El documento explica las integrales triples, que se usan para calcular volúmenes, masas y otros valores físicos. Define la integral triple y explica cómo calcularla mediante integrales iteradas o para encontrar el volumen de un sólido. Luego, presenta ejemplos resueltos de cálculo de volúmenes usando integrales triples.

1. El conocimiento de las Integrales Triples se convierte en una
herramienta útil, pues tiene muchas aplicaciones en ingeniería y en
la propia matemática; por ejemplo el cálculo del volumen de
sólidos, masa, momento estático, centro de masa y momento de
inercia.
DEFINICIÓN

2. 3
1 2
Consideremos una función : además supongamos que podemos
particionar en conjunto en paralelepípedos cuyas caras son paralelas a los
planos coordenados, llamaremos a estas particiones ,
f S
S
P P P
 

R R
s
 3, ,...., , ,
además decidimos que | | es la diagonal mayor de los paralelepípedos de .
nP P
P P
MARCO TEORICO

3. 3 3
integral triple de la función : integrable en , Se define:La f S S  R R R
  2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) (
; ;
;
, , )
;
b x x y
S a x x y
dxdydz dydxdz dzdxdy
dxdzdy dydzd
f x y z dzdydx f x y
x dzd
z dz d
y
x
d
y d
x
 
 
   
CÁLCULO DE INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE INTEGRALES ITERADAS
El calculo de integrales triples puede darse mediante tres ordenes:
| | 0
1
( , , ) lim ( , , ) . .
n
i i i i i iS P
i
L f x y z dxdydz f x y z x y z


    
Tomaremos como ejemplo el orden dzdydx, los demás son similares.

4. 2
2 2
Integrar la función ( , , ) en la región limitada por los planos coordenados y
las superficies 1 y 1
f x y z y
x y z y

   
EJERCICIO N°01
PROBLEMAS RESUELTOS

5. Vemos que:
0 1
0 1
0 1
z y
x y
y
  
  
 
2 2
1 1 1
2
0 0 0
y y
L y dz dx dy
   
   
  
  
EJERCICIO N°01
PROBLEMAS RESUELTOS

6. Calcule la integral triple de la función ( , , ) , en la region limitada por los
planos coordenados y el plano : 2 2 4.
f x y z y
P x y z

  
EJERCICIO N°02

7. Vemos que:
0 2
0 2
0 4 2 2
x y
y
z x y
  
 
   
2 2 2 2 4
0 0 0
y x y
L y dz dx dy
   
   
EJERCICIO N°02

8. 3
Para calcular el volumen de un solido, la funcion : es
( , , ) 1, ( , , ) , entonces el volumen del sólido está dado por:
f S
f x y z x y z S
 
  
R R
CÁLCULO DE 𝐕𝐎𝐋𝐔𝐌𝐄𝐍𝐄𝐒 𝐌𝐄𝐃𝐈𝐀𝐍𝐓𝐄 𝐈𝐍𝐓𝐄𝐆𝐑𝐀𝐋𝐄𝐒 𝐓𝐑𝐈𝐏𝐋𝐄𝐒
( )
S S
V S dV dxdydz  

9. 2
2
Hallar el volumen de un sólido cuya tapa es el cilindro y cuya base está
limitada por las lineas , 2 sobre el plano .
z x
y x y x XY

  
EJERCICIO N°01
PROBLEMAS RESUELTOS
2
2
2
Luego hallamos sus puntos de
intersección igualando las ecuaciones:
2
2 0
factorizando obtenemos
( 2)( -1) 0
2 ó 1
Vemos que:
2 1
2 2
x x
x x
x x
entonces
x x
x
y x
 
  
 
  
  
   

10. EJERCICIO N°01
PROBLEMAS RESUELTOS
2
Vemos que:
0 z x 

11. EJERCICIO N°01
PROBLEMAS RESUELTOS
2 2
1 2
2 0
Calculamos el volumen:
x x
x
V dz dy dx


   

12. 2 2 2
Calcular el volumen del sólido limitado por la esfera 81 y el plano .x y z XY  
EJERCICIO N°02
Solución
Se calcula la mitad superior de la esfera. 2 2
Si hacemos 0 tenemos que 81.
Una circunferencia en el plano XY.
z x y  

13. EJERCICIO N°02
Vemos que:
2 2
2 2 2 2
9 9
81 81
81 81
x
x y x
x y z x y
  
    
      
Calculamos el volumen del sólido:
2 2 2
2 2 2
9 81 81
9 81 81
x x y
x x y
V dz dy dx
   
      
   