El documento presenta conceptos sobre modelado matemático de sistemas utilizando la transformada de Laplace y diagramas de bloques. Explica cómo desarrollar funciones de transferencia a partir de ecuaciones diferenciales, y cómo simplificar diagramas de bloques usando el álgebra de bloques.

1. Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Extensión Maturín Esc. Ing. Electrónica y Eléctrica Modelos matemáticos. Diagramas de bloques Maturín, mayo de 2011 Facilitadora: Ing. Mariángela Pollonais

2. Aplicaciones transformada de Laplace Las ecuaciones de la malla, de acuerdo a la ley de voltajes de Kirchhoff Circuito RLC serie

3. Aplicaciones Transformada de Laplace Obteniendo la Transformada de Laplace, con condiciones iniciales igual a cero se obtiene :

4. Aplicaciones Transformada de Laplace Haciendo el cociente de la señal de salida con respecto a la entrada se tiene: Con esta relación, se puede obtener la respuesta a diferentes señales de entrada típicas y saber el comportamiento del sistema.

5. Aplicaciones Transformada de Laplace Sistema Masa Resorte Utilizando las leyes de Newton, se obtiene: donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa, k es la constante del resorte, y(t) es el desplazamiento y r(t) es la fuerza aplicada. m b k y(t) r(t)

6. Aplicaciones Transformada de Laplace Su transformada de Laplace es: considerando:

7. Función de Transferencia La función de transferencia de un sistema se define como la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.

8. Función de Transferencia Observaciones Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema. Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada. No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema.

9. Función de Transferencia Para el sistema: donde y(t)=entrada y u(t)= salida n≥m Aplicando Transformada de Laplace en ambos miembros queda:

10. Función de Transferencia A la potencia más alta del denominador de G(s) (ecuación característica) se le denomina orden del sistema. A las raíces de la ecuación característica se les denominan polos del sistema, mientras que a las raíces del numerador se le llaman ceros del sistema.

11. Diagrama de polos y ceros El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema es una gráfica en el plano complejo s donde los ceros se destacan con un símbolo ‘o’ y los polos con un símbolo ‘x’ . POLOS: p es un polo de un sistema si G(p)   CEROS: c es un cero de un sistema si G(c)  0 “

12. Diagrama de polos y ceros

13. Diagrama de polos y ceros Representación en el plano complejo Re(s) =  j Imag(s) =  j  X X X X 1 4 -4 -2 -3 -5

14. Modelo Matemático En líneas generales, por modelo de un proceso se entiende una representación de los aspectos esenciales del mismo. Los modelos han probado su utilidad en diferentes aspectos del diseño, operación y desarrollo de procesos.

15. Modelo Matemático Representan el proceso en términos matemáticos (símbolos), en cuanto a sus propiedades, características, y relaciones internas y externas. Son extensivamente usados en una gran cantidad de campos. Ventajas de los modelos matemáticos: Lenguaje preciso, sin ambiguedades. Facilidad de manipulación analítica e implementación computacional

16. Diagramas de Bloque Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés. Ventajas: Representan en forma más gráfica el flujo de señales de un sistema. Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño total del sistema. No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace).

17. Diagramas de Bloque Elementos de un diagrama de bloques Función de transferencia Variable de entrada Variable de salida

18. Diagramas de Bloque Bloque: Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en los bloques. A los bloques también se les llama ganancia. Flecha: Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la dirección del flujo de señales.

19. Diagramas de Bloque Forma general G(s) P(s) R(s) E(s) H(s) C(s) + B(s) Bifurcación. Sumador

20. Diagramas de Bloque R(s) Entrada de referencia: Es la señal de entrada al sistema de control. C(s) Salida del sistema: Es la cantidad física que debe mantenerse en un valor predeterminado. P(s) Perturbaciones: Son señales que afectan la salida del sistema.

