1) El documento describe los principales conceptos de la teoría atómica moderna, incluyendo el principio de dualidad onda-partícula de De Broglie, el principio de incertidumbre de Heisenberg y el modelo atómico de Niels Bohr. 2) Explica que la teoría cuántica moderna se basa en la mecánica ondulatoria de Schrödinger y la interpretación estadística de la función de onda de Max Born. 3) Detalla que la ecuación de Schrödinger describe

1. UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
ESCUELA DE INGENIERIA AMBIENTAL
BASES DE LA TEORIA ATOMICA MODERNA
Principio de Niels Bohr Dualidad de la materia de Broglie
Principio de incertidumbre de Heisenberg
SANCHEZ SANCHEZ GRACE FLORES ALFERES YENY
CHUNGA QUISPE ALEXANDRA VALDIVIESO VALENCIA
MELANY SALAZAR BRICEÑO KATICSA
MENDOZA CRUZ JENNIFER CHECCYA SALHUA
ANGEL BARRETO ROMARIO ALEXANDER
RIOS JUAN VALDERRAMA

2. Introducción
Desde épocas remotas, los humanos se han interesado por la naturaleza de la materia. Las
ideas modernas sobre la estructura de la materia se basan en la teoría atómica de Dalton, de
principios del siglo XIX. En la actualidad se sabe que toda la materia está formada por
átomos, moléculas y iones. La química siempre se relaciona, de una u otra forma, con estas
especies.

3. MODELO ATÓMICO ACTUAL O MODELO MECANO CUÁNTICO
El modelo atómico actual fue desarrollado durante la década de 1920, por Schrödinger,
Heisenberg, entre otros investigadores. Es un modelo de gran complejidad matemática. El
modelo atómico actual llamado “modelo orbital” o “cuántico-ondulatorio” se basa en:
 La dualidad onda-corpúsculo. Luis de Broglie (1924) postula que el electrón se
comporta y como partícula o corpúsculo.
 El principio de incertidumbre de Heisenberg (1927). Establece que “Es imposible
determinar simultáneamente y con exactitud, la posición y velocidad del electrón”.
 La naturaleza ondulatoria del electrón permite que este sea descrito por una ecuación
de ondas. Schrödinger (1926) formuló una ecuación (ecuación de ondas de
Schrödinger) que describe el comportamiento y la energía de las partículas
subatómicas.
Aunque con la mecánica cuántica queda claro que no se puede saber dónde se encuentra
un electrón en un átomo; sí define la región en la que puede encontrarse en un momento
dado. Las regiones de alta densidad electrónica representan la mayor probabilidad de
localizar un electrón, mientras que lo contrario se aplica a regiones de baja densidad
electrónica. La solución matemática de la ecuación de Schrödinger precisa de CUATRO
NÚMEROS CUÁNTICOS. Cada cuarteto de estos valores describe un orbital y la posición de
alta probabilidad del electrón.
1. La teoría de Schrödinger
El trabajo de Broglie llamo la atención de Einstein, quien lo considero muy importante y lo
difundió entre los físicos. Inspirado en las ideas allí expuestas, Erwin Schrödinger desarrolló
entre 1925 y 1926 su teoría de la mecánica ondulatoria, que es una de las maneras en que
se presenta la Mecánica Cuántica. Corresponde mencionar que casi simultáneamente,
Werner Heisenberg desarrolló un enfoque alternativo: la mecánica matricial. En la teoría de
Heisenberg no se consideran ondas piloto; en su lugar se manejan las variables dinámicas
como x, px , etc., que se re presentan mediante matrices. Los aspectos cuánticos se
introducen en dicha teoría por medio del principio de incerteza, que se expresa por medio de
las propiedades de conmutación de las matrices. El principio de incerteza es en realidad
equivalente al postulado de Broglie, y las teorías de Heisenberg y de Schrödinger son
idénticas en contenido aunque de forma aparentemente muy distinta. Pero esto no fue
comprendido en seguida, y en un primer momento hubo ácidas polémicas entre los
sostenedores de una y otra, hasta que Schrödinger en 1928 demostró la equivalencia de
ambas. Debido a que la teoría de Schrödinger se presta mejor para un tratamiento
introductorio o no entraremos en los detalles de la teoría de Heisenberg.
1.1 La ecuación de Schrödinger
Aunque el postulado de Broglie es correcto, no es todavía una teoría completa del
comportamiento de una partícula, pues no se conoce la ecuación que rige la propagación de
la onda piloto.

