El documento describe el principio de complementariedad propuesto por Niels Bohr y su significado en la física. Explica que la complementariedad surge de las relaciones de incertidumbre de Heisenberg, las cuales establecen que ciertos parámetros físicos como la posición y el momento lineal de una partícula no pueden determinarse simultáneamente con precisión absoluta. El principio de complementariedad afirma que estos parámetros son complementarios entre sí.
Este documento analiza las formulaciones matemáticas utilizadas por Newton en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. A pesar de omitir aparentemente el análisis fluxional desarrollado por él, Newton no pudo evitar utilizarlo conceptualmente en algunas demostraciones. El discurso matemático en la obra abarca desde la geometría tradicional hasta la teoría de fluxiones, siendo la parte predominante una formulación geométrica del movimiento entre ambas aproximaciones.
La tesis presenta un modelo para resolver numéricamente la ecuación de Poisson-Boltzmann en dos dimensiones para geometría cilíndrica utilizando el método de elementos finitos. En el capítulo 1 se introduce la ecuación de Poisson-Boltzmann y su aplicación a sistemas cilíndricos. En el capítulo 2 se explica la técnica de elementos finitos para resolver ecuaciones diferenciales bidimensionales. En el capítulo 3 se presentan los resultados al aplicar este método a la distribución de iones alrededor de un cilindro carg
Este documento presenta una breve reseña histórica sobre el descubrimiento del conjunto de Cantor y la función de Cantor. Explica que aunque Cantor no fue el primero en descubrir conjuntos similares, sus descubrimientos fueron cruciales para el desarrollo de la teoría de medida y topología. Menciona que el matemático inglés H.J.S. Smith construyó uno de los primeros conjuntos de Cantor en 1875, aunque su trabajo pasó desapercibido. Finalmente, describe cómo Cantor llegó a estudiar la
Este documento presenta diez ecuaciones matemáticas que han cambiado la historia al ayudar al hombre a comprender mejor su entorno, incluyendo el teorema fundamental del cálculo, la teoría de la relatividad especial, el teorema de Pitágoras, la ley de gravitación universal, la ecuación de Schrödinger, la segunda ley de la termodinámica, el teorema de Euler para los poliedros, la distribución normal de Gauss, la ecuación de onda y el modelo Black-Scholes.
Este documento presenta tres axiomatizaciones de los números naturales propuestas por Peano, Lawvere y Peirce. La axiomatización más conocida es la de Peano de 1889, la cual define los números naturales mediante axiomas y operaciones como la adición y multiplicación. Lawvere tradujo luego los axiomas de Peano al lenguaje de categorías. Finalmente, se describe que Peirce propuso una axiomatización completa de los números naturales ya en 1881, varios años antes que Peano, la cual ha recibido poca atención.
EL PROBLEMA DE LA MATERIA OSCURA (DARK MATTER) DE LA RELATIVIDAD GENERAL DE E...Xavier Terri
1) La teoría conectada resuelve el problema de la materia oscura en la relatividad general de Einstein.
2) La relatividad general no puede explicar las curvas planas de rotación a largas distancias sin postular grandes cantidades de materia oscura no observada.
3) La teoría conectada sugiere que la fórmula de la relatividad general para velocidades de rotación deja de funcionar cuando los campos gravitatorios son intensos.
Este documento describe el desarrollo de la física cuántica a principios del siglo XX. Max Planck introdujo la cuantización de la energía para explicar el comportamiento del cuerpo negro, rompiendo con la física clásica. Luego, Einstein demostró que la energía radiante existía como "cuantos". Finalmente, De Broglie descubrió la dualidad onda-partícula, un hecho impactante que cambió la comprensión fundamental de la naturaleza.
La teoría de la relatividad explica que la velocidad de la luz es constante e independiente del observador, y que el tiempo y el espacio están relacionados. La teoría especial de la relatividad establece que la masa y la energía son equivalentes, mientras que la teoría general de la relatividad explica que la gravedad es el resultado de la curvatura del espacio-tiempo producida por masas.
Este documento analiza las formulaciones matemáticas utilizadas por Newton en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. A pesar de omitir aparentemente el análisis fluxional desarrollado por él, Newton no pudo evitar utilizarlo conceptualmente en algunas demostraciones. El discurso matemático en la obra abarca desde la geometría tradicional hasta la teoría de fluxiones, siendo la parte predominante una formulación geométrica del movimiento entre ambas aproximaciones.
La tesis presenta un modelo para resolver numéricamente la ecuación de Poisson-Boltzmann en dos dimensiones para geometría cilíndrica utilizando el método de elementos finitos. En el capítulo 1 se introduce la ecuación de Poisson-Boltzmann y su aplicación a sistemas cilíndricos. En el capítulo 2 se explica la técnica de elementos finitos para resolver ecuaciones diferenciales bidimensionales. En el capítulo 3 se presentan los resultados al aplicar este método a la distribución de iones alrededor de un cilindro carg
Este documento presenta una breve reseña histórica sobre el descubrimiento del conjunto de Cantor y la función de Cantor. Explica que aunque Cantor no fue el primero en descubrir conjuntos similares, sus descubrimientos fueron cruciales para el desarrollo de la teoría de medida y topología. Menciona que el matemático inglés H.J.S. Smith construyó uno de los primeros conjuntos de Cantor en 1875, aunque su trabajo pasó desapercibido. Finalmente, describe cómo Cantor llegó a estudiar la
Este documento presenta diez ecuaciones matemáticas que han cambiado la historia al ayudar al hombre a comprender mejor su entorno, incluyendo el teorema fundamental del cálculo, la teoría de la relatividad especial, el teorema de Pitágoras, la ley de gravitación universal, la ecuación de Schrödinger, la segunda ley de la termodinámica, el teorema de Euler para los poliedros, la distribución normal de Gauss, la ecuación de onda y el modelo Black-Scholes.
Este documento presenta tres axiomatizaciones de los números naturales propuestas por Peano, Lawvere y Peirce. La axiomatización más conocida es la de Peano de 1889, la cual define los números naturales mediante axiomas y operaciones como la adición y multiplicación. Lawvere tradujo luego los axiomas de Peano al lenguaje de categorías. Finalmente, se describe que Peirce propuso una axiomatización completa de los números naturales ya en 1881, varios años antes que Peano, la cual ha recibido poca atención.
EL PROBLEMA DE LA MATERIA OSCURA (DARK MATTER) DE LA RELATIVIDAD GENERAL DE E...Xavier Terri
1) La teoría conectada resuelve el problema de la materia oscura en la relatividad general de Einstein.
2) La relatividad general no puede explicar las curvas planas de rotación a largas distancias sin postular grandes cantidades de materia oscura no observada.
3) La teoría conectada sugiere que la fórmula de la relatividad general para velocidades de rotación deja de funcionar cuando los campos gravitatorios son intensos.
Este documento describe el desarrollo de la física cuántica a principios del siglo XX. Max Planck introdujo la cuantización de la energía para explicar el comportamiento del cuerpo negro, rompiendo con la física clásica. Luego, Einstein demostró que la energía radiante existía como "cuantos". Finalmente, De Broglie descubrió la dualidad onda-partícula, un hecho impactante que cambió la comprensión fundamental de la naturaleza.
La teoría de la relatividad explica que la velocidad de la luz es constante e independiente del observador, y que el tiempo y el espacio están relacionados. La teoría especial de la relatividad establece que la masa y la energía son equivalentes, mientras que la teoría general de la relatividad explica que la gravedad es el resultado de la curvatura del espacio-tiempo producida por masas.
Este documento presenta una lista de 10 artículos escritos por Albert Einstein. Los artículos cubren una variedad de temas relacionados con la física como la teoría cuántica, la relatividad especial y general, y la mecánica newtoniana. El documento también incluye resúmenes breves de conceptos clave de la relatividad especial como las transformaciones de coordenadas de Lorentz y discusiones sobre las predicciones y verificaciones experimentales de la teoría de la relatividad.
PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Y ECUACIONES DE EINSTEINXavier Terri
Este documento discute el principio de equivalencia de Einstein. Explica que Einstein basó su principio de equivalencia en el principio de Galileo de que todos los objetos caen a la misma velocidad independientemente de su masa. También analiza cómo este principio de Galileo se relaciona con las leyes de Newton sobre la inercia y la gravedad. Finalmente, resume el enunciado del principio de equivalencia de Einstein.
Este documento discute la teoría de la relatividad propuesta por Albert Einstein. Introduce los principios básicos de la relatividad especial, incluyendo que todas las leyes de la física son las mismas en todos los marcos inerciales y que la velocidad de la luz es constante. Explica cómo la teoría de Einstein resolvió contradicciones en la mecánica newtoniana respecto a la velocidad de la luz. Finalmente, resume los dos postulados fundamentales sobre los que se basa la teoría de la relatividad especial de Einstein.
Johannes Kepler fue un astrónomo, matemático y físico alemán del siglo XVI. Superó una infancia difícil y estudió teología y matemáticas. Trabajó como profesor de matemáticas y astrónomo imperial, donde descubrió las tres leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas. Sus obras más importantes incluyen Mysterium cosmographicum, Astronomia nova y Harmonices mundi.
