matematica

1. 1.7 INTEGRACION DE VARIAS VARIABLES.
(1.7_CvR_T_061, Revisión: 18-09-06, C8, C9, C10)
1.7.1. INTRODUCCIÓN.
En R1
la interpretación gráfica de la integral es el área bajo la curva; la generalización
puede hacerse de la siguiente manera:
f(x,y)
D
dx
f(x)
f (x)dx
a
b
∫
Para f(x,y) ∈ C [D], la integral representa el volumen limitado por
el plano x-y, la función f(x,y) y una superficie cilíndrica cuya sección transversal en x-y es
el dominio D.
F(D) = f (x,y)dxdy
D
∫∫
En general, estas integrales representan una secuencia de integrales en una sola
dimensión:
F(D) = f (x,y)dx
x1 (y)
x2 (y)
∫
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
dy
y1
y2
∫
R
z
y
x
Ejemplo 1: Volumen V(R) de una esfera:
Considerando media esfera:
D : x,y x2
+ y2
≤ R2
{ } ⇒ f (x,y) = R2
− x2
− y2
Para un valor dado de 2 2
1,2
:
y x R y
= + −
∴ El volumen de media esfera:
H(R) = f (x,y)dx
− R2
− y2
R2
− y2
∫
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥dy
− R
R
∫
Por simetría podemos ver que:
2 2 2 2
1
2 2 2
0 0 0 0
( ) 4 ( , ) 4
R R y R R y
I
H R f x y dx dy R x y dx dy
− −
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
= = −
⎢ ⎥ −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫
42

2. Haciendo el cambio de variable: 2
sen , 2
x a a R
θ y
= = − , la integral puede evaluarse
como:
/2 /2
2 2 2 2 2
1 0 0
sen cos cos
I a a a d a d
π π
θ θ θ θ θ
= − =
∫ ∫
= (R2
− y2
)π
4 ⇒ H(R) = 4 (R2
− y2
)
π
4
dy
0
R
∫ =
2πR3
3
x
y
2a
2a
2a
z
Volumen total: V(R) = 2H(R) =
4πR3
3
Ejemplo 2: Volumen de un cubo de lados 2a centrado en el origen.
Por simetría: V = 8 adxdy
0
a
∫
0
a
∫
V = 8a dx dy
0
a
∫
0
a
∫ = 8a3
En este caso los rangos de integración son independientes entre sí y la integral es más
sencilla.
En general, las COORDENADAS CARTESIANAS son útiles y convenientes si D está
limitado por líneas x = cte, y = cte. Además, si )
(
)
(
)
,
( y
Y
x
X
y
x
f =
⇒ I(D) = Y(y)dy
y1
y2
∫ X(x)dx
x1
x2
∫
La evaluación de estas integrales se simplifica si se utilizan coordenadas adecuadas a la
geometría del problema.
1.7.2. COORDENADAS POLARES.
Caso 2-D de las coordenadas cilíndricas. Puntos definidos por (r,θ).
θ
r
y
x
y θ =cte
r =cte
x
(r, θ)
Intersección en
ángulo recto
x = rcosθ r2
= x2
+y2
y = rsenθ θ = tan−1 y
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
r y θ → COORDENADAS ORTOGONALES, i.e., las curvas r = cte. y θ =cte. se
intersectan en ángulos rectos.
Para el ejemplo de la esfera:
DOMINIO E INTEGRANDO
son ahora funciones de una sola
variable (problema mucho más
sencillo).
CARTESIANAS POLARES
f (x,y) = R2
− x2
− y2
D ⇒ x2
+ y2
≤ R2
→ f (r,θ) = R2
− r2
r ≤ R
43

