Este documento discute el análisis de sistemas de control con realimentación. Explica conceptos clave como la estabilidad, las estructuras de realimentación y cómo pueden estabilizar o inestabilizar sistemas. También presenta enfoques clásicos y modernos para el análisis de estabilidad, incluidos los márgenes de ganancia y fase, funciones de sensibilidad y el polinomio característico. El documento proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos y su aplicación al análisis de sistem
Parametrización de controladores estabilizantes y sensibilidad mezcladaRené Galindo
Se presentan formulas explícitas para la parametrización de todos los controladores estabilizantes, que es una de las bases fundamentales del control robusto (área del control automático). El parámetro libre de estos controladores se selecciona por sensibilidad mezclada y se dan aplicaciones a un sistema de suspensión activa de medio carro y a un robot planar rotacional.
Prácticas y exámenes de control estocastico y de mínima varianzaJaime Martínez Verdú
Control estocástico y predictivo está incluido como unidad docente de la asignatura Control Avanzado de Sistemas impartido en la UMH por Rafael Puerto Manchón.
http://ocw.umh.es/ingenieria-y-arquitectura/control-avanzado
El objetivo general de las prácticas es que los alumnos diseñen y comprueben en simulación el comportamiento de los controladores estudiados en teoría. En particular:
- Diseño y simulación de reguladores de mínima varianza para procesos con y sin retardo.
- Diseño y simulación de reguladores predictivos.
Se incorporan también ejemplos de examen.
La función de transferencia proporciona una representación matemática separada de la entrada, salida y sistema de un proceso dinámico lineal. Se obtiene aplicando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial ordinaria que describe el sistema. Permite analizar y diseñar sistemas de control de manera más sencilla que con ecuaciones diferenciales. Tiene limitaciones para sistemas no lineales o invariantes en el tiempo.
Este documento describe los componentes básicos de los sistemas de control, incluyendo sensores, comparadores, elementos de control y actuadores. Explica cómo estos componentes interactúan en sistemas de lazo abierto y cerrado para captar información del entorno y realizar acciones en respuesta. A continuación, presenta una serie de ejercicios para analizar y simplificar diagramas de bloques de sistemas de control, así como determinar su estabilidad y funciones de transferencia.
463941896-1-4-Diseno-de-compensador-adelanto-atraso-y-controlador-PID-pptx (1...David Mora Cusicuna
Este documento presenta el diseño de un controlador PID para regular la velocidad de un motor de corriente continua. Se dan los parámetros del motor y los requerimientos de diseño de un tiempo de establecimiento de 2 segundos, un sobrepaso menor al 5% y un error en estado estacionario menor al 1%. Se prueban primero controladores proporcional y PID con diferentes ganancias hasta encontrar que un controlador PID con Kp=100, Ki=200 y Kd=10 cumple con todos los requerimientos.
Este documento describe la implementación de un controlador PID digital para controlar la velocidad de un motor de CD utilizando una tarjeta Arduino Mega. Se obtuvo experimentalmente la función de transferencia del motor y se diseñó un controlador PID para compensarla. Las simulaciones y pruebas experimentales mostraron que el controlador PID puede mantener la velocidad del motor siguiendo la referencia a pesar de las perturbaciones.
Este documento describe los conceptos de estabilidad relativa, márgenes de ganancia y fase, y diseño de compensadores. Explica cómo usar MATLAB para calcular márgenes de ganancia y fase, así como el pico y frecuencia de resonancia de un sistema. También describe tres tipos básicos de compensadores - adelanto, atraso y atraso-adelanto - y cómo afectan las características de la respuesta en frecuencia de un sistema.
El documento resume conceptos clave de sistemas de control discreto y estabilidad de sistemas. Describe la modelación de sistemas de control discretos, incluyendo la función de transferencia discreta y el uso de retenedores de orden cero. También explica la estabilidad de sistemas lineales mediante el círculo unitario de estabilidad y el criterio de estabilidad de Jury.
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Se incorporan también ejemplos de examen.
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Este documento presenta el diseño de un controlador PID para regular la velocidad de un motor de corriente continua. Se dan los parámetros del motor y los requerimientos de diseño de un tiempo de establecimiento de 2 segundos, un sobrepaso menor al 5% y un error en estado estacionario menor al 1%. Se prueban primero controladores proporcional y PID con diferentes ganancias hasta encontrar que un controlador PID con Kp=100, Ki=200 y Kd=10 cumple con todos los requerimientos.