Este documento describe la influencia de Domingo de Soto en el origen de la ciencia moderna. Resume que Soto fue pionero en asociar el concepto de movimiento uniformemente acelerado con la caída de los cuerpos y en indicar que la distancia recorrida podía calcularse a partir del tiempo usando el Teorema de la Velocidad Media de Merton College. También destaca el concepto de "Resistencia Interna" de Soto como antecedente de la resistencia interna de Galileo y de la masa inercial de Newton.
La teoría de la relatividad especial explica el fenómeno de la dilatación del tiempo a través de la paradoja de los gemelos. Uno de los gemelos viajó a una velocidad del 0.5c y regresó, encontrando que su gemelo en la Tierra había envejecido más. La dilatación del tiempo se explica mediante el factor gamma, que muestra que el tiempo pasa más lentamente para aquel que se mueve a velocidades cercanas a la de la luz.
Este documento resume la vida y obras del físico Albert Einstein. En 1905, Einstein publicó tres documentos seminales donde introdujo la teoría de los cuantos de luz, formuló la teoría especial de la relatividad, y explicó el movimiento browniano. En 1915, Einstein completó su teoría general de la relatividad, la cual unificó la gravedad y la relatividad. Esta teoría ha sido verificada experimentalmente y es una de las teorías físicas más influyentes. El documento también discute las contribuciones de Einstein a la mecánica cuántic
Este documento resume la historia, concepto y aplicaciones de las funciones racionales. Brevemente explica que las funciones racionales son fracciones de polinomios donde el denominador no es cero, y que se usan en física para modelar el comportamiento de rayos ultravioleta y en química para determinar concentraciones exactas.
El documento describe la vida y carrera del físico teórico Stephen Hawking. Hawking es mundialmente conocido por sus intentos de unificar la relatividad general con la teoría cuántica y por sus contribuciones a la cosmología y los agujeros negros. Se considera uno de los físicos más importantes de la segunda mitad del siglo XX y principios del siglo XXI.
Este documento describe los principales conceptos y desarrollos de la mecánica cuántica, incluyendo la radiación del cuerpo negro, la teoría cuántica de Planck, el efecto fotoeléctrico y su explicación por Einstein, el concepto de fotón, la dualidad onda-corpúsculo y el principio de incertidumbre.
Este documento describe brevemente la historia de los intentos de unificar las cuatro fuerzas fundamentales en la física. Comenzó con la unificación de la gravitación y el electromagnetismo, y continuó con la mecánica cuántica que reveló dos fuerzas nucleares adicionales. Teorías posteriores como la relatividad especial, el modelo electrodébil y el modelo estándar unificaron con éxito algunas fuerzas, pero aún se busca una "teoría del todo" que una la gravedad con las otras tres fuerzas. Algunas propuestas
El documento describe la crisis de la física clásica a principios del siglo XX debido a que varias de sus suposiciones básicas como un universo estático e invariable en el tiempo fueron refutadas por nuevos descubrimientos. Esto llevó a Albert Einstein a formular la teoría de la relatividad y al desarrollo de la física cuántica. Se explican fenómenos como el efecto fotoeléctrico y la cuantización de la energía que marcaron el fin de la física clásica.
Este documento presenta y analiza varias paradojas matemáticas que han influido en el desarrollo del pensamiento matemático. Describe siete paradojas, incluyendo las paradojas de Zenón sobre el movimiento y la paradoja de Galileo. Las clasifica en dos grupos: paradojas semánticas, relacionadas con el significado de conceptos como infinito, y paradojas lógicas, que contradicen el principio del tercer excluido. El documento muestra cómo estas paradojas llevaron a cuestionar conceptos como igual
El documento presenta una introducción a la teoría cuántica mecánica, definiéndola como una teoría física basada en el concepto de cuantos de energía para describir las propiedades de las partículas subatómicas. Explica las contribuciones de Max Planck y su hipótesis de los cuantos de energía y del principio de incertidumbre de Werner Heisenberg.
Albert Einstein fue un físico alemán que realizó importantes contribuciones a la física en 1905 con su Teoría de la Relatividad Especial y la ecuación E=mc2 que relaciona masa y energía. Más tarde, en 1915 presentó su Teoría General de la Relatividad que reformuló el concepto de gravedad. Sus descubrimientos sentaron las bases de la física moderna y tuvieron aplicaciones en el desarrollo de la energía nuclear.
Albert Einstein, un físico alemán nacionalizado suizo y estadounidense, es conocido como el científico más importante del siglo XX. En 1905 publicó su teoría de la relatividad especial y dedujo la ecuación E=mc2, que relaciona la masa y la energía. Más tarde, en 1915 presentó su teoría general de la relatividad, que reformuló el concepto de gravedad.
1) El documento describe los principales conceptos de la teoría atómica moderna, incluyendo el principio de dualidad onda-partícula de De Broglie, el principio de incertidumbre de Heisenberg y el modelo atómico de Niels Bohr.
2) Explica que la teoría cuántica moderna se basa en la mecánica ondulatoria de Schrödinger y la interpretación estadística de la función de onda de Max Born.
3) Detalla que la ecuación de Schrödinger describe
La mecánica cuántica describe el comportamiento de la materia y la energía a escala subatómica. Se originó a principios del siglo XX cuando se descubrió que la luz y las partículas elementales exhiben propiedades ondulatorias y corpusculares. Max Planck introdujo la noción de cuantos de energía, mientras que Albert Einstein explicó el efecto fotoeléctrico usando los fotones. La mecánica matricial de Werner Heisenberg y la ecuación de ondas de Erwin Schrödinger sent
El estudiante aprendió a usar el espectrofotómetro y determinó la curva de calibración del ion permanganato utilizando diferentes longitudes de onda. Obtuvo los valores de absorbancia del permanganato de potasio entre 400-600 nm a intervalos de 50 nm, determinando que la máxima absorción ocurre a 525 nm. El objetivo de familiarizarse con el equipo y examinar las curvas de absorción de los iones se cumplió correctamente.
Stephan Banach fue un matemático polaco que hizo importantes contribuciones al análisis funcional. Entre sus obras más destacadas se encuentra Teoría de las operaciones lineales, la primera monografía sobre este tema. Banach también introdujo conceptos fundamentales como los espacios de Banach y demostró teoremas como el teorema de Banach-Steinhaus y el teorema del punto fijo de Banach. La mayor parte de sus artículos se publicaron en la revista Studia Mathematica fundada por él mismo.
Este documento proporciona una cronología e introducción a la mecánica cuántica. Comienza con los trabajos de Max Planck y su teoría del cuanto en 1900 que introdujo la noción de que la energía solo puede absorberse o emitirse en cantidades discretas llamadas cuantos. Luego describe contribuciones clave de figuras como Heisenberg, Schrödinger y Dirac que llevaron al desarrollo de la mecánica cuántica en las décadas de 1920 y 1930, reemplazando los modelos atómicos determin
Este documento presenta resúmenes biográficos de importantes matemáticos a través de la historia como Euclides, Eratóstenes, Copérnico, Leibniz, Pascal, Fermat, Gauss, Cramer, Bolzano y Kepler. Los estudiantes del segundo año grupo B realizaron esta investigación sobre las contribuciones de estos grandes pensadores a las matemáticas.
Este documento presenta una lista de 10 artículos escritos por Albert Einstein. Los artículos cubren una variedad de temas relacionados con la física como la teoría cuántica, la relatividad especial y general, y la mecánica newtoniana. El documento también incluye resúmenes breves de conceptos clave de la relatividad especial como las transformaciones de coordenadas de Lorentz y discusiones sobre las predicciones y verificaciones experimentales de la teoría de la relatividad.
PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Y ECUACIONES DE EINSTEINXavier Terri
Este documento discute el principio de equivalencia de Einstein. Explica que Einstein basó su principio de equivalencia en el principio de Galileo de que todos los objetos caen a la misma velocidad independientemente de su masa. También analiza cómo este principio de Galileo se relaciona con las leyes de Newton sobre la inercia y la gravedad. Finalmente, resume el enunciado del principio de equivalencia de Einstein.
Este documento discute la teoría de la relatividad propuesta por Albert Einstein. Introduce los principios básicos de la relatividad especial, incluyendo que todas las leyes de la física son las mismas en todos los marcos inerciales y que la velocidad de la luz es constante. Explica cómo la teoría de Einstein resolvió contradicciones en la mecánica newtoniana respecto a la velocidad de la luz. Finalmente, resume los dos postulados fundamentales sobre los que se basa la teoría de la relatividad especial de Einstein.
Johannes Kepler fue un astrónomo, matemático y físico alemán del siglo XVI. Superó una infancia difícil y estudió teología y matemáticas. Trabajó como profesor de matemáticas y astrónomo imperial, donde descubrió las tres leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas. Sus obras más importantes incluyen Mysterium cosmographicum, Astronomia nova y Harmonices mundi.
Este documento describe la influencia de Domingo de Soto en el origen de la ciencia moderna. Resume que Soto fue pionero en asociar el concepto de movimiento uniformemente acelerado con la caída de los cuerpos y en indicar que la distancia recorrida podía calcularse a partir del tiempo usando el Teorema de la Velocidad Media de Merton College. También destaca el concepto de "Resistencia Interna" de Soto como antecedente de la resistencia interna de Galileo y de la masa inercial de Newton.
