ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Medidas de Dispersión
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Dispersión
• La dispersión muestra la disparidad que
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elevada, las medidas d...
Medidas de dispersión
• Las medidas de tendencia central son valores en
una distribución y las medidas de la variabilidad
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Medidas de dispersión
ABSOLUTAS

Pueden ser

Recorrido
Desviación media
Varianza
Desviación estándar

RELATIVAS
Coeficient...
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
ABSOLUTAS
• Recorrido
• Desviación media
• Varianza
• Desviación estándar
Recorrido
• Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de
la variable:

R = x Max − x min
Recorrido
VENTAJAS
• Cálculo sencillo

DESVENTAJAS
• Sólo tiene en cuenta dos
valores de la serie.
• Le afecta la existenc...
Desviación media
n

De una población:

DM =

∑

i =1

n

DESVIACION MEDIA
n
De una muestra:

DM =

Xi − µ

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i =1

Xi − X...
Desviación media
• Si no se tomaran los valores absolutos de las
diferencias entre los valores de la variable y
la media e...
CALCULO DE LA DESVIACION MEDIA
Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos No Agrupados:
Ejemplo:
Un pediatra obtuvo l...
CALCULO DE LA DESVIACION MEDIA

µ = 12,2 meses
n = 50
Meses
(x)

Niños (f)

lxi-µl

lxi-µl fi

9

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3,2

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Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos Agrupados:
Ejemplo:
Las alturas de los juga...
CALCULO DE LA DESVIACION MEDIA
µ = 186,63 cm
n = 23
Altura
(cms)

Nº de
jugado
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MC

lMCi-µl

lMCi-µl fi

[170, 175)

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Varianza
Es una medida de dispersión que cuantifica la variabilidad de los
datos con respecto a la media aritmética y se d...
CALCULO DE LA VARIANZA

Meses
(x)

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Propiedades de la Varianza
1. Nunca es negativa: el numerador incluye
diferencias al cuadrado.
2. Si se suma una constante...
Varianza
• Es un concepto estadístico sumamente
importante porque muchas de las pruebas
cuantitativas se fundamentan en él...
Desviacion Standard
Se define como la raíz cuadrada de la varianza
n

Para una población: σ ( x ) =

∑

i =1

n

n

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CALCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Meses
(x)

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i =1

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CALCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Meses
(x)

σ ( x) =

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Propiedades de la Desviación
estándar
1. Nunca es negativa, dado que se toma la raíz
positiva.
2. Si se suma una constante...
Desviación estándar
• Su ventaja frente a la varianza es que sus
unidades son las mismas que la variable.
Luego, puede ser...
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
RELATIVAS
• Coeficiente de apertura
• Recorrido relativo
• Coeficiente de variación
Coeficiente de Apertura
Es el cociente entre el mayor y el menor valor de la
variable. A mayor CA, mayor dispersión.
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Recorrido relativo
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Coeficiente de variación
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Cálculo del Coeficiente de variación
Se va a comparar la dispersión en precios anuales
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Valores del Coeficiente de variación
• Si la media es negativa, se toma su valor absoluto.
• No es posible calcularlo si l...
ASIMETRÍA
En distribuciones totalmente simétricas, la media, la mediana y la moda
coinciden, localizándose en un mismo val...
Coeficiente de Asimetría de Pearson
• Mide la desviación respecto de la simetría
expresando la diferencia entre la media y...
Puntuación “Z”
Las puntuaciones “Z” son transformaciones que se pueden
hacer a los valores obtenidos, con el propósito de ...
Ejemplo
• La media de una distribución de frecuencias es
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DISTRIBUCIÓN NORMAL Y
DESVIACION STANDARD

