene:
( ) ( )( ) )3(1311383 22
++−++−=+− xCxxBxAxx
Evaluando para las raíces:
Si 3−=x , resulta:

42
( ) ( ) ( )( )
4
1664
)33(1331313)3(833 22
=
=
+−+−+−+−−=+−−−
A
A
CxBA
Si 1=x , resulta:
( ) ( )( )
2
48
)31(11311113)1(8)1(3 22
=
=
++−++−=+−
C
C
CBA
Como ya no disponemos de otra raíz, evaluamos para cualquier otro x y empleamos los valores ya
encontrados:
Si 0=x , resulta:
( ) ( )( )
1
63413
)30(2103010413)0(8)0(3 22
−=
++−=
++−++−=+−
B
B
B
Integrando:
( )( ) ( )
( )
C
x
xx
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xxx
dx
xx
xx
+
−
−−−+=
−
+
−
−
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
+
+
=
−+
+−
∫∫∫
∫∫
1
2
1ln3ln4
1
1
2
1
1
3
1
4
1
2
1
1
3
4
13
1383
2
22
2
TIPO III. Suponga que ( )q x se puede expresar en factores donde hay
cuadráticos irreducibles
Ejemplo 1
Calcular
∫ ++
−−
dx
xxx
x
23
42
SOLUCIÓN:
Primero factoricemos el denominador.
( )3 2 2
2 4 2 4
1
x x
x x x x x x
− − − −
=
+ + + +
El factor cuadrático es irreducible, en este caso las fracciones parciales serían de la forma:
( ) 22
2 4
11
x A Bx C
x x xx x x
− − +
= +
+ ++ +
Simplificando, tenemos: ( ) [ ]( )xCBxxxAx ++++=−− 142 2
Empleemos ahora un segundo método para hallar los coeficientes:
Destruyendo paréntesis y agrupando, tenemos:
42
2
0
22
)()(42
42
−−
++++=−−
++++=−−
AxCAxBAx
CxBxAAxAxx

43
Igualando coeficientes, tenemos:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−=+
=+
4
2
0
A
CA
BA
Entonces:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
−=
4
2
4
B
C
A
Ahora, integrando resulta
( )
Cxxx
dx
xx
x
x
dx
xx
x
dx
x
dx
xx
x
x
dx
xxx
x
++++−=
++
+
+−=
++
+
+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
+
+
−
=
++
−−
∫
∫∫
∫∫
1ln2ln4
1
122
ln4
1
241
4
1
24442
2
2
2
223
Ejemplo 2
Calcular
∫ +−
+
dx
xxx
x
54
25
23
2
SOLUCIÓN:
En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma:
( )
( )
54
42
54
25
54
25
22
2
23
2
+−
+−
+=
+−
+
=
+−
+
xx
CxB
x
A
xxx
x
xxx
x
Note que para el polinomio de grado uno, que es numerador de la fracción con denominador el factor
cuadrático, se lo define con la derivada del denominador; por asunto de facilitar el cálculo de la derivada.
Simplificando, tenemos: ( ) ( )[ ]( )xCxBxxAx +−++−=+ 425425 22
Evaluando para 0=x ,
( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]( )
5
2
52
04025040205 22
=
=
+−++−=+
A
A
CBA
Para 2=x , porque anulamos el término que contiene a B y como ya se conoce el valor de A
( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]( )
( )
5
54
2122
24225242225
5
2
22
=
+=
+−++−=+
C
C
CBA
Evaluando para 1=x y empleando lo valores de A y C, tenemos:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]( )
( ) ( )[ ]
10
23
227
14125141215
5
54
5
2
5
542
5
22
=
+−+=
+−++−=+
B
B
B
Ahora, integrando:

44
( )
( )
( ) Cxxxx
dx
x
xxx
dx
xx
dx
xx
x
dx
x
dx
xx
x
x
dx
xxx
x
+−++−+=
+−
++−+=
+−
+
+−
−
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+−
+=
+−
+
∫
∫∫∫
∫∫
2arctg
5
54
54ln
10
23
ln
5
2
12
1
5
54
54ln
10
23
ln
5
2
54
1
5
54
54
42
10
231
5
2
54
42
54
25
2
2
2
22
2
5
54
10
23
5
2
23
2
Ejemplo 3
Calcular
∫ +
−
dx
xx
x
3
3
1
SOLUCIÓN:
Note que en esta integral la fracción no es propia, el grado del numerador es 3 y el del denominador también;
por tanto dividiendo primero, se obtiene:
xx
x
xx
x
+
+
−=
+
−
33
3
1
1
1
La integral sería ahora:
∫∫
∫∫
+
+
−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
−=
+
−
dx
xx
x
dx
dx
xx
x
dx
xx
x
3
33
3
1
1
1
1
1
La primera integral es directa y la segunda por fracciones parciales. Entonces:
( )
( )
1
2
1
11
223
+
+
+=
+
+
=
+
+
x
CxB
x
A
xx
x
xx
x
Simplificando tenemos: ( ) ( )[ ]( )xCxBxAx +++=+ 211 2
Evaluando para 0=x , resulta:
( ) ( )[ ]( )
1
)1(1
0)0(21010 2
=
=
+++=+
A
A
CBA
Evaluando para 1=x y utilizando el valor obtenido para A, resulta
( ) ( )[ ]( )
02
222
1)1(211111 2
=+
++=
+++=+
CB
CB
CB
Evaluando para 1−=x y utilizando el valor obtenido para A, resulta
( )( ) ( )( )[ ]( )
22
220
11211111 2
−=−
−+=
−+−++−=+−
CB
CB
CB
Tomando simultáneamente, ambos resultados, encontramos los valores de B y C
⎩
⎨
⎧
−=−
=+
22
02
CB
CB
Bastaría con sumar miembro a miembro las ecuaciones y obtendríamos B:
2
1
24
−=
−=
B
B