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Este documento presenta una introducción al control automático industrial. Explica conceptos como planta, actuador, medición, arquitectura, perturbación y controlador. También introduce la ecuación diferencial del sistema, la función de transferencia, y los conceptos de lazo abierto, cerrado, estabilidad, precisión y rapidez. Finalmente, analiza el modelado matemático de sistemas y la obtención de respuestas a impulsos y escalones.
El documento describe los conceptos básicos detrás de los controladores PID (Proporcional, Integral, Derivativo). Explica cómo cada acción (P, I, D) afecta el comportamiento del sistema, y cómo se pueden seleccionar los parámetros apropiados (Kp, Ki, Kd) para lograr un desempeño óptimo. También cubre temas como el diseño de reguladores mediante la cancelación de polos y ceros, y el control de perturbaciones mediante reguladores de Tipo 0 o Tipo 1.
Modelado de un filtro Butterwoth pasa bajos (pasivo) de cuarto orden.Roy Chirinos Flores
Este documento presenta un circuito de filtro Butterworth pasa bajos de cuarto orden y describe los pasos para modelarlo y simular su comportamiento. Se plantean las ecuaciones diferenciales que gobiernan el sistema, se obtiene la función de transferencia y se simula la respuesta a una entrada escalón y sinusoidal. Luego, se presenta el modelo de estado y se simula también la respuesta a entradas escalón y sinusoidal usando este modelo. Finalmente, se propone un esquema de filtro Butterworth activo usando amplificadores operacionales.
Este documento describe los diferentes tipos de controladores en sistemas de control en tiempo continuo, incluyendo control proporcional, proporcional derivativo, proporcional integral y proporcional integral derivativo. Explica las características del control proporcional, como que no puede eliminar errores estacionarios y que aumentar su ganancia empeora la respuesta transitoria pero reduce errores. Incluye un ejemplo numérico para ilustrar estas propiedades.
El documento presenta ejercicios sobre el cálculo de errores en estado estacionario para diferentes sistemas de control. En el primer ejercicio se analiza un sistema y se calcula su error ante señales de entrada como escalón, rampa y parabólica. En los ejercicios siguientes se piden calcular los errores estacionarios para otros sistemas dados sus funciones de transferencia, determinar el tipo de sistema, y encontrar el valor de la ganancia K para cumplir ciertas condiciones sobre el error.
El documento trata sobre la síntesis de sistemas de control en tiempo continuo. Se divide en tres apartados: 1) tipos de controladores, 2) diseño de controladores bajo especificaciones de frecuencia, y 3) criterios de sintonía de reguladores. El primer apartado describe los diferentes tipos de acciones de control como proporcional, integral, proporcional-integral, etc. y explica redes de atraso y adelanto de fase y controladores PID.
El documento presenta el diseño de un controlador PID para regular la velocidad de un motor CC. Se describen primero los requerimientos de diseño, que incluyen un tiempo de establecimiento de 2 segundos, un sobrepaso menor al 5% y un error estacionario menor al 1%. Luego se prueban diferentes configuraciones de controlador, incluyendo proporcional, PID con valores pequeños de Ki y Kd, y finalmente PID con Kp=100, Ki=200 y Kd=10, lo que cumple con los requerimientos de diseño.
Este documento presenta el modelado, simulación y control de un motor de corriente continua utilizando Matlab. Inicialmente se describen las ecuaciones físicas del sistema y su representación en Matlab. Luego, se analiza la respuesta del sistema a lazo abierto y se concluye que no cumple con los requerimientos de diseño. Finalmente, se proponen dos métodos para diseñar controladores PID y compensadores utilizando el lugar de raíces, logrando que el sistema compensado satisfaga las especificaciones.
Este documento presenta diferentes métodos para el modelado, simulación y control de sistemas dinámicos utilizando MATLAB. En la primera sección se modela un motor de corriente continua, obteniendo su función de transferencia y representación en espacio de estados. Luego, se diseña un controlador PID para cumplir con los requerimientos de diseño. En la segunda sección se utiliza el método de lugar de raíces para diseñar un compensador, agregando polos y ceros para lograr la respuesta deseada.
