2. modelado de sistemas

MODELADO DE
SISTEMAS
Miguel A. Sánchez Bravo

Modelado de sistemas / MASB
CONTENIDO
 INTRODUCCIÓN
 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SISTEMAS
FÍSICOS
 LINEALIZACIÓN
 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
 DIAGRAMA DE BLOQUES
 GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES
 SISTEMAS MULTIVARIABLES Y MATRIZ DE
TRANSFERENCIA
 APLICACIÓN DEL MATLAB A MANEJO DE
MODELOS

INTRODUCCIÓN
 El aspecto más importante en un sistema es el
conocimiento de su dinámica, es decir, cómo se comporta
la salida frente a una variación en la entrada.
 La dinámica de un sistema físico se representa mediante las
ecuaciones diferenciales que describen las leyes físicas
que rigen el comportamiento del sistema.
 Una descripción completa del sistema físico puede resultar
demasiado compleja; por ello es necesario modelar el
sistema incluyendo suposiciones sobre la operación del
mismo.
 Los procesos físicos generalmente poseen las propiedades
de linealidad (en el punto de operación) y la invariancia en
el tiempo, por lo que pueden modelarse como sistemas
lineales e invariantes en el tiempo (sistemas LTI).

INTRODUCCIÓN
 En la teoría de control, se tienen dos métodos diferentes de
modelación:
 El primero, denominado método de relación entrada-
salida (función de transferencia) utiliza como
herramientas matemáticas la transformada de Laplace, la
transformada z, la teoría de la variable compleja, entre
otras.
 El segundo, conocido como método de variables de
estado, se establece en el dominio del tiempo. Está basada
en la teoría de matrices, álgebra lineal, programación
matemática, y otros tópicos de matemáticas avanzada.
 Ambos métodos son complementarios.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SISTEMAS FÍSICOS
 Las ecuaciones diferenciales que describen el
funcionamiento dinámico de un sistema físico se obtienen
utilizando las leyes físicas correspondientes.
 Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos
eléctricos son las leyes de corriente y voltaje de Kirchhoff.
 Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de sistemas
mecánicos están formuladas mediante la ley de movimiento
de Newton:
• Mov. de traslación : ∑ fuerzas = M a
• Mov. de rotación : ∑ torques = J α

SISTEMAS FÍSICOS
 En los sistemas térmicos los elementos mínimos son las
masas que cambian de temperatura debido a los
fenómenos de transmisión de calor.
 Ecuación de los cuerpos que se calientan o enfrían:
dT
qneto = mCe ----
dt
 Transmisión de calor por conducción o convección:
q = kc (T1 – T2)
 Transmisión de calor por radiación:
q = kr (T1
4 – T2
4)

SISTEMAS FÍSICOS
 En general : Sea un sistema LTI de n-ésimo orden con
entrada r(t) y salida y(t)
 Su dinámica estará descrita por:

LINEALIZACIÓN
 Generalmente los sistemas físicos son no lineales, pero se
pueden linealizar alrededor del punto de operación (xo , yo).
 Considérese un elemento no lineal con relación
entrada/salida : y(t) = g(x(t)).

LINEALIZACIÓN

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
 El método de la trasformada de Laplace (TL) permite
obtener la relación entrada / salida de un sistema LTI.
 La trasformación de Laplace para una función del
tiempo f(t) tal que f(t)=0 para t<0, está dada por
 Para su aplicación se han desarrollado tablas y se
utilizan teoremas y propiedades.





0
)
(
)
(
)]
(
[ dt
e
t
f
s
F
t
f
L st

Name f(t) F(s)
Impulse
Step
Ramp
Exponential
Sine
1
s
1
2
1
s
a
s 
1
2
2
1
s


1
)
( 
t
f
t
t
f 
)
(
at
e
t
f 
)
(
)
sin(
)
( t
t
f 







0
0
0
1
)
(
t
t
t
f

   
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
)
0
(
)
(
)
(
)
)
(
1
)
(
)
(
)
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
0
0
2
1
2
1
0
2
1
2
1
s
sF
t
f
-
s
sF
f
-
s
F
s
F
dτ
(τ
τ)f
(t
f
dt
t
f
s
s
s
F
dt
t
f
L
f
s
sF
t
f
dt
d
L
s
bF
s
aF
t
bf
t
af
L
s
t
s
t
t





























theorem
value
Final
theorem
value
Initial
n
Convolutio
n
Integratio
ation
Differenti
caling
Addition/S
Algunas propiedades y teoremas

