Este documento presenta una introducción a las matemáticas financieras. Explica que las matemáticas financieras analizan el valor del dinero en el tiempo y se aplican a los mercados financieros. También incluye algunos requisitos básicos para el estudio de las matemáticas financieras y cita definiciones de este campo de las matemáticas aplicadas según diferentes autores. Finalmente, menciona que incluirá videotutoriales para complementar los conceptos.

1. MATEMÁTICA
FINANCIERA
INTRODUCCIÓN

2. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
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Matemáticas Financieras – Díaz, Alfredo y Aguilera, Víctor

3. REQUISITOS
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• Tener conocimientos de Cálculo.
• Contar con calculadora científica o financiera; para su operación o
manejo es responsabilidad del estudiante conocer su funcionamiento.

4. Matemáticas Financieras es el campo de las matemáticas aplicadas, que analiza, valora y calcula materias
relacionadas con los mercados financieros, y especialmente, el valor del dinero en el tiempo.
Matemáticas financieras
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5. Matemáticas financieras
• Desde el punto de vista matemático, la base de las matemáticas financieras la
encontramos en la relación resultante de recibir una suma de dinero hoy (VA = valor
actual) y otra diferente (VF = valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período.
La diferencia entre VA y VF responde por el “valor” asignado por las personas al
sacrificio de consumo actual y al riesgo que perciben y asumen al posponer el ingreso.
Ignacio vélez, decisiones de inversión (2005)
• La matemática financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el
valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un
rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones
de inversión.
(César aching, matemáticas financieras para toma de decisiones empresariales, s.F.)
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6. El VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
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Es uno de los principios básicos en todas las finanzas.
El dinero es un activo que cuesta conforme transcurre el tiempo, permite comprar o pagar tasas
de interés periódicas (diarias, semanales, mensuales, trimestrales, etc.).
Las cantidades solo pueden sumarse o restarse cuando ocurren en el mismo momento. Cada $
1 su poder adquisitivo vale únicamente en su momento de escala temporal, en cualquier otro
momento, su valor es distinto. No es posible sumar el $ 1 al final del año 3 con el $ 1 del final del
año 5.
(César Aching, Matemáticas Financieras para toma de decisiones empresariales, s.f.)

7. EL VALOR DEL
DINERO EN EL
TIEMPO
• Es un concepto basado en la premisa de que un inversor
prefiere recibir un pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar
de recibir el mismo a una fecha futura que quedare igual si se
usa o no se usa.
• En particular, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede
obtener rendimiento sobre ese dinero. Adicionalmente, debido al
efecto de inflación, en el futuro esa misma suma de dinero
perderá poder de compra.
• Interés (i).- El rendimiento que proporciona el
enajenamiento temporal del Dinero, es decir, el importe del
alquiler del dinero.
• Como importe de alquiler que es, el interés debe referirse a
períodos de tiempo y según el capital comprometido.
• La tasa de interés (i o r) es el porcentaje de rendimiento
aplicado al capital en la unidad de tiempo.
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8. El VALOR DEL
DINERO EN EL
TIEMPO
• El interés ordinario o comercial es el que se calcula
considerando el año de 360 días.
• El interés real o exacto es el que se calcula
considerando el año de 365 días o 366 días cuando es
bisiesto.
• Para un mismo capital, tasa de interés y tiempo, el
interés comercial resulta mayor que el interés exacto,
razón por la cual es el utilizado tanto en operaciones de
crédito o inversión.
• Sin embargo para calcular el número de días
transcurridos entre dos fechas se considera el tiempo
calendario.
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9. Videostutoriales
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10. Videostutoriales

11. Terminología básica
• VP = valor o suma de dinero en tiempo presente [unidades
monetarias]
• Vf = valor o suma de dinero en algún tiempo futuro [unidades Monetarias]
• A = serie consecutiva de cantidades iguales de dinero al final de cada período [unidades
monetarias por unidad de tiempo]
• N ó t = número de períodos [unidades de tiempo]
• R ó i = tasa de interés por período [porcentaje por unidad de Tiempo]
• I = rendimiento producido por el préstamo o la inversión
[unidades monetarias]
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12. Disposiciones normativas
• Las tasas de interés se expresarán anualmente.
• Los interesespagados al acreedor(propietario del capital) se podrán
cancelar:
– Al vencimiento de la operación; o,
– Al final de períodos iguales y sucesivos libremente pactados y establecidos en
el contrato.

13. Interés simple
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14. Interéssimple
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DEFINICIÓN: Se llama interés simple a aquel en el cual los intereses devengados en un
período no ganan intereses en los períodos siguientes, independientemente de que se paguen
o no. Se liquidan los intereses sobre el capital inicial sin tener en cuenta los intereses
precedentes causados.
La liquidación de intereses se realiza sobre el saldo insoluto, es decir, sobre el capital o pagado.
Lo anterior significa que el capital inicial no varía durante todo el período de la operación
financiera ya que los intereses no se capitalizan. Por lo tanto se puede decir que todos los
intereses serán siempre iguales en cada período.
A mayor capital y mayor tiempo es mayor el valor de losintereses.
FUENTE: Telias, S., Ejercicios aplicados a Finanzas.