3. ¿Qué pasa con los diferenciales?
CARTESIANO POLAR
Longitud de
arco
x
y
∆ r
θ
θ+∆θ
r+∆r
r
x
y
∆x
∆y
r∆θ
∴∆x∆y → r∆r∆θ ⇒ dxdy → rdrdθ
El factor r es un factor de escala que garantiza que la transformación y los cálculos a
realizar se mantengan dimensionalmente correctos. El factor de escala (en general) está
dado por el jacobiano de la transformación:
cos
,
cos
,
x x
rsen
x y r
J r
y y sen r
r
r
θ θ
θ
θ θ
θ
θ
∂ ∂
−
⎛ ⎞ ∂ ∂
= =
⎜ ⎟ ∂ ∂
⎝ ⎠
∂ ∂
=
De aquí se obtiene por ejemplo: área de un círculo
A = rdr
0
2π
∫ dθ
0
R
∫ = πR2
→
Generalización a 3-D: coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas, etc.
1.7.3. COORDENADAS CILÍNDRICAS.
Punto definido por r,θ,z
( )
( )
2 2
1
tan
( , , )
r x y
y
x
z z
J r z r dxdydz rdrd dz
dxdy rdrd
θ
θ θ
θ
−
= +
=
=
= ⇒ ⇔
⇔
y
z
(r, θ, z)
θ
r
x
44

4. Ejemplo: El volumen de un cilindro de altura H y sección transversal 2R es:
1.7.4. COORDENADAS ESFÉRICAS.
Punto definido por (r, θ, φ)
y
z
θ
φ
(r, θ, φ)
( )
( )
2 2 2
1
1
2 2
sen cos
cos sen sen
cos
tan
( , , ) sen sen
r x y z x r
z y r
r
z r
y
x
J r r dxdydz r drd d
θ φ
θ θ
θ
φ
φ
θ φ θ θ
−
−
= + + =
= ↔ =
=
=
= ⇒ ⇔ θ φ
HR
π
=
2 2
2
0 0 0 0 0 0
R H R H
V rdrd dz rdr d dz
π π
θ θ
= =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
r
x
1.7.5. TRANSFORMACIONES GENERALES DE LAS COORDENADAS.
Caso general: transformación de coordenadas cartesianas a otro tipo de sistema.
(x,y,z) →
(r,θ,z) cilíndricas
(r,θ,φ) esféricas
(u,v,w) transformación general
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Definamos: {x1, x2, x3} → coordenadas CARTESIANAS
{θ1, θ2, θ3} → coordenadas CURVILINEAS
La transformación genera relaciones entre coordenadas:
Tx(cart → curv):
θ1
θ2
θ3
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
=
θ1(x1,x2,x3 )
θ2 (x1,x2,x3 )
θ3(x1,x2,x3 )
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
; Tx(cart ← curv):
x1
x2
x3
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
=
x1(θ1,θ2,θ3 )
x2 (θ1,θ2,θ3 )
x3(θ1,θ2,θ3 )
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
El factor de escala se define ahora de manera matricial; y se requieren varios pasos para
obtener las relaciones entre las coordenadas. Primero, se define la MATRIZ DEL
JACOBIANO DE LA TRANSFORMACIÓN:
45

5. 1 1 1
1 2 3
2 2 2
1 2 3
3 3 3
1 2 3
; Jacobiano de la transformación
x x x
x x x
J
x x x
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
⎛ ⎞
∂ ∂ ∂
⎜ ⎟
∂ ∂ ∂
⎜ ⎟
⎜ ⎟
∂ ∂ ∂
= = →
⎜ ⎟
∂ ∂ ∂
⎜ ⎟
⎜ ⎟
∂ ∂ ∂
⎜ ⎟
⎜ ⎟
∂ ∂ ∂
⎝ ⎠
J J
Se pueden definir los elementos diferenciales con las transformaciones θi(x1, x2, x3), i.e.:
dθ1 =
∂θ1
∂x1
dx1 +
∂θ1
∂x2
dx2 +
∂θ1
∂x3
dx3
dθ2 =
∂θ2
∂x1
dx1 +
∂θ2
∂x2
dx2 +
∂θ2
∂x3
dx3
dθ3 =
∂θ3
∂x1
dx1 +
∂θ3
∂x2
dx2 +
∂θ3
∂x3
dx3
Re-escribiendo utilizando la notación indicial:
3
1
, 1,2,3
i i
i k k
k k k
d dx dx i
x x
θ θ
θ
=
∂ ∂
≡ = =
∂ ∂
∑ .
En notación indicial, k es un índice repetido que indica suma. De manera similar,
podemos expresar los elementos diferenciales como:
dxi =
∂xi
∂θk
dθk
Las diferenciales pueden relacionarse ahora (considerando el jacobiano):
dx = J • dθ ⇔ dθ = J−1
• dx
Ahora bien, consideremos la longitud de arco dl:
En coordenadas cartesianas dl2
=dx2
+dy2
+dz2
Para el caso más general:
⇒ ds2
= gijdxidxj = gijdxidxj
j=1
3
∑
i=1
3
∑ ; dxi ,dxj − diferenciales
gij son los componentes del tensor métrico fundamental
dl
46

6. En coordenadas cartesianas⇒
donde δ
ds2
= dx • dx = dx2
+ dy2
+ dz2
⇒ gij ≡ δij =
1, i = j
0, i ≠ j
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
ij es la DELTA DE KRONECKER.
En el caso de las coordenadas cartesianas:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
ij
g
En general, para coordenadas ortogonales:
gij =
h1
2
0 0
0 h2
2
0
0 0 h3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
, h1, h2, h3 son los FACTORES DE ESCALA.
Con esto, finalmente, el elemento de volumen está dado por:
dVx = dxdydz ⇔ dVθ = Jdθ1dθ2dθ3 = h1h2h3dθ1dθ2dθ3
Si utilizamos coordenadas ortogonales: J= h1h2h3 J = J
( ).
Utilicemos las relaciones anteriores para el caso de coordenadas esféricas:
θ1 = r = x1
2
+ x2
2
+ x3
2
= x2
+ y2
+ z2
θ2 = θ = cos−1 x3
x1
2
+ x2
2
+ x3
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = cos−1 z
x2
+ y2
+ z2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
( )
1 1
2
3
1
tan tan
x y
x x
θ φ − −
⎛ ⎞
= = =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Transformación (cart ← curv):
1
2
3
sen cos
sen sen
cos
x x r
x y r
x z r
θ φ
θ φ
θ
= =
= =
= =
1 1
1 3
3 3
1 3
sen cos cos cos sen sen
sen sen cos sen sen cos
cos sen 0
i
j
x x
r r
x
r r
x x r
θ θ θ φ θ φ θ φ
θ φ θ φ θ
θ
φ θ
θ θ
∂ ∂
⎛ ⎞
⎜ ⎟
∂ ∂ −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎛ ⎞
∂ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
= = =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ∂ ∂ −
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎜ ⎟
∂ ∂
⎝ ⎠
J
…
…
1 2
ˆ ˆ ˆ
g g g
↑ ↑ ↑
φ
3
47

7. ds⊥
êr
n
dθ
ds
γ
segmentos p
(ds) que aproximan
rectas
equeños
=
h1
2
0 0
0 h2
2
0
0 0 h3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
→ hi = ĝi
Por ortogonalidad: ( )
gij
( )
1
2 2 2 2 2 2
1
ˆ sen cos sen sen cos
g θ φ θ φ θ
= + +
⇒ ĝ1 = h1 = 1
ĝ2 = h2 = r
ĝ3 = h3 = rsenθ
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
→ gij
( )=
1 0 0
0 r2
0
0 0 r2
sen2
θ
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
∴ la diferencial de volumen dVθ = Jdθ1dθ2dθ3
J = J = h1h2h3 = r2
senθ ⇒ dxdydz ⇔ r2
senθdrdθdφ
1.7.6. ÁNGULO SÓLIDO.
Consideremos la longitud de arco dada por:
ds
r
=
ds rd d
θ θ
= ⇒
y
x
círculo
(radio r)
θ+dθ
θ
dθ
Longitud de
arco (ds) Esto representa entonces el ángulo subtendido por
el arco. Consideremos ahora cualquier curva
cerrada que contenga al origen. En este caso la
relación:
ds
d
r
θ = ,
no necesariamente se cumple. El caso más
general se puede plantear de la siguiente manera:
cos ds
ds
d
r r
γ
θ ⊥
= ≡
Al sumar todos los ángulos debemos
obtener: dθ
∫ = 2π
⇒ Toda curva cerrada que rodea al
origen subtiende un ángulo de 2π.
Para obtener la generalización de esto en
el espacio de tres dimensiones,
consideremos una esfera centrada en el
origen:
48

8. 2
sen sen
ds rd r d r d d
θ θ φ θ θ φ
= = z
ds
y
x
El área de la esfera es entonces:
2
2 2
0 0
sen 4
ds r d d r
π π
φ θ θ π
= =
∫ ∫ ∫
Para un esfera de radio r, las líneas de la diferencial de
superficie están delimitadas por las curvas:
,
,
θ θ θ
φ φ φ
+ ∆
+ ∆
Se dice que el área ds subtiende un ÁNGULO SÓLIDO en el centro de (dΩ) la esfera
dado por:
2
ds
d
r
Ω =
O bien, el área de una porción de esfera subtiende un ángulo sólido dΩ es:
2
ds r d
= Ω
Sabemos que: ds 2 2
sen ( cos ) 2
r d d r d d r dzd
θ θ φ θ φ φ
= = =
sen
d dzd d d
φ θ θ φ
Ω = =
⇒
El ángulo sólido total es entonces: dΩ = 4π
∫
Generalizando igual que en el caso anterior (2-D) se obtiene que cualquier superficie
cerrada que contiene al origen subtiende un ángulo sólido de 4π.
1.7.7. APÉNDICE: TRANSFORMACIONES A COORDENADAS
CURVILÍNEAS GENERALES.
(17_CvR_H_v11; 8-marzo-2004)
Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas x1, x2, x3 con vectores base
ˆ
i1, ˆ
i2, ˆ
i3
{ }.
49

9. Transformamos a un sistema de coordenadas curvilíneas θ1, θ2, θ3 con vectores de la base
natural .
ˆ
g1, ˆ
g2, ˆ
g3
{ }
ˆ
g1
ˆ
g2
θ3
θ1
θ2
ˆ
g3
ˆ
i3
x3
x2
ˆ
i1
ˆ
i2
r
x1
Notas:
1. Planteamos una transformación de cartesianas a curvilíneas para examinar las
propiedades del sistema de coordenadas curvilíneas; los resultados pertenecen al
sistema de coordenadas y no a la transformación.
2. En general hay cuatro bases importantes para un sistema de coordenadas
curvilíneas:
• Base natural ˆ
g1, ˆ
g2, ˆ
g3
{ }
• Base natural física ˆ
e1, ˆ
e2, ˆ
e3
{ } = base natural normalizada
• Base recíproca
• Base recíproca física = base recíproca normalizada
3. Los vectores de la base natural son tangentes a las coordenadas.
4. La notación correcta consiste en utilizar superíndices para coordenadas y utilizar,
para índices repetidos (que implican suma), una pareja de superíndice y subíndice.
Esto es, ó u para indicar suma, i.e. v
vk
ˆ
gk m
ˆ
gm k
ˆ
gk = v1
ˆ
g1 + v2
ˆ
g2 + v3
ˆ
g3. En esta
clase simplificamos y sólo utilizamos superíndices para la base recíproca y
componentes contravariantes en la sección 3.5.
5. El objetivo de este desarrollo es derivar el resultado, para coordenadas curvilíneas
ortogonales, J= h1h2h3 donde J es el jacobiano y h1, h2, h3 son los factores de
escala. Además se demostrará que dVθ = J dθ1dθ2dθ3 . Por otra parte se discutirá
el diferencial de longitud de arco y su relación al tensor métrico fundamental;
todo lo anterior a partir de los componentes cartesianos de los vectores de la base
natural.
Consideremos la transformación:
50

10. Tx :Cart → Curv Tx :Curv → Cart
θ1 = θ1(x1,x2,x3)
θ2 = θ2(x1,x2,x3)
θ3 = θ3(x1,x2,x3)
x1 = x1(θ1,θ2,θ3)
x2 = x2(θ1,θ2,θ3)
x3 = x3(θ1,θ2,θ3)
El primer paso en el desarrollo es obtener los vectores de la base natural; para lograrlo
consideramos el radio vector r (que va desde el origen hasta un punto P en el espacio):
r = x1
ˆ
i1 + x2
ˆ
i2 + x3
ˆ
i3 = xk
ˆ
ik
k=1,3
∑ = xk
ˆ
ik
en donde se puede omitir la sumatoria si se considera que los índices repetidos implican
suma. Nótese que podemos obtener los vectores de la base si sacamos parciales del radio
vector con respecto a las coordenadas:
ˆ 1,2,3
k
k
i k
x
∂
∂
= =
r
.
Si consideramos el radio vector como función de las coordenadas curvilíneas
r = θ1
ˆ
g1 + θ2
ˆ
g2 + θ3
ˆ
g3 = θk
ˆ
gk
obtenemos
ˆ 1,2,3
k
k
g k
∂
∂θ
= =
r
,
en este caso pensamos que el radio vector es función de las coordenadas curvilíneas; si
aplicamos la ecuación anterior al radio vector que depende de las coordenadas cartesianas
utilizamos la regla de la cadena
1 2 3 1 2 3
( , , ) ( , , ) ˆ
ˆ 1,2, o 3
m m
k m
k m k k
x x x x x x x x
g i
x
k
∂ ∂ ∂ ∂
∂θ ∂ ∂θ ∂θ
= = = =
r r
en donde el índice repetido m implica suma tomando valores 1,2 y 3. Con esto se puede
ver que los componentes (cartesianos) de los vectores de la base natural del sistema
curvilíneo se obtienen a partir de la transformación de coordenadas curvilíneas a
cartesianas
ˆ
ˆ 1,2,o3
m
k m
k
x
g i k
∂
∂θ
= =
J ≡ ∂x
∂θ
( )=
∂x1
∂θ1
∂x1
∂θ2
∂x1
∂θ3
∂x2
∂θ1
∂x2
∂θ2
∂x2
∂θ3
∂x3
∂θ1
∂x3
∂θ2
∂x3
∂θ3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
Componentes cartesianos de g
ˆ1
ˆ
g2
ˆ
g3
Se puede ver que los componentes de
ˆ
g1 están dados por la primera columna
de la matriz del jacobiano de la
transformación; esto es, las columnas
de la matriz del jacobiano nos dan los
componentes cartesianos de los
vectores de la base natural.
A partir de este punto nos restringimos
51

11. a sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales (OG); en estos sistemas, los vectores
de la base natural son ortogonales aunque no necesariamente ortonormales (ON).
El segundo paso en el desarrollo consiste en normalizar los vectores de la base natural y
obtener la base natural física . Se define a los factores de escala h
ˆ
e1, ˆ
e2, ˆ
e3
{ } m como la
magnitud de los vectores de la base natural; esto es
2 2 2
3
1 2
ˆ ˆ ˆ 1,2o3
m m m m
m m m
x
x x
h g g g m
∂
∂ ∂
∂θ ∂θ ∂θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
≡ = • = + + =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Con esto podemos definir los vectores (ortonormales; ON) de la base natural física
ˆ
em ≡
ˆ
gm
hm
m =1,2ó3 (sinsuma)1
.
Cabe hacer notar que estos vectores son adimensionales, mientras que los vectores de la
base natural pueden tener dimensiones; en particular, si una coordenada es un ángulo, el
vector (de la base natural) asociada a esa coordenada tendrá dimensiones de longitud. Lo
anterior se puede ver de la ecuación del radio vector que tiene dimensiones de longitud;
por tanto los sumandos tienen dimensiones de longitud y si una coordenada no tiene
dimensiones entonces las dimensiones (de longitud) las tendrá el vector que multiplica a
esa coordenada.
El producto interno de los vectores de la base natural física se puede expresar en términos
de la delta de Kronecker:
ˆ
ek • ˆ
em = δkm =
1 si k = m
0 si k ≠ m
⎧
⎨
⎩
Es de uso común denotar los vectores de la base natural física por las coordenadas en vez
de números; esto es se escribe
ˆ
e1, ˆ
e2, ˆ
e3
{ } ˆ
er, ˆ
eθ , ˆ
ez
{ } en coordenadas cilíndricas o
en coordenadas esféricas.
ˆ
er, ˆ
eθ , ˆ
eφ
{ }
Un resultado que nos será de gran utilidad posteriormente es el cálculo del jacobiano
(J=determinante de la matriz del jacobiano) en términos de los factores de escala;
considerando el producto de la transpuesta de la matriz del jacobiano por la matriz del
jacobiano tenemos que
JT
• J =
ˆ
g1
ˆ
g2
ˆ
g3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
• ˆ
g1
ˆ
g2
ˆ
g3
( )= ˆ
gi • ˆ
gj
( )=
ˆ
g1 • ˆ
g1
ˆ
g1 • ˆ
g2
ˆ
g1 • ˆ
g3
ˆ
g2 • ˆ
g1
ˆ
g2 • ˆ
g2
ˆ
g2 • ˆ
g3
ˆ
g3 • ˆ
g1
ˆ
g3 • ˆ
g2
ˆ
g3 • ˆ
g3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
h1
2
0 0
0 h2
2
0
0 0 h3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
= TMF
donde la última matriz es diagonal (para coordenadas OG) y se denomina el tensor
métrico fundamental (TMF; regresaremos al TMF posteriormente). Puesto que la
determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes y el
1
Nótese que la m del factor de escala está subrayada para indicar que en este caso m no
está repetida y no hay suma; esto es, ˆ
e1 =
ˆ
g1
h1
, etc.
52

12. determinante de la transpuesta de una matriz es igual al determinante de la matriz,
tenemos que, si sacamos determinantes de la ecuación anterior,
JT
• J = J
2
= J2
= h1
2
h2
2
h3
2
= h1h2h3
( )
2
⇒ J = h1h2h3
Esto es, para un sistema de coordenadas curvilíneas OG, el jacobiano está dado por el
producto de los factores de escala.
El tercer paso en el desarrollo es el cálculo de la longitud de arco dl; para un camino en el
espacio tenemos que si r = θk
ˆ
gk entonces dr = dθk
ˆ
gk . Con esto2
dl2
= dr
2
= dr • dr = dθk
ˆ
gk • dθm
ˆ
gm = ˆ
gk • ˆ
gm
( )dθkdθm
El producto interno de los vectores de la base natural son los
componentes del tensor métrico fundamental (TMF) y se
denominan gkm. Con esto escribimos
dr
dl
r
TMF = gkm
( )≡ ˆ
gk • ˆ
gm
( )= JT
• J =
h1
2
0 0
0 h2
2
0
0 0 h3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
en donde la última expresión sólo es válida en coordenadas OG. Finalmente, obtenemos
una expresión para la longitud de arco:
dl2
= gijdθidθ j = h1
2
dθ1
2
+ h2
2
dθ2
2
+ h3
2
dθ3
2
De nuevo, la última expresión es válida en coordenadas OG.
El último paso en el desarrollo es el cálculo del volumen del elemento diferencial, el cual
se puede escribir utilizando el triple producto escalar:
ˆ
g1dθ1
ˆ
g2dθ2
θ3
θ2
ˆ
g3dθ3
θ1
dVθ = ˆ
g1dθ1 ∧ ˆ
g2dθ2
( )• ˆ
g3dθ3 = ˆ
g1 ∧ ˆ
g2
( )• ˆ
g3dθ1dθ2dθ3
Considerando el triple producto escalar de los vectores,
ˆ
g1 ∧ ˆ
g2
( )• ˆ
g3 =
dxk
dθ1
ˆ
ik ∧
dxl
dθ2
ˆ
il
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟•
dxm
dθ3
ˆ
im = ˆ
ik ∧ˆ
il
( )• ˆ
im
dxk
dθ1
dxl
dθ2
dxm
dθ3
se puede ver que ˆ
ik ∧ˆ
il = εkln
ˆ
in en donde
εkln =
1 si kln son permutación par de {1,2,3}
−1 si kln son permutación impar de {1,2,3}
0 si kln están repetidos
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
entonces, ˆ
ik ∧ ˆ
il • ˆ
im = εkln
ˆ
in • ˆ
im = εklnδnm = εklm , y con esto
ˆ
g1 ∧ ˆ
g2
( )• ˆ
g3 = εklm
dxk
dθ1
dxl
dθ2
dxm
dθ3
.
2
Nótese la doble sumatoria sobre k y m.
53

13. Ahora bien, de la triple sumatoria sobre los índices k, l, m tenemos 27 sumandos de los
cuales 21 sumandos son cero (índices repetidos), tres son positivos (εklm = +1) y tres son
negativos (εklm = −1). Con esto, hacemos la expansión de la ecuación anterior y
obtenemos
ˆ
g1 ∧ ˆ
g2
( )• ˆ
g3 =
dx1
dθ1
dx2
dθ2
dx3
dθ3
+
dx2
dθ1
dx3
dθ2
dx1
dθ3
+
dx3
dθ1
dx1
dθ2
dx2
dθ3
−
dx1
dθ1
dx3
dθ2
dx2
dθ3
−
dx3
dθ1
dx2
dθ2
dx1
dθ3
−
dx2
dθ1
dx1
dθ2
dx3
dθ3
Examinando la ecuación anterior, vemos que
ˆ
g1 ∧ ˆ
g2
( )• ˆ
g3 =
dx1
dθ1
dx1
dθ2
dx1
dθ3
dx2
dθ1
dx2
dθ2
dx2
dθ3
dx3
dθ1
dx3
dθ2
dx3
dθ3
= J
Finalmente, sustituyendo este resultado en la expresión del volumen diferencial,
obtenemos
En donde el último resultado se aplica a coordenadas OG. Cabe hacer notar que todos los
resultados en donde no aparecen los factores de escala se pueden utilizar en coordenadas
curvilíneas generales; sólo cuando aparecen los factores de escala, el resultado se limita a
coordenadas curvilíneas OG.
El último resultado se puede aplicar a diferenciales de área cuando las coordenadas son
2D; esto es, cuando la transformación es del tipo
Tx :Cart → Curv 2D Tx :Curv 2D → Cart
θ1 = θ1(x1,x2)
θ2 = θ2(x1,x2)
θ3 ≡ x3
x1 = x1(θ1,θ2)
x2 = x2(θ1,θ2)
x3 ≡θ3
en este caso,
dVθ = ˆ
g1 ∧ ˆ
g2
( )• ˆ
g3dθ1dθ2dθ3 = Jdθ1dθ2dθ3 = h1h2h3dθ1dθ2dθ3
dA12 = Jdθ1dθ2 = h1h2dθ1dθ2 .
De nuevo, el primer resultado es general, mientras que el segundo se aplica a
coordenadas 2D OG.
Sistemas de coordenadas 2D incluyen el sistema Cartesiano, Cilíndrico, Elíptico-
Cilíndrico, Parabólico- Cilíndrico y Bipolar; sistemas 3D OG incluyen el Esférico3
,
Paraboidal, Cónico, Toroidal, Biesférico, etc.
3
En FMM tomaremos las coordenadas esféricas como {r, θ, φ} (como se definen en el
paquete Calculus`VectorAnalysis` de Matemática y en el libro de Narasimhan), a
diferencia de {r, φ ,θ} como se definen en otros libros.
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