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
 La función de transferencia (FT) de un sistema LTI, está
definida como la relación entre la transformada de Laplace
de la salida y la transformada de Laplace de la entrada,
cuando las condiciones iniciales son nulas.
 Considere el sistema
 En el caso de sistemas físicos reales, tiene la siguiente
forma

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
 Es importante indicar que las raíces del polinomio del
numerador de la FT se denominan ceros del sistema y las
raíces del polinomio del denominador son los polos del
mismo.
 La ubicación de estas raíces permite conocer características
del sistema.
 Mediante la FT se puede calcular la salida del sistema sin
tener que resolver ecuaciones diferenciales :
Y(s) = G(s)R(s)
y(t) = L-1{Y(s)}

DIAGRAMA DE BLOQUES
 Es una manera gráfica de representar las relaciones entre
las variables de un sistema. Las variables se representan
por ramas, las relaciones (FT) por bloques, la suma de
variables por sumadores.
• La operación del sistema puede apreciarse más fácilmente
examinando el diagrama de bloques, que examinando las
ecuaciones del sistema.

DIAGRAMA DE BLOQUES

DIAGRAMA DE BLOQUES
Transformaciones

DIAGRAMA DE BLOQUES
Ejercicio de
reducción de
diagrama de
bloques

MODELO MATEMÁTICO DE UN
SERVOMOTOR DC

Diagrama de cableado y esquema

Motor tipo disco y rotor de imán permanente

D. de bloques cuando es controlado por campo

D. de bloques cuando es controlado por inducido

GRAFOS DE FLUJO DE SEÑALES
 Es otra forma de representar las relaciones entre las
variables de un sistema. Las variables se representan por
nodos y las relaciones (FT) por ramas unidireccionales.

 En un GFS se definen:
 Nodo de entrada : Nodo que sólo tiene ramas que salen.
 Nodo de salida : Nodo que sólo tiene ramas que llegan.
 Trayectoria : Recorrido de ramas conectadas en el sentido
de las flechas de las ramas.
 Trayectoria directa : Trayectoria que empieza en un nodo
de entrada y termina en uno de salida, sin cruzar ningún
nodo más de una vez.
 Lazo ó bucle : Es una trayectoria cerrada, es decir
empieza y termina en el mismo nodo, la cual no cruza
ningún nodo más de una vez.
 Ganancia de trayectoria directa : Es el producto de las
FT de las ramas que forman la trayectoria directa.
 Ganancia de lazo : Es el producto de las FT de las ramas
que forman el lazo.

 Fórmula de Mason

Dos lazos no se “tocan” si no poseen ningún nodo común.

SISTEMAS MULTIVARIABLES
 Sea un sistema con m entradas y p salidas.
 Agrupando las m entradas en el vector R(s) y las p
salidas en el vector Y(s), la relación entre estos vectores se
denomina Matriz de Transferencia.
 Lo representamos por G(s).

SISTEMAS MULTIVARIABLES

APLICACIÓN DE MATLAB AL
MANEJO DE MODELOS
 Adicionando el Control Systems Toolbox al MATLAB, se
puede crear , combinar y convertir modelos matemáticos
de sistemas.

MANEJO DE MODELOS
 >> % Ingreso de las funciones de transferencia
 >> g1=tf([10],[1]);
 >> g2=tf([1],[1 0]);
 >> g3=tf([1 15 50],poly([-1;-2;-2]));
 >> h=zpk([],[-10],[1]);
 >> % Reduccion del diagrama de bloques
 >> gp=parallel(g1,g2);
 >> gs=series(gp,g3);
 >> geq=feedback(gs,h);

MANEJO DE MODELOS
 >> % Cancelacion de factores comunes en geq
 >> geq=minreal(geq)
 Zero/pole/gain:
 10 (s+10) (s+5) (s+0.1)
 ------------------------------------------------------
 (s+3.91) (s+0.09371) (s^2 + 0.9961s + 13.65)
 >> % Conversion a la forma tf
 >> geqtf=tf(geq)
 Transfer function:
 10 s^3 + 151 s^2 + 515 s + 50
 --------------------------------------
 s^4 + 5 s^3 + 18 s^2 + 55 s + 5

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