Este documento trata sobre el análisis de estabilidad de sistemas dinámicos. Define la estabilidad como una salida acotada para cualquier entrada acotada, independientemente del estado inicial. Explica que la estabilidad de un sistema depende de que todas las raíces de su ecuación característica tengan parte real negativa. Presenta tres métodos para analizar la estabilidad: el método de Routh-Hurvitz, el método del lugar de las raíces y el análisis armónico mediante diagramas de Bode.
Este documento trata sobre el error en estado estacionario en sistemas de control. Explica que el error en estado estacionario depende de la función de transferencia del lazo abierto del sistema y de la entrada. Clasifica los sistemas en tipos 0, 1, 2 dependiendo del número de integraciones en su función de transferencia. Analiza el error en estado estacionario para entradas escalón, rampa y parábola, y define los coeficientes estáticos de error de posición, velocidad y aceleración. Presenta ejemplos numéricos para ilustrar los concept
06 error en estado estable o estacionarioJohan Rabelly
Este documento describe el error en estado estacionario en sistemas de control. Explica que el error en estado estacionario depende del tipo de función de transferencia del lazo abierto del sistema y de la entrada. Los sistemas se clasifican como tipo 0, 1 o 2 dependiendo del número de integraciones en su función de transferencia. Los sistemas de tipo 0 tienen error en estado estacionario cero para entradas escalón, pero sistemas de tipo 1 o superior presentan error. El documento incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular el error en estado estacionario
Este documento presenta una introducción a los sistemas secuenciales y las máquinas de estados finitos. Explica conceptos clave como elementos de almacenamiento, lógica secuencial síncrona y asíncrona, representaciones de máquinas de estados como diagramas y tablas de transiciones, y tipos de contadores. También cubre la implementación de máquinas de estados finitos utilizando flip-flops y lógica combinacional, así como ejemplos como contadores y registros de desplazamiento.
Clase 5 - Diseño de controladores por LGRguest21fbd4
El documento explica los pasos para diseñar controladores mediante el método del lugar geométrico de las raíces (LGR). Describe cómo determinar los parámetros de controladores proporcionales, integrales y derivativos analizando el efecto de sus polos y ceros en el LGR para cumplir las especificaciones de diseño.
SMART PID - TOOLBOX CONTROL ROBUSTO MATLABSerHere07
Este documento presenta una introducción al control robusto con MATLAB. Explica que el control robusto contempla las variaciones en el sistema para proporcionar un margen de error. Describe cómo MATLAB provee herramientas para analizar sistemas inciertos y diseñar controladores robustos, incluyendo la capacidad de modelar incertidumbre dinámica y parámetros inciertos. También presenta un ejemplo de diseño de controladores PI robustos para un sistema de primer orden con incertidumbre en la dinámica.
El documento describe los métodos de respuesta en frecuencia para analizar sistemas dinámicos. Estos métodos proveen herramientas gráficas para analizar sistemas complejos sin limitaciones de orden o parametrización. El análisis de respuesta en frecuencia se basa en la respuesta de un sistema a una entrada senoidal y puede representarse gráficamente a través de gráficas polares o funciones de transferencia. El criterio de Nyquist utiliza estas representaciones para determinar la estabilidad de un sistema a través del número de rodeos alrededor del punto
Este documento trata sobre el análisis de sistemas de control en lazo cerrado. Explica cómo deducir el comportamiento dinámico de un sistema estudiando su función de transferencia en lazo cerrado y las limitaciones impuestas por el proceso y controlador. También analiza cómo varía la dinámica para sistemas de primer orden, segundo orden y tercer orden al cambiar la ganancia del controlador.
Este documento describe métodos para diseñar sistemas de control en tiempo discreto. Existen dos enfoques: indirecto, diseñando primero un controlador continuo y luego discretizándolo; y directo, diseñando directamente un controlador digital. El diseño directo implica definir características de respuesta deseadas y ubicar los polos de la función de transferencia en lazo cerrado para lograrlas. El documento también discute la elección del periodo de muestreo y cómo este afecta la estabilidad, presentando un ejemplo numérico para ilustrar el aná
Este documento describe métodos para diseñar sistemas de control en tiempo discreto. Existen dos enfoques: indirecto, diseñando primero un controlador continuo y luego discretizándolo; y directo, diseñando directamente un controlador digital. El diseño directo puede basarse en la respuesta en el tiempo o en el lugar geométrico de las raíces. El documento también discute la elección del periodo de muestreo y provee un ejemplo numérico para ilustrar el análisis del lugar geométrico de las raíces.