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Medidas de dispersion

  1. 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Medidas de Dispersión k ∑X i =1 f i i
  2. 2. Dispersión • La dispersión muestra la disparidad que existe entre los valores de la variable. Si es elevada, las medidas de posición pueden resultar poco representativas, al ser una muestra poco homogénea para esa variable. Si la dispersión es baja, la representatividad de las medidas de posición mejora, siendo el grupo más homogéneo.
  3. 3. Medidas de dispersión • Las medidas de tendencia central son valores en una distribución y las medidas de la variabilidad son intervalos, designan distancias o un número de unidades en la escala de medición. • Sólo pueden obtenerse con variables de escala de intervalo o de razón en las que puede valorarse el grado de representatividad de medidas de posición como la media.
  4. 4. Medidas de dispersión ABSOLUTAS Pueden ser Recorrido Desviación media Varianza Desviación estándar RELATIVAS Coeficiente de apertura Recorrido relativo Coeficiente de variación
  5. 5. MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS • Recorrido • Desviación media • Varianza • Desviación estándar
  6. 6. Recorrido • Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable: R = x Max − x min
  7. 7. Recorrido VENTAJAS • Cálculo sencillo DESVENTAJAS • Sólo tiene en cuenta dos valores de la serie. • Le afecta la existencia de valores extremos. • No se refiere a ninguna medida de posición central por lo que no sirve para valorar representatividad de alguna de ellas.
  8. 8. Desviación media n De una población: DM = ∑ i =1 n DESVIACION MEDIA n De una muestra: DM = Xi − µ ∑ i =1 Xi − X n 8
  9. 9. Desviación media • Si no se tomaran los valores absolutos de las diferencias entre los valores de la variable y la media el resultado sería igual a 0. • La DM puede calcularse respecto a la mediana y a la moda, en el caso de que la media no sea representativa de los valores que toma la variable.
  10. 10. CALCULO DE LA DESVIACION MEDIA Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos No Agrupados: Ejemplo: Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de empezar a caminar:
  11. 11. CALCULO DE LA DESVIACION MEDIA µ = 12,2 meses n = 50 Meses (x) Niños (f) lxi-µl lxi-µl fi 9 1 3,2 3,2 10 4 2,2 8,8 11 9 1,2 10,8 12 16 0,2 3,2 13 11 0,8 8,8 14 8 1,8 14,4 15 1 2,8 2,8 50 52 n DM = DM = ∑ i =1 Xi − µ n 52 = 1,04meses 50
  12. 12. CALCULO DE LA DESVIACION MEDIA Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos Agrupados: Ejemplo: Las alturas de los jugadores de un equipo de basquet vienen dadas por la tabla:
  13. 13. CALCULO DE LA DESVIACION MEDIA µ = 186,63 cm n = 23 Altura (cms) Nº de jugado res MC lMCi-µl lMCi-µl fi [170, 175) 1 172,5 14,13 14,13 [175, 180) 3 177,5 9,13 27,39 [180, 185) 4 182,5 4,13 16,52 [185, 190) 8 187,5 0,87 6,96 [190, 195) 5 192,5 5,87 29,35 [195, 200) 2 197,5 10,87 21,74 23 116,09 n DM = ∑ i =1 Xi − µ n 116,09 DM = = 5.05cm 23
  14. 14. Varianza Es una medida de dispersión que cuantifica la variabilidad de los datos con respecto a la media aritmética y se denota por V(X). Se define como la media aritmética de las desviaciones al cuadrado de cada uno de los datos con respecto a la media. n Para una población: σ 2 (x) = ∑ (x i =1 s 2 (x) = − µ) = n n Para una muestra: i ∑ i =1 (xi − x) n n 2 ∑ i =1 = 2 n n 2 x i2 − n µ ∑ i =1 x i2 − n x n Cuando se refiere a la población se representa por σ2 y si se refiere a la muestra se representa como s2 2
  15. 15. CALCULO DE LA VARIANZA Meses (x) Niños (f) (xi-µ)2 (xi-µ)2 fi 9 1 10,24 10,24 10 4 4,84 19,36 11 9 1,44 12,96 12 16 0,04 0,64 13 11 0,64 7,04 14 8 3,24 25,92 15 1 7,84 7,84 50 84 µ = 12,2 meses n = 50 n σ 2 ( x) = ∑ (x i =1 i − µ)2 n = 84 = 1,68meses 2 50
  16. 16. CALCULO DE LA VARIANZA Meses (x) Niños (f) x i2 x i2 f i 9 1 81 81 10 4 100 400 11 9 121 1089 12 16 144 2304 13 11 169 1859 14 8 196 1568 15 1 225 225 50 7526 µ = 12,2 meses n = 50 n σ ( x) = 2 ∑x i =1 2 i − nµ 2 n 7526 − 50 ⊗ 12,2 2 = = 1,68 50
  17. 17. Propiedades de la Varianza 1. Nunca es negativa: el numerador incluye diferencias al cuadrado. 2. Si se suma una constante k (positiva o negativa) a todos los valores de la variable, la varianza no cambia. 3. Si se multiplica por una constante k a todos los valores de la variable, la varianza queda multiplicada por k2. Si se divide por k la varianza queda dividida por k2.
  18. 18. Varianza • Es un concepto estadístico sumamente importante porque muchas de las pruebas cuantitativas se fundamentan en él. • En general, es difícil interpretar puesto que su magnitud se expresa en valores al cuadrado. Para fines descriptivos se utiliza preferentemente la desviación estándar.
  19. 19. Desviacion Standard Se define como la raíz cuadrada de la varianza n Para una población: σ ( x ) = ∑ i =1 n n Para una muestra: s(x) = (xi − µ ) ∑ i =1 (xi − x) n n 2 = ∑ i =1 = 2 n n 2 x i2 − n µ ∑ i =1 x i2 − n x 2 n Cuando se refiere a la población se representa por σ y si se refiere a la muestra se representa como s
