El documento resume las Leyes de Ohm, las cuales establecen las relaciones entre la corriente eléctrica, la tensión y la resistencia en un circuito. La Primera Ley de Ohm establece que la corriente es directamente proporcional a la tensión para una resistencia constante. La Segunda Ley de Ohm establece que la resistencia es directamente proporcional a la longitud e inversamente proporcional al área de sección transversal de un conductor. También se describen brevemente los superconductores, la Ley de Joule y las Leyes de Kir

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
FACULTAD DE INGENIERIA : ESCUELA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL
CURSO : CIRCUITOS Y MAQUINAS ELECTRICAS VI CICLO SET. 2011
ING° CESAR LOPEZ AGUILAR
Docente del Departamento de Energía y Física

2. LEYES DE OHM
Georg Simon Ohm en 1827 determinó la ley que lleva su nombre y que a
continuación dice :
La resistencia es la propiedad física de un elemento ó un dispositivo que impide
el flujo de corriente y se representa con el símbolo R.
Un resistor opera dentro de su intervalo especificado de corriente  I y puede
ser modelado mediante las leyes de Ohm.
PRIMERA LEY DE OHM .- Se ha demostrado que la corriente I que circula por
una resistencia es direstamente proporcional a la V, siempre y cuando la
temperatura en el resistor permanezca constante.
I
- I
V
- V
U = R . I R = V / I (  )
Donde :
V = Tensión en Voltios ( V ).
I = Corriente en Amperios ( A )
R = Resistencia en Ohmios (  ).
La resistencia R es la constante de proporcionalidad
que relaciona a la tensión y corriente.
2

3. CONTINUACION
SEGUNDA LEY DE OHM .- La resistencia R de un conductor es directamente
proporcional a su longitud e inversamente proporcional a su área transversal A.
R =  ( L / A )
Donde :
 = Resistividad eléctrica (  - m ) ó (  - mm² / m )
L = Longitud de la resistencia en m.
A = Es el área transversal en m² y mm²
LOS SUPERCONDUCTORES .- Son los materiales que transportan energía
eléctrica sin disipación. Estudiando la temperatura de algunos materiales
conductores próximos a cero Kelvin se consigue obtener resistividades casi
nulas.
Este fenómeno fue inicialmente observado en algunos metales entre ellos se
encuentran el : Mercurio, cadmio y estaño.
Actualmente en la composición de los superconductores se utiliza una mezcla
de óxidos de metales : Talio, calcio, bario y cobre.
Los físicos están haciendo estudios para obtener superconductores adecuados
a altas temperaturas, pues consiguiendose ésto no habrá mas disipación de
energía eléctrica revolucionando de este modo el transporte de energía.
3

4. FORMULAS QUE SE DERIVAN DE LA LEY DE OHM
P U
R I
R . I
P / I
 P.R
U² / R
R . I²
U . I
U / I
P / I²
U² / P P / U
U / R
 P / R
4

5. LEY DE JOULE
James Prescott Joule en 1841 descubrió la relación entre la corriente y el
calor ó la energía producida determinándose así la ley que lleva su nombre y
que a continuación dice :
Cuando un resistor se calienta debido al paso de una corriente eléctrica se dice
que ocurre el EFCTO JOULE. En un intervalo de tiempo dado la energía eléctrica
que el resistor consume es disipada en forma de calor.
Entonces la potencia eléctrica consumida es igual a la potencia eléctrica
disipada esto es :
P = U . I = R . I² = U² / R Vatios
De estas expresiones podemos afirmar lo siguiente :
- La potencia en un resistor aumenta si la corriente aumenta.
- La potencia de un resistor, bajo una tensión constante, aumenta si
disminuye su resistencia.
De la formulas anteriores podemos afirmar que :  / t = R . I²
 = t . R . I² Ley de joule
Esta expresión nos permite calcular la energía eléctrica convertida en energía
térmica en un intervalo de tiempo.
5