4. Por eso pudimos analizar la propagación de la onda piloto únicamente en el caso de una
partícula libre y no sabemos aún cómo tratar una partícula sometida a fuerzas. Falta,
además, una relación cuantitativa entre la onda y la partícula, que nos diga de qué forma la
onda determina la probabilidad de observar la partícula en un determinado lugar.
Pese a que el postulado de Broglie es consistente con la relatividad (restringida), Schrödinger
se limitó a desarrollar una teoría no relativista. Además abandonó el término “onda piloto” y
llamó función de onda a la función Ψ (,) x t y a la onda en sí; nosotros usaremos esa
terminología de ahora en más. En consecuencia Schrödinger adoptó como punto de partida
las ecuaciones
λ = h / p
Pero supuso que la energía está dada por la expresión no relativista.
E = p2 / 2m + V
donde m es la masa en reposo. Esta diferencia en la definición de E cambia el valor de ν.
Formulación moderna de la ecuación
En mecánica cuántica, el estado en el instante t de un sistema se describe por un
elemento del espacio complejo de Hilbert — usando la notación braket de Paul
Dirac. Representa las probabilidades de resultados de todas las medidas posibles de
un sistema.
La evolución temporal de se describe por la ecuación de Schrödinger :
donde
 : es la unidad imaginaria ;
 : es la constante de Planck normalizada (h/2π) ;
 : es el hamiltoniano, dependiente del tiempo en general, el observablecorresponde a la
energía total del sistema ;
 : es el observable posición ;
 : es el observable impulso.
ν = E / h

5. Como con la fuerza en la segunda ley de Newton, su forma exacta no da la ecuación de
Schrödinger, y ha de ser determinada independientemente, a partir de las propiedades
físicas del sistema cuántico.
Debe notarse que, contrariamente a las ecuaciones de Maxwell que describen la evolución
de las ondas electromagnéticas, la ecuación de Schrödinger es no relativista. Nótese también
que esta ecuación no se demuestra: es un postulado. Se supone correcta después de que
Davisson y Germer confirmaron experimentalmente la hipótesis de Louis de Broglie.
Para más información del papel de los operadores en mecánica cuántica, véase
la formulación matemática de la mecánica cuántica.
Interpretación estadística de la función de onda
A principios de la década de 1930 Max Born que había trabajado junto con Werner
Heisenberg y Pascual Jordan en una versión de la mecánica cuántica basada en el
formalismo matricial alternativa a la de Heisenberg apreció que la ecuación de Schrödinger
compleja tiene una integral de movimiento dada por que podía ser
interpretada como una densidad de probabilidad. Born le dio a la función de onda una
interpretación probabilística diferente de la que De Broglie y Schrödinger le habían dado, y
por ese trabajo recibió el premio Nobel en 1954. Born ya había apreciado en su trabajo
mediante el formalismo matricial de la mecánica cuántica que el conjunto de estados
cuánticos llevaba de manera natural a construir espacios de Hilbert para representar
los físicos de un sistema cuántico.
De ese modo se abandonó el enfoque de la función de onda como una onda material, y pasó
a interpretarse de modo más abstracto como una amplitud de probabilidad. En la moderna
mecánica cuántica, el conjunto de todos los estados posibles en un sistema se describe por
un espacio de Hilbertcomplejo y separable, y cualquier estado instantáneo de un sistema se
describe por un "vector unitario" en ese espacio (o más bien una clase de equivalencia de
vectores unitarios). Este "vector unitario" codifica las probabilidades de los resultados de
todas las posibles medidas hechas al sistema. Como el estado del sistema generalmente
cambia con el tiempo, el vector estado es una función del tiempo. Sin embargo, debe
recordarse que los valores de un vector de estado son diferentes para distintas
localizaciones, en otras palabras, también es una función de x (o, tridimensionalmente, de r).
La ecuación de Schrödinger da una descripción cuantitativa de la tasa de cambio en el vector
estado.