  20. 20. CALCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR Meses (x) σ ( x) = i =1 n 10,24 4 4,84 19,36 11 9 1,44 12,96 12 16 0,04 0,64 11 0,64 7,04 8 3,24 25,92 15 − µ) 10,24 14 i 1 13 ∑ (x (xi-µ)2 fi 10 n (xi-µ)2 9 µ = 12,2 meses n = 50 Niños (f) 1 7,84 7,84 50 2 = 84 = 1,68meses 2 = 1,30meses 50 84
  21. 21. CALCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR Meses (x) σ ( x) = i =1 n 81 4 100 400 11 9 121 1089 12 16 144 2304 11 169 1859 8 196 1568 15 − nµ 81 14 ∑x 1 13 2 i x i2 f i 10 n x i2 9 µ = 12,2 meses n = 50 Niños (f) 1 225 225 50 2 = 7526 − 50 ⊗ 12,2 2 = 1,68mes 2 = 1,30mes 50 7526
  22. 22. Propiedades de la Desviación estándar 1. Nunca es negativa, dado que se toma la raíz positiva. 2. Si se suma una constante k (positiva o negativa) a todos los valores de la variable, la desviación estándar no cambia. 3. Si se multiplica por una constante k a todos los valores de la variable, la desviación estándar queda multiplicada por k. Si se divide por k la desviación estándar queda dividida por k.
  23. 23. Desviación estándar • Su ventaja frente a la varianza es que sus unidades son las mismas que la variable. Luego, puede ser comparada directamente con la media para determinar su representatividad. • Se emplea con varios métodos de inferencia estadística.
  24. 24. MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVAS • Coeficiente de apertura • Recorrido relativo • Coeficiente de variación
  25. 25. Coeficiente de Apertura Es el cociente entre el mayor y el menor valor de la variable. A mayor CA, mayor dispersión. x Max CA = x min Es sencillo de calcular pero le afecta la existencia de valores extremadamente grandes y/o pequeños y no se refiere a ninguna medida de posición central.
  26. 26. Recorrido relativo Es el cociente entre el recorrido y la media. Es el número de veces que el recorrido incluye a la media. A mayor recorrido relativo, mayor dispersión. Rr = x Max − x min X Es sencillo de calcular y tiene en cuenta una medida de posición central, pero le afecta la existencia de valores extremos.
  27. 27. Coeficiente de variación Es el cociente entre la desviación estándar y la media. Es el número de veces que la desviación estándar incluye a la media. A mayor coeficiente de variación, mayor dispersión. s CV = X Expresa si la dispersión es alta o no y el grado de representatividad de la media. Además permite comparar coeficientes de distintas series de datos y sus respectivos niveles de dispersión.
  28. 28. Cálculo del Coeficiente de variación Se va a comparar la dispersión en precios anuales de las acciones que se venden a menos de $20 y la dispersion en los precios de aquellas que se venden por arriba de $100. El precio medio de las acciones que se venden a menos de $20 es de $5.25 y la desviación estandar es de $1.52 y el precio medio de las acciones que se negocian a mas de $100 es de $92.50 y su desviación estandar es de $5.28 28
  29. 29. s1 1,52 CV1 = = = 0,29 x1 5,25 s2 5,28 CV2 = = = 0,06 x 2 92,50 ∴ CV1 〉 CV2 29
  30. 30. Valores del Coeficiente de variación • Si la media es negativa, se toma su valor absoluto. • No es posible calcularlo si la media es cero. • Si la desviación estándar es igual a cero, no hay dispersión: todos los valores son iguales ⇒ CV = 0 • Si 0 ≤ CV ≤ 0,3 existe poca dispersión. La media es representativa. • Si 0,3 ≤ CV 〈1 la dispersión será baja si CV es cercano a 0,3 y alta si es cercano a 1. La media será bastante o poco representativa, dependiendo del valor de CV. • Si CV ≥ 1 existe mucha dispersión. La media no es representativa.
  31. 31. ASIMETRÍA En distribuciones totalmente simétricas, la media, la mediana y la moda coinciden, localizándose en un mismo valor. En cambio, en distribuciones moderadamente asimétricas, la siguiente relación se mantiene aproximadamente: Media – Moda = 3(Media – Mediana) Asimetría hacia la izquierda o negativa Simetría Asimetría hacia la derecha o positiva
  32. 32. Coeficiente de Asimetría de Pearson • Mide la desviación respecto de la simetría expresando la diferencia entre la media y la mediana en relación con la desviación estándar del grupo: 3( µ − Me) P= σ • Si la asimetría es moderada: P ≈ µ − Mo σ Si P=0, distribución simétrica Si P>0, asimetría positiva Si P<0, asimetría negativa
  33. 33. Puntuación “Z” Las puntuaciones “Z” son transformaciones que se pueden hacer a los valores obtenidos, con el propósito de analizar su distancia respecto a la media, en unidades de desviación estándar. Z= • • x−µ σ Una puntuación “Z” nos indica la dirección y grado en que una observación se aleja de la media, en una escala de unidades de desviación estándar. El estandarizar valores permite comparar puntuaciones de dos distribuciones. La variable debe estar medida en una escala de intervalos o de razón.
  34. 34. Ejemplo • La media de una distribución de frecuencias es 60 y la desviación estándar de 10. Se desea comparar la observación de valor 50 con el resto de la distribución: µ= 60 σ = 10 x = 50 } ⇒ Z= x−µ σ = 50 − 60 = −1 10 Podemos decir que el valor “50” está localizado a una desviación estándar por debajo de la media de la distribución.
  35. 35. DISTRIBUCIÓN NORMAL Y DESVIACION STANDARD -σ -σ -σ µ 68.27 % 95.45 % 99.73 % σ σ σ

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