6. LEYES DE KIRCHHOFF
Gustav Robert Kirchhoff en 1847 estableció dos leyes que relacionan la
corriente y la tensión en los circuitos eléctricos.
PRIMARA LEY DE KIRCHHOFF ( LKC ).- La suma algebraica de las
corrientes en un nodo es cero en todo instantante. Esto es :
I1 - I2 - I3 = 0 y I1 + I3 - I2 - I4 - I5 = 0
I1 = I2 + I3 I1 + I3 = I2 + I4 + I5
En forma general podemos afirmar que : Las sumatoria de las corrientes que
llegan es igual a la sumatoria de las corrientes que salen.
 I LLEGAN =  I SALEN
Notese que las corrientes que entran al nodo son positivas mientras las que
salen son negativas.
I1
I2
I3
I1
I2
I3
I4
I5
A A
6

7. CONTINUACION
SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF ( LKV ).- En cualquier malla, la suma
algebraica de los tensiones a lo largo de sus ramas , recorridos en sentido
arbitrario, es nula.
En la siguiente si recorremos el circuito en sentido horario, a partir del punto A ,
una vuelta hasta cumplir una vuelta tenemos :
- R1 . I1 + E1 + R2 . I2 - R3 . I3 - E2 - R4 . I4 = 0
Los signos - se deben a que el sentido de la corriente es contrario al sentido
adoptado y usamos el signo + cuando el sentido de la corriente coincide con el
sentido adoptado
A B
D C
R1
R3
R4
R2
I1
I4
I3
I2
E1
E2
+ -
+ -
La expresión general esta
dado por :
 U = 0
La sumatoria de tensiones
alrededor de una malla es
nula.
7

8. CONTINUACION
RECOMENDACIONES PARA LA SOLUCION DE RESDES ELECTRICAS
1.- Marcar con letras todos los nodos de la red.
2.- Marcar todas las mallas.
3.- Marcar arbitrariamente, los sentidos de las intensidades de las corrientes en
. los diversos ramos de la red.
4.- Adoptar arbitrariamente el sentido de la malla ( horario ó antihorario ).
5.- Considerando que existan n nodos y m mallas en la red :
- Escoger la LKC para los n -1 nodos.
- Escoger la LKV para m mallas principales.
6.- Escriba las ecuaciones y constate si el número de ecuaciones son las ade-
. cuadas para solucionar el problema.
7.- Resolver el sistema de ecuaciones.
En caso que resulte un valor negativo para la intensidad de corriente de un
determinado ramo se debe invertir el sentido adoptado arbitrariamente
colocando el sentido convencional y expresar el resultado en valor absoluto.
Si ese ramo tiene un generador la corriente convencional debe entrar por el
polo negativo y salir por el positivo; caso contrario será un receptor.
8

9. CONTINUACION
A B
5 
E2 = 12 V
- +
Ejemplo.- En la figura se le solicita encontrar : a.- Cual es la intensidad que
circula por las baterias. b.- Cual es el valor de la tensión entre los puntos A y
B. c.- Cual de las dos baterias esta funcionando como receptor.
E1 = 6 V
- +
10 
9

10. TEOREMA DE LA SUPERPOSICION
EL principio de superposición exige que el efecto total de varias causas que
actúan simultáneamente es igual a la suma de los efectos de las causas
individuales actuando una a la vez.
Para aplicar el principio de superposición se requiere desactivar todas las
fuentes independientes menos una y calcular la respuesta debida a esa fuente.
Después se repite el proceso inhabilitando todas, menos una segunda fuente.
La respuesta total será la suma de todas las respuestas individuales.
NOTAS :
1.- Cuando se considera una fuente independiente, las demás se fijan en cero.
. Entonces una fuente independiente de voltaje aparece como un corto
. Circuito con voltaje cero.
2.- Si una fuente independiente de corriente se fija en cero, no fluye corriente
. alguna, aparece como un circuito abierto.
3.- Es importante destacar que si existe una fuente dependiente debe mante-
. nerse activa ( inalterada ) durante el proceso de superposición.
Ejemplo.- Calcular la corriente I , en el resistor de 6 Ohmios , de la figura,
aplicando el teorema de superposición.
10

