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Matemáticas 1º de ESO. Capítulo 10: Magnitudes proporcionales. Porcentajes Autora: Nieves Zuasti Soravilla
www.apuntesmareaverde.org.es Revisoras: Milagros Latasa y Fernanda Ramos
Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF
Magnitudes proporcionales. 1º ESO
213
www.apuntesmareaverde.org.es
Autora: Nieves Zuasti
Revisoras: Milagros Latasa y Fernanda Ramos
Ilustraciones: Banco de imágenes del INTEF
1º ESO CAPÍTULO 10: MAGNITUDES PROPORCIONALES. PORCENTAJES

214
Índice
1. RAZÓN Y PROPORCIÓN
1.1. RAZÓN
1.2. PROPORCIÓN
2. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
2.1. PROPORCIONALIDAD DIRECTA
2.2. REGLA DE TRES DIRECTA
2.3. PORCENTAJES
3. ESCALAS: PLANOS Y MAPAS
Resumen
En este capítulo aprenderemos a utilizar instrumentos que nos
permitan establecer comparaciones entre magnitudes.
Estudiaremos los procedimientos de la proporcionalidad
directa como la regla de tres y el cálculo de porcentajes, en la
resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana.
Si conoces la escala o proporción de una fotografía, una
fotocopia… puedes saber el tamaño real del objeto midiendo
sobre la foto o fotocopia.
Si conoces la escala o proporción de esta
fotografía puedes saber el tamaño real
de estas flores midiendo sobre la foto.

215
RAZÓN Y PROPORCIÓN
1.1. Razón
Razón, en Matemáticas, es una comparación entre los valores de dos variables.
Se expresa en forma de cociente, de forma similar a una fracción y se lee “A es a B”
Ejemplo:
Compramos 3 kg de cerezas por 6 €. Podemos
establecer la relación entre el precio (6 €) y la
cantidad (3 kg)
6 : 3 = 2 € el kilo
3
6
es la razón entre euros y cerezas.
De esta manera si compramos otras cantidades de
cerezas podremos calcular el precio a pagar.
Ejemplo:
La razón que relaciona el gasto de 4 personas y los 200 litros de agua que gastan en un día,
puede escribirse:
litros
personas
200
4
o bien
personas
litros
4
200
En cualquiera de los casos estamos expresando que la razón entre litros de agua y personas es:
200 : 4 = 50 litros por persona
Si son 40 personas, la cantidad de agua será 2000 litros, si son dos personas la cantidad de agua será
100 litros, es decir:
50
1
100
2
2000
40
200
4


 o bien
1
50
2
100
40
2000
4
200



Ideas claras
Una razón es un cociente. Se expresa en forma de fracción pero sus términos no expresan una parte de
una misma magnitud sino la relación entre dos magnitudes.
Los términos de la razón pueden ser números enteros o decimales.
Actividades propuestas
1. Tres personas gastan 150 litros de agua diariamente.
¿Cuál es la razón entre los litros consumidos y el número de personas? ¿Cuál es la razón entre las
personas y los litros consumidos?
2. Seis kilos de naranjas costaron 6.90 €. Expresa la razón entre kilos y euros.
3. La razón entre dos magnitudes es 56. Escribe un ejemplo de los valores que pueden tener estas dos
magnitudes
Observa:
Una fracción expresa una parte de un todo
de una única magnitud, mediante sus
términos, numerador (las partes que se
toman) y denominador (el total de las partes
en las que se ha dividido ese todo)
Sin embargo, los términos de una razón se
refieren a cantidades de dos magnitudes, el
primero se llama “antecedente” y el
segundo “consecuente”

216
1.2. Proporción
Una proporción es la igualdad entre dos razones.
Los términos primero y cuarto son los extremos y el segundo y tercero son los medios.
medio
extremo
=
extremo
medio
Se llama “razón de proporcionalidad” al cociente entre dos variables. Y su valor constante nos permite
obtener razones semejantes.
Cuando manejamos una serie de datos de dos pares de magnitudes que presentan una misma razón, se
pueden ordenar en un cuadro de proporcionalidad.
Ejemplo:
En el cuadro de abajo se observa que cada árbol da
4
200
= 50 kg
de fruta. Es la razón de proporcionalidad.
Con ese dato podemos completar el cuadro para los siguientes casos.
Propiedad fundamental de las proporciones:
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Ejemplo:
27
30
18
45
18
30
27
45





