El documento presenta un problema sobre el envasado de bombones en cajas de diferentes tamaños. Se envasaron un total de 60 cajas, habiendo 5 cajas más pequeñas que medianas. El precio total de los bombones fue de 1250 euros. Se plantea un sistema de ecuaciones para determinar el número de cajas de cada tamaño, el cual se resuelve usando el método de Gauss para obtener 24 cajas de 1 kg, 19 cajas de 500 g y 17 cajas de 250 g.

2. En una confitería envasan bombones en cajas de 250 gr,
500 gr y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total,
habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño ( 250 gr.) que de
tamaño mediano (500 gr ). Sabiendo que el precio del
kilogramo de bombones es 40 euros. Y que el importe total
de los bombones envasados asciende a 1250 euros.
A) Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han
envasado de cada tipo.
B)Resuelve el problema

3. Primero escribimos las incógnitas
x = número de cajas de bombones de 250 gramos
y = número de cajas de bombones de 500 gramos
z = número de cajas de bombones de 1 kilogramo
Planteamos las ecuaciones del sistema
“Cierto día se envasaron 60 cajas en total” x + y + z = 60
“habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250gr.) que de tamaño
mediano(500 gr )“ x=y+5
“Sabiendo que el precio del kilogramo de bombones es 40 euros. Y que el
importe total de los bombones envasados asciende a 1250 euros”
40 ·(0,250x) +40 · (0,500y) + 40·1z = 1250 operamos
10x +20y +40z = 1250 1x + 2y +4z = 125

4. Escribimos las ecuaciones en orden
x+y+z = 60
El método de Gauss consiste en
x- y =5 hacer ceros por debajo de la
diagonal, es decir la primera
x + 2y + 4z = 125 ecuación tendrá tres incógnitas, la
segunda ecuación dos incógnitas y la
tercera ecuación solamente una
incógnita
Para ello escribimos solamente los coeficientes de las incógnitas
colocados en filas, así obtenemos una matriz para operar con ella.
Vamos eliminando primero la incógnita x de la segunda y tercera
ecuación, restando filas entre sí. Ahora eliminamos la incógnita y
de la tercera ecuación.

5. 1 1 1 60  1 1 1 60 
   
1 − 1 0 5   0 − 2 − 1 − 55 
F2 - F1
2F3 –F2
1 2 4 125 
F3 – F1
  0 1 3 65 
 
1 1 1 60 
  SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
 0 − 2 − 1 − 55  EXISTE UNA ÚNICA SOLUCIÓN
0 0 5 85 
 
Escribimos el sistema x + y + z = 60
Lo resolvemos
- 2y – z = - 55 empezando por la
tercera ecuación
5z = 85

6. Empiezo con la tercera ecuación
5z = 85 x = 85/5 = 17 cajas pequeñas
En la segunda ecuación sustituyo
-2y – z = - 55 2y + z = 55 2y + 17 = 55
2y = 55-17 y = 38/2 = 19 cajas medianas
Para acabar sustituyo en la primera
x + y + z = 60 x + 19 + 17 = 60 x = 24 cajas de 1 kg
Solución: x = 24 cajas de 1 kilo
y = 19 cajas de 500 gramos
z = 17 cajas de 250 gramos