1. El documento trata sobre filtros activos y fundamentos de los mismos. Describe el amplificador operacional ideal y real, incluyendo su ganancia dependiente de la frecuencia. También analiza bloques activos comunes como integradores, sumadores y separadores de etapas.
2. Explica conceptos como sensibilidad en filtros activos de segundo orden y superior. Incluye funciones de transferencia de secciones de primer y segundo orden como paso alto y paso bajo.
3. El documento proporciona los fundamentos teóricos necesarios para comprender y diseñ
Este documento presenta una introducción al control automático industrial. Explica conceptos como planta, actuador, medición, arquitectura, perturbación y controlador. También introduce la ecuación diferencial del sistema, la función de transferencia, y los conceptos de lazo abierto, cerrado, estabilidad, precisión y rapidez. Finalmente, analiza el modelado matemático de sistemas y la obtención de respuestas a impulsos y escalones.
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06 error en estado estable o estacionarioJohan Rabelly
Este documento describe el error en estado estacionario en sistemas de control. Explica que el error en estado estacionario depende del tipo de función de transferencia del lazo abierto del sistema y de la entrada. Los sistemas se clasifican como tipo 0, 1 o 2 dependiendo del número de integraciones en su función de transferencia. Los sistemas de tipo 0 tienen error en estado estacionario cero para entradas escalón, pero sistemas de tipo 1 o superior presentan error. El documento incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular el error en estado estacionario
Este documento presenta una introducción a los sistemas secuenciales y las máquinas de estados finitos. Explica conceptos clave como elementos de almacenamiento, lógica secuencial síncrona y asíncrona, representaciones de máquinas de estados como diagramas y tablas de transiciones, y tipos de contadores. También cubre la implementación de máquinas de estados finitos utilizando flip-flops y lógica combinacional, así como ejemplos como contadores y registros de desplazamiento.
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2. Explica conceptos como sensibilidad en filtros activos de segundo orden y superior. Incluye funciones de transferencia de secciones de primer y segundo orden como paso alto y paso bajo.
3. El documento proporciona los fundamentos teóricos necesarios para comprender y diseñ
ESPERAMOS QUE ESTA INFOGRAFÍA SEA UNA HERRAMIENTA ÚTIL Y EDUCATIVA QUE INSPIRE A MÁS PERSONAS A ADENTRARSE EN EL APASIONANTE CAMPO DE LA INGENIERÍA CIVIŁ. ¡ACOMPAÑANOS EN ESTE VIAJE DE APRENDIZAJE Y DESCUBRIMIENTO
Los puentes son estructuras esenciales en la infraestructura de transporte, permitiendo la conexión entre diferentes
puntos geográficos y facilitando el flujo de bienes y personas.
Estilo Arquitectónico Ecléctico e Histórico, Roberto de la Roche.pdfElisaLen4
Un pequeño resumen de lo que fue el estilo arquitectónico Ecléctico, así como el estilo arquitectónico histórico, sus características, arquitectos reconocidos y edificaciones referenciales de dichas épocas.
1. Análisis v2.doc 1
1. Análisis de Sistemas Realimentados
1. Análisis de Sistemas Realimentados 1
1.1. INTRODUCCIÓN..........................................................................................................2
1.2. ESTABILIDAD.............................................................................................................2
1.3. ESTRUCTURAS DE REALIMENTACIÓN........................................................................3
1.3.1. Sistemas Estables e Inestables ..........................................................................5
1.3.2. Estabilización de un Sistema Inestable.............................................................6
1.3.3. Inestabilización de un Sistema Estable.............................................................7
1.4. ENFOQUE CLÁSICO....................................................................................................9
1.4.1. Estabilidad relativa. ..........................................................................................9
1.4.2. Márgenes de estabilidad y diagramas de Bode..............................................10
1.4.3. Márgenes de ganancia y fase..........................................................................12
1.5. VISIÓN MODERNA ....................................................................................................13
1.5.1. Funciones de Sensibilidad Nominales ............................................................15
1.5.2. Estabilidad de lazo cerrado en base al Polinomio Característico ................18
1.5.3. Pico de sensibilidad.........................................................................................20
1.6. ROBUSTEZ................................................................................................................24
1.6.1. Error de modelado ..........................................................................................24
1.6.2. Estabilidad Robusta ........................................................................................27
2. Análisis v2.doc 2
1.1. Introducción
Dado un controlador y una planta conectados en realimentación, vamos a plan-
tear y contestar las siguientes preguntas:
¿Es el lazo cerrado estable?
