3.  Nació el 31 de marzo de 1892 en Cracovia. Se
piensa que Banach es el apellido de una
lavandera que se hizo cargo del muchacho.
 En 1902 comenzo su educación en un
“gimnasio” de Cracovia. Allí conoció a Witold
Wilkosz. Se dice de ellos:
 “Entre ellos no había problema matemático al que no
pudiesen hacer frente con rapidez. Así como Banach
destacaba mas en matemáticas, Wilkosz lo hacía en
física”.

4.  Estudió ingeniería en la Universidad
Politécnica de Lvov, donde impartió clases
como tutor para financiarse. Termino la
carrera en 1914.
 En la primavera de 1916 conoció a Hugo
Steinhaus, que se intereso por él y Nikodym
Otto, al oírlos hablar de la integral de
Lebesque . Diría más tarde de él:
 “Un intelecto excepcional, descubrimientos
excepcionales… le dio a la ciencia polaca más que
nadie”
 “Banach fue mi mayor descubrimiento científico.”

5.  En 1919 se creo la sociedad matemática de
Cracovia (que un año más tarde sería polaca) la
cual fue presidida por Zaremba y entre sus
miembros ya se encuentran Banach y Steinhause.
 En 1920 contrajo matrimonio con Lucja Braus.
Empezó a trabajar en la universidad como
becario de Lomnicki, quien pocos años después
corrigió su tesis doctoral, sobre teoría de la
medida.
 En 1922 obtuvo el titulo de doctor y la
habilitación para la docencia. En 1924 trabajaba
ya a tiempo completo como profesor en Paris.

6.  En 1929 él y Steinhause crearon una revista
llamada “Studia Mathematica” debido a las
dificultades de publicación por el tema de la
guerra. Su objetivo era centrarse en la
investigación en el análisis funcional y otros
temas relacionados.
 En 1931 nace el “Mathematical Monographs”
dirigido por Banach y Steinhause desde Lvov
y autores como
Knaster, Kuratowski, Mazurkiewicz, y
Sierpinski desde Varsovia.

7.  En 1927 Kuratowski comenzó a trabajar en Lvov
junto a Banach, junto con el cual desarrollo
algunos trabajos. Kuratowski dijo de él:
 “Era difícil para sobrevivir o beber más que Banach durante
estas sesiones. Hablamos de problemas propuestos allí
mismo, a menudo sin solución evidente, incluso después de
varias horas de pensar. Al día siguiente era Banach el que
aparecía con varias hojas de papel que contienen las
pruebas que había realizado.”
 En 1939 Banach fue elegido Presidente de la
Sociedad Matematica Polaca. Puesto en el que se
le permitió seguir tras la invasión Rusa.

8.  En 1941 empezó a pasarlo realmente
mal, con la invasión nazi se vio obligado a
alimentar a piojos para sobrevivir, es decir
siendo un sujeto de practicas sobre algunas
enfermedades.
 En 1945 cuando iba a ocupar su cátedra en la
universidad de Cracovia fallece por un cáncer
de pulmón.

10. Stephan Banach fue un gran genio que
hizo numerosos avances en el campo del
análisis funcional. La mayor parte de sus
artículos se publicaron en el “Studia
Mathematica” que continua publicándose
actualmente con más de 200 ediciones.
Entre sus obras más importantes se
encuentran:
◦ Cálculo diferencial e integral, vol 1 (1929) y vol 2
(1930)
◦ Teoría de las operaciones lineales (1932)
◦ Mecánica para las escuelas académicas (1938)

11. De todas estas quizás la más relevante fue Teoría de
las operaciones lineales, en la que demuestra una infinitud
de teoremas sobre el análisis funcional. Cabe destacar sin
duda que es la primera monografía sobre el tema.
Además de destacar en este campo también hace
grandes contribuciones en teoría de la medida, teoría de
conjuntos, teoremas de la proyección ortogonal y
bastantes otras ramas.
Quizás los resultados más importantes de Banach son:
 Espacios de Banach.
 Teorema de Hanh-Banach.
 Teorema de Banach-Steinhaus.
 Teorema del punto fijo de Banach
 Paradoja de Banach-Tarski.