11. CONTINUACION
3 
6  2 A
I
6 V
Procedimiento.-
1.- Fijar en cero la fuente de corriente ( circuito
. abierto ) y se calcula i1.
. Lo demás permanece constante.
2.- Luego se fija en cero la fuente de tensión ( corto circuito ) y se calcula i2.
. Lo demás permanece constante.
3.- La corriente total es la suma de i1 e i2.
3 
6 
I1
6 V
3 
6  2 A
I2
6 V
i1 = 6 / 9 A i2 = [ 3 / ( 3 + 6 ) ] . 2 = 6 / 9 A
I = i1 + i2 = 6 / 9 + 6 / 9 = 12 / 9 = 4 / 3 A
+
-
+
-
11

12. CONTINUACION
SIMBOLOGIA UTILIZADA
+
-
V
+
-
I
nI ó nV
Fuente de tensión .- Esquematiza una batería y/o una
fuente independiente de tensión, la corriente ingresa por
el borne negativo. Cuando se inhabilita dentro del circuito
se produce el corto circuito entre sus bornes.
Fuente de corriente.- Esquematiza una fuente de co-
rriente independiente el sentido de circulación esta
indicado en el símbolo. Cuando se inhabilita dentro del
circuito se produce el circuito abierto.
Fuente dependiente.- Es un generador de tensión ó
corriente cuyos valores dependen de otra variable del
circuito.
Fuente de corriente ó tension dependientes.-
Esquema-tiza una fuente de corriente ó tensión
dependiente. Este tipo de fuentes no pueden ser
inhabilitados por ningún motivo.
NO SE
USARA
12

13. FUENTE DEPENDIENTES
+
-
+
-
DESCRIPCION SIMBOLO
Fuente de voltaje controlado por corriente
( FVCC ),  es la ganancia de la FVCC .
Las unidades de  son voltios / amperios.
Fuente de voltaje controlado por tensión
( FVCV ), b es la ganancia de la FVCV .
Las unidades de b son voltios / voltios.
Fuente de corriente controlado por
tensión ( FCCV ), g es la ganancia de la
FCCV .
Las unidades de g son amper / voltios.
Fuente de corriente controlado por
corriente ( FCCC ), d es la ganancia de
la FVCV .
Las unidades de d son voltios / voltios.
Vc = 0
+
-
ic
Vc = 0
+
-
ic
Ic = 0
+
-
Vc
Ic = 0
+
-
Vc
Id
Vd =  Ic
Id
Vd = b Vc
Id = g Vc
Vd
+
-
+
-
Vd Id =d Vc
13

14. TEOREMA DE THEVENIN
El Ing. Francés M. L. Thévenin en 1883 desarrollo y publicó el teorema que
lleva su nombre, es una potente y excelente herramienta en la solución de
circuitos eléctricos.
El teorema de Thévenin plantea que cualquier circuito cuyos elementos son
resistencias y fuentes de energía con un par de terminales identificados ,
pueden reemplazarse por una conbinación, en serie, de una fuente de tensión
ideal Vth y una resistencia Rth.
Donde :
Vth = Voltaje del circuito abierto en los dos terminales .
Rth = Es la razón del voltaje en circuito abierto y la corriente de corto
circuito en el par de terminales.
El objetivo de este teorema es reducir determinada parte del circuito a una
fuente y un solo elemento. Este circuito equivalente reducido, conectado al
resto del circuito , permitirá determinar la corriente ó el voltaje de interés.
SOLAMENTE TRABAJAREMOS CON FUENTES INDEPENDIENTES
Para facilitar la comprensión del desarrollo del presente teorema presentare-
mos a continuación un procedimiento y es el siguiente :
14