15. Interéssimple
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Fórmula Interés Simple
I = C.i.t
Interés = Valor presente x tasa de interés x tiempo
M= C+I M = C(1+i.t) o VF=VP(1+r.t)
Monto = Valor presente + Interés
Monto se lo representa también como Valor Futuro (VF)
Interés (I).- Es el importe o rendimiento que se percibirá o pagará en contraprestación.
Capital (C) o Valor Presente (VP).- Valor del capital sobre el que se pagará o cobrará intereses.
Tasa de interés (i) o (r).- Es el porcentaje de interés que se cobrará opagará.
Plazo o Tiempo (t).- Es el plazo de la operación.
F = ?
i %
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 meses
P

16. Interéssimple
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Otras Fórmulas despejando Interés Simple:
Capital (C) o Valor Presente (VP).- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses
o
Tasa de interés (i o r).- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la operación dura un año.
o
Tiempo (t).- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años
o
NOTA. Para aplicar las fórmulas anteriores, es preciso que los datos de la tasa de interés y el tiempo se refieran a la
misma unidad de medida, es decir, si el interés es anual, el tiempo se expresará anualmente; si el tiempo se encuentra
expresado mensualmente, habrá que obtener el interés por mes.

17. Ejercicio/interéssimple
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Juan David tiene un capital de Q 2.000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa del 36% anual
simple y el capital restante al 2.0% mensual simple. Calcular el valor de los intereses mensuales
simples.

18. Ejercicio/interéssimpleaplicacióndel valorpresente
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Qué oferta es más conveniente para el comprador de un activo fijo: $4.000 iniciales
y $6.000 después de seis meses ó $6.000 iniciales y $4.000 después de un año?
Suponer un interés simple del 6%.

19. MONTO(M) o VALORFUTURO(VF) ENINTERÉSSIMPLE
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Monto o Valor Futuro Simple El monto es el valor que adquiere una cantidad invertida, a lo largo de un
tiempo y es denominado como valor futuro omonto.
Valor Presente (VP) o Capital (C) Simple: Es la cantidad inicial con la que se realiza una inversión ó
préstamo, misma que representa la base sobre la cual se generan los intereses , Cuando se conoce el
Monto (M) o valor Futuro (VF), la fórmulaes:
Tasa de interés (i) o (r): Es la tasa o porcentaje de interés a la que se coloca cantidad inicial con la que
se realiza una inversión ó préstamo, misma que representa la base sobre la cual se generan los intereses ,
Cuando se conoce el Monto (M) o valor Futuro, la fórmula es:
Tiempo (t): Es el tiempo al cual se invierte o se coloca un capital y se obtiene el monto o
valor futuro, Cuando se conoce el Monto (M) o valor Futuro, la fórmulaes:

20. Trabajo en clase
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21. DESCUENTOSIMPLE
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22. DESCUENTOSIMPLE
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CONCEPTO.-
El descuento es una operación de crédito que se realiza normalmente en el sector bancario, y consiste
en que los bancos reciben documentos negociables como letras de cambio, pagares, de cuyo valor
nominal descuentan una cantidad equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la
fecha en que se recibe y la fecha del vencimiento. Con esta operación se anticipa el valor actual del
documento.
Existen dos tipos de descuento en el interés simple:
CLASIFICACION.-
• El descuento comercial o bancario.
• El descuento real o justo.
• El descuento racional o matemático.

23. DESCUENTOBANCARIOOCOMERCIAL
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24. DESCUENTOBANCARIOOCOMERCIAL
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Es importante anotar que este tipo de descuento se puede aplicar en operaciones
comerciales a corto plazo, porque si éste es muy extenso el descuento puede alcanzar todo
el valor del documento y entones no tendría sentido la operación de descuento.

25. DESCUENTOBANCARIOOCOMERCIAL
25
Ejemplo:
El descuento comercial simple al 7% anual durante 6 meses alcanza la suma de $350.000.
Calcular el valor efectivo y nominal de la operación.
Solución:
Tenga en cuenta que seis (6) meses, equivalen a 0,5 años.

26. DESCUENTOREALO
JUSTO
26
Ejemplo:
El valor nominal de un documento es $ 2.185.000, si se descuenta 2 meses antes de su
vencimiento a una tasa del 20%, encontrar el descuento comercial y el real.
Solución:
El descuento comercial seria:

27. DESCUENTOREALO
JUSTO
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El valor comercial del
documento es:
Para determinar el descuento real, se calcula el valor que se anticipa, es decir, se
encuentra el
valor presente a partir del valor nominal del documento, por lo cual, se utiliza la siguiente
fórmula:
El descuento real
seria:
Se puede observar que el descuento real es inferior al descuento
comercial.

28. TRABAJO EN
CLASE
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29. INTERÉS COMPUESTO
INTERÉS COMPUESTO
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30. INTERÉSCOMPUESTO
30
Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto
es la capitalización del dinero en el tiempo.
Es el monto
sobre la base
inicial
Intereses
acumulado
s en
periodos
anteriores
El interés compuesto (llamado también interés sobre intereses), es aquel que al
final del período capitaliza los intereses causados en el período inmediatamente
anterior.
En el interés compuesto el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los
intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital sobre el cual se
calculan los intereses.