La teoría de la relatividad especial explica el fenómeno de la dilatación del tiempo a través de la paradoja de los gemelos. Uno de los gemelos viajó a una velocidad del 0.5c y regresó, encontrando que su gemelo en la Tierra había envejecido más. La dilatación del tiempo se explica mediante el factor gamma, que muestra que el tiempo pasa más lentamente para aquel que se mueve a velocidades cercanas a la de la luz.
Este documento resume la vida y obras del físico Albert Einstein. En 1905, Einstein publicó tres documentos seminales donde introdujo la teoría de los cuantos de luz, formuló la teoría especial de la relatividad, y explicó el movimiento browniano. En 1915, Einstein completó su teoría general de la relatividad, la cual unificó la gravedad y la relatividad. Esta teoría ha sido verificada experimentalmente y es una de las teorías físicas más influyentes. El documento también discute las contribuciones de Einstein a la mecánica cuántic
Este documento resume la historia, concepto y aplicaciones de las funciones racionales. Brevemente explica que las funciones racionales son fracciones de polinomios donde el denominador no es cero, y que se usan en física para modelar el comportamiento de rayos ultravioleta y en química para determinar concentraciones exactas.
El documento describe la vida y carrera del físico teórico Stephen Hawking. Hawking es mundialmente conocido por sus intentos de unificar la relatividad general con la teoría cuántica y por sus contribuciones a la cosmología y los agujeros negros. Se considera uno de los físicos más importantes de la segunda mitad del siglo XX y principios del siglo XXI.
Este documento describe los principales conceptos y desarrollos de la mecánica cuántica, incluyendo la radiación del cuerpo negro, la teoría cuántica de Planck, el efecto fotoeléctrico y su explicación por Einstein, el concepto de fotón, la dualidad onda-corpúsculo y el principio de incertidumbre.
Este documento describe brevemente la historia de los intentos de unificar las cuatro fuerzas fundamentales en la física. Comenzó con la unificación de la gravitación y el electromagnetismo, y continuó con la mecánica cuántica que reveló dos fuerzas nucleares adicionales. Teorías posteriores como la relatividad especial, el modelo electrodébil y el modelo estándar unificaron con éxito algunas fuerzas, pero aún se busca una "teoría del todo" que una la gravedad con las otras tres fuerzas. Algunas propuestas
El documento describe la crisis de la física clásica a principios del siglo XX debido a que varias de sus suposiciones básicas como un universo estático e invariable en el tiempo fueron refutadas por nuevos descubrimientos. Esto llevó a Albert Einstein a formular la teoría de la relatividad y al desarrollo de la física cuántica. Se explican fenómenos como el efecto fotoeléctrico y la cuantización de la energía que marcaron el fin de la física clásica.
Este documento presenta y analiza varias paradojas matemáticas que han influido en el desarrollo del pensamiento matemático. Describe siete paradojas, incluyendo las paradojas de Zenón sobre el movimiento y la paradoja de Galileo. Las clasifica en dos grupos: paradojas semánticas, relacionadas con el significado de conceptos como infinito, y paradojas lógicas, que contradicen el principio del tercer excluido. El documento muestra cómo estas paradojas llevaron a cuestionar conceptos como igual
El documento presenta una introducción a la teoría cuántica mecánica, definiéndola como una teoría física basada en el concepto de cuantos de energía para describir las propiedades de las partículas subatómicas. Explica las contribuciones de Max Planck y su hipótesis de los cuantos de energía y del principio de incertidumbre de Werner Heisenberg.
Albert Einstein fue un físico alemán que realizó importantes contribuciones a la física en 1905 con su Teoría de la Relatividad Especial y la ecuación E=mc2 que relaciona masa y energía. Más tarde, en 1915 presentó su Teoría General de la Relatividad que reformuló el concepto de gravedad. Sus descubrimientos sentaron las bases de la física moderna y tuvieron aplicaciones en el desarrollo de la energía nuclear.
Albert Einstein, un físico alemán nacionalizado suizo y estadounidense, es conocido como el científico más importante del siglo XX. En 1905 publicó su teoría de la relatividad especial y dedujo la ecuación E=mc2, que relaciona la masa y la energía. Más tarde, en 1915 presentó su teoría general de la relatividad, que reformuló el concepto de gravedad.
1) El documento describe los principales conceptos de la teoría atómica moderna, incluyendo el principio de dualidad onda-partícula de De Broglie, el principio de incertidumbre de Heisenberg y el modelo atómico de Niels Bohr.
2) Explica que la teoría cuántica moderna se basa en la mecánica ondulatoria de Schrödinger y la interpretación estadística de la función de onda de Max Born.
3) Detalla que la ecuación de Schrödinger describe
La mecánica cuántica describe el comportamiento de la materia y la energía a escala subatómica. Se originó a principios del siglo XX cuando se descubrió que la luz y las partículas elementales exhiben propiedades ondulatorias y corpusculares. Max Planck introdujo la noción de cuantos de energía, mientras que Albert Einstein explicó el efecto fotoeléctrico usando los fotones. La mecánica matricial de Werner Heisenberg y la ecuación de ondas de Erwin Schrödinger sent
El estudiante aprendió a usar el espectrofotómetro y determinó la curva de calibración del ion permanganato utilizando diferentes longitudes de onda. Obtuvo los valores de absorbancia del permanganato de potasio entre 400-600 nm a intervalos de 50 nm, determinando que la máxima absorción ocurre a 525 nm. El objetivo de familiarizarse con el equipo y examinar las curvas de absorción de los iones se cumplió correctamente.
Stephan Banach fue un matemático polaco que hizo importantes contribuciones al análisis funcional. Entre sus obras más destacadas se encuentra Teoría de las operaciones lineales, la primera monografía sobre este tema. Banach también introdujo conceptos fundamentales como los espacios de Banach y demostró teoremas como el teorema de Banach-Steinhaus y el teorema del punto fijo de Banach. La mayor parte de sus artículos se publicaron en la revista Studia Mathematica fundada por él mismo.
Este documento proporciona una cronología e introducción a la mecánica cuántica. Comienza con los trabajos de Max Planck y su teoría del cuanto en 1900 que introdujo la noción de que la energía solo puede absorberse o emitirse en cantidades discretas llamadas cuantos. Luego describe contribuciones clave de figuras como Heisenberg, Schrödinger y Dirac que llevaron al desarrollo de la mecánica cuántica en las décadas de 1920 y 1930, reemplazando los modelos atómicos determin
Este documento presenta resúmenes biográficos de importantes matemáticos a través de la historia como Euclides, Eratóstenes, Copérnico, Leibniz, Pascal, Fermat, Gauss, Cramer, Bolzano y Kepler. Los estudiantes del segundo año grupo B realizaron esta investigación sobre las contribuciones de estos grandes pensadores a las matemáticas.
La mecánica cuántica describe los fenómenos físicos a escala microscópica, donde la acción es del orden de la constante de Planck. Explica conceptos como la dualidad onda-partícula, los estados cuánticos y la cuantización de la energía. Se desarrolló en la primera mitad del siglo XX para explicar observaciones como el efecto fotoeléctrico que no podían ser explicadas por la física clásica.
El documento introduce conceptos clave de la física cuántica a través de cuatro fenómenos antecedentes: 1) la radiación del cuerpo negro, 2) el efecto fotoeléctrico, 3) el efecto Compton y 4) los espectros de emisión y absorción atómicos. Explica cómo los modelos clásicos no podían explicar estos fenómenos hasta que Planck, Einstein, Compton y Bohr introdujeron conceptos cuánticos como los niveles de energía discretos y la dualidad onda-partícula de
Max Planck fue un físico alemán que revolucionó la física en 1900 con su teoría cuántica, la cual establece que la energía solo puede ser emitida o absorbida por los átomos en cantidades discretas llamadas cuantos. Planck descubrió que la energía radiada por un cuerpo sólido depende de la frecuencia de la radiación y de una constante fundamental que lleva su nombre, la constante de Planck. Su teoría cuántica sentó las bases de la mecánica cuántica y permitió explicar fenómen
El documento introduce conceptos clave de la física cuántica como alternativa a la física clásica para explicar fenómenos como la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton. Luego describe el modelo atómico de Bohr, que explica los espectros de emisión del hidrógeno mediante la cuantización de los niveles de energía electrónicos, y la naturaleza dual onda-partícula de la luz. Finalmente, introduce la hipótesis de de Broglie sobre la
El documento introduce conceptos clave de la física cuántica como alternativa a la física clásica para explicar fenómenos como la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton. Explica los modelos atómicos de Planck, Einstein, Bohr y de Broglie que dieron lugar a la mecánica cuántica moderna.
Introduccion A La Mecanica Cuantica http://fisicamoderna9.blogspot.com/Carlos Luna
El documento introduce conceptos clave de la física cuántica a través de varios fenómenos experimentales que no podían explicarse con la física clásica, como la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton. También describe los espectros de emisión y absorción atómicos y cómo el modelo atómico de Bohr explicó estos espectros a través de la cuantización de los niveles de energía electrónicos.
