Presentación sobre las medidas de dispersión

1. Medidas de Dispersión

2. MEDIDAS DE
DISPERSIÓN
Don números que
indican si una variable
se mueve mucho, poco,
más o menos que otra.
Deben acompañar a
las medidas de
tendencia central
Podremos utilizar para
comparar
si fuera preciso, tomar
decisiones.

3. Características
-Muestran la variabilidad de una distribución,
indicando por medio de un número
-Nos informa sobre cuanto se alejan del centro
los valores de la distribución
-Cuanto mayor sea ese valor, mayor sea la
variabilidad
-Indican si esos datos están próximos entre sí o
sí están dispersos

4. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
VARIANZA DESVIACIÓN ESTANDAR
𝜹𝟐
=
𝟏
𝑵
(𝑿𝒊 − 𝑿)𝟐
𝑵
 X → Variable sobre la que se pretenden calcular la
varianza
 xi → Observación número i de la variable
 X. i puede tomará valores entre 1 y n.
 N → Número de observaciones.
 x̄ → Es la media de la variable X.
𝛿 =
1
𝑁
(𝑋𝑖 − 𝑋)2
𝑁
 X → Variable sobre la que se pretenden calcular la varianza
 xi → Observación número i de la variable X. i puede tomará
valores entre 1 y n.
 N → Número de observaciones.
 x̄ → Es la media de la variable X.
RANGO ESTADÍSTICO COEFICIENTE DE VARIACIÓN
𝑹 = 𝑴𝒂𝒙𝒙 − 𝑴í𝒏 𝒙
 R → Es el rango.
 Máx → Es el valor máximo de la muestra o población.
 Mín → Es el valor mínimo de la muestra o población estadística.
 x → Es la variable sobre la que se pretende calcular esta medida.
𝐶𝑉 =
𝛿𝑋
𝑋
 X → Variable sobre la que se pretenden calcular la
varianza
 σx → Desviación típica de la variable X.
 | x̄ | → Es la media de la variable X en valor absoluto
con x̄ ≠ 0

5. DIFERENCIA ENTRE MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y
TENDENCIA CENTRAL
Tienen como objetivo el sintetizar los datos en un
valor representativo, las medidas de dispersión nos
dicen hasta qué punto estas medidas de tendencia
central son representativas como síntesis de la
información.
Medidas de disperción
• Permite apreciar la distancia de los valores de la
variable al valor central.
• Son mas sencibles a variaciones.
• Pueden ser medidas relativas o absolutas.
• Cuantifican la separación de los valores de una
distribución.
• Permite juzgar la confiabilidad de la medida de
tendencia central.
Medidas de tendencia central
• Permite apreciar que tanto se asimilan los
datos entre si.
• Menos sencibles a la variación.
• Se puede calcular aunque el intervalo
carezca de límite.
• Estudia las características de los valores
centrales.
• Fragmenta la cantidad de datos en partes
iguales.

6. TIPOS DE MEDIDA DE DISPERSIÓN
RANGO El rango (R) de una muestra es igual a la diferencia
entre el valor máximo y el valor mínimo de la muestra:
𝑅 = 𝑚𝑚á𝑥 – 𝑚𝑚í𝑛
Donde:
𝑅: 𝑟𝑎𝑛𝑔
𝑚𝑚á𝑥: 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
𝑚𝑚í𝑛: 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚

7. • Ejemplo 1:
De los puntajes obtenidos en una prueba por los aspirantes a ingresar a una empresa,
se ha obtenido la siguiente muestra:
91 19 85 96 23 35 28 23 34 69 89 75 46 44 76 16 82 42 26 86 88 33 97 67 50 52 88 83
29 79 51 44 53 54 60 98 48 77 82 85 96 61 49 34 47 56 48 55 82 36 Solución:
𝑅 = 𝑚𝑚á𝑥 – 𝑚𝑚í𝑛
𝑅 = 98 − 16
𝑅 = 82

8. DESVIACIÓN MEDIA
• Desviación media (Dm) de una muestra es igual a la suma de los valores
absolutos de las diferencias de los datos y la media de la muestra, todo
dividido por el tamaño de la muestra
Si x1, x2,…, xn son valores de la
muestra la desviación media esta
dada por:
𝐷𝑚 =
1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥
Donde:
𝑥𝑖: cada uno de los datos
𝑥: media aritmética de los datos
n= numero de datos
x1,x2,…xn: Datos

