modelado

1. 1
DINÁMICA DE SISTEMAS
INSTITUTO TECNOLÓGICO
SUPERIOR DE POZA RICA
FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA

2. 2
Contenido
1.- Introducción.
2.- Obtención de la Función de Transferencia.
3.- Ejemplo.
4.- Ventajas de la Función de Transferencia.
5.- Limitaciones de la Función de Transferencia.
6.- Bibliografía.

3. 3
1.- Introducción.
Figura 1.- Proceso de diseño de
un sistema de control.

4. 4
❖ Una ecuación diferencial puede describir la relación entre la
entrada y salida de un sistema.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
r
b
dt
t
r
d
b
dt
t
r
d
b
t
c
a
dt
t
c
d
a
dt
t
c
d
a m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n 0
1
1
1
0
1
1
1 +
+
+
=
+
+
+ −
−
−
−
−
− 

Ecuación Diferencial General, invariante
con el tiempo, lineal y de orden n.
1.- Introducción.

5. 5
1.- Introducción.
❖ En la representación mediante una E.D.O. vemos que los parámetros
del sistema, que son los coeficientes, así como la salida c(t) y la entrada
r(t) aparecen en toda la ecuación.
❖ Una forma más cómoda de modelar a un sistema es mediante una
representación matemática donde la entrada y la salida sean partes
separadas conocida como Función de Transferencia.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
r
b
dt
t
r
d
b
dt
t
r
d
b
t
c
a
dt
t
c
d
a
dt
t
c
d
a m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n 0
1
1
1
0
1
1
1 +
+
+
=
+
+
+ −
−
−
−
−
− 

Ecuación Diferencial General, invariante
con el tiempo, lineal y de orden n.

6. 6
La entrada r(t), se
refiere a la entrada
de referencia
(Reference).
La salida c(t) se
refiere a la variable
controlada
(Controlled).
❖ Además dicha representación permite representar cómodamente la
interconexión de varios sistemas, facilitando el análisis y diseño.
1.- Introducción.

7. 7
2.- Obtención de la Función de Transferencia.
1) Se comienza por escribir una E.D.O. general de orden n, lineal e
invariante en el tiempo.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
r
b
dt
t
r
d
b
dt
t
r
d
b
t
c
a
dt
t
c
d
a
dt
t
c
d
a m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n 0
1
1
1
0
1
1
1 +
+
+
=
+
+
+ −
−
−
−
−
− 

2) Se aplica la Transformada de Laplace en ambos términos de la
ecuación.
( ) ( ) ( )
s
C
a
s
C
s
a
s
C
s
a n
n
n
n 0
1
1 +
+
+ −
− 
( ) ( ) ( )
s
R
b
s
R
s
b
s
R
s
b m
m
m
m 0
1
1 +
+
+ −
− 
+ términos de condición inicial con
c(t).
+ términos de condición inicial con
r(t).

8. 8
2.- Obtención de la Función de Transferencia.
( ) ( )
s
R
b
s
b
s
b
s
C
a
s
a
s
a m
m
m
m
n
n
n
n )
(
)
( 0
1
1
0
1
1 +
+
+
=
+
+
+ −
−
−
− 

C(s)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
s
R
b
s
R
s
b
s
R
s
b
s
C
a
s
C
s
a
s
C
s
a
m
m
m
m
n
n
n
n
0
1
1
0
1
1
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−


R(s)
Expresión puramente
algebraica.
Suponiendo condiciones iniciales igual a cero, la expresión se reduce a:

9. 9
3) Finalmente se obtiene el cociente de la transformada de salida, C(s),
dividido entre la transformada de entrada, R(s):
0
1
1
0
1
1
)
(
)
(
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
R
s
C
n
n
n
n
m
m
m
m
+
+
+
+
+
+
= −
−
−
−


Función de
Transferencia
Expresión conformada por dos polinomios, donde
C(s) es la salida, R(s) es la entrada, y ai, s, y bi,
representan al sistema.
2.- Obtención de la Función de Transferencia.

