Transformada de Laplace, sus aplicaciones, caracteristicas e importancia...

1. REALIZADO POR:
TSU. DELWIS ACEVEDO
C.I: 18.682.193
CATEDRA: CALCULO IV
PROFESORA: SARA LÓPEZ

2. La teoría de las transformadas a Laplace, conocidas también
como calculo operacional, constituye una parte esencial para las
matemáticas requeridas por los físicos, ingenieros, matemáticos y otros
científicos. Esto se debe a que además del interés teórico, constituyen un
instrumento fácil y efectivo para la solución de muchos problemas de la
ciencia y la ingeniería.
Reciben su nombre en honor del matemático francés PierreSimon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. La
transformada a Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones
diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos
los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

3. Siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una
función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se
refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace
bilateral, que se define como sigue:
Poseen las siguientes Características:
• Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones
diferenciales lineales.
• Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se
pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
• Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por
operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.

4.  Linealidad: La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o
restas y saca constantes que multiplican.
 Traslación: La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial
en una traslación en la variable s.
 Derivada: La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por
la variable s.
 Integral:

5.  Teorema de la Integral de la Transformada:
Siempre y Cuando exista;
 Teorema de la Derivada:
 Teorema de la Traslación:
 Teorema de la Función Periódica:

8. El estudio de la transformada de Laplace es muy importante, pues
su uso convierte funciones habituales trascendentes, como
funciones, sinusoidales amortiguadas y exponenciales, en funciones
algebraicas.
El método de la transformada de Laplace es una vía para la solución de
ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales que constituyen los modelos matemáticos más frecuentes en la
representación matemática de problemas de circuitos.
Las transformadas de Laplace son muy útiles para resolver
ecuaciones diferenciales, por ello se pueden aplicar en cualquier materia
en la que haya que resolver dichas ecuaciones.

9. Otra aplicación podría darse en el estudio de la cinética de
reacciones complejas, donde pueden existir sistemas de ecuaciones
diferenciales fácilmente resolubles por Laplace tiene gran importancia en la
ingeniería ya que ayuda a resolver problemas físicos y junto con la
transformada de Fourier las hace una de las herramientas mas útiles , además
destaca su utilidad para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias como las
que surgen al analizar por ejemplo circuitos electrónicos.

10. En los cursos de matemáticas para ingenieros es común estudiar la
transformada de Laplace a través de su definición, sus propiedades y sus
aplicaciones. Estudiando profundamente La transformada de Laplace, podemos
entender que una función puede ser interpretada como formada por la suma de
una gran cantidad de funciones sinusoidales amortiguadas exponencialmente.
En ingeniería química por ejemplo tienen especial importancia en el
control de procesos. En control de procesos es necesario obtener las funciones
de transferencia de los distintos elementos de un lazo de control, estas funciones
de transferencia se expresan en el dominio de Laplace porque es mucho más
fácil operar en este dominio y predecir cómo se va a comportar el elemento en
cuestión.