Este documento describe brevemente el desarrollo de la máquina de vapor y su papel en la Revolución Industrial. La máquina de vapor fue desarrollada gradualmente por varios inventores en los siglos XVII y XVIII, incluyendo a Denis Papin, Thomas Savery y Thomas Newcomen. Finalmente, James Watt perfeccionó la máquina de vapor en el siglo XVIII, lo que permitió que se utilizara ampliamente en las fábricas y condujera a la Revolución Industrial. La máquina de vapor fue considerada una "m
El documento describe las contribuciones de importantes matemáticos como Arquímedes, Descartes, Newton y Leibniz al desarrollo del cálculo diferencial e integral. Arquímedes realizó cálculos que anticiparon el cálculo integral, mientras que Descartes estableció las bases de la geometría analítica. Tanto Newton como Leibniz descubrieron de forma independiente los principios del cálculo diferencial y ambos hicieron contribuciones fundamentales a su desarrollo.
Este documento resume la historia del nacimiento de la teoría cuántica, incluyendo los descubrimientos de Planck, Bohr, Einstein y otros que llevaron a la conceptualización de la física a nivel atómico y cuántico. Se destacan hitos como la cuantización de la energía, el modelo atómico de Rutherford y la teoría atómica de Bohr.
Albert Einstein (1879-1955) fue un físico alemán que desarrolló la Teoría de la Relatividad Especial en 1905 y la Teoría General de la Relatividad en 1915, revolucionando la física moderna. También dedujo la famosa ecuación E=mc2 y realizó contribuciones fundamentales a la física cuántica y la termodinámica. Además de revolucionar la física, sus descubrimientos sentaron las bases de la energía nuclear y de la creación y conversión de materia a partir de energía.
Similar a 07.wolfgang strobl, universidad de navarra, el principio de complementariedad y su significación científico filosófica (20)
2. EL PRINCIPIO DE COMPLEMENTARIEDAD Y SU
SIGNIFICACIÓN CIENTÍFICO-FILOSÓFICA
El «padre de la gran familia mundial de los físicos cuánti-
cos» 1 —el danés Niels BOHR— fue, sin duda, uno de los in-
vestigadores más fecundos en lo que va de siglo. Sobre todo,
entra en la historia de las ciencias como el pensador de la com-
plementariedad.
A fines del año 1966 —dos años después de la muerte de
BOHR y en pleno desarrollo de la física de las partículas ele-
mentales 2— se puede decir que el principio de complementa-
1. Así llama a Niels BOHR su discípulo y amigo Pascual JORDÁN
(catedrático de Física en la Universidad de Hamburgo y uno de los
primeros creadores de la mecánica cuántica) en su necrología en
«Physikalische Blátter» 19 (1963) 60-63. Niels BOHR murió el 18 de
noviembre de 1962, con 11 años de edad. Entre sus muchas hazañas
científicas, recordemos tan sólo: sus teorías del átomo de hidrógeno,
de los espectros y del sistema periódico; los principios de corres-
pondencia y de complementariedad; la teoría de los núcleos atómicos.
2. Además de los capítulos correspondientes, con la literatura
especial, en: Wolfgang STROBL, Introducción a la Filosofía de las Cien-
cias (Madrid, 1963, cap. 5 y 8) y La realidad científica y su crítica filo-
sófica (Universidad de Navarra, 1966, cap. 4 y 5), hay que mencionar
dos artículos interesantes que se han publicado en los últimos meses:
M. E. OMELJANOWSKI y G. B. RUMER: El problema del carácter ele-
mental de las partículas, en: «Physikalische Blátter» 22 (1966) 337-
346; y G. LÜDERS (Catedrático de Física en Gotinga, premio Max
PLANCK de 1966): Propiedades de simetría de las partículas elementales
y el teorema TCP, en: «Physikalische Blátter» 22 (1966) 414-422 (sep-
tiembre 1966). Si en mi Introducción a la Filosofía de las Ciencias
todavía podía hablar de «las treinta o más diferentes especies de par-
tículas elementales» (pág. 79), hoy día, con el descubrimiento de los
«pleyadas», las «resonancias» o «estados excitados», el número de las
185
3. W O L F G A N G S T R O B L
riedad alcanza una significación cada vez más transcendental
para todas las ciencias, y esto precisamente en dos sentidos:
1. En un sentido objetivo: Atraviesa todas las ciencias y
confiere, por tanto, a la realidad científica su unidad interna.
2. En un sentido subjetivo: Crea un nuevo estilo del pen-
sar, muy flexible, meditativo y conciliador, que exige el diálogo,
el trabajo en equipo y en departamento y, por fin, requiere la
colaboración internacional.
Intento desarrollar el tema en dos pasos sucesivos:
Primero: El significado del principio de complementariedad
en la física, donde fue descubierto en primer lugar. Es intere-
sante observar que las recientes investigaciones acerca de las
llamadas «partículas y antipartículas» —en realidad, se trata
de partículas complementarias— y las estructuras nucleares
abren nuevos campos de pruebas para aplicar este principio de
BOHR.
Segundo: Será preciso buscar el sentido noético y real de
la complementariedad; con una palabra: su significación cien-
tífico-filosófica. Porque sin tener una idea clara y precisa de
ésta es imposible comprender su envergadura en otros ramos
del saber y de las correspondientes realidades.
PRIMERA PARTE:
LA COMPLEMENTARIEDAD EN LA FÍSICA.
Como es sabido, Niels BOHR estableció su idea de comple-
mentariedad (en los años 1927-30 3) partiendo de las relaciones
clases de partículas elementales que conocemos se amontona hacia
doscientas; y la mayoría de los investigadores piensan que con estas
200 y más partículas elementales todavía no se ha alcanzado un límite.
3. N. BOHR: Das Quantenpostulat und die neuere Entwicklung der
Atomistik, en: «Naturwissenschaften» 16 (1928) 245-257; Wirkungs-
quantum und Naturbeschreibung, ib. 17 (1929) 483; Die Atomtheorie
und die Prinzipien der Naturbeschreibung, ib. 18 (1930) 73-78; Atom-
186
4. EL PRINCIPIO DE COMPLEMENTARIEDAD
de HEISENBERG 4 . Estas últimas suelen llamarse con el nom-
bre de «relaciones de incertidumbre» e incluso «de indetermi-
nación»; una denominación que me parece poco feliz y hasta
equívoca. Veremos en seguida que sería preferible hablar de
«relaciones canónicamente conjugadas» o, más exactamente to-
davía, del «principio microfísico de complementariedad».
Para poder penetrar en el sentido universal de la comple-
mentariedad, es indispensable averiguar antes los presupuestos
y el contenido de su expresión microfísica. Por tanto, lo expli-
caré brevemente, revistiéndolo de un lenguaje inteligible tam-
bién para no-matemáticos y no-físicos5.
Los presupuestos que entran en el principio de HEISENBERG
son los dos siguientes:
l.° El quantum de acción h, que Max PLANCK descubrió en
el año 19006. La constante h expresa, ya por su dimensión:
cm2g.sec_1, la vinculación interna o complementariedad entre
los parámetros dinámico-energéticos y los espacio-temporales.
La energía E de un sistema microfísico y el número de oscila-
ciones en un segundo o la frecuencia v se relacionan como
sigue:
E = hv ... (1)
2.° El principio que Prince Louis de BROGLIE estableció en
1923-24 y según el cual al movimiento de cada partícula mi-
crofísica, le corresponde una oscilación ondulatoria, con una
frecuencia v y una longitud de onda = v/v .La cantidad de
theorie und Naturbeschreibung, Berlín 1931 (traducción d e : Atomteori
og Naturbeskrivelse, Copenhague 1929); Kausalitat und Komplemen-
taritat, en: «Erkenntnis» 6 (1936) 293; Die Atóme und die menschli-
che Erkenntnis (colección «Die Wissenschaft»), Braunschweig, 1958.
4. W. HEISENBERG: Über den anschaulichen Inhalt der quanten-
theoretischen Kinematik und Mechanik, en: «Zeitschrift für Physik»
43 (1927) 172; Die physikalischen Prinzipien der Quantentheorie, Leip-
zig 1930, 4. a ed. 1944, págs. 9-14.
5. Las derivaciones de HEISENBERG, citadas en la nota 4, presu-
ponen el conocimiento del cálculo de matrices y del espacio vectorial
de HILBERT (con infinitas dimensiones).
6. M. PLANCK en: «Sitzungsberichte der Deutschen Physikalischen
Gesellschaft» 2, pág. 202 (19 octubre 1900) y 2, pág. 237 (14 diciem-
bre 1900).
7. L. DE BROGLIE en: «Annales de physique» (París) 10, 2 (1925).
187
5. W O L F G A N G S T R O B L
movimiento (el momento, el impulso) p = m.v de la partícula
está en la siguiente relación con la longitud de onda:
X.p = h ... (2)
Esto supuesto, la argumentación de HEISENBERG fue la si-
guiente :
«El hecho de conocer, con una cierta precisión A q, la po-
sición de un electrón en el espacio, permite describirlo en el
lenguaje ondulatorio mediante una función de onda, cuya am-
plitud sólo es perceptiblemente distinta de cero en un pequeño
entorno A q. Una función construida de esta manera puede
pensarse formada por la reunión de ondas parciales (un «pa-
quete de ondas»), las cuales interfieren entre sí de tal modo que
en el pequeño entorno espacial A q. se refuerzan mutuamente,
mientras que fuera de él se extinguen» 8.
