EDO

1. Universidad Regional Amazónica Ikiam
Trabajo Grupal
Grupo N|2
Mirian.lapo
Kevin.Salazar
Betsy. Chimbo
Kevin.Castro
Leidy.Rivadeneira
15 June 2020
1. Miscelánea de ejercicios
1.1. Ejercicio 7
Encuentre N(x,y) de tal forma que la siguiente ecuación sea exacta
Solución
N(x, y)dy+M x2
−y2
−2x3
y
x2y3 dx = 0
∂M
∂y = ∂N
∂x
∂M
∂y
=
(−2y − 2x3
)(x2
y) − (x2
− y2
− 2x3
y)x2
(x2y)2
=
−2x2
y2
$$$$−2x5
y − x4
+ x2
y2
$$$$+2x5
y
x4y2
∂M
∂y
=
−x4
− x2
y2
x4y2
=
¨¨−x2
(x4
+ y2
)
x¡¡4
y2
= −
x2
+ y2
x2y2
≡
∂N
∂x
N =
∂f
∂y
= −
x2
+ y2
x2y2
dx = −
1
y2
dx +
1
x2
dx = −
1
y2
dx + x−2
dx
N =
∂f
∂y
= −
x
y2
− x−1
+ g(y) = −
x
y2
−
1
x
+ g(x) = −
x2
− y2
xy2
+ g(y)
N =
∂f
∂y
= −
x2
+ y2
xy2
+ g(y) =
y2
− x2
xy2
+ g(y)
1.2. Ejercicio 8
1 + x2
y y + xy2
= 0
Solución
1 + x2
y y + xy2
= 0
(1 + x2
y)
dy
dx
+ xy2
= 0
multiplicar dx : (1 + x2
y)dy + (xy2
)dx = 0
(xy2
)dx + (1 + x2
y)dy = 0
Verificar si es exacta
M = xy2
y N = 1 + x2
y
1

2. ∂M
∂y = 2xy ≡ ∂N
∂x = 2xy
2xy ≡ 2xy Son iguales las ecuación → es exacta
∂f
∂x = xy2
f = (xy2
)dx + g(y)
f =
x2
y2
2
+ g(y)
Derivar con respecto y para obtener g(y)
∂f
∂y
= ¡2x2
y
¡2
+ g (y)
&
&x2
y + g (y) ≡ N = 1¨¨¨+x2
y
g (y) = 1
g(y) = 1dy
g(y) = y
Reemplazar g(x) en la ecuación original:
x2
y2
2
+ g(y)
x2
y2
2
+ y = C
1.3. Ejercicio 9
1
1+9x2 − x3
y2
y − x2
y3
Solución
1
1 + 9x2
− x2
y3
= x3
x2 dy
dx
1
1 + 9x2
− x2
x3
dx − x3
y2
dy = 0
Verficar si es exacta
M = 1
1+9x2 − x2
y3
y N = −x3
y2
∂M
∂y = −3x2
y2
≡ ∂N
∂x = −3x2
y2
⇒ es exacta
∂f
∂y = −x3
y2
f = − x3
y2
dy + h(x)
f = −
x3
y3
3
+ h(x)
Derivar con respecto x paa obtener h (x)
∂f
∂x
= −¡3x2
y3
¡3
+ h (x)
∂f
∂x
= $$$−x2
y3
+ h (x) = M(x, y) =
1
1 + 9x2
$$$−x2
y3
h (x) =
1
1 + 9x2
h(x) =
1
1 + 9x2
dx =
1
9
1
1
9 + x2
=
1
9
1
1
3
2
+ x2
h(x) =
1
9
1
2
arctan
x
1
3
2

3. h(x) =
1
18
arctan(3x)
Entonces:
−
x3
y3
3
+
1
18
arctan(3x) = C
1.4. Ejercicio 10
Solución
x 3xdx − 3y4
dx − y2
(6x2
ydy − dy) = 0
xdx 3x − 3y4
− y2
dy 6x2
y − 1 = 0
3x2
− 3xy4
dx + −6x2
y3
+ y2
dy = 0
Verificar si es exacta
M = 3x2
− 3xy4
y N = −6x2
y3
+ y2
∂M
∂y = −12xy3
≡ ∂N
∂x = −12xy3
−12xy3
≡ −12xy3
Son iguales las ecuaciones → es exacta
∂f
∂x = 3x2
− 3xy4
f = 3x2
− 3xy4
dx + g(y)
f = 3x2
dx − 3xy4
dx + g(y)
f = ¡3x3
¡3
−
3x2
y4
2
+ g(y)
f = x3
−
3x2
y4
2
+ g(y)
Derivar con respecto y para obtener g(y)
∂f
∂y
= −
&&b
6
12x2
y3
¡2
+ g (y)
∂f
∂y
= $$$$
−6x2
y3
+ g (y) ≡ N = $$$$
−6x2
y3
− y2
g (y) = −y2
g(y) = − y2
dy → g(y) = −y3
3
Reemplazar g(y) en la ecuacion original;
x3
−
3x2
y4
2
+ g(y) = C
x3
−
3x2
y4
2
−
y3
3
= C
1.5. Ejercicio 11
(x2
+ y)dx − xdy = 0
Solución
3

4. (x2
+ y) − xdx
dy = 0
(x2
+ y) − xdx
dy = 0
y la variable independiente dividir entre dx
x2
+ y − xdx
dy = 0
Sustituircon y
x2
+ y − xy = 0
Normaliza EDO
y + p(x)y = q(x)
(−1) −xy + y = −x2
(−1) p(x) = −1
x y
xy’-y=-x2
q(x) = x
xy
x − 1
x y = x2
x
y − 1
x y = x
Calcular factor integrante
u(x) = e f(x)dx
e− 1
x dx = e−In|x|
eInx−
1
= x−1
= 1
x ; u(x) = 1
x ;u(x)=u(x)=1x
y = 1
u(x) q(x)u(x)dx
1
1
x
· 1
1
1
x
= x
y = x x · 1
x dx = x dx
y = x(x + C) = x2
+ Cx
y = x2
+ Cx
1.6. Ejercicio 12
y
x dx + y3
− ln(x) dy = 0
M
y
x
dx + N y3
− ln(x) dy = 0
∂M
∂(y)
=
1
x
≡
∂N
∂(x)
=
−1
x
⇒ No es exacta
4

5. •K(y) =
1
M(x, y)
∂N(x, y)
∂x
−
∂M(x, y)
∂y
⇒
x
y
−
1
x
−
1
x
⇒ −
x
y
−
2
x
⇒ K(y) = −
2 x
y x
= −
2
y
•U(y) = e− 2
y dx
⇒ e−2 ln y
⇒ eln y−2
⇒ y−2
⇒ factor de itegracion
Multiplicamos el factor integracion por la ecuacion general
1
y2
y
x
dx +
1
y2
y3
− ln x dy = 0) ⇒
1
yx
dx + y −
ln x
y2
dy = 0
Comprobamos su exactitud
•
∂M
∂(y)
= −
x
y2x2
⇒
1
xy2
;
∂N
∂(x)
= −
1
x y2
y4
⇒
1
xy2
Resolverlo con el método de ecuaciones exactas
•f =
1
xy
dx + g(y) ⇒
1
y
ln(x) + g(y) ⇒
∂f
∂y
= −
ln x
y2
+ g (y) ⇒ −
ln x
y2
+ g (y) = −
ln x
y2
• g (y) =
ln x
y2
+
y − ln(x)
y2
⇒ g (y) = y dy ⇒ g(y) =
y2
2
+ c
Reemplazo
ln x
y
+
y2
2
+ c = f(x)
5