45
Entonces
1
2
1
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
−=
C
C
BC
OTRO MÉTODO para obtener A, B y C, que en ocasiones es más ventajoso, es el que sigue:
En la expresión ( ) ( )[ ]( )xCxBxAx +++=+ 211 2
simplificamos hasta obtener un polinomio reducido en
ambos lados de la ecuación, es decir:
( ) ACxxBAx
CxBxAAxx
+++=+
+++=+
2
22
21
21
De la última expresión, rápidamente se puede decir que:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
+=
A
C
BA
1
1
20
Por tanto
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
=
1
2
1
1
C
B
A
En fin, ahora integrando tenemos:
( )
( ) Cxxxx
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
x
dx
xx
x
dxdx
xx
x
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ++−−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+−
+−=
+
+
−=
+
−
∫ ∫∫
∫
∫∫∫
arctg1lnln
1
1
1
2
2
11
1
121
1
1
1
2
2
1
22
2
2
1
33
3
Y si hay factores cuadráticos irreducibles repetidos se procede de igual forma
que para los factores lineales repetidos.
Ejemplo 4
Calcular
( )( )
4 3
22
2 6 3
1 1
x x x
dx
x x
− − +
+ +∫SOLUCIÓN:
Aquí el denominador ya está factorizado, en este caso tenemos:
( )( ) ( )
4 3
2 2 22 2
2 6 3
1 11 1 1
x x x A Bx C Dx E
x xx x x
− − + + +
= + +
+ ++ + +
Multiplicando por el común denominador a cada término de la ecuación:
( ) [ ]( )( ) [ ]( )
24 3 2 2
2 6 3 1 1 1 1x x x A x Bx C x x Dx E x− − + = + + + + + + + +
Agrupando:

46
( ) [ ]( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 3 4 2 3 2 2
4 3 4 2 4 2 3 3 2 2
4 3 4 3 2
2 6 3 2 1 1
2 6 3 2
2 6 3 2
x x x A x x Bx C x x x Dx Dx Ex E
x x x Ax Ax A Bx Bx Bx Bx Cx Cx Cx C Dx Dx Ex E
x x x A B x B C x A B C D x B C D E x A C E
− − + = + + + + + + + + + + +
− − + = + + + + + + + + + + + + + +
− − + = + + + + + + + + + + + + + +
Igualando coeficientes:
2
1
2 0
6
3
A B
B C
A B C D
B C D E
A C E
+ =⎧
⎪ + = −⎪⎪
+ + + =⎨
⎪ + + + = −
⎪
⎪ + + =⎩
De la primera y segunda ecuación, se obtiene: 2A B= − y 1C B= − −
Reemplazando A y C en la tercera ecuación y simplificando:
( ) ( )2 2 1 0
4 2 1 0
2 3
B B B D
B B B D
D B
− + + − − + =
− + − − + =
= −
También reemplazamos A y C en la quinta ecuación:
( ) ( )2 1 3
2 2
B B E
E B
− + − − + =
= +
Reemplazando en la cuarta ecuación:
1 2 3 2 2 6
4 4
1
B B B B
B
B
− − + − + + = −
= −
= −
Y al reemplazar , se obtiene: 3A = , 0C = , 5D = − y 0E =
Reemplazando los valores obtenidos e integrando
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
4 3
2 222 2
22 2
22 2
2 6 3
1 11 1 1
1 0 5 03
1 1 1
1
3 5
1 1 1
x x x A Bx C Dx E
dx dx
x xx x x
x x
dx
x x x
x x
dx dx dx
x x x
⎛ ⎞
− − + + +⎜ ⎟= + +
⎜ ⎟+ ++ + +⎝ ⎠
⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟= + +
⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
= − −
+ + +
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
( )( )
( )
4 3
12 2
22
2 6 3 1 5
3ln 1 ln 1 1
2 21 1
x x x
dx x x x C
x x
−− − +
= + − + + + +
+ +∫