Supongamos, pues, que las ondas que se superponen tengan
Aq Aq
longitudes de onda entre X = —- y V ^ —-— (donde n
n n+ i
significa el número de ondas que llegan al intervalo de posi-
ción A q). Podemos escribir entonces:
Aq (3)
. • . * ^
Restando ... (3) de ... (4) resulta:
1 P
De la relación de BROGLIE ... (2) se sigue: — = •£- ;
A. h
y sustituyéndolo en ... (5), llegamos a la desigualdad:
A q . A JP ^
£- l ; ... (6)
h
8. W. HEISENBERG: Die physikalischen Prinzipien der Quanten-
theorie, 4.a ed., Leipzig, 1944, pág. 9.
188
6. EL PRINCIPIO DE C O MP LE ME N T ARIE DAD
y como el quantum de acción h es una constante, se puede
escribir finalmente:
Aq . Ap ^ h - &
Esta es la relación de complementariedad entre los pará-
metros «canónicamente conjugados» de la posición o actualiza-
ción espacial de una partícula elemental y su cantidad de mo-
vimiento, cuyo producto no puede ser menos que la constante
de PLANCK.
Se ve fácilmente que, mediante un razonamiento análogo, se
puede llegar a establecer la relación correspondiente a los pa-
rámetros, igualmente «canónicamente conjugados», del estado
energético y la duración del tiempo en que se realiza:
Sea n el número de oscilaciones en A t segundos. Entonces
se deduce que v . A t = n, o bien: v ' . A t ^ n + 1. La dife-
rencia de ambas ecuaciones conduce a la relación : Av . A t ^ ;
R
y sustituyendo la fórmula de PLANCK-EINSTEIN ... (1): v = T ,
h
resulta:
A E . At ^ h ... (8)
Esto significa que «un átomo sólo puede tener un valor de
energía definido con la precisión A E, si tiene a su disposición
un intervalo de tiempo A t ^ h / A E». (Pascual JORDÁN 9 ).
Me he detenido, con algún empeño, en estas deducciones
facilísimas, que pueden entenderse ya con los conocimientos
de la Enseñanza Media, para demostrar que, en verdad, en el
sentido real del principio microfísico de complementariedad no
entra nada de incertidumbre, nada de indeterminación, nada de
medidas humanas o de alteración de los «hechos objetivos» por
las mediciones, sino que se trata de relaciones perfectamente
9. P. JORDÁN: Anschauliche Quantentheorie, Berlín, 1936, pág. 130.
Un ejemplo muy instructivo y sugestivo de dicha relación, lo
enseña D. Carlos SÁNCHEZ DEL Río en su magnífica obra: Fundamentos
teóricos de la física atómica y nuclear (Junta de Energía Nuclear, Ma-
drid, 1960). Escribe: «La fórmula muestra la imposibilidad de tener
una frecuencia de oscilación definida en un intervalo de tiempo com-
parable con el período de oscilación, hecho bien conocido de los or-
ganistas que evitan los «staccatos» en las notas bajas para que éstas
suenen en toda su pureza». (O. c, pág. 23).
189
7. W O L F G A N G S T R O B L
objetivas, del conocimiento de una profunda ley elemental de
la naturaleza. Esto no es tan sólo mi opinión personal, sino una
realidad científica. Por ejemplo, Pascual JORDÁN —quien ideó,
junto con Max BORN y HEISENBERG, los fundamentos de la
mecánica cuántica10— escribió que las relaciones de HEISENBERG
no deben interpretarse en sentido «negativo» (es decir, que es
imposible medir la posición y el impulso de una partícula, al
mismo tiempo y con absoluta exactitud), «sino que es preciso
considerar el contenido positivo de este principio; a saber:
Dentro de un volumen del orden de magnitud de A q = h / A p,
la partícula es capaz de acción y susceptible de manifestarse co-
mo un agente físico distendido a través de toda esta extensión
espacial» u .
El primero en comprender dicho sentido positivo y real
—con toda su amplitud, envergadura y profundidad— fue el
maestro de HEISENBERG y JORDÁN: el inolvidable Niels BOHR.
Quisiera citar, a propósito, una definición que dio de su prin-
cipio, en la madurez de su vida, a 70 años de edad: «La elimi-
nación de toda aparente contradicción es todo lo que podemos
postular en un nuevo ámbito de experiencias. Por grandes que
sean las contraposiciones que presenta una comparación entre
las experiencias de objetos atomares, que se han realizado en
distintas condiciones de experimentos, es preciso considerar
tales fenómenos como complementarios en el sentido de que
cada uno queda bien definido y que tan sólo todos juntos ago-
tan todo conocimiento definible de los objetos relativos. El
formalismo de la mecánica cuántica, que tiende inmediatamen-
te a abarcar las observaciones hechas bajo condiciones experi-
mentales descritas con conceptos de la física elemental, da una
descripción complementaria y exhaustiva acerca de un ámbito
muy amplio de experiencia» 12.
El ^enio de Niels BOHR vio, con su intuición siempre tan
10. Cfr. BORN - HEISENBERG - JORDÁN : Zur Quantenmechanik, en:
«Zeitschrift für Physik» 34 (1925) 858; 35 (1926) 557.
11. P. JORDÁN: Das Bild der modernen Physik, Hamburg, 1947,
pág. 35.
12. Conferencia de BOHR en la Academia Real de Ciencias de
Copenhague, en octubre de 1955; cita según: «Physikalische Blátter»
19 (1963) 66.
190
8. EL PRINCIPIO DE C O MP LE ME N T ARIE D AD
clara como profunda, que las relaciones de HEISENBERG tan sólo
representan un caso especial de un principio más envolvente y
universal. Desde esta idea de BOHR, queda una tarea permanen-
te de las ciencias descubrir cada vez más ejemplos que cum-
plen la ley de la complementariedad, y al mismo tiempo averi-
guar mejor su sentido real y significación científica. Sobre todo,
fue el premio Nobel francés Louis de BROGLIE quien no se can-
só en aportar nuevos aspectos de complementariedad13. Ade-
más de los parámetros «canónicamente conjugados» como: lo-
calización espacial y cantidad de movimiento, duración tem-
poral y estado energético, son conceptos complementarios en
la microfísica:
Carácter corpuscular y carácter ondulatorio, individualidad
e interacción, física de «puntos» y física de «campos» (de BRO-
GLIE); más generalmente: discreción y continuidad, actos de
realización y «leyes de cuadro», espontaneidad y determina-
ción, elementos estructurales y estructuras energéticas. (La lista
podría completarse).
Se pueden aducir también ejemplos tomados de la expe-
riencia cotidiana: Cuanto más sensibilizada a la luz es una pe-
lícula fotográfica, tanto menos tiene capacidad de disolución
(y, por tanto, posibilidad de ampliación). Cuanto más selectivo
es un receptor de radio, tanto menos tiene de sonoridad. Y
viceversa, en los dos casos. Son relaciones complementarias, sin
duda. En su estructura formal, son isomorfas a las relaciones
de HEISENBERG, prototipo de la complementariedad física:
Cuanto más está en movimiento una partícula elemental (o, por
lo general, un sistema de ellas), tanto menos puede ser loca-
lizada fijamente; porque ya lógicamente el concepto del movi-
miento exige, por lo menos, dos estados distintos de posición
espacial. Cuanto más se concentra, por otra parte, una partícula
en una actualización local, tanto menos espacio de movimiento
puede cubrir. Análogos razonamientos pueden aducirse en lo
que atañe a la relación energía-tiempo. Otro ejemplo muy ins-
tructivo es la complementariedad entre individuo e interac-
13. L. DE BROGLIE: Matiére et lumiére, cap. V; Continu et discon-
tinu en physique moderne, cap. III; Physique et Microphysique, cap.
IX (París, 1947).
191
9. W O L F G A N G S T R O B L
ción: cuanto más una partícula se integra en un sistema (nu-
clear, atómico, molecular, cristalino), tanto más pierde su in-
dividualidad, y al revés 14. Tal vinculación interna imposibilita
los «casos puros» o aislamientos abstractivos: Como no hay
un sistema «puro» que no abarque elementos relativamente in-
dividuales, tampoco puede existir una partícula totalmente se-
parada. Todo está en relación en la naturaleza 15.
La ley de complementariedad representa, pues, un principio
no sólo de vinculación y complemento mutuo, sino también de
limitación: La constante de PLANCK, el quantum de acción h,
marca el límite interno de todas las posibles actualizaciones e
intercambios energéticos que suceden en la naturaleza. Cierto
es que se trata de un límite muy fino y menudo; según las me-
diciones recentísimas: h = (6,62517 + 0,00023) • 10~27
erg.sec.16. Porque es evidente que existe también un límite
superior de toda posible velocidad —hablar de una velocidad
«infinita» sería una contradicción en los términos (la mayor
que conocemos es la velocidad de la luz en el vacío)—, de la
relación ... (7) se deduce fácilmente que debe existir también
un límite interior de cada posible realización local. Desde lue-
go, su valor cuantitativo puede apreciarse tan sólo empírica-
mente; el orden de magnitud de la «longitud mínima» con la
que cuenta la física hoy es aproximadamente 1 ~ 10~13 cm.