10. 10
3.- Ejemplo.
a) Encuentre la función de transferencia que relacione el voltaje del
capacitor VC(s), con el voltaje de entrada V(s) para la red eléctrica mostrada
en la figura siguiente.
?
)
(
)
(
=
S
V
S
VC

11. 11
3.- Ejemplo.

12. 12
3.- Ejemplo.
Realizando la suma de voltajes alrededor de la malla, suponiendo
condiciones iniciales iguales a cero tenemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
r
b
dt
t
r
d
b
dt
t
r
d
b
t
c
a
dt
t
c
d
a
dt
t
c
d
a m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n 0
1
1
1
0
1
1
1 +
+
+
=
+
+
+ −
−
−
−
−
− 

La aplicación de la L.V.K. en la malla nos da como resultado una ecuación
Integral Diferencial y debemos recordar que para obtener la función de
transferencia necesitamos una Ecuación Diferencial Ordinaria de la forma:
(1)

13. 13
dt
t
q
d
t
i
)
(
)
( =
Con el fin de eliminar la integral y tener una E.D.O. debemos utilizar la
siguiente relación:
Sustituyendo (2) en (1) se tiene:
(2)
(3)
Se puede observar en (3) que finalmente se tiene una E.D.O. donde se tiene
la entrada de referencia r(t) = v(t); sin embargo, no aparece la variable
controlada c(t) = VC(t). Esto es necesario dado que la función de
transferencia que se necesita es:
)
(
)
(
S
V
S
VC

14. 14
Para introducir la variable controlada a la E.D.O. necesitamos utilizar la
siguiente relación:
(4)
Sustituyendo (4) en (3) resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
r
b
dt
t
r
d
b
dt
t
r
d
b
t
c
a
dt
t
c
d
a
dt
t
c
d
a m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n 0
1
1
1
0
1
1
1 +
+
+
=
+
+
+ −
−
−
−
−
− 

(5)

15. 15
A continuación se aplica la Transformada de Laplace considerando
condiciones iniciales igual a cero a la ecuación (5) y factorizando términos
semejantes se obtiene:
( ) ( )
s
R
b
s
b
s
b
s
C
a
s
a
s
a m
m
m
m
n
n
n
n )
(
)
( 0
1
1
0
1
1 +
+
+
=
+
+
+ −
−
−
− 

0
1
1
0
1
1
)
(
)
(
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
R
s
C
n
n
n
n
m
m
m
m
+
+
+
+
+
+
= −
−
−
−


Por último se despeja la Función de Transferencia VC(s) / V(s):
(6)
Donde:
C(s) = VC(s) R(s) = V(s)
b0 = 1 / LC a0 = 1 / LC
a1 = R / L a2 = 1
(7)

16. 16
4.- Ventajas de la Función de Transferencia.
Al utilizar la Transformada de Laplace se obtienen ventajas tales
como:
❖ Una representación matemática en donde la entrada, el sistema y
la salida se encuentran de manera separada.
❖ Nos permite combinar algebraicamente representaciones
matemáticas de los subsistemas para obtener una representación
total del sistema.
❖ Permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la
transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su
estudio.

17. 17
La función de transferencia:
❖ Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales
lineales invariantes en el tiempo.
❖ Es una descripción entrada - salida del comportamiento del sistema.
❖ Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo
de entrada.
❖ No proporciona información acerca de la estructura interna del
sistema.
5.- Limitaciones de la Función de Transferencia.

18. 18
6.- Bibliografía.
❖ Ogata, K; “Sistemas de Control para Ingeniería”, Tercera Edición,
Prentice Hall, México, 1998.
❖ Kuo, B; “Sistemas de Control Automático”, Séptima Edición,
Prentice-Hall Hispanoamericana, 1996.
❖ Nise, N; “Sistemas de Control para Ingeniería”, Tercera Edición,
CECSA, 2002.

19. 19
¡GRACIAS POR SU
ATENCIÓN!