El Teorema Central del Límite establece que la suma de una gran cantidad de variables aleatorias independientes con la misma distribución se aproxima a una distribución normal, independientemente de la distribución original de las variables individuales. Este teorema se aplica a problemas que involucran promedios y probabilidades en muestras grandes.

3.  Teorema del límite central.
 El Teorema Central del Límite dice que si
tenemos un grupo numeroso de variables
independientes y todas ellas siguen el
mismo modelo de distribución (cualquiera
que éste sea), la suma de ellas se distribuye
según una distribución normal. Este
teorema se aplica tanto a suma de variables
discretas como de variables continuas.

4. Recordando…La variable Normal

5. La gráfica de la función densidad, conocida como campana de Gauss, se
expone a continuación para la variable normal tipificada o estándar,
definida para μ=0 y σ=1 :

6.  Ejemplo : la variable "tirar una moneda al
aire" sigue la distribución de Bernoulli. Si
lanzamos la moneda al aire 50 veces, la
suma de estas 50 variables (cada una
independiente entre si) se distribuye según
una distribución normal.

7. Los parámetros de la distribución normal son:
 Media : n * m (media de la variable
individual multiplicada por el número de
variables independientes)
 Varianza : n * s2 (varianza de la variable
individual multiplicada por el número de
variables individuales)

8. • El teorema del límite central garantiza una
distribución normal cuando n es
suficientemente grande.
Si n > 30, se puede usar el TLC.
• Si la distribución madre es normal, la
distribución de la media muestral también
es normal, independientemente del tamaño.
x ≈ N(μx; σx) Þ x ≈ N(μx; σx)

9. • La aproximación entre las dos distribuciones
es, en general, mayor en el centro de las
mismas que en sus extremos o colas, motivo
por el cual se prefiere el nombre "teorema
del límite central" ("central" califica al límite,
más que al teorema).
• Este teorema, perteneciente a la teoría de la
probabilidad, encuentra aplicación en
muchos campos relacionados, tales como la
inferencia estadística o la teoría de
renovación.

12. • Si se sabe que la dureza Rockwell de pernos
de cierto tipo tiene un valor medio de 50 y
desviación estándar de 1,5.
a) Si la distribución es normal, ¿cuál es la
probabilidad de que la dureza muestral media
para una muestra aleatoria de 9 pernos sea por
lo menos 52?
b) ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de
que la dureza muestral media para una muestra
aleatoria de 40 pernos sea al menos 52?
x = 50
σ = 1,5
x ≈ N(50; 1,5)

13. a)
n = 9
x = 52
x ≈ N(50; 1,5.√9)
z = (x - μ)/(σ/√n)
La probabilidad de que la media muestral sea superior a
52 es:
 𝑃 𝑋 ≥ 52 = 1 − 𝑃(𝑋 < 52)
 = 1 − 𝑃(𝑍 <
52−50
1,5
9
)
 = 1 − 𝑃 𝑍 < 4
 ≅ 1-1 ≅ 0

14. b)
n = 40
Con el valor de z obtenido de tablas:

15. Se lanza una moneda al aire 100
veces, si sale cara le damos el
valor 1 y si sale cruz el valor 0.
Calcular la probabilidad de que en
estos 100 lanzamientos salgan
más de 60 caras.

16.  E(X)=0,5
 Var(X)=0,25
 La variable suma de estas 100 variables
independientes se distribuye, por tanto,
según una distribución normal.
 Media = 100 * 0,5 = 50
 Varianza = 100 * 0,25 = 25

17.  Para ver la probabilidad de que salgan
más de 60 caras calculamos la variable
normal tipificada equivalente:
 Por lo tanto:
 P (X > 60) = P (Y > 2,0) = 1- P (Y < 2,0)
= 1 - 0,9772 = 0,0228

18.  la probabilidad de que al tirar 100 veces
la moneda salgan más de 60 caras es
tan sólo del 2,28%.

19.  Los clientes en un hotel, usan el agua en las
duchas en un promedio de 11.4 min cada día,
con una variacion tipica de 2.6 min. Asuma una
distribucion normal.
 Cual es la probabilidad de que en promedio 84
huespedes tomen duchas mayores a 12 min.

20.  µ=11.4
 σ2
=2.6 σ=1.6

σ2
µ
=
𝑛𝑝𝑞
𝑛𝑝
=
2.6
11.4
= 0.23 = 𝑞
 P=0.77
 N=84
 P(x>12)= P(z>
12−11.4
1.6
) = P(z>0.37)
 = 1- Φ(0.37) =1- 0.6443
 = 0.3557

21.  En promedio, de las personas que
ingresan a una librería sólo el 25%
realiza una compra. Si en un día
entraron 80 clientes, calcule la
probabilidad aproximada de que se
hagan al menos 28 compras.

22.  P=0.25 q=0.75
 N=80
 µ=np = (80)(0.25) = 20
 σ= npq = (80)(0.25)(0.75) = 3.87
 P(x≥28)= P(z ≥
28−20
3.87
) = P(z ≥2.07)
 = 1- Φ(2.07)
 = 1 – 0.9808
 = 0.0192

23.  Una radiologa que trabaja en el servicio de
traumatología de un hospital ha comprobado que el
tiempo, en minutos, que tarda en atender a cada
paciente es una variable aleatoria con media 7 y
desviación estándar 2. Durante su jornada laboral
trabaja 6 horas atendiendo pacientes sucesivamente y
sin interrupción. Calcule, aproximadamente, la
probabilidad de que durante un día pueda atender hasta
55 pacientes dentro del horario de su jornada laboral.
Se supone que todos los pacientes están en la consulta
con suficiente antelación y que no hay “tiempos vacíos
entre dos pacientes consecutivos.

24.  En una asignatura del colegio la probabilidad de que te
saquen a la pizarra en cada clase es del 10%. A lo largo
del año tienes 100 clases de esa asignatura.
 ¿Cuál es la probabilidad de tener que salir a la pizarra
exactamente 10 veces?
 ¿Cuál es la probabilidad de tener que salir a la pizarra
como mínimo 16?

25.  Un centro comercial dispone a la venta
diariamente, en una de sus secciones, solo
dos artículos a precios p1 y p2, de suerte
que:
 El 70 % de las unidades ofrecidas lo son del
artículo de precio p1.
 El 30 % de las unidades ofrecidas lo son del
artículo de precio p2.
 Si en un día determinado se venden en
dicha sección 20 unidades, determinar la
probabilidad de que las 20 unidades
correspondan al artículo de precio p2.

26.  El diámetro interior de un anillo de
pistón seleccionado al azar es una
variable aleatoria con valor medio de
12cm y desviación estándar de .04cm
 a) Si x es el diámetro medio de la
muestra para una muestra aleatoria de
n=16 anillos
 ¿Dónde está centrada la distribución
muestral de x , y cuál es la desviación
estándar de la distribución de x ?