EDO

1. Matem´aticas III
Christian Alcocer
Universidad Regional Amaz´onica Ikiam
2020

2. Ecuaciones diferenciales
Unidad 1:
ED Homog´eneas
Ejercicios

3. Ecuaciones diferenciales
• Resolver la ecuaci´on diferencial:
(x2 + y2)dx + (x2 − xy)dy = 0
Verificar si la ED es homog´enea:
Si x = tx e y = ty
t2(x2 + y2)dx + t2(x2 − xy)dy = 0 −→ Es homog´enea
Realizar la sustituci´on en la expresi´on m´as simple
Si y = ux −→ dy = udx + xdu
(x2 + (ux)2)dx + (x2 − x(ux))(udx + xdu) = 0
x2dx + u2x2dx + ux2dx − u2x2dx + x3du − ux3du = 0
x2dx + ux2dx + x3du − ux3du = 0
(x2 + ux2)dx + (x3 − ux3)du = 0
x2(1 + u)dx + x3(1 − u)du = 0
÷x3(1 + u) : dx
x + (1−u)
(1+u) du = 0

4. Ecuaciones diferenciales
• Continuaci´on . . .
dx
x + (1−u)
(1+u) du = 0
dx
x + (1−u)
(1+u) du = C
ln|x| + (−1 + 2
1+u )du = C
ln|x| − du + 2
1+u du = C
ln|x| − u + 2ln|1 + u| = C
ln|x| − y
x + 2ln|1 + y
x | = C

5. Ecuaciones diferenciales
• Resolver la ecuaci´on diferencial:
2x3ydx + (x4 + y4)dy = 0
Verificar si la ED es homog´enea:
Si x = tx e y = ty
t4(2x3y)dx + t4(x4 + y4)dy = 0 −→ Es homog´enea
Realizar la sustituci´on en la expresi´on m´as simple
En este caso x = vy −→ dx = vdy + ydv
2(vy)3y(vdy + ydv) + ((vy)4 + y4)dy = 0
2v3y4(vdy + ydv) + v4y4dy + y4dy = 0
2v4y4dy + 2v3y5dv + v4y4dy + y4dy = 0
3v4y4dy + 2v3y5dv + y4dy = 0
Se agrupan t´erminos por dy y dv
y4(3v4 + 1)dy + 2v3y5dv = 0
÷y5(3v4 + 1) : dy
y + 2v3
3v4+1
dv = 0

6. Ecuaciones diferenciales
• Continuaci´on....
÷y5(3v4 + 1) : dy
y + 2v3
3v4+1
dv = 0
dy
y + 2v3
3v4+1
dv = C
Resoluci´on segunda integral
u = 3v4 + 1; du = 12v3dv −→ 2v3dv = du
6
Reemplazo y resoluci´on de integrales
ln|y| + 1
6
du
u = C
ln|y| + 1
6ln|u| = C
ln|y| + 1
6ln|3v4 + 1| = C

7. Ecuaciones diferenciales
• Resolver la ecuaci´on diferencial:
(x +
√
xy)dy
dx + (x − y) = x−1
2 y
3
2 ; y(1) = 2
Verificar si la ED es homog´enea:
Si x = tx e y = ty
t(x +
√
xy)dy
dx + t(x − y) = t(x−1
2 y
3
2 ) −→ Es homog´enea
O bien, poniendo la ecuaci´on en la forma adecuada:
x + (xy)
1
2 dy + (x − y)dx = x− 1
2y
3
2 dx
x − y − y
3
2
x
1
2
dx + x + (xy)
1
2 dy = 0
t x − y − y
3
2
x
1
2
dx + t x + (xy)
1
2 dy = 0 −→Es homog´enea
Realizar la sustituci´on en la expresi´on m´as simple
En este caso y = ux −→ dy = udx + xdu
x − ux − (ux)
3
2
x
1
2
dx + x + (xux)
1
2 (udx + xdu) = 0

8. Ecuaciones diferenciales
• Continuaci´on....
Se agrupan t´erminos por dy y du
x − ux − u
3
2 x dx + x + xu
1
2 (udx + xdu) = 0
xdx − uxdx − u
3
2 xdx + uxdx + u
3
2 xdx + x2du + u
1
2 x2du = 0
xdx + x2du + u
1
2 x2du = 0
÷x2 : dx
x + (1 + u
1
2 )du = 0
dx
x + (1 + u
1
2 )du = C
ln|x| + u + 2u
3
2
3 = C
Reemplazo variables originales
ln|x| + y
x +
2(y
x
)
3
2
3 = C
Evaluar condiciones iniciales
ln|1| + 2
1 +
2(2
1
)
3
2
3 = C = 6+4
√
2
3
ln|x| + y
x +
2(y
x
)
3
2
3 = 6+4
√
2
3

9. Ecuaciones diferenciales
• Resolver la ecuaci´on diferencial:
dy
dx = x−y−3
x+y−1
Verificar si la ED es homog´enea:
x = tx e y = ty
dy
dx = tx−ty−3
tx+ty−1 −→ No es homogenea
En este caso es necesario redefinir la expresi´on para convertir
la ecuaci´on en homog´enea
x = u + h
y = v + k
(h, k) es una pareja ordenada que proviene de la soluci´on del
sistema:
x − y − 3 = 0
x + y − 1 = 0

10. Ecuaciones diferenciales
• Continuaci´on....
Resoluci´on del sistema mediante reducci´on matricial
1 −1 −3 0
1 1 −1 0 F2−F1
∼
1 −1 −3 0
0 2 2 0 F2=
F2
2
∼
1 −1 −3 0
0 1 1 0 F1=F1+F2
∼
1 0 −2 0
0 1 1 0
−→
x = 2 = h
y = −1 = k
Entonces:
x = u + 2 ; dx = du
y = v + −1 ; dy = dv
Reemplazar x e y en la expresi´on original
dv
du = (u+2)−(v−1)−3
(u+2)+(v−1)−1
dv
du = u−v
u+v −→Es una ecuaci´on homog´enea
(u + v)dv = (u − v)du
(u + v)dv − (u − v)du = 0
Realizar la sustituci´on en la expresi´on m´as simple
En este caso u = xv −→ du = xdv + vdx

11. Ecuaciones diferenciales
• Continuaci´on....
Se agrupan t´erminos por dv y dx
(xv + v)dv − (xv − v)(xdv + vdx) = 0
xvdv + vdv − x2vdv − xv2dx + xvdv + v2dx = 0
2xvdv + vdv − x2vdv − xv2dx + v2dx = 0
v(2x + 1 − x2)dv − v2(x − 1)dx = 0
÷(−x2 + 2x − 1)v2 : dv
v − x−1
−x2+2x−1
dx = 0
dv
v − x−1
−x2+2x−1
dx = C
Si p = −x2 + 2x − 1 −→ dp = −2x + 2 = −2(x − 1)
dv
v + 1
2
dp
p dx = C
ln|v| + 1
2ln|p| = C

12. Ecuaciones diferenciales
• Continuaci´on....
Reemplazo variables originales
ln|v| + 1
2ln| − x2 + 2x + 1| = C
Ecuaci´on soluci´on
ln|y + 1| + 1
2ln| − x2 + 2x + 1| = C