47
1.
( )( )∫ +− 31 xx
dx
2.
( )
∫ −−
−
xxx
dxx
2
24
23
3.
( )( )( )∫ +++ 2321 xxx
dxx
4.
( )
∫ ++
−
xxx
dxx
23
2
23
2
5.
( )
( )( )∫ +−
−+
dx
xx
xx
432
10
2
2
6.
∫ −+−
+−
dx
xxx
xx
1
14
23
2
7.
∫ −+ 22
3
xx
dxx
8.
( )( )∫ +−+− 6544 22
xxxx
dx
9.
( )( )∫ +++
−
dx
xxx
x
221
13
22
10.
∫ +
−−+
dx
xx
xxx
9
999
3
235
11.
∫ −
dx
x 1
4
4
12.
( )
( )( )∫ +++
++
dx
xxx
xx
222
232
2
2
13.
( )∫ +
dx
x
x
22
5
4
14.
( )∫ +
++
dx
xx
xx
22
2
2
824
15.
( ) ( )∫ +−
+−
dx
xx
xx
11
34
22
2
16.
∫ −
−
dx
xx
x
3
3
4
1
17.
∫ −+ 6coscos
sen
2
xx
dxx
18.
∫ +− 13sec
sec
2
2
ttant
dtt
19.
( )∫ + xx
dx
sencos2
20.
∫ +++ 6321
xxx
eee
dx

48
1.2.3.7 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS
CASO I. Integrales del tipo ( )
∫ dxxxR cos,sen
Se recomienda la siguiente sustitución tx
=2
tg de donde
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
=
+
−
=
+
=
dt
t
dx
t
t
x
t
t
x
2
2
2
2
1
2
1
1
cos
1
2
sen
Ejemplo
Calcular
∫ ++
dx
xx cossen1
1
SOLUCIÓN:
Reemplazando y simplificando:
( )
C
Ct
dt
t
dt
t
dt
t
dt
t
t
ttt
dt
t
t
t
t
t
dx
xx
x ++=
++=
+
=
+
=
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
−+++
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
−
+
+
+
=
++
∫
∫
∫
∫
∫∫
2
2
2
22
2
2
2
2
tg1ln
1ln
1
1
12
2
22
2
1
2
1
121
1
1
2
1
1
1
2
1
1
cossen1
1
CASO II. Integrales donde se cumple que:
( ) ( )
∫ ∫=−− dxxxRdxxxR cos,sencos,sen
Se recomienda usar la sustitución tx =tg de donde
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
=
+
=
+
=
2
2
2
1
1
1
cos
1
sen
t
dt
dx
t
x
t
t
x

49
Ejemplo
Calcular
∫ +
dx
x2
sen1
1
SOLUCIÓN:
Reemplazando y simplificando:
( )
( )
( ) Cx
Ct
dt
t
dt
t
t
dt
t
tt
t
dt
t
t
t
dt
t
t
dx
x
+=
+=
+
=
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
++
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
+
∫
∫
∫
∫
∫∫
tg2arctg
2
1
2arctg
2
1
21
1
21
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
sen1
1
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
1.
∫ ++ 5cossen2 xx
dx
2.
∫ + xx
dx
cos4sen3
3.
∫ −
dx
xx cos4sen3
1
4.
∫ +
dx
xsen
xsen
2
2
1
5.
∫ + xx
dx
tgsen
6. dx
xx
xx
∫ ++
−+
1cossin
1cossin
7. dx
xx
xx
∫ ++
−
1cossin
cos2sin

50
Misceláneos
1.
∫ +
−
dx
xx
x
4
1
3
2.
∫
−
dx
x
x
3
2
1
3.
∫ + dxxx 923
4. ( )
∫ − dxexx x22
23
5.
∫ xdxx 2cos2sen 53
6.
( )( )∫ +−
−
dx
xx
x
11
62
2
7.
∫ −
dx
x
x
2cos9
cos2
8. ( )
∫ −
+− dxexx x22
35
9.
∫ ++
dx
ee
e
xx
x
142
10.
( )
∫ dx
x
xsenh
11.
( )( )∫ −++
+
dx
xxx
x
154
1
2
12.
∫
−
dx
x
x2
1
13.
∫ xdxxcos2sen2
14.
∫ dx
x
x
2cos
cos
15.
∫ xdxx 7cos3cos
16.
( ) ( )∫ ++−
+−
dx
xxx
xx
322
453
22
2
17.
( )∫ +
dx
xx
x
1coscos
sen
2
18.
∫
+
dx
x
x 12
19.
( )∫ −
dx
x
x
2
3
20.
∫ +
dx
x
x
252
3
21.
∫ ++
dx
xx
x
54
3
24
22.
∫ arctgxdxx2
23.
∫
−
dx
x
x2
41
24.
∫ xdxe x
sen2
25.
∫
−
dx
x
x
cos
sen1
26.
∫ +
dx
ee
e
xx
x
422
27.
∫ dx
x
xln
28.
∫ + dxxx 12
29.
∫ −
dxex x2
3
30.
∫ +
dx
xx ln1
1
31.
∫ −−
−
dx
xxx
x
32
12
23
32.
∫ +−+
+−−+
dx
xxx
xxxx
35
7453
23
234
33.
( )∫ + 33 1 xxx
dx
34.
∫ +
−
dx
x
x
13
22
35. ( )
∫ − xdxx 2cos13
36. ( )
∫ + dxx 32ln
37.
∫ +−
+
dx
xx
x
23
32
2
38.
( )∫ +
−
dx
xx
x
4
1
2
3