Ideas claras
Observa que la razón de proporcionalidad nos sirve para establecer una relación entre las dos variables
para cualquiera de los valores que puedan adoptar.
4. Completa las siguientes proporciones:
a) b)
.
c)
.
.
.
d)
.
5. Ordena estos datos para componer una proporción:
a) 12, 3, 40, 10 b) 24, 40, 50, 30 c) 0.36; 0.06; 0.3; 1.8
6. Copia en tu cuaderno y completa la tabla sabiendo que la razón de proporcionalidad es 4.5:
0.5 7 3 20 3.6
13.5 36 45 18
kg de fruta 200 400 100 50 500 150 3000 1000
nº de árboles 4 8 2 1 10 3 60 20

217
2. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
2.1. Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir a la primera por un
número, la segunda queda multiplicada o dividida por el mismo número.
Ejemplo:
El número de personas que vienen a comer y la cantidad de
comida que necesito. Por ejemplo si el número de personas es
el triple habrá que preparar triple cantidad de comida.
Sin embargo, hay relaciones entre magnitudes que no son de
proporcionalidad porque cuando una se multiplica o se divide por un
número, la otra no queda multiplicada o dividida de la misma forma.
Ejemplo:
El peso y la edad de una persona no son magnitudes proporcionales: El doble de la edad no
significa el doble de peso.
Ideas claras
Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, el doble, triple, … de la primera supone el
doble, triple ... de la segunda.
Hay magnitudes que no se relacionan proporcionalmente.
7. Señala de estos pares de magnitudes, las que son directamente proporcionales:
 El tamaño de un recipiente y el número de litros que puede contener.
 La edad de una persona y su altura.
 El número de pisos que sube un ascensor y las personas que caben
en él.
 Los kilos de pienso y el número de animales que podemos
alimentar.
 Las entradas vendidas para un concierto y el dinero recaudado
 El número de calzado y la edad de la persona
8. Calcula los términos que faltan para completar las proporciones:
a)
x
30
24
18
 b)
x
40
100
25
 c)
3
6
,
21
6
,
3 x

9. Ordena estos valores de manera que formen una proporción directa:
a) 3.9 0.3 1.3 0.1 b) 5, 12, 6,10 c) 18 4 0.4 1.8.
¿Hay más de una solución?

218
2.2. Regla de tres directa
Para resolver problemas de proporcionalidad directa, podemos utilizar el método de reducción a la
unidad.
Ejemplo:
Cinco billetes de avión costaron 690 €. ¿Cuánto pagaremos por 18
billetes para el mismo recorrido?
Primero calculamos el precio de un billete, 690 : 5 = 138 €.
Después calculamos el coste de los 18 billetes: 138 ∙ 18 = 2484 €.
La regla de tres es otro procedimiento para calcular el cuarto término de
una proporción.
Ejemplo:
Con dos kilos de pienso mis gatos comen durante 6 días. ¿Cuántos kilos necesitaré para darles de
comer 15 días?
Formamos la proporción ordenando los datos:
días
días
kg
x
kg
15
6
2
  kg
x 5
6
15
2



Otra forma habitual de plantear la regla de tres es situando los datos de esta forma:
2 kg 6días kg
x 5
6
15
2



x kg 15 días
Ideas claras
En la regla de tres directa ordenamos los datos de forma que el valor desconocido se obtiene
multiplicando en cruz y dividiendo por el tercer término.
Reducir a la unidad significa calcular el valor de uno para poder calcular cualquier otra cantidad.
10. Un coche gasta 7 litros de gasolina cada 100 km, ¿cuántos litros
gastará en un viaje de 825 km?
11. En una rifa se han vendido 320 papeletas y se han recaudado 640
euros. ¿A cuánto se vendía cada papeleta? ¿Cuánto habrían
recaudado si hubieran vendido 1 000 papeletas?
12. Una paella para 6 personas necesita 750 g de arroz, ¿cuántas
personas pueden comer paella si utilizamos 9 kg de arroz?
13. Tres camisetas nos costaron 24.90 €, ¿cuánto pagaremos por 11 camisetas iguales?

