Funciones de Varias Variables. Introducción.

Cálculo en Varias Variables
Capítulo 1: Funciones de Varias Variables
1.1 Nociones de Espacio Métrico
1.2 Superficies. Superficies Cuádricas
1.3 Funciones de Varias Variables
1.4 Límites y Continuidad

2
 Módulo:
 
1 2
, ,..., n
n
x x x x
 
2 2 2
1 2 ... n
x x x x
    es el módulo de x
Propiedades del Módulo
1) 0, 0 0
x x x
   
2) ,
x x
  
 
3) x y x y
  
,
n
es un espacio vectorial cuyos elementos tienen la forma siguiente:
 
1 2
, ,..., n
n
x x x x
  donde 1 2
, ,..., n
x x x  .
A este espacio vectorial se le da estructura de espacio métrico al definir el
módulo y, a partir de él, la distancia.

3
 Disco Abierto:
   
0 0 0 0
, , 0: ( ) / ( , ) /
n n n
r
x r r D x x d x x r x x x r
         
Disco abierto de centro 0
x y radio .
r (Si al disco se le quita el centro se anota: 0
( ),
r
D x

Así:    
0 0 0 0
( ) ( ) / 0 )
n
r r
D x D x x x x x r

      
Propiedades de la Distancia 1) ( , ) 0, ( , ) 0
d x y d x y x y
   
2) ( , ) ( , )
d x y d y x

3) ( , ) ( , ) ( , )
d x y d x z d z y
 
Se cumple que: ( , )
d x y x y
 
Distancia:
 
1 2
, ,..., ,
n
x x x x
  
1 2
, ,..., n
n
y y y y
 
  2 2 2
1 1 2 2
, ( ) ( ) ... ( )
n n
d x y x y x y x y
      
x y
es la distancia entre e

4
 Interior, Frontera y Exterior de un conjunto:
n
A 
Interior de A:  
 
( ) /
n
r
Int A x D x A
   
Frontera de A:
     
 
( ) / ,
n c
r r r
Fr A x D x D x A D x A
         
Exterior de A:  
 
( ) /
n c
r
Ext A x D x A
   
Se cumple: n
A
  ( ) ( ) ( )
n
Int A Fr A Ext A
   (Unión disjunta).
 Conjunto Cerrado:
,
n
A A
 es conjunto cerrado si: c
A es abierto ( ( ) ).
Fr A A
 
 Conjunto Abierto:
,
n
A A
 es conjunto abierto si:  
0 0
, .
r
x A D x A
   

5
Vecindad de un punto:
0 .
n
x  Una vecindad de 0
x es un conjunto abierto que contiene a 0
x .
Conjunto Acotado:
,
n
A A
 es conjunto acotado si:    
0 / 0 .
 
r r
D A D
Conjunto Compacto:
,
n
A A
 es conjunto compacto si A es cerrado y acotado.
Observación: Para un conjunto se dan 3 posibilidades:
• Si todos los puntos frontera pertenecen a A ( ) : A es cerrado.
• Si ninguno de sus puntos frontera pertenecen a A: A es abierto.
• Si algunos de sus frontera pertenecen a A y otros no: A no es abierto ni
cerrado.
n
A 
( ) 
Fr A A

6
Superficies:
Una superficie S es un conjunto de puntos del espacio determinado por una ecuación
de la forma: ( , , ) 0
F x y z 
O sea:    
 
3
, , / , , 0
S x y z F x y z
  
Los puntos de la superficie son los que satisfacen la ecuación y viceversa.
Algunas superficies más usadas son:
Plano:
Un plano tiene ecuación: 0
Ax By Cz D
    Con , ,
A B Cno todos nulos.
Esfera:
La ecuación de una esfera de centro ( , , )
C h k l y radio r es:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
     
x h y k z l r
El plano que pasa por 0 0 0
0 ( , , )
P x y z y tiene vector normal ( , , )

N A B C tiene ecuación:
     
0 0 0
0
     
A x x B y y C z z
Una ecuación de la forma 2 2 2
0
      
x y z Dx Ey Fz G puede ser una
esfera, un punto o vacío. (Para determinarlo se completan cuadrados).

7
Cilindro: (Cilindro recto)
Es la superficie formada por una recta que se mueve manteniéndose
perpendicular a un plano dado y que intersecta a una curva dada contenida en
dicho plano.
La curva se llama Directriz y la recta se llama Generatriz.
Si la curva está en en plano XY , por ejemplo:
( , ) 0
0
F x y
z
 

 
.
La ecuación del cilindro es: ( , ) 0
F x y  .
Análogamente: en plano YZ, la ecuación es ( , ) 0
F y z  y en
plano XZ, la ecuación es ( , ) 0
F x z 
Si la curva es una circunferencia se llama Cilindro Circular.
Análogamente tenemos Cilindro Elíptico, Cilindro Parabólico y Cilindro
Hiperbólico.

