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1. ´Indice general
1. INTRODUCCI´ON 2
1.1. Determine una soluci´on forma del problema de flujo de ca-
lor descrito por el problema con valores inciciales y en la
frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ingenier´ıa Civil 1

2. TOPOGRAFÍA II
UNSCH
1 INTRODUCCI´ON
1.1 Determine una soluci´on forma del problema de
flujo de calor descrito por el problema con valores inciciales
y en la frontera
∂u
∂t
= 5∂2u
∂x2 , 0 < x < 1, t > 0
u(0, t) = u(1, t), t > 0
u(x, 0) = (1 − x)x2
, 0 < x < 1
mediante separaci´on de variables.
SOLUCI´ON:
Al comparar el ejercicio con el anterior vemos que β = 5 y L=1. Por lo tanto
solo debemos determinar los valores de cnen la formula:
u(x, t) =
2
L
∞
n=1
(
L
0
f(x)sen(
nπ
L
x))e−k(n2π2
L2 )t
sen(
nπ
L
x)
Es decir debemos tener:
cn =
L
0
f(x)sen(
nπ
L
x)
Donde:
L=1
f(x) = (1 − x)x2
Desarrollando:
cn =
1
0
(1 − x)x2
sen(nπx) =
1
0
x2
sen(nπx) −
1
0
x3
sen(nπx)
u = x2
,∂v =sen(nπx)
∂u = 2x∂x, v = −
cos(nπx)
nπ
Ingenier´ıa Civil 2

3. texto 1 texto 2
I1 = −x2 cos(nπx)
nπ
1
0
+
1
0
2x
cos(nπx)
nπ
∂x
I2 =
1
0
2x
cos(nπx)
nπ
∂x
v = 2x,∂y=
cos(nπx)
nπ
∂v = 2x∂x, y =
sen(nπx)
n2π2
I2 = 2x
sen(nπx)
n2π2
1
0
−
1
0
2
sen(nπx)
n2π2
∂x
I2 = 2x
sen(nπx)
n2π2
1
0
+ 2
cos(nπx)
n3π3
1
0
I1 = −x2 cos(nπx)
nπ
1
0
+ 2x
sen(nπx)
n2π2
1
0
+ 2
cos(nπx)
n3π3
1
0
Desarrollo de la otra integral:
I4 =
1
0
x3
sen(nπx)
u = x3
,∂v = sen(nπx)
∂u = 3x2
, v = −
cos(nπx)
nπ
I4 = −x3 cos(nπx)
nπ
1
0
+
1
0
3x2 cos(nπx)
nπ
∂x
I5 =
1
0
3x2 cos(nπx)
nπ
∂x
v = 3x2
,∂m =
cos(nπx)
nπ
Ingenier´ıa Civil 3

4. texto 1 texto 2
∂v = 6x∂x, m =
sen(nπx)
n2π2
I5 = 3x2 sen(nπx)
n2π2
−
1
0
6x
sen(nπx)
n2π2
∂x
I6 =
1
0
6x
sen(nπx)
n2π2
∂x
t = 6x,∂z =
sen(nπx)
n2π2
∂t = 6∂x, z = −
cos(nπx)
n3π3
I6 = −6x
cos(nπx)
n3π3
+
1
0
6
cos(nπx)
n3π3
I6 = −6x
cos(nπx)
n3π3
+ 6
sen(nπx)
n4π4
I4 = −x3 cos(nπx)
nπ
1
0
+ 3x2 sen(nπx)
n2π2
1
0
+ − 6x
cos(nπx)
n3π3
1
0
− 6
sen(nπx)
n4π4
1
0
DESARROLLANDO LAS INTEGRALES TENEMOS:
I1 = −
cos(nπ) − 1
nπ
+ 0 + 2
cos(nπ) − 1
n3π3
I4 = −
cos(nπ) − 1
nπ
+ 0 + −6
cos(nπ)
n3π3
− 0
NOTA:
sen(nπ) = 0
sen(0) = 0
cos(nπ) = (−1)n
SUMANDO LAS DOS INTEGRALES Y SIMPLIFICANDO OBTENEMOS:
cn = (
−4(−1)n
− 2
n3π3
)
POR LO TANTO EL u(x,t):
u(x, t) =
2
L
∞
n=1
(
−4(−1)n
− 2
n3π3
)e−5(n2π2)t
sen(nπx)
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