6. 2. Principio de incertidumbre de Heisenberg
2.1 Antecedentes históricos
El principio de incertidumbre plantea algo novedoso para la ciencia de la época: la posibilidad
de que algo no sea exacto.
2.2 El principio de incertidumbre
«Principio de Incertidumbre de Heisenberg», principio que revela una característica distinta
de la mecánica cuántica que no existe en la mecánica newtoniana. Como una definición
simple, podemos señalar que se trata de un concepto que describe que el acto mismo de
observar cambia lo que se está observando. En 1927, el físico alemán Werner Heisenberg se
dio cuenta de que las reglas de la probabilidad que gobiernan las partículas subatómicas
nacen de la paradoja de que dos propiedades relacionadas de una partícula no pueden ser
medidas exactamente al mismo tiempo. Por ejemplo, un observador puede determinar o bien
la posición exacta de una partícula en el espacio o su momento (el producto de la velocidad
por la masa) exacto, pero nunca ambas cosas simultáneamente. Cualquier intento de medir
ambos resultados conlleva a imprecisiones.
Según el principio de incertidumbre, el producto de esas incertidumbres en los cálculos no
puede reducirse a cero. La precisión máxima está limitada por la siguiente expresión:
Dx Dp mayor o igual que h/2p

7. Heisenberg ejemplificaba su hallazgo del principio de incertidumbre que hemos sintetizado
arriba, analizando la capacidad de resolución de un microscopio. Imaginemos que miramos
una pequeña partícula al microscopio. La luz choca con la partícula y se dispersa en el
sistema óptico del microscopio. La capacidad de resolución del microscopio (las distancias
más pequeñas que puede distinguir) se halla limitada, para un sistema óptico concreto, por la
longitud de onda de la luz que se utilice. Evidentemente, no podemos ver una partícula y
determinar su posición a una distancia más pequeña que esta longitud de onda; la luz de
longitud de onda mayor, simplemente se curva alrededor de la partícula y no se dispersa de
un modo significativo. Por tanto, para establecer la posición de la partícula con mucha
precisión hemos de utilizar una luz que tenga una longitud de onda extremadamente corta,
más corta al menos que el tamaño de la partícula.
Pero, como advirtió Heisenberg, la luz también puede concebirse como una corriente de
partículas (cuantos de luz denominados fotones) y el momento de un fotón es inversamente
proporcional a su longitud de onda. Así, cuanta más pequeña sea la longitud de onda de la
luz, mayor será el momento de sus fotones. Si un fotón de pequeña longitud de onda y
momento elevado golpea la partícula emplazada en el microscopio, transmite parte de su
momento a dicha partícula; esto la hace moverse, creando una incertidumbre en nuestro
conocimiento de su momento. Cuanta más pequeña sea la longitud de onda de la luz, mejor
conoceremos la posición de la partícula, pero menos certidumbre tendremos de su momento
lineal.
3. Dualidad de la materia de Broglie
3.1 Antecedentes históricos
Hasta la primera veintena de años del siglo XX, la física había descubierto a las claras que la
naturaleza física de la radiación (luz) mostraba un aspecto dual de comportamiento onda-
corpúsculo. Así, por una parte los fenómenos de difracción e interferencia indicaban
claramente que la luz consistía en ondas electromagnéticas, su carácter ondulatorio; pero por
otra parte fenómenos como el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton, solo se podían
explicar adecuadamente si la luz era considerada como un conjunto de paquetes discretos,
quanta (singular quantum ), cuantos o fotones de energía lumínica, su carácter corpuscular.
Un noble francés, llevaría un paso más adelante esa dualidad onda-corpúsculo al situar la
misma no solo en la radiación lumínica sino también en la propia materia.
3.2 Principio de Dualidad "Postulado de De Broglie"
El físico francés Louis de Broglie en 1924, considero, que la luz no solo es un efecto
corpuscular sino también ondulatorio. La dualidad onda-corpúsculo es la posesión de
propiedades tanto ondulatorias como corpusculares por parte de los objetos subatómicos.
La teoría de la dualidad de la materia considera que la materia tiene un comportamiento
corpúsculo-onda o partícula – onda.