31. CAPITALIZACIÓN
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Es el proceso de ir del
valor actual
Al Valor Futuro

32. La capitalización proceso mediante el cual los intereses que se van causando
periódicamente se suman al capital anterior.
Periodo de Capitalización (n).- Período pactado para convertir el interés en capital; puede
ser anual, semestral, trimestral, mensual,etc.
Frecuencia de Capitalización ó conversión (fc).- Número de veces que, en un año el
interés se suma al capital.
Tasa de interés por periodo (r) .-
CAPITALIZACIÓN
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33. Para operaciones pasivas (cuentas de ahorros,
corrientes, certificados de depósitos, entre otras) la
capitalización de intereses en nuestro país, es
permitida.
En operaciones activas (préstamos), la capitalización
de intereses en nuestro país es prohibida, esto
representa ANATOCISMO.
CAPITALIZACIÓN
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34. Periodo de Conversión de Tasa
Nominal.
Fórmula Interés
Compuesto
CAPITALIZACIÓN
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35. EJEMPLO: ¿Cuál es la frecuencia de conversión y la tasa interés por periodo (r) al 60%
anual capitalizable mensualmente, de una operación cualesquiera?
EJEMPLO: ¿Cuál es la frecuencia de conversión (fc) para un depósito bancario que paga
el 5% de interés capitalizable trimestralmente?
EJEMPLO: Si un documento ofrece pagos semestrales y tiene una duración de 3 años.
¿Cuánto vale m y n?
fc= 12/6
fc= 2 semestres en 1
año n= m x t
n= 2 * 3 Años = 6 periodos
CAPITALIZACIÓN
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36. CAPITALIZACIÓN
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NOTA:
Es muy importante que para la solución de problemas de interés compuesto, el
interés anual sea convertido a la tasa que corresponda de acuerdo al periodo
de capitalización que se establezca.
Al realizar un cálculo de interés compuesto es necesario que la tasa de interés
esté expresada en la misma unidad de tiempo que el periodo de
capitalización. Si no se especifica el periodo de referencia, éste se debe
entender en forma anual.

37. VALOR PRESENTE (VP) – INTERÉS COMPUESTO
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El valor presente del dinero es el valor actual neto de una cantidad que
recibiremos en el futuro y está dado por:

38. 38

39. VALORPRESENTE A INTERÉSCOMPUESTO
39
EJERCICIO
El señor Pedro Picapiedra necesita disponer de $ 300.000 dentro de 6 meses para el pago
de la matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 3.5% mensual, ¿cuánto deberá
depositar hoy para lograr su objetivo?
Aplicando la
fórmula:

40. EJERCICIO VALOR FUTURO INTERÉS COMPUESTO
Cuánto recibirá luego de 6 meses si se depositó $ 1000 en una cuenta de ahorros
con una tasa de 1.35% capitalizable mensualmente.
40

41. VALORFUTURO A INTERÉSCOMPUESTO
41
EJERCICIO
Se invierten $ 1.000.000 durante 6 meses en una corporación que reconoce una tasa de
interés del 3% capitalizable mensualmente. Se desea saber, ¿cuánto dinero se tendrá
acumulado al final del sexto mes?
El valor acumulado al final del sexto mes también se lo puede calcular con la siguiente
fórmula de valor Futuro:

42. INTERÉS DE UN CAPITAL A INTERÉS COMPUESTO
42

43. FÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO
CÁLCULODELATASADEINTERÉS
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CÁLCULODELNÚMERODE
PERIODOS

44. FÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO
(Resumen)
𝑉𝐹= 𝑉𝑃(1+ 𝑖)𝑛
𝐼= 𝑉𝑃(1 + 𝑖𝑛− 1)
𝑉𝑃=
𝑉𝐹
(1+𝑖)𝑛
𝑉
𝑃
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𝑉𝐹1
𝑖= ( )𝑛− 1
𝑉
𝐹
𝑛= 𝑉𝑃
ln( )
ln(1+ 𝑖
)
ValorFuturo
InterésCompuesto
ValorPresente
Tasa deInterés
Cálculodenúmerodepagos

45. DESCUENTOCOMPUESTO
45

46. DESCUENTOCOMPUESTOBANCARIOOCOMERCIAL
La fórmula para determinar el Descuento Bancario o Comercial Compuesto es igual a:
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47. CONCEPTO.- Es la operación financiera que tiene por objeto el cambio de un capital futuro por
otro equivalente con vencimiento presente también opera con base en el interés compuesto; se lo
identifica por cuanto hay capitalizacioneshasta la fecha de vencimiento. Se simboliza con Dc.
DESCUENTOREALCOMPUESTO
Realizando el reemplazo de fórmulas se obtiene que el Descuento Real Compuesto es igual
a:
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48. EJERCI
CIO
DESCUENTOREALCOMPUESTO
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49. TRABAJO EN
CLASE
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