219
2.3. Porcentajes
El porcentaje o tanto por ciento es la proporción directa más utilizada en nuestra vida cotidiana.
En los comercios, informaciones periodísticas, o en los análisis de resultados de cualquier actividad
aparecen porcentajes.
Un porcentaje es una razón con denominador 100.
Su símbolo es %.
Su aplicación se realiza mediante un sencillo procedimiento:
“Para calcular el % de una cantidad se multiplica por el tanto y se divide entre 100”
Ejemplo:
Calcula el 23 % de 800 El 23 % de 800 = 184
100
800
23


Algunos porcentajes se pueden calcular mentalmente al tratarse de un cálculo sencillo:
El 50 % equivale a la mitad de la cantidad.
El 25 % es la cuarta parte de la cantidad.
El 75 % son las tres cuartas partes de la cantidad.
El 10 % es la décima parte de la cantidad.
El 200 % es el doble de la cantidad.
Ejemplo:
El 25 % de 600 es la cuarta parte de 600, por tanto es 600 : 4 = 150.
Ideas claras
Si cualquier cantidad la divides en 100 partes, el 22 % son veintidós partes de esas cien.
El total de una cantidad se expresa como el 100 %
14. Calcula mentalmente:
a) El 50 % de 190 b) el 1 % 360 c) el 10 % de 200 d) el 300 % de 7
15. Completa la tabla:
Cantidad inicial % Resultado
280 16
720 108
60 140
60 294
16. En un hotel están alojadas 320 personas. De ellas, 40 son italianas, 120 francesas, 100 son
alemanas y el resto rusas. Calcula el % que representa cada grupo sobre el total.
¡¡GRANDES REBAJAS!!
40 % DE DESCUENTO
EN TODOS LOS
ARTÍCULOS

220
3. ESCALAS: PLANOS Y MAPAS
Los dibujos, fotografías, mapas o maquetas representan objetos, personas, edificios, superficies,
distancias...
Para que la representación sea perfecta, deben guardar en todos sus elementos una misma razón de
proporcionalidad que denominamos “escala”
La escala es una razón de proporcionalidad entre la medida representada y la medida real, expresadas
en una misma unidad de medida
Ejemplo:
En un mapa aparece señalada la siguiente escala 1 : 20 000 y se
interpreta que 1 cm del mapa representa 20 000 cm en la realidad.
Ejemplo:
Hemos fotografiado la catedral de
Santiago de Compostela. El tamaño de la foto nos da una escala:
1 : 600.
Las dos torres de la fachada tienen en la foto una altura de 3.5 cm. La
altura real de las torres será:
3.5 ∙ 600 = 2 100 cm = 21 m.
Las escalas nos permiten observar que la imagen real y la del dibujo son
semejantes.
Ideas claras
La escala utiliza el cm como unidad de referencia y se expresa en comparación a la unidad.
Por ejemplo: 1 : 70 000
Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus lados son proporcionales.
17. Escribe cuatro ejemplos en los que se utilicen escalas.
18. La distancia entre Madrid y Burgos es 243 km. En el mapa, la distancia entre ambas ciudades es 8,1
cm, ¿a qué escala está dibujado el mapa?
19. Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que la escala aplicada es 1 : 5 000
Dibujo Medida real
18 cm
3 km
0.008 m
20. Calcula la escala correspondiente en cada ejemplo de la tabla:
Dibujo Medida real Escala
2.5 cm 800 m
4 cm 6.4 hm
5 cm 9 km
CATEDRAL DE SANTIAGO DE
COMPOSTELA