8. 3.3 Postulados de Broglie
Diversos experimentos de óptica aplicada llevaron a la consideración de la luz como una
onda. De otra parte el efecto fotoeléctrico demostró la naturaleza corpuscular de la luz
(fotones).
En 1924 De Broglie sugirió que el comportamiento dual de la onda-partícula dado a la luz,
podría extenderse con un razonamiento similar, a la materia en general. Las partículas
materiales muy pequeñas (electrones, protones, átomos y moléculas) bajo ciertas
circunstancias pueden comportarse como ondas. En otras palabras, las ondas tienen
propiedades materiales y las partículas propiedades ondulatorias (ondas de materia).
Según la concepción de Broglie, los electrones en su movimiento deben tener una cierta
longitud de onda por consiguiente debe haber una relación entre las propiedades de los
electrones en movimiento y las propiedades de los fotones.
La longitud de onda asociada a un fotón puede calcularse:
ð Longitud de onda en cm.
H= Constante de Planck= 6,625 x 10-27 ergios/seg
M= Masa
C= Velocidad de la Luz
Esta ecuación se puede aplicar a una partícula con masa (m) y velocidad (v), cuya longitud
de onda sería:

9. 4. Teoría de Niels Bohr
En 1913, Niels Bohr ideo un modelo atómico que explica
perfectamente los espectros determinados
experimentalmente para átomos hidrogenoides. Estos son
sistemas formados solamente por dos cargas, una positiva
y una negativa, y ejemplos de ellos son el átomo de
hidrogeno, H, los iones He+, Li+2, Be+3,…
En resumidas cuentas Bohr decía:
a. El modelo planetario del átomo es válido
b. Pueden asignarse modelos de un electrón, dos
electrones, a los distintos elementos
c. Los fenómenos atómicos son una cosa y los nucleares
otra d. El recurso a la constante de Planck à la
Sommerfeld
d. Puede dar estabilidad al sistema
e. No merece la pena parase a pensar demasiado por qué la constante de Planck
“funciona”.
Hasta aquí todo muy bien, pero el modelo no tenía ligazón experimental. Era una pura
elucubración teórica.
Los cálculos basados en los postulados de Bohr daban excelentes resultados a la hora
de interpretar el espectro del átomo de hidrogeno, pero hay que tener en cuenta que
contradecían algunas de las leyes más asentadas de la Física:
El modelo de Bohr se puede describir por medio de tres postulados:
Postulado I
Iba en contra de la teoría electromagnética de Maxwell, ya que sewgun esta teoría
cualquier carga eléctrica acelerada debería de emitir energía en forma de radiación
electromagnética.
Postulado II
El segundo postulado era aún más sorprendente. En la física clásica era inaceptable
suponer que el electrón no pudiera orbitar a determinadas distancias del núcleo, o que
no pudiera tener determinados valores de energía. La afirmación era equivalente a
suponer que un objeto que describe circunstancias atado a una cuerda, no puede
describir aquellas cuyo radio no sea múltiplo de dos.
L = mvr = n (h/2π) = nh n = 1, 2,. . .

