2. Matemáticas Financieras es el campo de las matemáticas aplicadas, que
analiza, valora y calcula materias relacionadas con los mercados
financieros, y especialmente, el valor del dinero en el tiempo.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
2
3. Desde el punto de vista matemático, la base de las matemáticas
financieras la encontramos en la relación resultante de recibir una suma
de dinero hoy (VA = valor actual) y otra diferente (VF = valor futuro) de
mayor cantidad transcurrido un período. La diferencia entre VA y VF
responde por el “valor” asignado por las personas al sacrificio de consumo
actual y al riesgo que perciben y asumen al posponer el ingreso.
Ignacio Vélez, Decisiones de inversión (2005)
La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada
que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa
y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de
evaluación que permiten tomar decisiones de inversión.
(César Aching, Matemáticas Financieras para toma de decisiones empresariales, s.f.)
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
3
4. ElVALOR DEL DINERO EN ELTIEMPO
4
Es uno de los principios básicos en todas las finanzas.
El dinero es un activo que cuesta conforme transcurre el tiempo, permite comprar
o pagar tasas de interés periódicas (diarias, semanales, mensuales, trimestrales,
etc.).
Las cantidades solo pueden sumarse o restarse cuando ocurren en el mismo
momento. Cada $ 1 su poder adquisitivo vale únicamente en su momento de
escala temporal, en cualquier otro momento, su valor es distinto. No es posible
sumar el $ 1 al final del año 3 con el $ 1 del final del año 5.
(César Aching, Matemáticas Financieras para toma de decisiones empresariales, s.f.)
5. ElVALOR DEL DINERO EN ELTIEMPO
5
Es un concepto basado en la premisa de que un inversor prefiere recibir un pago
de una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo a una fecha futura
que quedare igual si se usa o no se usa.
En particular, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede
obtener rendimiento sobre ese dinero. Adicionalmente, debido al efecto de
inflación, en el futuro esa misma suma de dinero perderá poder de compra.
• INTERÉS (I).- El rendimiento que proporciona el enajenamiento temporal del
dinero, es decir, el importe del alquiler del dinero.
Como importe de alquiler que es, el interés debe referirse a períodos de
tiempo y según el capital comprometido.
• La tasa de interés (i o r) es el porcentaje de rendimiento aplicado al capital en
la unidad de tiempo.
6. ElVALOR DEL DINERO EN ELTIEMPO
6
El interés ordinario o comercial es el que se calcula considerando el año de
360 días.
El interés real o exacto es el que se calcula considerando el año de 365 días o
366 días cuando es bisiesto.
Para un mismo capital, tasa de interés y tiempo, el interés comercial resulta mayor
que el interés exacto, razón por la cual es el utilizado tanto en operaciones de
crédito o inversión.
Sin embargo para calcular el número de días transcurridos entre dos fechas se
considera el tiempo calendario.
7. VP = Valor o suma de dinero en tiempo presente [unidades
monetarias]
VF = Valor o suma de dinero en algún tiempo futuro [unidades
monetarias]
A = Serie consecutiva de cantidades iguales de dinero al final de
cada período [unidades monetarias por unidad de tiempo]
n ó t = Número de períodos [unidades de tiempo]
r ó i = Tasa de interés por período [porcentaje por unidad de
tiempo]
I = Rendimiento producido por el préstamo o la inversión
[unidades monetarias]
Terminología básica
7
8. Disposiciones normativas
•Las tasas de interés se expresarán anualmente.
•Los intereses pagados al acreedor
(propietario del capital) se
•podrán cancelar:
– Al vencimiento de la operación;
– Al final de períodos iguales y sucesivos libremente
pactados y establecidos en el contrato.
8
10. INTERÉS SIMPLE
10
DEFINICIÓN: Se llama interés simple a aquel en el cual los
intereses devengados en un período no ganan intereses en los
períodos siguientes, independientemente de que se paguen o no.
Se liquidan los intereses sobre el capital inicial sin tener en cuenta
los intereses precedentes causados.
La liquidación de intereses se realiza sobre el saldo insoluto, es
decir, sobre el capital o pagado. Lo anterior significa que el capital
inicial no varía durante todo el período de la operación financiera ya
que los intereses no se capitalizan. Por lo tanto se puede decir que
todos los intereses serán siempre iguales en cada período.
A mayor capital y mayor tiempo es mayor el valor de los intereses.