9. DESVIACIÓN MEDIA
Recuerde calcular la media aritmética
𝑥 antes de aplicar la fórmula de la
desviación media:
Se consideran sólo los
datos diferentes x1,
x2,…, xn y su
frecuencia, la desviación
media esta dada por:
Para el caso de datos
agrupados se usa la
expresión:
𝑥 =
1
𝑛 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝐷𝑚 =
1
𝑛
𝑖=1
𝑟
𝑥𝑖 − 𝑥 𝐷𝑚 =
1
𝑛
𝑖=1
𝑟
𝑥𝑖 − 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥𝑖)

10. Ejemplo 2: Calcular la desviación media de los siguientes datos: 2, 4, 6 y 8.
• Solución:
• pensamos cuando la media aritmética de los datos, teniendo en cuenta que
tenemos cuatro datos (n =4).
𝑥 =
1
𝑛 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑥 =
2 + 4 + 6 + 8
4
𝑥 =
20
4
𝑥 = 5
𝐸𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑒 5.

11. • 𝐷𝑚 =
1
𝑛 𝑖=1
𝑟
𝑥𝑖 − 𝑥
• 𝐷𝑚 =
1
4
( 2 − 5 + 4 − 5 + 6 − 5 + 8 − 5 )
• 𝐷𝑚 =
1
4
(3+1+1+3)
• 𝐷𝑚 =
1
4
(8)
• 𝐷𝑚 = 2

12. La siguiente tabla corresponde a la distribución del tiempo, en minutos, que una
muestra de operarios de una fábrica se demora en armar cierto producto.
Calcular la desviación media y completar la tabla.
Tiempo fi xi xi*fi 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥 ∙ 𝑓𝑖
10-20 4 15 60 15,77 63,08
20-30 16 25 400 5,77 92,32
30-40 20 35 700 4,23 84,06
40-50 5 45 225 14,23 71,15
Sumatori
a
45 1385 310,61
𝐷𝑚 =
1
𝑛
𝑖=1
𝑟
𝑥𝑖 − 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥𝑖)
𝑥 = 30,77
𝐷𝑚 =
1
45
(310,61)
𝐷𝑚 = 6,90

13. VARIANZA
• La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a
la media de una distribución estadística
• También es un valor número que cuantifica el grado de dispersión de los
valores de una variable respecto a su media aritmética

14. VARIANZA
Ecuaciones
Datos no
agrupados
𝜎2
=
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑁
Datos
agrupados
𝜎2
=
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2
∙ 𝑓𝑖
𝑁

15. Características de la varianza
• Es siempre un valor no negativo, que puede ser igual o distinto de 0.
• Es la medida de dispersión cuadrática optima por ser la menor de todas.
• Si a todos los valores de la variable se le suma una constante la varianza no se
modifica.
• Si todos los valores de la variable se multiplican por una constante la varianza
queda multiplicada por el cuadrado de dicha constante.

16. Ejemplo: Calcular la varianza de las siguientes calificaciones que se obtuvieron de
un grupo de estudiantes en una prueba de Matemática. 14, 14, 13, 18, 17, 14.
Media aritmética
𝑥 =
1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑥 =
14 + 14 + 13 + 18 + 17 + 14
6
𝑥 =
90
6
𝑥 = 15
Varianza
𝜎2
=
𝑖=1
𝑛
(𝑥𝑖 − 𝑥)2
𝑁
𝜎2
=
14 − 15 2
+ 14 − 15 2
+ 13 − 15 2
+ 18 − 15 2
+ 17 − 15 2
+ 14 − 15 2
6
𝜎2
=
(−1)2 + −1 2 + −2 2 + 3 2 + 22 + −12
6
𝜎2
=
20
6
𝜎2
= 3,33

17. La siguiente tabla corresponde a la distribución del tiempo, en minutos, que una
muestra de operarios de una fábrica se demora en armar cierto producto.
Calcular la varianza y completar la tabla.
Tiemp
o
fi xi fi*xi 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑥𝑖 − 𝑥 2 ∙ 𝑓𝑖
10-20 7 15 105 -16 256 1792
20-30 15 25 375 -6 36 540
30-40 19 35 665 4 16 304
40-50 9 45 405 14 196 1764
Sumato
ria
50 1550 4400
𝜎2
=
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2
∙ 𝑓𝑖
𝑁
𝑥 =
1550
50
= 31
𝜎2
=
4400
50
𝜎2
= 88

18. Desviación estándar o Desviación Típica
• La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza; es decir la raíz
cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
• La desviación estándar se representa por S o 𝜎

19. Desviación estándar o Desviación Típica
Ecuaciones
Datos no agrupados
𝜎 = 𝑖=1
𝑛
(𝑥𝑖 − 𝑥)2
𝑁
Datos agrupados
𝜎 = 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2 ∙ 𝑓𝑖
𝑁

20. Características de la desviación estándar
• Es afectada por el valor de cada observación.
• Una desviación estándar baja indica que la mayor parte de los datos de una muestra
tienden a estar agrupados cerca de su media.
• La desviación estándar aparece para simplificar la interpretación de la varianza.
Nota: La varianza y la desviación estándar se utilizan para comparar grupos cuya
variable está expresada en las mismas unidades. Así el grupo más homogéneo, el más
uniforme o aquel en el que la media aritmética es más representativa, será que en el
cual la varianza o la desviación estándar es menor.