10. El Segundo postulado implica que el momento angular del electrón esta cuantizado, es
decir, que solo puede adquirir determinados valores caracterizados por el numero cuántico
n. en la ecuación se puede utilizando una simple analogía entre el movimiento de la
particula y una onda estacionaria montanada sobre la órbita.
Para que se establezca una onda estacionaria sobre el perímetro 2πr de la órbita circular,
esta debe ser tal que quepan un número entero de longitudes de onda:
2πr = nλ n = 1, 2, . . .
Postulado III
El tercer postulado afirmaba que la luz se emitia en forma de pequeños paquetes o cuantos,
lo cual a pesar de que ya había sido propuesto por Planck en 1900, no dejaba de sorprender
en una época en la que la idea de que la luz era una onda estaba firmemente arraigada.
Mientras el electrón está en una órbita no emite ni absorbe luz. Se dice que el electrón se
encuentra en un estado estacionario.
Postulado IV
Cuando el electrón pasa de un estado estacionario a otro emite o absorbe luz de
frecuencia ν = ∆E/h donde ∆E es la diferencia de energía entre los dos estados. Se dice
que el electrón hace una transición del estado inicial al final.
La frecuencia correspondiente a una transición es
ν =|∆E| / h
Donde se toma el valor absoluto de ∆E = E final – E inicial, pues la frecuencia no puede ser
negativa. Si ∆E es negativo, se trata de un fotón emitido. Si ∆E es positivo, se trata de un
fotón absorbido.
El átomo de Bohr era, simplemente, un síntoma de que la física clásica, que tanto éxito
había tenido en la explicación del mundo macroscópico, no servía para describir el mundo
de lo muy pequeño, el dominio de los átomos.
Posteriormente, en la década en la década de 1920, una nueva generación de físicos
(Schrödinger, Heisenberg, Dirac…) elaborarán una nueva física, la Física Cuántica,
destinada a la descripción de los átomos, que supuso una ruptura con la física existente
hasta entonces.

11. Estudiando la distribución de líneas del espectro visible del hidrógeno Balmer en 1885
había deducido, de forma empírica, que la posición de las lineras respondía a la siguiente
fórmula matemática:
F=R (1/22 – 1/K2); R= 3,29.1015 m-1; k=3,4…
Fallos del modelo atómico de Bohr
El modelo de Bohr constituyó una etapa principal hacia el desarrollo de la teoría
cuántica moderna del átomo, con una correcta descripción de la naturaleza de las
órbitas del electrón. Pero, los postulados de Bohr son claramente son una mezcla de
ideas de la física clásica con las ideas de cuantización introducidas inicialmente por
Planck y Einstein. Por un lado el electrón se mueve en órbita circular y obedece a las
ecuaciones de movimiento de la mecánica clásica, pero por otro una magnitud como
el momento angular que en mecánica clásica puede tener un continuo de valores, en
una órbita estacionaria permitida el electrón debe satisfacer una condición no clásica
de cuantización del momento angular orbital, el cual solo puede alcanzar una serie
de valores discretos (una idea cuántica). Por otra parte el electrón estando en órbita
obedece a una ley del electromagnetismo clásico que es la ley de coulomb, pero por
el contrario, no cumple la ley clásica que garantizaría la radiación de energía por
parte de una carga acelerada. En definitiva estos postulados establecen que las
leyes físicas clásicas que son válidas para los sistemas a escala macroscópica dejan
de serlo en el mundo de los sistemas microscópicos.
Pronto se evidenciaron algunos de los defectos del modelo de Bohr pues:
El modelo falla para proporcionar una explicación de porqué ciertas líneas
espectrales en el espectro del hidrógeno son más brillantes que otras, esto es no
proporcionaba una manera satisfactoria para poder calcular la probabilidad de
transición de un estado cuántico a otro. Es decir, el modelo no tiene ningún
mecanismo para calcular las probabilidades de transición entre estados
estacionarios.
El modelo de Bohr trata al electrón como si fuera un planeta en miniatura, con un
radio definido de órbita y de momento. Este supuesto es una directa violación del
principio de incertidumbre, un principio clave la la Mecánica Cuántica el cual dicta
que el mundo cuántico la posición y el momento no pueden ser simultáneamente
determinado.
El modelo de Bohr proporciona un modelo conceptual básico de órbitas de electrones
y energías. Los detalles del espectro y la distribución de carga requieren de los
cálculos de la mecánica cuántica que utilizan la ecuación de Schrödinger.
No obstante, Bohr introdujo un importante principio llamado principio de
correspondencia que afirma que en el límite de las grandes órbitas y energías (en la
región de números cuánticos grandes e.g. n) los cálculos cuánticos deben estar de