221
CURIOSIDADES. REVISTA
.
Si el planeta Tierra fuera
una canica de 1 cm de diámetro,
Júpiter sería una bola de
11.20 cm de diámetro,
ya que sus diámetros
son 12 756 km y 142 984 km
El perezoso de tres dedos se
mueve a una velocidad de 2.2
metros por hora.
El caracol tarda una hora en
caminar medio metro.
PROPORCIONALMENTE UNA HORMIGA COMÚN
ES MÁS FUERTE QUE UN ELEFANTE, porque es
capaz de levantar, gracias a sus músculos, 50
veces su propio peso y 30 veces el volumen de
su cuerpo. Algunos tipos más de 80 veces. Es el
animal con el cerebro más grande respecto a su
tamaño
El corazón impulsa 80 ml de sangre por latido,
alrededor de 5 litros de sangre por minuto.
Late entre 60 y 80 veces por minuto, lo que
supone más de 30 millones de veces al año y
2 000 millones de veces en toda la vida.
Si por alguna razón el sol dejara de emitir
luz, en la tierra tardaríamos 8 minutos en
darnos cuenta ya que estamos a
149 600 000 km de distancia

222
La velocidad como objetivo
En el mundo moderno, la gestión del tiempo
ha primado frente a otros objetivos.
Esto se refleja en la incorporación masiva de
la alta velocidad en nuestros trenes. El AVE
puede alcanzar los 300 km por hora.
Un ascensor de alta velocidad es capaz de
subir, sin realizar paradas, hasta la planta 80
en 48 segundos
TORTILLA RECORD
16 000 huevos, 1 600 kg de patatas, 26 kg de
cebolla, 150 litros de aceite y 15 kg de sal han
permitido conseguir el record de la tortilla de
patatas más grande cocinada. Esta súper
tortilla midió 5.20 metros de diámetro, 7 cm de
grosor y una tonelada y media de peso
Este record se consiguió el 2 de agosto en
Vitoria‐Gasteiz.
EL PESO DE LAS HORMIGAS
Estudios recientes afirman que el 10 % de la
biomasa animal está formada por hormigas.
La biomasa, el peso total de todos los
individuos del planeta. Se estima que hay
unos 7 000 billones de hormigas, es decir un
millón por cada humano.
Teniendo en cuenta que el peso medio de
una hormiga es de 0.000065 kg y que el peso
de las personas vivas se estima en 455
gigatoneladas, se puede concluir que las
hormigas llegan a igualar el peso de los
humanos a pesar de su pequeño tamaño.
Suponiendo un peso medio unitario de 65 kilos,
todos los humanos vivos juntos pesamos 455
gigatoneladas, un peso parecido, según Wilson, al
de todas las hormigas pero con un pequeño
matiz: ellas son 7 000 billones, a razón de un
millón por cada uno de nosotros. Y no pienses
que son todas iguales, pues la mayor de todas, la
hormiga gigante (formicium giganteum) podría
albergar en su cabeza una colonia entera de la más
pequeña (pheidole).
Si nos ceñimos a la biomasa, es decir, al peso total
de todos los individuos, las hormigas ganan de
calle la competición por ser el animal más
abundante del planeta, igualando el peso de todos
los hombres (y mujeres) juntos. Lo cual tiene mucho
mérito, teniendo en cuenta que la hormiga media
pesa una millonésima parte del humano medio, es
decir 0,000065 kilos.
Según los cálculos de Bert Hölldobler y Edward
Osborne Wilson en su maravilloso compendio “Las
hormigas” (1990), las hormigas y sus lejanas
parientes las termitas acapararían “un tercio de
toda la biomasa animal terrestre”. Un estudio
realizado en Finlandia concluyó que el 10 % de la
biomasa animal estaba formada por hormigas,
una cifra que se elevaba hasta el 15 % en el caso
de la selva de Brasil. En el Amazonas, nos cuenta
Wilson, “las hormigas tienen más de cuatro veces la
biomasas de todos los vertebrados terrestres juntos:
aves reptiles, anfibios y mamíferos”.

