Guía homogeneas

1. 1. ( y2 + yx)dx – x2dy = 0
I (verificamos que sea Homogénea)
Hallamos el Grado:
m (x, y) = y2 + yx
m (tx, ty)= (ty)2 + (ty)(tx)
= t2 (y2 + yx)
Es de Grado 2
n (x, y) = x2
n (tx, t y) = t2 x2
Es de Grado 2
Como son de igual grado SI son HOMOGÉNEAS.
II (Efectuamos el cambio)
Recuerda que:
Universidad Nacional Experimental
“Francisco de Miranda”
Área de Tecnología
Programa Ingeniería
U.C. Matemática IV

2. y = ux ; dy= xdu + udx
Sustituimos
[(ux)2 + (ux) x]dx – x2 (xdu + udx) = 0
Resolvemos
u2 x2 dx + ux2 dx – x3du – x2udx = 0
x2 (u2 + u – u)dx – x3du = 0 *multiplicamos
1
𝑢2.𝑥3
𝑥2
𝑥3 𝑑𝑥 -
𝑑𝑢
𝑢2 = 0
𝑑𝑥
𝑥
-
𝑑𝑢
𝑢2 = 0
∫
𝑑𝑥
𝑥
- ∫ 𝑢−2
du = 0 *Integramos
ln x -
𝑢−1
−1
+ c = 0
Recuerda que: u =
𝑦
𝑥
Entonces => u-1 =
𝑥
𝑦
ln x -
𝑥
𝑦
+ c = 0

3. y ln x + x + c = 0
y (ln x + c) = -x
y = -
𝑥
𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐
Verifica si las siguientes Ecuaciones Diferenciales son Homogéneas
y Resuelve:
2. (x – y ) dx + x dy = 0
3. x dx + (y – 2x) dy = 0
4. (x + y) dx + x dy = 0