21. Ejemplo 5: Dentro de un partido de beisbol encontramos los siguientes datos por sus
puntuaciones (25, 15, 33, 52, 25, 42) en los últimos partidos. Calcular la desviación
estándar o desviación típica.
Media aritmética
𝑥 =
1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑥 =
25 + 15 + 33 + 52 + 25 + 42
6
𝑥 =
192
6
𝑥 = 32
Desviación estándar
𝜎 = 𝑖=1
𝑛
(𝑥𝑖 − 𝑥)2
𝑁
𝜎
=
25 − 32 2 + 15 − 32 2 + 33 − 32 2 + 55 − 32 2 + 25 − 32 2 +
6
𝜎 =
888
6
𝜎 = 12,17

22. Calcular la media aritmética y desviación estándar o desviación típica
dentro de las notas que presentan 42 estudiantes de la Universidad
Central del Ecuador representados en la siguiente tabla de datos
agrupados.
Tiem
po
fi xi fi*xi 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑥𝑖 − 𝑥 2
∙ 𝑓𝑖
57-63 6 60 360 -16 256 1536
64-70 9 67 603 -9 81 729
71-77 8 74 592 -2 4 32
78-84 10 81 810 5 25 250
85-91 4 88 352 12 144 576
92-98 5 95 475 19 361 1805
Sumat
oria
42 3192 4928
𝜎 = 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2 ∙ 𝑓𝑖
𝑁
𝑥 =
3192
42
= 76
𝜎 =
4928
42
𝜎 = 10,83

23. COEFICIENTE DE VARIACIÓN
Coeficiente de variación
(CV)
Razón que existe entre la
desviación típica de una
distribución y su media aritmética
Ecuación
𝐶𝑣 =
𝜎
𝑥
∙ 100%

24. COEFICIENTE DE VARIACIÓN
• El coeficiente de variación se emplea para:
• -Comparar la dispersión de distribuciones que tienen diferentes medias.
• -Comparar la variabilidad entre dos grupos de datos referidos a distintos
sistemas de unidades de medida. Por ejemplo, kilogramos y centímetros.

25. Ejemplo: Un docente del colegio Juan Montalvo compara pruebas de opción múltiple.
Dentro de ello decide emitir dos pruebas una de opción múltiple y otra al azar dando los
siguientes resultados.
Coeficiente de variación
𝐶𝑉
𝑟𝑒𝑔 =
𝜎
𝑥
𝐶𝑉
𝑟𝑒𝑔 =
44,9
60
∙ 100%
𝐶𝑉
𝑟𝑒𝑔 = 74,83%
𝐶𝑉
𝑎𝑧𝑎𝑟 =
𝜎
𝑥
𝐶𝑉
𝑎𝑧𝑎𝑟 =
13,8
11,3
∙ 100%
𝐶𝑉
𝑎𝑧𝑎𝑟 = 122,12%
𝒙 𝝈
Prueba Reg. 60 44,9
Prueba al azar 11,3 13,8

26. Referencias bibliográficas
• Alea, V. (1999) Estadística Aplicada a las Ciencias Económicas y Sociales. Barcelona: Edición McGraw-Hill
EUB.
• Canavos, G. (1988) Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos. México: McGraw-Hill.
• Dura Peiro, J. M. y López Cuñat, J.M. (1992) Fundamentos de Estadística. Estadística Descriptiva y Modelos
Probabilísticos para la Inferencia. Madrid: Ariel Editorial.
• Montgomery, D., Runger, G., y Medal, E. (1996). Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería.
McGraw-Hill. https://dspace.scz.ucb.edu.bo/dspace/bitstream/123456789/13206/1/10003.pdf
• Oste, B. (1973). Estadística aplicada. Limusa.
https://dspace.scz.ucb.edu.bo/dspace/bitstream/123456789/4390/1/678.pdf
• Pando, S. Medidas de Dispersión: Varianza, Desviación estándar y Coeficiente de variación