223
RESUMEN
Concepto Definición Ejemplo
Razón Comparación entre los valores de dos
variables
Precio y cantidad
Proporción Igualdad entre dos razones A es a B como C es a D
Magnitudes directamente
proporcionales
Si se multiplica o divide una de las
magnitudes por un número, la otra queda
multiplicada o dividida por el mismo
número
24 es a 10 como 240 es a
100
Razón de Proporcionalidad
directa
Cociente entre los valores de dos
magnitudes
300
50
Porcentajes Razón con denominador 100 23
100
Escalas y planos Comparación entre tamaño real y tamaño
representado
1 : 20 000
PORCENTAJE CON CALCULADORA
En la calculadora puedes encontrar una función que te permite calcular el % de manera directa.
Para ello debes seguir los siguientes pasos:
1. Escribe la cantidad
2. Multiplica por el tanto
3. Pulsa SHIFT y %. El resultado que aparece en la pantalla es la solución.
Ejemplo:
650 * 16 SHIF % = 104
Una forma fácil de añadir o restar el importe del tanto por ciento a la cantidad final puede hacerse
de la siguiente forma:
 Sigue los pasos 1, 2 y 3 anteriores
 Pulsa la tecla + si lo que quieres es un aumento porcentual
 Pulsa la tecla  para una disminución porcentual
Ejemplo:
1370 * 12 SHIFT % 164.4 + 1534.4
1370 * 12 SHIFT % 164.4  1205.6

224
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1. Expresa la razón entre las edades de Jorge, 26 años, y Andrés, 32 años.
2. Expresa la razón entre las 20 personas que acuden a comer un restaurante y los 440 € que se
recaudan.
3. En un examen de 30 preguntas un estudiante ha contestado 21 bien y 9 mal. Expresa las razones
entre estos resultados y el total de las preguntas.
4. Copia en tu cuaderno y relaciona las magnitudes de ambas columnas para que cada ejemplo
responda a pares de magnitudes directamente proporcionales:
Número de kilos de patatas y Litros de gasolina necesarios,
Cantidad de agua necesaria y Personas que viven en un edificio
Dinero disponible y Vestidos confeccionados
Kilómetros a recorrer y Número de personas que vienen a comer
Metros de tela y Prendas que podemos comprar
5. Con estas seis magnitudes debes elaborar tres razones:
Número de personas, horas, cantidad de leche, litros de refresco, distancia entre dos ciudades,
número de vacas
6. Calcula el cuarto término de las siguientes proporciones:
a) b)
. .
.
c)
.
d)
7. Esta receta es para 4 personas. Elabora dos recetas similares para 6 personas y para 15 personas
8. Completa la tabla de proporcionalidad directa:
Distancia 100 240 360
Litros 6.5 52 2.6
9. Una lata de mejillones de 200 g vale 2.40 €. Otra lata de 700 g se vende a 7.20 €, ¿cuál de las dos es
proporcionalmente más barata?
10. ¿Cuánto dinero nos costarán 6 ordenadores sabiendo que 56 ordenadores han costado 28 000 €?
ARROZ CON VERDURAS
380 g de arroz
1 kg de tomate triturado
800 g de calabacín
3 dientes de ajo
120 cl de aceite
1 kg champiñón
1/2 kg pimientos rojos y verdes

225
11. Cálculo Mental
3 % de 40 20 % de 800 12 % de 70 3 % de 120
25 % de 300 15 % de 60 150 % de 30 200 % de 2
12. Completa mentalmente:
a) El …………..% de 30 es 3 b) El …………..% de 500 es 250 c) El ……….% de 400 es 4
d) El 20 % de …………. es 8 e) El 75 % de ………………… es 30 f) El 150 % de …….. es 60
13. Calcula el 300 % del 10 % de 480.
14. ¿Qué porcentaje ocupan los cuadros negros?
15. Copia esta tabla en tu cuaderno y colorea un porcentaje que represente el 40 %.
16. Rosana gasta el 15 % de su dinero y Marta gasta el 50 % del suyo. Sin embargo Marta ha gastado
menos dinero que Rosana, ¿cómo es posible?
17. Completa la tabla:
% Cantidad Resultado
45 1 024
23 115
18 162
18. ¿Cuál de estos dibujos contiene mayor proporción de color naranja en relación a su tamaño? ¿Y de
rayas? ¿y de cuadros?
b
a c
Haz una estimación en tantos por ciento para cada cilindro y cada parte.
19. En la oficina de mi madre, el 18 % de sus compañeros juegan a la BONOLOTO, el 56 % juegan al
EUROMILLÓN, el 20 % juegan a la PRIMITIVA, y los 3 trabajadores restantes no juegan a nada.
¿Cuántas personas trabajan en esa oficina?