15. PROCEDIMIENTO
PASO OPERACION ESQUEMA
A Identificar el circuito A y B CIRCUITO A CIRCUITO B
B Separar el circuito A del B CIRCUITO A
Rth
C Sustituir el circuito A con su
equivalente de Thevenin.
C Reconectar el circuito B y de-
terminar la variable de interés.
+
- Vth
Rth
+
- Vth
Rth CIRCUITO B

16. RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO
1.- Fijar adecuadamente los terminales donde se va aplicar el teorema de
. Thévenin.
2.- Para obtener la resistencia equivalente Rth de Thévenin cortocircuitar las
. fuentes independientes y hacer la reducción ( serie ó paralelo ) hasta llegar
. a obtener Rth.
3.- Utilizar la metodología de divisores de tensión para encontrar la tensión
. equivalente de Thévenin entre los terminales.
4.- Hacer el circuito equivalente de Thévenin y reemplazar en el modelo los
. valores encontrados en los cálculos.
5.- Si tiene algún inconveniente consultar con el Profesor.
16

17. CONTINUACION
Ejemplo.- Utilizando el teorema de Thevenin calcular la corriente I por el
resistor R en el circuito de la fig. Todas las reistencias entan en Ohmios.
+
- 50 V
5
20
4
R
I
+
- 50 V
5
20
4
5
20
4
Rth
+
- 50 V
5
20
4
Vth
+
- Vth = 50 V
Rth = 8
R
I Rth = 5 . 20 / ( 5 + 20 ) = 8 
Vth = 50. 20 / ( 20 + 5 ) = 40 V
Si R = 10 
I = 40 / 8 + 10 = 40 / 18 A.
17

18. TEOREMA DE NORTON
El Ing. Estadounidense E. L. NORTON en 1926 publicó su teorema que lleva
su nombre, este teorema es el dual del teorema de Thénenin.
El teorema de Norton plantea que cualquier circuito cuyos elementos son resis-
tencias y fuentes de energía con un par de terminales identificados , pueden
reemplazarse por una combinación, en paralelo, de una fuente de corriente
ideal In y una una resistencia Rn.
Donde :
In = Corriente de corto circuito en los terminales manteniendo la
fuente independiente activada.
Rth = Resistencia equivalente en los terminales cortocircuitando la
fuente independiente.
SOLAMENTE TRABAJAREMOS CON FUENTES INDEPENDIENTES
In
Rn
El teorema de Norton se especifica con el
esquema junto conformado por una fuente de
corriente In en paralelo con una Rn.
18

19. 1.- Fijar adecuadamente los terminales donde se va aplicar el teorema de
. Norton.
2.- Para obtener la resistencia equivalente Rn de Norton cortocircuitar las
. fuentes independientes y hacer la reducción ( serie ó paralelo ) hasta llegar
. a obtener Rn.
3.- Haciendo un cortocircuito en los terminales del circuito, manteniendo activa
. la fuente de tensión independiente, calcular la corriente circulante por la .
malla In . Tener cuidado cuando se cortocircuitan los terminales pués mu-
. muchas veces quedaran una o varias resistencias sin trabajar.
4.- Hacer el circuito equivalente de Norton y reemplazar en el modelo los
. valores encontrados en los cálculos.
5.- Si tiene algún inconveniente consultar con el Profesor.
RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO
19

20. Ejemplo.- Utilizando el teorema de Norton hallar su circuito equivalente del
circuito de la fig. Todas las reistencias entan en Kilohmios.
CONTINUACION
+
- 15 V
8
6
4
8
6
4
+
- 15 V
8
6
4
In
Rn
In =1.25 A
Rn = 4 K
Haciendo los cálculos tenemos :
Rn = 6 . 12 / ( 6 + 12 ) = 4 K
In = 15 / ( 8 + 4 ) = 1.25 A.
+
- 15 V
8
4
In
20