51
39.
∫ +
−
dx
xx
x
cos
sen1
40.
∫ + xx
xdx
cos2sen
sen2
41.
∫ −
+−+
dx
x
xxe xar
2
2sen
1
243
42.
∫
−
dx
x
x
2
2
4
43.
∫ xdxx 2cossen2
44.
∫ +
dx
x
x
41
45.
∫ ++ xsenx
dx
cos1
46. ( )
∫ +− xdxxx ln523 2
47.
∫ +
+
dx
e
e
x
x
1
13
48. ( )
∫ + xdxx 532 2
49.
∫ +
dx
x
x
48
3
50. ( )
∫ +− dxarctgxxx 346 2
51.
∫ dx
x
x
4
4
cos
sen
52.
∫ +
−
dx
xx
xx
cossen3
sencos2
53.
∫ dxxcos
54.
∫ −
dx
x
x
13
55.
∫ +
−
dx
xx
x
4
1
3
56.
∫ +
−+−
dx
xx
xxx
24
23
1235
57.
∫ +
dx
xxx
x
2
ln4
ln
58.
( )
∫
−
dx
x
x
6
32
9
59.
( )( )∫ −++
+
dx
xxx
x
12´2
37
2
60.
∫ +
+
dx
xx
x
4
32
3
61.
∫ +
dx
e
e
x
x
1
2
62.
∫ +
+
dx
x
x
2
1
1
63.
∫ −
dx
x
x
2
2
1
64.
∫ +
−
dx
x
xx
1
2
3
2
65.
( )
∫
+
dx
x
x
2
2 2
3
16
66.
∫ ++
−
dx
xx
xx
1cossen
sen4cos3
67.
∫
−
dx
x
xx
cos
cos4tg3 2
68.
( )∫ +
dx
xx ln3
1
69.
∫ − xx
dx
3
70.
∫ ++
−
dx
xx
x
963
52
2
71. 2 arcsenx xdx
∫
72.
∫ xx
dx
3
cossen
73.
∫ ++ xx
dxx
2
cossen1
cos
74.
∫ + dxx1
75.
( )( )∫ +++ 221 2
xxx
dx
76. dx
e
ee
x
xx
∫ +
+
5
3
4
24
77. xdxxx 2cos3cos2sin
∫
78. dx
xx
x
∫ + 3

52
79.
( )∫ + 2
cossin xx
dx
80.
∫ + xx
dx
csccot
81.
1
ln
1
x
x dx
x
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
+⎝ ⎠∫
82.
3
2
sin cos
1 cos
x xdx
x+∫
83.
( )
2
sin
2
x x
dx
+
∫
84. 1 x
e dx+
∫
85. 3 2
cos
sin 2sin sin
xdx
x x x− +∫
86.
( )
22
1
dx
x +∫
87. ( ) ( )
1
3 2
sin 4 cos 4x x
∫
88. 4
cos
2
x dx
π
π
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
89.
3 sin
sec
sec
x
x e
dx
x
+
∫
90.
( )arctan 2
2
1 4
t
e
dt
t+∫
91.
2 2
2 2
x x
x x
e e
dx
e e
−
−
−
+∫
92.
( )
( )
2
4
3 cos sin
csc 7 sin
x x x x
x x x
− +
−∫
93.
( )
( )
tan 4
2
5
1 sin 4
x
dx
x−∫
94.
( )
sec tan
2
1 1
cos 2
2 2
x
x
π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+∫
95.
( )( )3
csc log
3
x
dx
x∫
96.
( )2
ln csc lnx x
dx
x∫
97. ( ) ( )2
5 1
1
x
x e dx
+
+
∫
98. ( )3
2 sinx x
e e dx
∫
99.
( )
( )
5
1
cos ln
1
x x
dx
x x
−
+
+∫
100.
∫ +− 224
3
xx
dxx
101.
∫ ++ 23 48
11
xx
dxx

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