226
20. Un adulto respira unos 5 litros de aire por minuto. ¿Cuántos litros respira en una semana?
21. En 2 km ascendemos 40 m, respecto a la horizontal, ¿qué % hemos ascendido?
22. El guepardo es el animal terrestre más rápido, ya que es capaz de alcanzar una velocidad máxima de
130 km hora. ¿Cuántas horas tardaría un guepardo, sin parar, en viajar desde Valencia hasta
Barcelona? ¿Y de Palencia hasta Cádiz?
23. Haz un informe sobre el animal que más corre, el que más vive, el que más come, el que más tiempo
puede pasar sin comer o sin beber.
24. Si el dólar se cotiza a 1.12 €, ¿Cuántos dólares obtendremos al cambiar 360 €?
25. En estadística se utilizan los gráficos para expresar la evolución de los valores de una variable
respecto a otra.
Si asignamos a la barra más alta el valor 100, calcula de forma aproximada
la altura de las demás.
Si la barra más pequeña pesa 0.5 kg. ¿Cuánto pesarán cada una de las otras
barras?
26. En un plano de carreteras la distancia entre dos ciudades es de 6 cm. Si la escala es 1 : 40 000,
calcula la distancia real.
27. En el antiguo Egipto, para definir la proporción de las diferentes partes del cuerpo, se usaba la
longitud de los dedos y para el canon, los puños. Una cabeza debía medir dos puños. Los griegos
utilizaban, al igual que los egipcios, la proporción para valorar los distintos cánones de belleza. Un
cuerpo bien proporcionado debía tener una longitud proporcional a la cabeza. Alguno de los más
conocidos corresponden a famosos escultores:
Canon de Praxíteles Canon de Policleto Canon egipcio
Medida del cuerpo Ocho cabezas Siete cabezas 16 puños
Con estos datos puedes investigar sobre qué proporción es la
más frecuente entre tus amigos
28. Hay otras maneras de estudiar la proporción en la figura humana.
La proporción áurea, conocida por los griegos y desarrollada de
manera brillante por Leonardo de Vinci nos ha dejado imágenes
como el famoso “Hombre de Vitrubio”. Busca información sobre
esta figura.

227
AUTOEVALUACIÓN
1. El valor de x en la proporción
. .
es:
a) 0.9 b) 1.2 c) 9 d) 0.9
2. En una caja por cada tres bolas blancas hay cinco bolas rojas. Si hay 108 bolas blancas, las bolas
rojas son:
a) 200 b) 180 c) 220 d) 210
3. Para una excursión un grupo de 28 personas contrató un autobús. Cada una debe pagar 45 €. Como
quedaban plazas libres, a última hora se han apuntado 7 personas más. ¿Cuánto deben pagar
finalmente cada una?
a) 36 € b) 30 € c) 38 € d) 40 €
4. Una bicicleta se vende por 225 €. Si hacen un descuento del 14 % ¿Cuánto tendremos que pagar?
a) 201.50 € b) 198.50 € c)214 € d) 193.50 €
5. En un mapa 16 cm equivalen a 208 km. La escala es:
a) 1: 320 000 b) 1: 2 100 000 c) 1: 20 800 000 d) 1: 1 300 000
6. Los valores que completan la tabla de proporcionalidad directa son:
Personas 8 11 46
Kg de comida 12 72
a) 24, 69,48 b) 16, 49, 68 c) 16.5, 69, 48
7. Los valores que completan la tabla de proporcionalidad inversa son:
Nº de trabajadores 12 7 21
Horas diarias 35 10 7
a) 60, 60, 42, 20 b) 60, 42, 42, 20 c) 60, 21, 42, 20
8. Los valores que completan las operaciones siguientes son:
El 25 % de 0.28 es ………. El …….. de 630 es 63 El 150 % de ……… es 120
a) 0.07, 10, 80 b) 0.7, 10, 90 c) 0.7, 3, 80
9. Al efectuar un incremento porcentual del 18 % sobre estas tres cantidades, 350, 99 y 6 obtenemos:
a) 413; 116.82; 7.08 b) 630; 116.82; 7.08 c) 403; 112; 7.08

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