13. Un espacio de Banach es un espacio vectorial
normado y completo Ejemplos:
 La recta real con la norma que proporciona el valor
absoluto
 Los espacios euclidianos sobre un cuerpo K, con
norma ǁxǁ=√(∑ǀxiǀ^2)
 El espacio de todas las funciones continuas f:[a,b]→K
definidas en un intervalo compacto (cerrado y acotado)
es un espacio de Banach si definimos la norma de f
como ǁfǁ=sup{ǀf(x) : x € [a.b]ǀ}

14. Un espacio de Hilbert es completo con
respecto a la norma asociada a su producto
interior.
Por tanto todo espacio de Hilbert es un
espacio de Banach.
Si la norma del espacio de Banach verifica
una condición diremos que es un espacio de
Hilbert.
 ǁu+vǁ^2 + ǁu-vǁ^2 = 2(ǁuǁ^2 + ǁvǁ^2)

16. Si p:V→K es un operador sublineal y f:S→K
es una función lineal definida en S un
subespacio vectorial de V que esta acotado
por p, esto es:
 ǀf(x)ǀ≤p(x) ɏx€S
Entonces existe una extensión lineal
g: V→K de f a todo el espacio V, esto es que
existe una función lineal g tal que.
 g(x)=f(x) ɏx€S ˄ ǀg(x)ǀ≤p(x) ɏx€V

18. Sea Ƭ={Ti : i€I} c L(X,Y) una familia de
operadores lineales y continuos de un
espacio de Banach X en un espacio normado
Y.
Tomamos el conjunto de puntos de X
donde Ƭ esta acotada puntualmente y lo
notamos como A={x€X : sup {ǁTi(x)ǁ:i€I }≤∞}.

19. Entonces los siguientes resultados son
equivalentes:
◦ A es de segunda categoría en X.
◦ Si A= X, es decir, Ƭ esta puntualmente acotada en
todo punto del espacio X. Por lo que
sup {ǁTi(x)ǁ : i € I }≤∞ ɏx X.
€
◦ Ƭ esta uniformemente acotada en la esfera unidad
de X . sup {ǁTi(x)ǁ : i € I }≤∞

21. Sea (E,d) un espacio métrico completo y
sea f : E →E una función contractiva.
Entonces existe un único punto a de E fijo por
f, es decir tal que f (a) = a.

22. Dado a0 en E, la sucesión {an} definida
mediante la expresión:
 an+1 := f (an) ɏn€N
La distancia entre a y an tiende hacia 0.
Por ser contractiva verifica que:
 d(f(x),f(y)) ≤ α d (x,y) ɏx,y α€ [0,1[
Podemos acotar la distancia de la forma:
 d(ai,a)≤ αɏ/( -α) d (a0,a)
1

24. Esta paradoja consiste en dividir una
esfera en 8 trozos. De forma que tras una
serie de giros y movimientos rígidos
consigamos 2 esferas del mismo radio y
volumen que la original.

25.  Esto es una paradoja entonces seguro que
contiene alguna falacia matemática.
 Si fuese cierto yo podría hacerlo en el mundo
fisico y duplicar la materia.
 Estas esferas no doblarían el volumen de la
original.
 Entonces puedo dividirla solo en 8 trozos
para formar dos esferas.

27.  Métodos numéricos
 Secante
 Newton-Raphson
 Aproximaciones sucesivas
 Ecuaciones lineales
 Jacobi
 Gauss-Seidel
 Ecuaciones integrales
 Ecuaciones diferenciales ordinarias
 Ecuaciones en derivadas parciales
 Dinámica compleja
 Problema de Sturm-Liouville

28.  Crear una función de densidad conocidos una
sucesión de momentos.
 Un uso frecuente es en los problemas de
teoría del control de Bang-Bang donde
tenemos ecuaciones diferenciales con un
controlador.
 También tiene aplicaciones en economía para
calcular máximos y mínimos de un polígono
compacto , que representa distintas
posibilidades de inversión con respecto a
unas condiciones.

29.  Una de sus aplicaciones más importantes es
la de demostrar que si tenemos una función
continua entonces su serie de fourier no tiene
porque converger puntualmente.
 También el criterio de Stolz de sucesiones es
un corolario de este Teorema.