El correspondiente «tiempo elemental» es, por consiguiente,
l^c- 1 ~ 10- 23 sec.
Estos resultados de la microfísica encajan perfectamente
con la necesidad lógica de pensar que una partícula elemental
precisa un mínimum de espacio y de tiempo para manifestarse;
hablar de un volumen o intervalo «infinitamente pequeño»
sería absurdo. (La lógica del criterio de convergencia de CAUCHY
vale tan sólo en las matemáticas puras; en la física, en cambio,
14. Esta relación física individuo-interacción no puede trasladarse,
sin más, a las relaciones humanas y sociales.
15. Por esta razón, el pensamiento correlacional de Ángel AMOR
RUIBAL tiene mucho interés para una Filosofía de las Ciencias.
16. Es decir, escrito en forma de una fracción decimal:
o, ooo ooo ooo ooo ooo ooo ooo ooo 006 625 erg. sec. Hasta tal exacti-
tud y precisión —nunca alcanzadas en la física clásica— mide y cuenta
la física cuántica.
192
10. EL PRINCIPIO DE C O MP LE ME N T ARI E DAD
como ciencia de la realidad, no podemos contentarnos con su-
cesiones de intervalos posibles, cada vez más pequeños, in infi-
nitum, sino que debemos postular la existencia de elementos
mínimos reales, los que poseen un bien definido radio mínimo
de acción).
Como se ve claramente, resucitan con tales consideraciones
las antinomias entrevistas ya por los antiguos pensadores elea-
tas17 y formuladas, en un estilo clásico, por Immanuel KANT en
sus famosas antinomias de la Razón pura, sobre todo en la se-
gunda de ellas 18. De la argumentación de KANT puede despren-
derse ya que, en un último sentido, estas paradojas y antino-
mias se derivan de la vinculación de nuestro pensamiento con
las imaginaciones espacio-temporales. Una vez más, fue Niels
BOHR quien penetró estas dificultades con la agudeza de su
meditación.*
Niels BOHR conoció, ya a partir de 1927 y antes, que las
mencionadas relaciones tienen su raíz fundamental en la com-
plementariedad entre el «macrocosmos» y el «microcosmos»,
el universo de nuestras experiencias diarias y sus orígenes
elementales que inferimos a partir de estas. El esquema que
dibujó en las obras citadas es el siguiente:
Teoría clásica Teoría cuántica
Descripción espacio-temporal O descripción O esquema ma-
espacio - tem- temático no en
poral espacio y tiempo
Causalidad y relaciones
de «incerti- y causalidad
dumbre»
Correlaciones
estadísticas
* Las notas 17 y 18 siguen en página 194-
17. Me refiero sobre todo a las paradojas que se adscriben a
ZENÓN DE ELEA (de la flecha que se mueve y no se mueve; de la
193
11. W O L F G A N G S T R O B L
SEGUNDA PARTE
SIGNIFICACIÓN CIENTÍFICO-FILOSÓFICA DE LA
COMPLEMENTARIEDAD
En su obra principal sobre los principios físicos de la teoría
de los quanta, Werner HEISENBERG pone de relieve que «existe
un esquema matemático de la teoría cuántica, pero que este es-
quema no puede ser interpretado como una sencilla relación de
cosas en espacio y tiempo» 19. Y concluye el capítulo acerca
del concepto de complementariedad de BOHR como sigue : «Tan
sólo al tratar de adoptar esta complementariedad fundamental
entre la descripción espacio-temporal y la causalidad 20 y for-
mar los conceptos adecuados, se puede juzgar de la no-contra-
dicción de los métodos que emplea la teoría cuántica (especial-
mente la interpretación de la teoría de las transformaciones).
Sin embargo, la adaptación que puede reunir nuestro pensa-
miento y nuestro lenguaje con las experiencias de la física
atómica se encuentra con grandes dificultades, del mismo mo-
do como sucedió antes con la teoría de la relatividad. En cuan-
carrera de Aquiles y la tortuga). Las antinomias surgen si se trata
de aplicar el análisis matemático del continuo al tiempo real que no
se compone de momentos «infinitamente pequeños» (un concepto
absurdo, eliminado de la lógica matemática por el criterio de CAUCHY),
sino que consiste en «tiempos de presencia» que suceden. (Los tex-
tos en: Hermann DIELS, Fragmente der Vorsokratiker, 29 [ 1 9 ] ; cfr.
ARISTÓTELES, Física, lib. Z, cap. 9, pág. 239).
18. Tesis: Cada sustancia compuesta en el mundo se constituye
de partes sencillas. Antítesis: No hay elementos sencillos. (Primera
edición: págs. 434-443; segunda edición: págs. 462-471).
19. W. HEISENBERG: Die physikalischen Prinzipien der Quanten-
theorie, Leipzig, 4. a ed. 1944, pág. 48.
20. Por la precisión conceptual que exige nuestra discusión, pro-
pondría sustituir la expresión «causalidad» aquí por el término «de-
terminación estructural», porque la determinación por causas y por
leyes estructurales no debe confundirse. (Vid. Wolfgang STROBL: Die
naturphilosophische Grundlagenproblematik und die ontologische Be-
deutung der neuen Physik, Dis. Munich, 1952, tomo I, págs. 256-354;
Introducción a la Filosofía de las Ciencias, Madrid, 1963, passim.
194
12. EL PRINCIPIO DE COMPLEMENTARIEDAD
to a esta última, la adaptación necesitada fue favorecida por
las anteriores discusiones filosóficas acerca de los problemas
de espacio y tiempo. De un modo semejante, en la física ató-
mica se pueden aprovechar las discusiones fundamentales para
toda teoría del conocimiento que versaron sobre las dificul-
tades originadas por la separación del mundo en sujeto y objeto.
Muchas de las abstracciones características para la moderna
física teórica se hallan ya discutidas en la filosofía de los siglos
pasados. Mientras que estas abstracciones fueron rechazadas
por los científicos meramente ansiosos de hechos, hoy día el
refinado arte experimental de la nueva física nos obliga a dis-
cutirlas con todo rigor» 21.
Aludiendo a la relación entre sujeto y objeto de conoci-
miento, HEISENBERG toca el núcleo del problema. Las medicio-
nes y sus inevitables «márgenes de incertidumbre» fueron no
más que el andamiaje a través del cual los físicos se acercaron
a la ley de complementariedad. Esta ley misma determina la
realidad independientemente de todos los experimentos y todas
las observaciones que realizan los hombres; porque hasta ahora
no tenemos ningún motivo para abandonar el principio de la
unidad y validez de las mismas leyes de naturaleza en todo el
universo; y por tanto podemos suponer que los mismos pro-
cesos microfísicos, dirigidos por la misma ley de complementa-
riedad, se actualizan también en la inmensidad del cosmos,
a donde nunca llegará la mano de un hombre (por ejemplo,
en una nebulosa a una distancia de mil millones de años
de luz) 22 .
21. W. HEISENBERG, O. C , pág. 49.
22. El descubridor del quantum de acción, Max PLANCK escribió,
a propósito de la objetividad de las relaciones de HEISENBERG, que
«éstas surgen del razonamiento que los elementos del nuevo mundo
microfísico no son corpúsculos materiales, sino ondas periódicas que
corresponden a las realizaciones físicas, y que —según un teorema
matemático— no es posible definir un determinado punto con un de-
terminado impulso por superposición de ondas periódicas con longitud
finita. Este teorema no tiene nada que ver con mediciones. Las ondas
materiales, por su parte, están inequívocamente determinadas por el co-
rrespondiente problema de valores marginales. No hay que pensar en
indeterminismo». (M. PLANCK: Vortráge und Erinnerungen, Stuttgart,
1949, pág. 223).
En otro lugar escribe: «Precisamente la existencia de tal limitación
195
13. W O L F G A N G S T R O B L
Nuestro problema se concentra, pues, en la sencilla pregun-
ta: ¿Cómo puede ser pensado (parte subjetiva) el funciona-
miento real (parte objetiva de la relación) del microcosmos, del
cual suponemos que es la base interior del macrocosmos que
percibimos con nuestros sentidos? En esta pregunta, el hom-
bre no entra como actor o experimentador, sino tan sólo como
pensador; y el único presupuesto es el principio de la inteligi-
bilidad del ente, que es el fundamento de todas las ciencias y
dice que las estructuras reales corresponden a las estructuras
del pensamiento justo y evidente.
Ahora bien: El «macrocosmos» espacio-temporal —por más
claridad, lo llamaré antropocosmos23, es decir, mundo del hom-
bre— nos parece natural, según la habituación de nuestras vi-
vencias: Tenemos una cierta imaginación o intuición de un
movimiento continuo en espacio y tiempo 24 . Pero desde el
momento en que el hombre empieza a pensar, cae en la cuenta
de que su antropocosmos espacio-temporal no es compatible
con las exigencias lógicas; por ejemplo, que los conceptos de
localización y movimiento o —más general y profundamente—
las nociones de ser y de tiempo se contradicen con respecto al
mismo modo de ser y nivel del ente 25.
objetiva que es el quantum de acción elemental debe considerarse como
una señal de la vigencia de una cierta nueva forma de leyes naturales
que, por su parte, seguramente no pueden reducirse a una mera esta-
dística». (M. PLANCK: O. C, pág. 293).
Desde los famosos experimentos de DAVISSON y GERMER («Physical
Review» 30, 705 —-1927—) que demostraron la difracción e interferen-
cia de rayos de electrones, lo que sólo puede explicarse por superposi-
ciones ondulatorias, la existencia de las ondas materiales que postuló
de BROGLIE es una realidad físicamente comprobada; y su consecuen-
cia lógico-matemática son las relaciones de complementariedad. Pero
ni siquiera es necesario recurrir al aspecto ondulatorio de las par-
tículas elementales. HEISENBERG dedujo sus relaciones inmediatamente
del esquema matemático de la teoría cuántica («Zeitschrift für Physik»,
43, 172, y 44, 326 —1927—); cfr. Fritz BOPP - Oswald RIEDEL: Die
physikalische Entwicklung der Quantentheorie, Stuttgart, 1950, cap.
XIII: Dualismo y complementariedad, págs. 105-115).
23. El término técnico ^Anihropokosmosti fue acuñado por Her-
mann FRIEDMANN (Epilegómena, Munich, 1953).
24. La intuición de la continuidad del movimiento es el gran
tema del pensamiento de Henri BERGSON.
25. Desde las paradojas de ZENÓN DE ELEA hasta las antinomias
de la dialéctica trascendental de KANT (cfr. notas 17 y 18).
196
14. EL PRINCIPIO DE C O MP LE ME N T ARIE D AD
La última condición —que conoció ya ARISTÓTELES en su
famosa definición del principio de contradicción26— es el
punto álgido del problema: Porque nada más evidente que la
posibilidad de eludir las aparentes contradicciones que se dan
en el antropocosmos, distribuyendo los términos de las oposi-
ciones o polaridades a distintos modos de ser o niveles del ente.
Entonces los contrastes que parecen excluirse y contradecirse
en el mismo nivel, a saber, en el antropocosmos espacio-tem-
poral de nuestras vivencias corporeo-sensoriales, desaparecen y
se complementan en un nivel superior, y concretamente en el
mundo de las determinaciones estructurales —y, por tanto, ex-
presables en formas matemáticas— que es el mundo de las
leyes de la naturaleza, el tema especial de las ciencias. A dis-
tinción del antropocosmos de los sentidos, quisiera llamarlo el
logocosmos del pensamiento científico.
Ahora nada impide pensar que los fenómenos constatados
experimentalmente —por ejemplo, en una cámara de burbujas
(bubble chamber)— están originados por cadenas discontinuas
de eventos microfísicos, y que estas realizaciones elementales,
en su aspecto complementario, son determinadas por estructu-
ras energéticas 21 no materiales, que pueden expresarse (como
«funciones de ondas» continuas) en un «esquema matemático
no espacio-temporal» (según BOHR y HEISENBERG 3-19-21).
Esta solución complementaria que atribuye el «movimiento»
continuo a la determinación estructural (y, por tanto, no es-
pacio-temporal), mientras que las actualizaciones elementales
en espacio y tiempo suceden como eventos indivisibles y dis-
continuos, no puede estar nunca en un conflicto con las expe-
riencias sensoriales; porque sabemos de muchos ejemplos có-
mo un aparente continuo puede surgir de una multitud de
eventos o acontecimientos discontinuos (por ejemplo, en la
pantalla del cinema, o en la vía láctea de la galaxia).
26. «Es imposible que lo mismo exista y no exista al mismo
tiempo en la misma cosa y en el mismo modo» (ARISTÓTELES, Meta-
physik, libro IV, pág. 1005 b 19).
27. La expresión «estructuras energéticas» fue introducida por el
químico Hans Georg GRIMM. Cfr. Wolfgang STROBL: Introducción a la
Filosofía de las Ciencias, Madrid, 1963, cap. 5: Estructuras reales y
posibles, físicas y matemáticas.
197
15. W O L F G A N G S T R O B L
Por las razones expuestas, Aloys WENZL 28 (ex-rector de la
Universidad de Munich) propuso ya desde hace más de treinta
años atribuir al aspecto corpuscular de las partículas elementa-
les el modo del ser actual, como son actos de realización, mien-
tras que las funciones de ondas que determinan las probabili-
dades de sus apariciones o manifestaciones representan la po-
tencialidad (en el sentido aristotélico). Sólo a quienes no cono-
cen la íntima relación entre la física moderna y el pensamiento
filosófico les podría sorprender el hecho de que Werner HEISEN-
BERG reanudó esta interpretación complementaria en distintos
niveles (con ocasión de sus «Gifford-Lectures» 1955-56 29 ).
Otro ejemplo de complementariedad en la mierofísica lo
representa la llamada «antimateria». Una vez más, la denomi-
nación no es exacta; porque en lugar de hablar de apartículas»
y «antipartículas», sería mejor decir «partículas complemen-
tarias». No se trata, en modo alguno, de algo adversativo u
opuesto, ni mucho menos contradictorio, antitético o dialéctico,
sino que son partículas que se complementan en sus propieda-
des de tal modo que nacen y mueren siempre como parejas,
nunca aisladas. Un principio meramente estructural —a saber,
la conservación del número bariónico (o de la «carga núcleo-
nica»)— impide la generación o aniquilación de bariones (nu-
28. A. WENZL: Metaphysik der Physik von heute, Leipzig, 1935;
Wissenschaft und Weltanschauung, Leipzig, 1935, 2. a ed. 1949; Philo-
sophie ais Weg von den Grenzen der Wissenschaft an die Grenzen der
Religión, Leipzig, 1939; Philosophie der Freiheit, München, 1949.
29. W. HEISENBERG: Physics and Philosophy (Gifford-Lectures en
la Universidad de St. Andrews, Escocia, 1955-56), «World Perspecti-
ves», vol. II; edición alemana: Physik und Philosophie, Ullstein,
Frankfurt-Berlín, 1961; traducción española: Física y Filosofía, ed. La
Isla, Buenos Aires, 1959.
Heisenberg dijo a propósito: «La onda de probabilidades que in-
trodujeron BOHR, KRAMERS y SLATER tiene un sentido más profundo.
Significa algo como una tendencia a un acontecimiento determinado.
Significa la aprehensión cuantitativa del concepto de potencia en la
filosofía de ARISTÓTELES. Implanta una realidad física extraña, algo
intermedio entre posibilidad y realidad». (O. c , ed. alemana —1961—,
pág. 25; la traducción es mía). Y en otro lugar (novena lección) dice:
«Al comparar nuestra situación con los conceptos de materia y forma
en ARISTÓTELES, se puede decir que la materia de Aristóteles, que
esencialmente es "potencia", es decir, posibilidad, debería compararse
con nuestro concepto de energía: la energía aparece como realidad
material en forma de generación de partículas elementales». (O. c .
pág. 132, arriba).
198
16. EL PRINCIPIO DE C O MP LE ME N T ARI E D AD
cleones e hiperones) sencillos, es decir, no-complementarios, y
garantiza así la estabilidad del mundo 30 . El hecho de que
nuestro sistema solar y, a nuestro saber, también la galaxia
se constituye casi exclusivamente de «partículas» (o de «mate-
ria»), y que la generación de parejas «partículas-antipartículas»
es muy escasa, ha conducido a algunos destacados físicos a su-
poner que podrían existir también «antimundos» compuestos
en su mayoría por «antipartículas» o «antimateria»; e incluso
hay unas posibilidades para decidirlo experimentalmente (a ba-
se de la irradiación de neutrinos o antineutrinos) 31 .
Teniendo en cuenta estos resultados experimentales de los
últimos años, se podría formular la complementariedad entre
partículas y antipartículas del modo siguiente: Cuánto más un
sistema o mundo está constituido de partículas, tanto menos
hay antipartículas en él; y viceversa. Tan sólo el «caso puro»
de una equivalencia total entre «materia» y «antimateria» pa-
rece imposible (el caso análogo a la absoluta equivalencia de
exactitud de localización y cantidad de movimiento), porque
—según la ley de la probabilidad y del gran número— entonces
los procesos de irradiación de parejas irían a destruir paulatina-
mente el sistema total 30 .
Por fin, estoy convencido de que también los magic numbers
de Lise MEITNER —cuya explicación teórica valió el premio No
bel de 1963 a los profesores Hans JFNSEN (Heidelberg) y Eugen
WIGNER (Princeton) y a la doctora María GOEPPERT-MAYER
30. D. Carlos SÁNCHEZ DEL RÍO escribe en su obra Fundamentos
teóricos de la Física atómica y nuclear (Madrid, 1960):
«También se conserva el número bariónico, entendiendo por tal
una nueva magnitud que para los bariones vale + 1, para los anti-
aariones vale — 1 y para las demás partí ulas es nula... Y es lógico
que así sea, porque este principio es ia gar .ntía teórica de la bien pro-
bada estabilidad de los núcleos; si no se cumpliese, los nucleones
podrían desintegrarse en partículas ligeras (eventualmente a través de
procesos virtuales) y todo el Universo se vaporizaría en mesones,
leptones y fotones en un breve intervalo de tiempo». (O. c , pág. 146).
31. La existencia de estrellas compuestas por positrones y pro-
tones negativos, fue prevista ya poí P. A. M. DIRAC, en la conferencia
que dio en Esto colmo, con ocasioii de la concesión del premio Nobel,
en el año 1933. Cfr. la «conferencia Nobel» de Emilio SEGRE (Berkeley),
Propiedades nucleares de anti-nucleones («Physikalische Blátter» 16
(1960), págs. 318-319); R. HAGEDORN (CERN-Ginebra): Antimateria, ib.
18 (1962), págs. 255-263.
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17. W O L F G A N G S T R O B L
(California)— se estriban en relaciones de complementarie-
dad 32 Pero no es de este lugar entrar en más detalles físico-
matemáticos.
Ya es hora de tratar de esbozar un breve resumen final para
entender la significación científica del principio de complemen-
tariedad.
Partimos de la sorpresa intelectual (cuyo documento clásico
queda el poema de PARMÉNIDES) que se hizo cargo de que nues-
tro «antropocosmos» —el mundo de nuestras percepciones es-
pacio-temporales— parece lleno de contradicciones lógicas, que
resultan incompatibles si perseveramos en el mismo nivel de
la imaginación material, sensorial y espacio-temporal. Tales po-
laridades son, por ejemplo: continuidad y discreción, movi-
miento y localización, temporalidad y realización (actualización,
energetización); en el fondo: tiempo y ser, finito e infinito,
contingente y absoluto, no-ser y Ser. Es imposible resolver es-
tas dificultades con el método dialéctico, antitético, es decir,
permaneciendo sobre el mismo nivel del mundo material, es-
pacio-temporal de nuestras intuiciones 33 : lo que llamamos
«antropocosmos». Pero el principio científico de la inteligibili-
dad o logicidad del ente nos asegura de que las aparentes con-
tradicciones entran en el mundo únicamente por el hombre y
32. En breves palabras, se trata del hecho de que los núcleos que
poseen el número de orden o la carga nuclear Z = 2, 8, 20, 50, 82 y
las mismas agrupaciones de neutrones, hasta el número N=126, de-
muestran una estabilidad especial y otras propiedades distinguidas.
Según la teoría de JENSEN-HAXEL-SUESS podía predecirse otro «número
mágico» de complementariedad, a saber: 28; en coincidencia con los
experimentos. Vid. W. STROBL, Dis. Munich 1952, vol. I, pág. 162;
vol. II, pág. 95; Julio RODRÍGUEZ MARTÍNEZ: Introducción a la radio-
actividad, Granada 1960, págs. 69-72 y 92-93; «Arbor» núm. 216,
dic. 1963, págs. 425-429; «Physikalische Blátter» 20 (1964) págs. 7-10.
33. D. Luis María GARRIDO expresa la misma verdad (en su Me-
cánica cuántica, Madrid, 1963, págs. 170-171) como sigue: «Si inten-
tamos representar los fenómenos cuánticos por medio de las imágenes
que el hombre obtiene del macrocosmos, es decir, de una manera con-
creta y más accesible a la intuición, llegamos siempre a contradicciones.
Este es el origen de la dualidad partícula-onda de los sistemas cuán-
ticos... Llamamos principio de complementariedad al nuevo instru-
mento lógico que liga conceptos que se excluyen mutuamente y que no
pueden, por consiguiente, ser aplicados al mismo tiempo porque son
contradictorios, aunque, en verdad, ambos son necesarios para obtener
una descripción completa de la realidad física».
200
18. EL PRINCIPIO DE COMPLEMENTARIEDAD
su perspectiva de él. Expresado con otras palabras: Una anti-
tética o dialéctica real es imposible, porque las antinomias y
contradicciones sobrevienen al mundo tan sólo por los hombres
y sus modos de ver. Pero el mismo hombre es no sólo suscep-
tible de percepciones sensoriales, materiales, espacio-tempora-
les, sino también capaz de pensar y meditar; y sus pensamien-
tos le revelan la trascendencia del antropocosmos al logocos-
mos de las ciencias que completa y complementa el primero,
y en cuya complementariedad se resuelven todas las aparentes
contradicciones, porque siempre un extremo de ellas pertenece
al antropocosmos de las vivencias, y el otro al logocosmos del
pensamiento. (Hay que añadir que esta explicación preliminar
vale tan sólo en el nivel físico; en los estratos superiores del
ser la situación del principio de complementariedad varía asin-
tóticamente.
A fin de cuentas, no hay mejor aproximación al pensamien-
to de complementariedad que la descripción que nos da del es-
tilo de pensar de su maestro Niels BOHR uno de sus íntimos
amigos, el barón Cari Friedrich von WEIZSACKER: «El pensa-
miento de BOHR no es ni conservador ni revolucionario, sino
que procura hacerse cargo de la distención de hechos, al pare-
cer contrarios, hasta poder unirlos en un nivel más alto del
pensamiento» 34.
Para hacer sentir ya ahora la trascendencia filosófica del
principio de complementariedad, quisiera citar la forma que
le ha dado la espiritualidad francesa con una frase que se ads-
cribe a LACORDAIRE: «NO busques convencer a tu adversario
de que yerra, sino busca encontrarte con él en una verdad su-
perior».
No cabe mejor clausura de esta breve introducción al
principio universal de la complementariedad que citar al mismo
maestro Niels BOHR ; y espero que se revelará, con esta cita, la
verdad de que este principio es capaz de crear un nuevo esti-
lo del pensar, más profundo, flexible y conciliador, para abrir
34. C. F. von WEIZSACKER en: Gestalter unserer Zeit, vol. 3 (For-
scher und Wissenschaftler im heutigen Europa), Hamburg, 1955,
págs. 73-74.
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19. W O L F G A N G S T R O B L
la cooperación internacional35 en un trabajo extenso y amplio
de equipo. Con ocasión de su setenta cumpleaños, Niels BOHR
dijo ante la Real Academia Danesa de Ciencias, en Copenha-
gue : «Con tales consideraciones desenbocamos en problemas
que tocan a la comunidad humana y que determinan la multi-
plicidad de los medios de expresión por la imposibilidad de ca-
racterizar el papel que juega el individuo en la sociedad con una
línea precisa. Con vistas a los contrastes que las culturas hu-
manas, crecidas bajo diferentes condiciones de vida, demues-
tran respecto a las tradiciones antiguas y sus formas de ex-
presión, estas culturas pueden considerarse, en cierto sentido,
como complementarias. Sin embargo, no se trata aquí de las
relaciones determinadas de exclusión mutua como sucede en
la descripción objetiva de los problemas generales físicos y psi-
cológicos, sino que son diferencias en el enfoque, que pueden
ser conocidas o disminuidas por un contacto cada vez más es-
trecho entre las naciones. En nuestro tiempo, donde el acre-
ciente saber y poder religa, cada vez más, el destino de todos
los pueblos, la colaboración internacional en todos los sectores
35. Por ejenrplo, en el trabajo original que anuncia el descubri-
miento del híperon «Omega menos» («Physical Review Letters» del
24 de febrero de 1964) firman no menos que treinta y tres autores
—sin contar los equipos del sincrotrón para acelerar protones hasta
30.000 millones de electrón-voltios, y de la mayor cámara de burbujas
que funciona en el mundo, en el Brookhaven National Laboratory—. Es
interesante que la existencia de esta partícula fue predicha, por razón
de las armonías y complementariedades de la teoría, como sucedió
con el positrón (DIRAC 1930) y el pi-mesón (YUKAWA 1949). Vid. la
conferencia que leyó W. HEISENBERG en Copenhague, in memoriam de
Niels BOHR, en julio de 1963, y Hans SCHOPPER (Karlsruhe) en: «Physi-
kalische Blátter», año 20 (1964), mayo, págs. 227-228.
Habría que decir todavía mucho sobre el principio de la com-
plementariedad y la unidad de las ciencias. Sería tarea de una mono-
grafía especial. Para una primera orientación, puedo indicar los capí-
tulos siguientes: Wolfgang STROBL, Introducción a la Filosofía de las
Ciencias, edita Revista Estudios, Madrid, 1963, cap. 8: Las ciencias
química, biológica, psicológica y sociológica, encaminadas al pensa-
miento relacional-estructural y complementario-analógico (págs. 163-
182); y: Wolfgang STROBL, La realidad científica y su crítica filosófica,
Universidad de Navarra, Pamplona, 1966; cap. 4. 13: El principio de
complementariedad como método de síntesis científica; cap. 4. 16:
La unidad interna de la física como fin y tarea; cap. 5. 12: Comple-
mentariedad entre el «antropo-cosmos» percibido y el «logo-cosmos»
de las ciencias.
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20. EL PRINCIPIO DE C O MP LEMENT ARIED AD
de las ciencias tiene fines universales, cuya solución podría ser
facilitada por el recuerdo continuo de las condiciones univer-
sales del conocimiento humano» 36
36. Conclusión de la conferencia que Niels BOHR dio en octubre
de 1955, en la Real Academia Danesa de Ciencias, bajo el título de
«Los átomos y el conocimiento humano» (publicado en la colección
«Die Wissenschaft», vol. 112, Braunschweig, 1958).
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