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Representación de una ecuación diferencial exacta
1.
Representación de una
ecuación diferencial exacta.
2.
f( x, y
)=𝑥2𝑦+3𝑥3−8𝑐𝑜𝑠𝑦+7 Identificamos: 𝜕𝑓𝜕𝑥=M(x,y)= 2xy+9𝑥2. 𝜕𝑓𝜕𝑦=N(x,y)=𝑥2+8𝑠𝑒𝑛𝑦. Entonces: (2xy+9𝑥2) dx + (𝑥2+8𝑠𝑒𝑛𝑦) dy = 0
3.
Identificamos las derivadas
parcial con respecto de x e y: 𝜕𝑓𝜕𝑥=𝑥2+8𝑠𝑒𝑛𝑦=2𝑥. 𝜕𝑓𝜕𝑦=2𝑥𝑦+9𝑥2=2𝑥. Por lo que: 𝜕𝑓𝜕𝑥=𝜕𝑓𝜕𝑦
4.
Resolvemos nuestra E.D.E.
𝜕𝑓𝜕𝑥=2𝑥𝑦+9𝑥2. f=ʃ(2𝑥𝑦+9𝑥2)dx f(x,y)=𝑥2𝑦+3𝑥3+𝑔𝑦 𝜕𝑓𝜕𝑦=𝑥2+8 𝑠𝑒𝑛 𝑦. g’(y)=8 sen y g(y)=8 ʃ sen y dy g(y)=-8 cos y +c
5.
Por lo que
se obtiene como resultado: f ( x , y )=𝑥2𝑦+3𝑥3−8cos𝑦+𝑐
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