31. Si X es un espacio vectorial sobre un
cuerpo K, una norma sobre X es una función
tal que a cada x lo aplica en ǁxǁ (su norma) y
esta función verifica que:
 ǁxǁ=0→x=0
 ǁλxǁ=ǀλǀ ǁxǁ (λ€ K, x € X)
 ǁx+yǁ≤ǁxǁ+ǁyǁ (x,y €K)
Entonces llamamos espacio normado al
par (X,ǁ.ǁ)

32. Un espacio se dice completo si toda
sucesión de Cauchy es convergente.
La importancia de los espacios completos
radica en que, en ellos, es mucho más fácil
demostrar que una sucesión es de
Cauchy, que demostrar que la sucesión es
convergente, al no requerir el valor al que
converge.

33. Un funcional sublineal es un espacio
vectorial V sobre un cuerpo K (que puede ser
el de los números reales o complejos) es una
función p:V→R que verifica que:
 p(ax+by)≤ǀaǀp(x)+ ǀbǀp(y) ɏx,y€ V ) ɏa,b€ K
Esto no debe parecernos algo
abstracto, puesto que, cualquier norma o
seminorma es un ejemplo de función
sublineal.

34. Un subconjunto de X, se dice que es de
segunda categoría si no es una unión
numerable de subconjuntos esparcidos

35. Sean (E,d) y (F,r) espacios métricos. Una
función f : E→F es contractiva si existe un α€
[0,1[ tal que
 r( f (x),f (y)) ≤ α d(x,y) ɏx,y € E
Es decir buscamos una función
lipschitziana con constante menor que 1.

36.  Que sea una paradoja no implica que en su
demostración halla algún tipo de
error, truco..etc. De hecho su demostración
es completamente correcta.
 Se llama paradoja porque contradice nuestro
sentido geométrico.

37.  El hecho de que no pueda aplicarse en el
mundo real se debe a que uno de los trozos
elegidos es un punto. Y como todos sabemos
un punto es una figura geométrica
adimensional que no tiene longitud, ni área ni
volumen. Por ser físicamente imposible viene
el hecho de tomarlo como una paradoja.

38.  Pensando en el proceso no podría haberse
duplicado el volumen en los movimientos
rígidos, ni en los giros, puesto que conservan
volúmenes. ¿Encontramos contradicción
ahora? Volvemos a ver que no y para ello nos
basamos en un aspecto de la teoría de la
medida, afirmando que nuestros trozos son
no-medibles, entonces no podemos
asignarles un volumen. La demostración de
que estos trozos existen se deben al axioma
de elección.

39.  En primer lugar hacer una aclaración y es que
obviamente 8 fue el número mínimo de
trozos con el que lo consiguieron.
 Poco tiempo después se demuestra que es
posible hacerlo con 5 partes
 Y finalmente se concluye que con 4 partes es
posible si no tomamos el punto central. Es
decir, es imposible hacerlo con menos de 5
partes.

40. El método se define por
la relación de
recurrencia:
Como se puede ver, este
método necesitará dos
aproximaciones
iniciales de la raíz para
poder inducir una
pendiente inicial.

41.  El método se define por
la relación de recurrencia:
Su convergencia global no
está garantizada. La única
manera de alcanzar la
convergencia es seleccionar
un valor inicial lo
suficientemente cercano a la
raíz buscada

42.  Supongamos la ecuación:
f(x)=0
donde f(x) es una función
continua que se desea
determinar.
Se estima el valor
aproximado de la
raíz x0, y se sustituye en
el segundo miembro de
la ecuación para
obtener x1.

43.  Método iterativo, usado para resolver sistemas de
ecuaciones lineales del tipo :
La sucesión se construye descomponiendo la matriz del
sistema A de la siguiente forma:
podemos reescribir dicha ecuación como:

Por la regla iterativa:

44.  Se parte de una aproximación inicial y se repite el
proceso hasta llegar a una solución con un margen de
error tan pequeño como se quiera. Se resuelven
sistemas del tipo:
donde:
podemos escribir la fórmula de iteración del método
como: