Este documento presenta un resumen de la Unidad II sobre modelado de sistemas en el dominio de la frecuencia. Explica conceptos clave como función de transferencia y su relación con ecuaciones diferenciales. También cubre temas como funciones de transferencia para sistemas eléctricos, electrónicos, mecánicos y térmicos, así como diagramas de bloques y su algebra.

1. Sistema de Control
Unidad II. Modelado en el dominio de la frecuencia.
Presentado por:
08 de Octubre de 2022

2. • Comprender las funciones de transferencia de un sistema eléctrico,
electrónico o mecánico, electromecánico, térmico para su modelado
matemático en el dominio de la frecuencia.
• Relacionar la transformada de Laplace con las ecuaciones diferenciales
lineales de orden n.
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Objetivos de la clase

3. Contenido de la clase
1. Introducción.
2. Concepto de función transferencia.
3. La función transferencia de un sistema eléctrico.
4. La función transferencia de un sistema electrónico.
5. La función transferencia de sistemas mecánicos.
6. La función transferencia de un sistema térmico.
7. Diagramas de bloques.
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4. Introducción
• En esta unidad se estudiará la relación entre ecuaciones diferenciales lineales de
orden n y sus transformaciones al dominio s mediante el operador de Laplace,
así como de sus diversas propiedades, con particular atención en las
interpretaciones físicas respectivas.
• En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para
caracterizar las relaciones de entrada-salida de componentes o de sistemas que
se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.
Se comenzará por definir la función de transferencia, para proseguir con el
cálculo de la función de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales.
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5. Concepto de función transferencia
• La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación
diferencial lineal e invariante en el tiempo se define como el cociente entre la
transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de
Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las
condiciones iniciales son cero.
• Considérese el sistema lineal e invariante en el tiempo descrito mediante la
siguiente ecuación diferencial:
• donde y es la salida del sistema y x es la entrada. La función de transferencia de
este sistema es el cociente de la transformada de Laplace de la salida y la
transformada de Laplace de la entrada cuando todas las condiciones iniciales
son cero, o
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6. • La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es
un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la
variable de salida con la variable de entrada.
• La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la
magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.
• La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la
entrada con la salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la
estructura física del sistema. (Las funciones de transferencia de muchos
sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas.)
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Concepto de función transferencia

7. • Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o
respuesta para varias formas de entrada, con la intención de comprender la
naturaleza del sistema.
• Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse
experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del
sistema. Una vez establecida una función de transferencia, proporciona una
descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia
de su descripción física.
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Concepto de función transferencia

8. La función de transferencia
• Para un sistema lineal e invariante en el tiempo, la función de transferencia G(s)
es
• donde X(s) es la transformada de Laplace de la entrada e Y(s) es la
transformada de Laplace de la salida, y se supone que todas las condiciones
iniciales involucradas son cero. De aquí se obtiene que la salida Y(s) se escribe
como el producto de G(s) y X(s), o bien
• Obsérvese que la multiplicación en el dominio complejo es equivalente a la
convolución en el dominio del tiempo
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9. Función de transferencia
Respuesta impulso
• Respuesta-impulso. Considérese la salida (respuesta) de un sistema para una
entrada impulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. Como la
transformada de Laplace de la función impulso unitario es la unidad, la
transformada de Laplace de la salida del sistema es
• La transformada inversa de Laplace de la salida obtenida mediante la Ecuación
anterior, proporciona la respuesta-impulso del sistema. La transformada inversa
de Laplace de G(s), o bien
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10. Modelado de sistemas físicos.
• Ley de variación de temperatura de un objeto.
• Dicha ley establece que la variación de temperatura de un cuerpo es
proporcional a la diferencia de su temperatura y la del medio que lo rodea (esto
es, la temperatura ambiente Ta se considera como constante):

11. Modelado de sistemas físicos

12. Función de transferencia de un
sistema eléctrico
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13. 13
Función de transferencia de un
sistema mecánico de traslación

14. 14
Función de transferencia de un
sistema mecánico de rotación

15. 15
Función de transferencia de un
sistema térmico

16. Diagrama de bloques
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• Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones
que lleva a cabo cada componente y el flujo de señales. Tales diagramas muestran las
relaciones existentes entre los diversos componentes.
• A diferencia de una representación matemática puramente abstracta, un diagrama de
bloques tiene la ventaja de indicar de forma más realista el flujo de las señales del
sistema real.
• En un diagrama de bloques todas las variables del sistema se enlazan unas con otras
mediante bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un símbolo
para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque
para producir la salida.
• Las funciones de transferencia de los componentes por lo general se introducen en los
bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la dirección del
flujo de señales.

17. Partes de un diagrama de bloque
• Punto de suma. Remitiéndose a la Figura, un círculo con una cruz es el símbolo
que indica una operación de suma. El signo más o el signo menos en cada punta
de flecha indica si la señal debe sumarse o restarse. Es importante que las
cantidades que se sumen o resten tengan las mismas dimensiones y las mismas
unidades.
• Punto de ramificación. Un punto de ramificación es aquel a partir del cual la
señal de un bloque va de modo concurrente a otros bloques o puntos de suma.
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18. 18
Partes de un diagrama de bloque

19. 19
Partes de un diagrama de bloque

20. Algebra de bloque.
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• La modificación de los diagramas de bloques de sistemas, para efectuar
simplificaciones u ordenamientos especiales se denomina algebra de bloque.
Puesto que los diagramas de bloques representan transformada de Laplace de
ecuaciones del sistema, la manipulación de un diagrama equivale a la
manipulación algebraica de las ecuaciones originales, pero el manejo de
diagramas es, por lo general, mas fácil para nosotros, que tratar directamente
con las ecuaciones (posiblemente, esto no ocurra así para las computadoras).
• En un diagrama de bloques de entrada simple y salida simple, reducción significa
simplificar el diagrama compuesto hasta un punto tal que quede un simple
bloque, que represente la función de transferencia que relaciona la salida con la
entrada. En la reducción de un diagrama de bloques es conveniente proceder
paso a paso, manteniendo siempre la misma relación general entre la entrada y
la salida.

21. 21
Algebra de bloque.

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Algebra de bloque.

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Algebra de bloque.

24. Diagrama de bloques.

25. Diagrama de bloques.

26. ¡Muchas Gracias!
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