¿Cuáles son las sensibilidades a distintas perturbaciones?
¿Cuál es el impacto de errores de modelado?
¿Es capaz de seguir referencias?
1.2. Estabilidad
Un sistema es estable si excitado con una entrada acotada, la salida permanece
acotada.
3. Análisis v2.doc 3
1.3. Estructuras de Realimentación
Realimentación:
reduce el efecto de perturbaciones
disminuye la sensibilidad a errores de modelado
estabiliza sistemas inestable
pero puede...
inestabilizar un sistema estable
generar oscilaciones en sistemas con una respuesta en lazo abierto suave
generar alta sensibilidad a ruido de medición.
4. Análisis v2.doc 4
( )
y s
( )
G s
( )
u s
Sis
( )
y s
( )
r s
+ -
( )
R s ( )
G s
( )
u s
5. Análisis v2.doc 5
1.3.1. Sistemas Estables e Inestables
Tanto en lazo abierto como en lazo cerrado, para que un sistema sea estable
se debe cumplir que los polos del sistema deben tener su parte real negativa.
En lazo abierto tengo un sistema
( )
( )
( )
N s
G s
D s
=
Para que sea estable, se debe cumplir que las raíces de ( )
D s , los polos del
sistema, deben tener su parte real negativa.
Si se realimenta el sistema con un regulador, ( )
( )
( )
P s
R s
L s
= , el sistema en lazo
cerrado resulta:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
N s P s
G s R s N s P s
D s L s
M s
N s P s
G s R s D s L s N s P s
D s L s
= = =
+ +
+
El polinomio ( ) ( ) ( ) ( )
D s L s N s P s
+ debe tener sus raíces con parte real nega-
tiva.
Punto crítico: ( ) ( )
1 0
G s R s
+ =
6. Análisis v2.doc 6
1.3.2. Estabilización de un Sistema Inestable
( )
1
1
G s
s
=
−
, ( ) 2
R s = , ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1
2
1 1
1
1
G s R s s
M s
G s R s s
s
−
= = =
+ +
+
−
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
7. Análisis v2.doc 7
1.3.3. Inestabilización de un Sistema Estable
( )
( )( )( )
1
1 1 1
G s
s s s
=
+ + +
, ( ) 10
R s = ,
( )
( )
( )( )
3
10 1
3,1544 0,0772 1.8658j
s
M s
s s
+
=
+ − ±
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
8. Análisis v2.doc 8
Visión Clásica: respuesta a un cambio en la referencia o márgenes de fase y
ganancia
Visión Moderna: La Banda de los Seis (según Astrom)
9. Análisis v2.doc 9
1.4. Enfoque Clásico
No es completo
Es importante por ser tradicional
1.4.1. Estabilidad relativa.
A menudo se necesita obtener alguna medida cuantitativa de cuán lejos de ser
inestable está un lazo nominal.
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
G s R s
M s
G s R s
=
+
El punto crítico de estabilidad es cuando
( ) ( )
0
1 0
G s R s
+ = [1.1]
o
( ) ( )
0 1 0
G s R s j
= − + [1.2]
Se puede medir la distancia de la respuesta en frecuencia nominal al punto de
estabilidad crítica 1 0
j
− + .
Este punto corresponde a 0dB y -180º en el diagrama de Bode o Nyquist
10. Análisis v2.doc 10
1.4.2. Márgenes de estabilidad y diagramas de Bode
Los márgenes de estabilidad pueden describirse y cuantificarse también en
diagramas de Bode. (MG: distancia a 0db en 180gr)
Frequency (rad/sec)
Phase
(deg);
Magnitude
(dB)
Bode Diagrams
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
From: U(1)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-250
-200
-150
-100
-50
To:
Y(1)
Mf
Mg
11. Análisis v2.doc 11
Ejemplo Stephanopoulos.
( )
y s
( )
r s
+ -
( )
R s ( )
G s
( )
u s
( )
y s
( )
r s
+ -
( )
R s ( )
G s
( )
u s
12. Análisis v2.doc 12
1.4.3. Márgenes de ganancia y fase
En un diagrama polar (Nyquist), el sistema es inestable si encierra al 1 0
j
− + .