12. acuerdo con los cálculos clásicos o en otras palabras si se realizan modificaciones
de la física clásica para describir el mundo su microscópico cuando los resultados de
estos sean extendidos al mundo macroscópico, los resultados deben estar de
acuerdo con las leyes clásicas de la física que han sido verificadas en la escala
ordinaria del mundo de cada día.
Aunque los detalles del modelo atómico de Bohr han sido han sido suplantados por
la moderna mecánica cuántica, su condición de frecuencia y el principio de
correspondencia permanecen todavía como un rasgo esencial de la nueva teoría
cuántica.
Principio estados estacionarios
En mecánica cuántica un estado estacionario es aquel en el cual la densidad de
probabilidad no varía con el tiempo. Una consecuencia es que los estados
estacionarios tienen una energía definida, es decir, son autofunciones del
Hamiltoniano del sistema.
Como es una autofunción del Hamiltoniano, un estado estacionario no está sujeto a
cambio o decaimiento (a un estado de menor energía). En la práctica, los estados
estacionarios no son "estacionarios" para siempre. Realmente se refieren a
autofunciones del Hamiltoniano en el que se han ignorado pequeños efectos
perturbativos. Esta terminología permite discutir las autofunciones del Hamiltoniano
no perturbado considerando que la perturbación puede causar, eventualmente, el
decaimiento del estado estacionario. Esto implica que el único estado estacionario de
verdad es el estado fundamental.
Evolución temporal de los estados estacionarios
La ecuación de Schrödinger permite obtener la evolución con el tiempo del estado de un
sistema. Así, en la representación de posición se expresa como:
Donde es el operador laplaciano.
Para el caso de un sistema conservativo la energía potencial no depende del tiempo.
Así, , por lo que podemos buscar soluciones mediante el método. En efecto,
buscaremos soluciones del tipo:
Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger (1) y reordenando, tenemos

13. es decir
Como el primer término depende sólo del tiempo (y por tanto es válido para cualquier valor
de r) mientras que el segundo depende sólo de r (y por tanto es válido para cualquier t), y
ambos son iguales, llegamos a la conclusión de que ambos tienen que ser constantes. Como
el segundo término tiene dimensiones de energía, llamaremos a dicha constante E. Vemos,
que la función de onda toma la forma
donde es la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
es decir, es una auto función del Hamiltoniano .
La principal característica de los estados estacionarios es que la densidad de probabilidad es
independiente del tiempo. En efecto, en este caso

15. BIBLIOGRAFÍA
 El surgimiento de la complementariedad: Niels Bohr - óscar Navarro Rojas
pag. 71 – 73
 IV. niels Bohr
 Química séptima edición – Mc Graw Hill pag. 36 – 39
 http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/Apuntes/Apuntes2Qui/Boh
r_Sommerfeld.pdf
 http://www.fodonto.uncu.edu.ar/upload/quimica-i.pdf
 http://www.slideshare.net/GenMatOrt/04-los-modelos-atmicos
 http://catedras.quimica.unlp.edu.ar/intqca/dmartire/intqca/Estructura-3.pdf
 http://www.qfa.uam.es/fqf/Tema0.pdf