21. TEOREMA DE LA MAXIMA TRANSFERENCIA
DE POTENCIA
Si deseamos conocer cual es la máxima potencia que puedo extraer de una
fuente procedo como sigue :
CIRCUITO A
+
- Vth
Rth
I
Rc 1.- Identifico los terminales de la carga.
2.- Si el circuito es complejo, entonces, aplico
. el teorema de Thévenin y planteo o hago el
. respectivo modelo.
Rc
El teorema de la máxima transferencia de potencia establece que la potencia
máxima entregada por una fuente representada por su circuito equivalente de
Thévenin se alcanza cuando la carga Rc es igual a la resistencia de Thévenin
Rth.
21

22. Los sistemas eléctricos se diseñan para llevar la potencia a la carga con la
mayor eficiencia. Por ello el esfuerzo se centra en reducir Rth .
Rth = Rsistencia interna de la fuente + resistencia de la línea.
CONTINUACION
+
- Vth
Rth
I
Rc
La potencia en la carga de la figura adjunta es :
P = I² . Rc
I = Vth / ( Rth + Rc )
P = [ Vth / ( Rth + Rc ) ] ² Rc. (  )
Suponiendo Vth y Rth constantes la máxima potencia extraida de la fuente
estará en función de la resistencia de la carga Rc. Esto implica que :
d P/ d Rc = Vth² { ( Rth + Rc ) ² - 2 ( Rth + Rc ) Rc} / ( Rc + Rth )² ( Rc + Rth )²
La derivada se hace igual a cero
( Rth + Rc ) ² - 2 ( Rth + Rc ) Rc} = 0
( Rth + Rc ) ( Rth + Rc - 2 Rc } = 0
Rth = Rc (  )
Para demostrar la validez de la ec.  se debe demostrar que d² P / dRc² < 0.
22

23. Reemplazando ( ) en (  ) tenemos :
Pmax = Vth ² Rc / ( 2 . Rc ) ² = Vth ² / 4 . Rc
La eficiencia de la transferencia de potencia se define como la razón de la
potencia entregada a la carga Psal, a la potencia entregada por la fuente Pin.
Por tanto
 = Psal / Pin
Para la máxima transferencia de potencia, cuando Rs = Rc se tiene:
Pin = Vth . I = Vth { Vth / ( Rth + Rc ) } = Vth ² / 2 Rc
Luego la potencia máxima entregada a la carga resulta ser :
Psal = Pmax = Vth ² / 4 Rc
Entonces :
 = P sal / Pin = 0.50
En condiciones de transferencia máxima de potencia solo se alcanza el 50 %
de eficiencia.
Luego los circuitos tendrán eficiencias menores de 50 % en condiciones de
máxima potencia.
CONTINUACION
23

24. HM POTENCIA REALMENTE ALCANZADA A MEDIDA QUE Rc
VARIA CON RESPECTO A Rth
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
VARIACION DE Rc / Rth ( p.u )
VARIACION
DE
P
/
Pmax.
(
p.u
)
24

25. A continuación revisaremos algunas técnicas que nos permitan reducir la red en
forma facilmente analizable.
A continuación presentamos el análisis de un circuito con :
UNA FUENTE INDEPENDIENTE.-
Se desea calcular el voltaje de salida Vsal de la siguiente figura :
ANALISIS DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS
+
-
R1 R2 R3
R4 R5 R6 Vsal
V
+
-
Rs
Rp Vsal
V
Rs
Rp
25

26. Calcular la corriente I1 cuando R4 = 2 y R3 = R4 = 8 
CONTINUACION
3 9 18
R4
R3
R2
6 
3 9 18
6
I1
I
I1
I
3 
3 3
I1
I
3 
I1 = { ( 1 / R1 ) I } / ( 1 / R1 + 1 / R2 )
I1 = { ( I / 3 ) I } / ( 1 / 3 + 1 / 3 )
I1 = { ( 1 / 3 ) I } / ( 2 / 3 )
I1 = ( 1 / 2 ) I
R1 R2
26