Definimos margen de ganancia g
M y margen de fase f
M
( )
10
20log
g
M a
= −
f
M φ
=
El margen de ganancia marca la ganancia adicional que llevaría el lazo cerra-
do a la condición de estabilidad crítica.
El margen de fase cuantifica el retardo de fase puro que debería agregarse pa-
ra alcanzar la misma condición de estabilidad crítica.
13. Análisis v2.doc 13
1.5. Visión Moderna
Sistema SISO de un grado de libertad
transferencia modificable: controlador ( )
R s .
planta nominal ( )
0
G s .
( )
y s
( )
r s
+ -
( )
R s ( )
G s
( )
u s
( )
e
d s ( )
s
d s
+
+
+
+
( )
m
d s
+
+
donde
( )
r s : Referencia ( )
e
d s , ( )
s
d s y ( )
m
d s : Perturbaciones
( )
y s : Salida ( )
u s : Control ( )
R s : Controlador
( )
0
G s : Modelo nominal de la planta
14. Análisis v2.doc 14
( )
( )
( )
P s
R s
L s
= , ( )
( )
( )
0
0
0
B s
G s
A s
=
Señales de interés
(ignorando el estado inicial)
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
0
0
1 m e
R s
u s r s d s G s d s
G s R s
= − −
+
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
0 0
0
1
1 m s e
y s G s R s r s d s d s G s d s
G s R s
= − + +
+
15. Análisis v2.doc 15
1.5.1. Funciones de Sensibilidad Nominales
Función de sensibilidad
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0 0 0
1
1
A s L s
S s
G s R s A s L s B s P s
= =
+ +
[1.3]
Función de sensibilidad complementaria
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0
0 0 0
1
G s R s B s P s
T s
G s R s A s L s B s P s
= =
+ +
[1.4]
Función de sensibilidad a perturbación de entrada
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0
0 0 0
1
i
G s B s L s
S s
G s R s A s L s B s P s
= =
+ +
[1.5]
Función de sensibilidad de control
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0 0 0
1
u
K s A s P s
S s
G s R s A s L s B s P s
= =
+ +
[1.6]
16. Análisis v2.doc 16
Las funciones de sensibilidad están relacionadas algebraicamente:
( ) ( )
0 0 1
S s T s
+ = [1.7]
( ) ( ) ( )
( )
( )
0
0 0 0
i
T s
S s S s G s
R s
= = [1.8]
( ) ( ) ( )
( )
( )
0
0 0
0
u
T s
S s S s K s
G s
= = [1.9]
17. Análisis v2.doc 17
Con las funciones de sensibilidad y bajo condiciones iniciales nulas, se pueden
construir la forma compacta
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0 0 0
0
0
1
1
e
s
m
r s
G s R s G s G s R s
d s
y s R s G s R s R s R s
u s d s
G s R s
d s
−
− − −
=
+
[1.10]
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0 0 0 0
0 0 0 0
e
i
s
u u u
m
r s
d s
T s S s S s T s
y s
u s d s
S s T s S s S s
d s
−
=
− − −
[1.11]
18. Análisis v2.doc 18
1.5.2. Estabilidad de lazo cerrado en base al Polinomio Característico
El Lazo nominal es el resultante de conectar un controlador al modelo nominal
de la planta.
Estabilidad interna: El lazo nominal es internamente estable si las ocho funcio-
nes transferencia en [1.10] son estables.
Todas las señales en el lazo acotadas para cada conjunto de entradas ( )
r t ,
( )
e
d t , ( )
s
d t y ( )
m
d t acotadas.
Teorema. [Estabilidad interna nominal] Dado el lazo cerrado de la Figura 1 con
el controlador y modelo definidos arriba. Entonces el lazo cerrado es internamente
estable si y sólo si todas las raíces de la ecuación característica a lazo cerrado
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
A s L s B s P s
+ = [1.12]
tienen parte real negativa.
La estabilidad interna implica más que la estabilidad de la referencia a la salida.
No debe haber cancelaciones de polos inestables entre planta y controlador.
La ecuación característica [1.12] es de la forma ( ) 0
p s = , donde ( )
p s es el
polinomio característico del lazo cerrado.
19. Análisis v2.doc 19
Ejemplo 1.1. Sistema de Segundo Orden
( )
( )( )
0
3
4 2
G s
s s
=
+ − +
, ( )
2
s
R s
s
− +
= [1.13]
puede verse que la función de sensibilidad complementaria nominal
( )
0 2
3
4 3
T s
s s
=
+ +
[1.14]
es estable. Sin embargo, la sensibilidad a perturbación de entrada nominal
( )
( )( )
0 2
3
2 4 3
i
s
S s
s s s
=
− + + +
es inestable.
Por el Teorema de estabilidad interna nominal, el lazo cerrado no es interna-
mente estable, ya que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2
0 0 2 4 3
A s L s B s P s s s s
+ = − + + + .
20. Análisis v2.doc 20
1.5.3. Pico de sensibilidad
Indicador alternativo de estabilidad relativa es el pico de la función de sensibili-
dad.
Recordar que
( )
( ) ( )
0
0
1
1
S s
G s R s
=
+
( ) ( ) ( )
1
0 0
1 G j R j S j
ω ω ω
−
+ =
El radio η del círculo tangente al gráfico de ( ) ( )
0
G j R j
ω ω es la recíproca del
pico de la sensibilidad nominal. Cuanto mayor sea este pico, más cerca de la ines-
tabilidad estará el lazo.
21. Análisis v2.doc 21
El pico de sensibilidad es un indicador de estabilidad relativa más confiable
que los márgenes de fase y ganancia: un sistema puede tener buenos márgenes
de fase y ganancia y aún estar cerca de ser inestable.
Por otro lado, un bajo valor del pico de sensibilidad garantiza márgenes de ga-
nancia y fase mínimos.
24. Análisis v2.doc 24
1.6. Robustez
Analiza el efecto de variaciones de la planta respecto a su valor nominal.
Se utilizan las funciones de sensibilidad nominal.
1.6.1. Error de modelado
La función de transferencia real se puede expresar como
( ) ( ) ( )
( )
0 1
G s G s G s
∆
= + [1.15]
donde ( )
G s
∆
es el modelo de error multiplicativo (MEM)
( )
( )
( )
0
1
G s
G s
G s
∆
= − [1.16]
este error es desconocido pero generalmente acotable
( ) ( )
G jω ε ω
∆
< [1.17]
25. Análisis v2.doc 25
Ahora las funciones de sensibilidad serán
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
A s L s
S s
G s R s A s L s B s P s
= =
+ +
[1.18]
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
G s R s B s P s
T s
G s R s A s L s B s P s
= =
+ +
[1.19]
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
i
G s B s L s
S s
G s R s A s L s B s P s
= =
+ +
[1.20]
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
u
R s A s P s
S s
G s R s A s L s B s P s
= =
+ +
[1.21]
Se define
( )
( )
( )
0
1
G s
G s
G s
∆
= − [1.22]
( )
( ) ( )
0
1
1
S s
T s G s
∆
∆
=
+
[1.23]
26. Análisis v2.doc 26
quedando
( ) ( ) ( )
0
S s S s S s
∆
= [1.24]
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 1
T s T s G s S s
∆ ∆
= + [1.25]
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 1
i i
S s S s G s S s
∆ ∆
= + [1.26]
( ) ( ) ( )
0
u u
S s S s S s
∆
= [1.27]
27. Análisis v2.doc 27
1.6.2. Estabilidad Robusta
Se dice que un sistema es robustamente estable si es internamente estable
con la planta real.
Teorema. [Estabilidad robusta] Sea una planta con modelo nominal ( )
0
G s y
transferencia real ( )
G s ; sea ( )
R s un controlador que estabiliza internamente la
planta nominal y si ( ) ( )
G s R s y ( ) ( )
0
G s R s tienen el mismo número de polos ines-
tables.
Entonces, el controlador ( )
R s logra la estabilidad del lazo real si se cumple:
( ) ( )
0 1
T j G j
ω ω
∆
< [1.28]
o
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
1
G j R j G j G j R j
ω ω ω ω ω
∆ < + [1.29]
La estabilidad es robusta frente a un dado error ( )
G jω
∆
si el punto de estabili-
dad crítica 1 0
j
− + se encuentra fuera del disco de centro en ( ) ( )
0
G j R j
ω ω y ra-
dio ( ) ( ) ( )
0
G j R j G j
ω ω ω ω
∆ ∀ .
28. Análisis v2.doc 28
Vemos que un pico elevado de sensibilidad hace pequeño ( ) ( )
0
1 G j R j
ω ω
+
en [1.29], disminuyendo la tolerancia a error de modelado MEM para preservar es-
tabilidad robusta.