21. Diagramas de Bloque E(s) Señal activa de error: Esta señal es la diferencia entre la señal de entrada de referencia y la salida del sistema, actúa sobre el bloque de control para mantener la salida de un valor deseado. B(s) Señal de retroalimentación: Es la señal de salida despues que pasa por el elemento H(s).

22. Diagramas de Bloque Sumadores: Representan operaciones de adición o sustracción de las señales que intervienen. También se les llama comparadores. (La adición o sustracción depende del signo con que las señales entran)

23. Diagramas de Bloque Bifurcación: Un punto de toma es aquel a partir del cual la señal de un bloque va de modo concurrente a otros bloques o puntos de suma.

24. Diagramas de Bloque

25. Diagrama de bloques El diagrama de bloques se obtiene a partir de las ecuaciones dinámicas que describen el comportamiento de cada componente a las que previamente se las aplica la Transformada de Laplace, conectando finalmente los componentes del diagrama de bloques completo. A partir del diagrama de bloques de un sistema se pueden realizar modificaciones con objeto de simplificar o reducir el diagrama original, hasta quedar un solo bloque equivalente. Reducción del diagrama de bloques original por aplicación de las reglas del algebra de bloques.

26. Funciones de transferencia De trayectoria directa. De lazo abierto. De lazo Cerrado. Diagramas de bloques

27. Función de transferencia trayectoria directa Diagramas de bloques G(s) E(s) H(s) C(s) R(s) B(s)

28. Función de transferencia de lazo abierto G(s) E(s) H(s) + B(s) C(s) R(s) Diagramas de bloques

29. Función de transferencia de lazo cerrado Diagramas de bloques G(s) R(s) C(s) H(s) - +

30. Álgebra de bloques Representa las equivalencia que existen entre un conjunto de elementos de un diagrama de bloques agrupados en una forma específica.

31. Bloques en serie Álgebra de bloques

32. Álgebra de Bloques Bloques en paralelo G 1 (s) G 2 (s) R(s) C(s)

33. Adelantar punto de bifurcación Álgebra de Bloques

34. Atrasar un punto de bifurcación G 1 (s) X 2 (s) X 1 (s) Álgebra de bloques

35. Adelantar un punto de suma G 1 (s) X 2 (s) X 1 (s) Álgebra de bloques

36. Atrasar un punto de suma Álgebra de bloques G 1 (s) X 2 (s) X 1 (s)

37. Propiedad asociativa de la suma X 4 X 1 X 2 X 3 X 4 X 1 X 2 X 3 - - - Álgebra de bloques - + +

38. Retroalimentación G(s) H(s) C(s) + _ R(s) Álgebra de bloques R(s) C(s)

39. Tablas… Álgebra de bloques

40. Continuación… Álgebra de bloques

41. Simplificación de Diagramas de Bloques Se basa en el uso del “álgebra de bloques“ para agrupar y sustituir partes de un diagrama inicial por equivalentes reducidos. Realizando esto en forma sucesiva, se logra llevar el problema inicial a un sólo resultado o bloque, el cual representará la función de transferencia entre las señales involucradas.

42. Ejemplos C(s) 5 10 H R(S) C(S) 5 10 H R(S) 1/10 1/5 + + _ _ _ _ Simplificación de Diagramas de Bloques

43. Continuación… C(S) 5 10 H R(S) 1/10 1/5 C(S) 50 R(S) H/5 1/10 _ _ _ + + Simplificación de Diagramas de Bloques

44. Continuación… C(S) 50 R(S) (10H+5)/50 R(s) C(s) _ + Simplificación de Diagramas de Bloques

45. Ejemplo R(s) Ha Gc Gb Ga Hb C(s) R(s) Ha Gc Gb Ga Hb C(s) + + _ _ _ _ + + 1/Ga 1/Gc Simplificación de Diagramas de Bloques

46. Continuación.. R(s) Ha Gc Gb Ga Hb C(s) + _ _ + 1/Ga 1/Gc R(s) GaGbGc C(s) + _ (Ha/Ga)+(Hb/Gc) Simplificación de Diagramas de Bloques