27. UNA FUENTE DEPENDIENTE.-
Se desea calcular la corriente I de la siguiente figura :
+
-
2
4
18 V
-
+
4
8
+
-
2
3
18 V
-
+
2V1 2V1
- 18 = 2 I + 2 V1 + 3 I = 0 Pero V1 = 2 I
2 I + 2 ( 2 I ) + 3 I = 18
I = ( 18 / 9 )
I = 2 A.
I I
V1 V1
CONTINUACION
27

28. Un divisor de voltaje se conecta a una fuente y a un voltímetro como se mues-
tra en la fig. Idealmente Rf = 0 ( resistencia interna de la fuente ) y Rm = 
( voltímetro ideal ) .
Sin embargo para un circuito práctico Rf = 125  y Rm = 10 K .
Seleccionar R1 y R2 para minimizar el error introducido por Rf y Rm cuando
se desea que V / Vf = 0.75
DISEÑO DE UN DIVISOR DE TENSION
+
-
Rf
R2
Vf Rm
I
V
+
-
voltimetro
DEFINIR LA SITUACION
1.- Se utiliza un divisor de voltaje con una fuente práctica con resistencia Rf.
2.- El resistor R2 esta cargado por la resistencia del voltímetro Rm.
3.- La razon deseada es V / Vf = 0.75
28

29. CONTINUACION
OBJETIVO
Determinar R1 y R2 para minimizar la diferencia entre los valores del voltaje V
para los casos ideal y práctico.
ESTABLECER EL PLAN
1.- Determinar la tensión V para el caso ideal.
2.- Determinar la tensión V ’ para el caso práctico.
3.- Definir una medida del error.
4.- Minimizar el error y después determinar R2 y R1.
ACTUAR CONFORME AL PLAN
El divisor de tensión ideal se obtiene Rf = 0 y Rm =  Esto es :
V = { R2 / ( R1 + R2 ) } Vf = a Vf
Donde a = R2 / ( R2 + R1 )
En el caso práctico la tensión de salida es :
V ’ = { Rp / ( Rf + R1 + Rp ) } Vf
Donde Rp = R2 . Rm / ( R2 + Rm )
29

30. CONTINUACION
ACTUAR CONFORME AL PLAN
El divisor de tensión ideal se obtiene Rf = 0 y Rm =  Esto es :
V = { R2 / ( R1 + R2 ) } Vf = a Vf
Donde a = R2 / ( R2 + R1 )
En el caso práctico la tensión de salida es :
V ’ = { Rp / ( Rf + R1 + Rp ) } Vf
Donde: Rp = R2 . Rm / ( R2 + Rm ) y R1 = R2 ( 1 - a ) / a
V ’ = { a R2 Rm / [ ( a Rf + R2 ) ( Rm + R2 ) - a R2 ² ] } Vf
Luego el error se define como :
e = ( V - V’’ ) / V = ( a Vf - V ’ ) / a Vf.
Al sustituir V y V ’ en la última ecuación tenemos :
e = 1 - { R2 Rm ) / [ ( a Rf + R2 ) ( Rm + R2 ) - a R2 ² ] ( t )
El objetivo es minimizar el error e seleccionando R2, se puede utilizar el cálculo
diferencial y establecer que:
de/ dR2 = 0 para determinar el mejor valor de R2.
30

31. CONTINUACION
R2 =  3 Rm Rf
Cuando a = 0.75 Asi mismo Rm = 10 K . Y Rf = 125 .
R2 = 1936.5 .
Ademas de a = R2 / ( R2 + R1 ) R1 = R2 ( 1 - a ) / a
R1 = 1936.5 ( 1 - 0.75 ) / 0.75
R1 = 645.5 .
Al reemplazar R2 , R1, a, Rm y Rf en la ecuación ( t ) obtenemos:
e = 1 - 0.0907 = 0.093 = 9.3 %
El error mínimo es de 9.3 %.
31

32. CONTINUACION
RECLAMA LA MISELANEA DE
PROBLEMAS
FIN
32