FUENTE: Telias, S., Ejercicios aplicados a Finanzas.
11. INTERÉSSIMPLE
11
Fórmula Interés Simple
I = C.i.t
Interés = Valor presente x tasa de interés x tiempo
M= C+I M = C(1+i.t) o VF=VP(1+r.t)
Monto = Valor presente + Interés
Monto se lo representa también como Valor Futuro (VF)
Interés (I).- Es el importe o rendimiento que se percibirá o pagará en contraprestación.
Capital (C) o Valor Presente (VP).- Valor del capital sobre el que se pagará o cobrará intereses.
Tasa de interés (i) o (r).- Es el porcentaje de interés que se cobrará o pagará.
Plazo o Tiempo (t).- Es el plazo de la operación.
F = ?
i %
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 meses
P
12. INTERÉSSIMPLE
12
Otras Fórmulas despejando Interés Simple:
Capital (C) o Valor Presente (VP).- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará
intereses
o
Tasa de interés (i o r).- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la
operación dura un año.
o
Tiempo (t).- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años
o
NOTA. Para aplicar las fórmulas anteriores, es preciso que los datos de la tasa de interés y
el tiempo se refieran a la misma unidad de medida, es decir, si el interés es anual, el tiempo
se expresará anualmente; si el tiempo se encuentra expresado mensualmente, habrá que
obtener el interés por mes.
13. EJERCICIO/INTERÉSSIMPLE
13
Juan David tiene un capital de $ 2.000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa del 36%
anual simple y el capital restante al 2.0% mensual simple. Calcular el valor de los intereses
mensuales simples.
El 60% de $ 2.000.000 = $ 1.200.000
Juan David invierte su capital de la siguiente forma:
• $ 1.200.000 a una tasa del 36% anual simple.
• $ 800.000 a una tasa del 2.0% mensual simple.
Cálculo del interés mensual simple de $ 1.2000.000.
Cálculo del interés mensual simple de $ 800.000.
El interés total recibido cada mes es igual a la suma de los intereses parciales:
El tiempo es 1/12 porque se solicita el cálculo de un mes por intereses simples.
15. MONTO(M)oVALORFUTURO(VF) EN
INTERÉSSIMPLE
15
Monto o Valor Futuro Simple El monto es el valor que adquiere una cantidad invertida,
a lo largo de un tiempo y es denominado como valor futuro o monto.
Valor Presente (VP) o Capital (C) Simple: Es la cantidad inicial con la que se realiza
una inversión ó préstamo, misma que representa la base sobre la cual se generan los
intereses , Cuando se conoce el Monto (M) o valor Futuro (VF), la fórmula es:
Tasa de interés (i) o (r): Es la tasa o porcentaje de interés a la que se coloca cantidad
inicial con la que se realiza una inversión ó préstamo, misma que representa la base sobre la
cual se generan los intereses , Cuando se conoce el Monto (M) o valor Futuro, la fórmula es:
Tiempo (t): Es el tiempo al cual se invierte o se coloca un capital y se obtiene el monto o
valor futuro, Cuando se conoce el Monto (M) o valor Futuro, la fórmula es:
18. DESCUENTOSIMPLE
18
CONCEPTO.-
El descuento es una operación de crédito que se realiza normalmente en el sector bancario, y
consiste en que los bancos reciben documentos negociables como letras de cambio, pagares, de
cuyo valor nominal descuentan una cantidad equivalente a los intereses que devengaría el
documento entre la fecha en que se recibe y la fecha del vencimiento. Con esta operación se
anticipa el valor actual del documento.
Existen dos tipos de descuento en el interés simple:
CLASIFICACION.-
• El descuento comercial o bancario.
• El descuento real o justo.
• El descuento racional o matemático.
20. DESCUENTOBANCARIOOCOMERCIAL
20
Es importante anotar que este tipo de descuento se puede aplicar en operaciones
comerciales a corto plazo, porque si éste es muy extenso el descuento puede alcanzar todo
el valor del documento y entones no tendría sentido la operación de descuento.
21. DESCUENTOBANCARIOOCOMERCIAL
21
Ejemplo:
El descuento comercial simple al 7% anual durante 6 meses alcanza la suma de $350.000. Calcular el
valor efectivo y nominal de la operación.
Solución:
Tenga en cuenta que seis (6) meses, equivalen a 0,5 años.
22. DESCUENTOREALOJUSTO
22
Ejemplo:
El valor nominal de un documento es $ 2.185.000, si se descuenta 2 meses antes de su vencimiento
a una tasa del 20%, encontrar el descuento comercial y el real.
Solución:
El descuentocomercial seria:
23. DESCUENTO
REALOJUSTO
23
El valor comercial del documentoes:
Para determinar el descuento real, se calcula el valor que se anticipa, es decir, se encuentra el
valor presente a partir del valor nominal del documento, por lo cual, se utiliza la siguiente fórmula:
El descuentoreal seria:
Se puede observar que el descuento real es inferior al descuento comercial.
26. INTERÉSCOMPUESTO
26
Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es
la capitalización del dinero en el tiempo.
Es el monto
sobre la base
inicial
Intereses
acumulados
en periodos
anteriores
El interés compuesto (llamado también interés sobre intereses), es aquel que al final del
período capitaliza los intereses causados en el período inmediatamente anterior.
En el interés compuesto el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los
intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital sobre el cual se calculan los
intereses.
28. La capitalización proceso mediante el cual los intereses que se van causando
periódicamente se suman al capital anterior.
Periodo de Capitalización (n).- Período pactado para convertir el interés en capital; puede
ser anual, semestral, trimestral, mensual, etc.
Frecuencia de Capitalización ó conversión (fc).- Número de veces que, en un año el
interés se suma al capital.
Tasa de interés por periodo (r) .-
CAPITALIZACIÓN
28
29. Para operaciones pasivas (cuentas de ahorros,
corrientes, certificados de depósitos, entre otras) la
capitalización de intereses en nuestro país, es
permitida.
En operaciones activas (préstamos), la capitalización
de intereses en nuestro país es prohibida, esto
representa ANATOCISMO.
CAPITALIZACIÓN
29
31. EJEMPLO: ¿Cuál es la frecuencia de conversión y la tasa interés por periodo (r) al 60% anual
capitalizable mensualmente, de una operación cualesquiera?
EJEMPLO: ¿Cuál es la frecuencia de conversión (fc) para un depósito bancario que paga el 5% de
interés capitalizable trimestralmente?
EJEMPLO: Si un documento ofrece pagos semestrales y tiene una duración de 3 años. ¿Cuánto vale
m y n?
fc= 12/6
fc= 2 semestres en 1 año
n= m x t
n= 2 * 3 Años = 6 periodos
CAPITALIZACIÓN
31
32. CAPITALIZACIÓN
32
NOTA:
Es muy importante que para la solución de problemas de interés compuesto, el
interés anual sea convertido a la tasa que corresponda de acuerdo al periodo de
capitalización que se establezca.
Al realizar un cálculo de interés compuesto es necesario que la tasa de interés esté
expresada en la misma unidad de tiempo que el periodo de capitalización. Si no se
especifica el periodo de referencia, éste se debe entender en forma anual.
33. VALOR PRESENTE (VP) – Interés compuesto
33
El valor presente del dinero es el valor actual neto de una cantidad que
recibiremos en el futuro y está dado por:
35. VALOR PRESENTEAINTERÉSCOMPUESTO
35
EJERCICIO
El señor Pedro Picapiedra necesita disponer de $ 300.000 dentro de 6 meses para el pago de la
matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 3.5% mensual, ¿cuánto deberá depositar hoy
para lograr su objetivo?
Aplicando la fórmula:
36. EJERCICIO VALOR FUTURO INTERÉS COMPUESTO
Cuánto recibirá luego de 6 meses si se depositó $ 1000 en una cuenta de ahorros con una
tasa de 1.35% capitalizable mensualmente.
36
37. VALOR FUTUROAINTERÉSCOMPUESTO
37
EJERCICIO
Se invierten $ 1.000.000 durante 6 meses en una corporación que reconoce una tasa de interés del
3% capitalizable mensualmente. Se desea saber, ¿cuánto dinero se tendrá acumulado al final del
sexto mes?
El valor acumulado al final del sexto mes también se lo puede calcular con la siguiente fórmula
de valor Futuro:
43. CONCEPTO.- Es la operación financiera que tiene por objeto el cambio de un capital futuro por
otro equivalente con vencimiento presente también opera con base en el interés compuesto; se lo
identifica por cuanto hay capitalizaciones hasta la fecha de vencimiento. Se simboliza con Dc.
DESCUENTOREALCOMPUESTO
Realizando el reemplazo de fórmulas se obtiene que el Descuento Real Compuesto es igual
a:
47