8
Trazas de una Superficie:
Una traza de una superficie es la curva obtenida al intesectar la superficie con un
plano paralelo a un plano coordenado.
Determinar las trazas de una superficie consiste en hallar las trazas respecto de
planos paralelos a los 3 planos coordenados. Esto permite tener una idea de cómo
es el gráfico de la superficie.
Ejemplo:
Determinar las trazas de la superficie siguiente y graficarla:
2 2 2
25 9 25 225 0
x y z
   
Solución:
Trazas con planos paralelos a plano XY:
z k
 ;
2 2 2
1
9 25 9
x y k
  
2 2 2
1
9 25 9
x y k
   
 Son elipses si:
2 2
2
1 0 1 9 3 3
9 9
k k
k k
         

9
 Es un punto si:
2
1 0 3
9
k
k
    
 No hay traza (Vacío) si:
2
1 0 3 3
9
k
k k
      
Trazas con planos paralelos a plano XZ:
y k
 ;
2 2 2
1
9 25 9
x k z
   ,
2 2 2
1
9 9 25
x z k
   
 Son circunferencias si:
2 2
2
1 0 1 25 5 5
25 25
k k
k k
         
 Es un punto si:
2
1 0 5
25
k
k
    
2
1 0 5 5
25
k
k k
      

10
Trazas con planos paralelos a plano YZ:
x k
 ;
2 2 2
1
9 25 9
k y z
   ,
2 2 2
1
25 9 9
y z k
   
 Son elipses si:
2 2
1 0 1
9 9
k k
   
2
9
k
  3 3
k
  
 Es un punto si:
2
1 0 3
9
k
k
    
2
1 0 3 3
9
k
k k
      
El grafico es:

11
Si la ecuación contiene términos que incluyen las
expresiones xy, xz e yz significa que la
superficie está rotada respecto de los ejes coordenados
(NO SE CONSIDERARÁN).
Superficies Cuádricas:
Elipsoide:
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
  
Una Superficie Cuádrica es la que tiene ecuación de la forma:
2 2 2
0
Ax By Cz Dxy Eyz Fxz Gx Hy Iz J
         
(Al menos uno de los coeficientes de A hasta F debe ser no nulo).
Si aparecen términos que incluyen x2
y x
SE COMPLETA CUADRADO
(análogo si aparecen y2
e y o z2
y z.)
El centro es (0,0,0) y los semiejes son: a, b, c.

12
Hiperboloide de una hoja:
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
  
Hiperboloide de dos hojas:
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
   
El centro es (0,0,0) y el eje es el eje Z .
El centro es (0,0,0) y el eje es el eje Z .

13
Cono elíptico:
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
  
Paraboloide elíptico:
2 2
2 2
 
x y z
a b c
El vértice es (0,0,0) y el eje es el eje Z .
Si a = b se denomina Cono Circular
El vértice es (0,0,0) y el eje es el eje Z .
Si c > 0: se abre hacia arriba.
Si c < 0: se abre hacia abajo.
Si a = b se denomina Paraboloide Circular

14
Paraboloide hiperbólico :
2 2
2 2
  
x y z
a b c
El vértice es (0,0,0)
Si c > 0: el eje es el eje Y .
Si c < 0: el eje es el eje X.

15
Se estudiarán funciones de varias variables de tres tipos:
1. Función Vectorial de Una Variable:
2. Función Real de Varias Variables:
3. Función Vectorial de Varias Variables:
 
: , n
F a b  
: n
f D  
: n m
F D  
Dominio:
El dominio de una función es el conjunto en el cuál ésta está definida, es decir el conjunto de
partida de la función. Si éste no se indica, se entenderá que el dominio es el “mayor”
conjunto donde la función está definida, el cuál debe determinarse.

Funciones Vectoriales de Una Variable:
Definición
Una función de la forma
se denomina función vectorial de una variable.
 Para n = 2: la función representa, generalmente, una curva en el plano.
 Para n = 3: la función representa, generalmente, una curva en el espacio.
  1
: , , ( ) ( ( ),..., ( ))
n
n
F a b t F t F t F t
   
Funciones Componentes:
Si 1 2
( ) ( ( ), ( ),..., ( ))
n
F t F t F t F t

F : puede anotarse también por
1 2
, ,..., n
F F F se llaman Funciones Componentes de F .
 
1 1
2 2
( )
( )
,
( )
n n
x F t
x F t
t a b
x F t
 

 




 
16

17
Funciones Reales de Varias Variables:
Una función de la forma:
: n
f D  
   
1 2 1 2
, ,..., , ,...,
n n
x x x z f x x x
  (con 2
n  )
Se llama función real de varias variables.
Gráfico:
El gráfico de f es el subconjunto de 1
n
     
 
1
1 2 1 2 1 2
( ) , ,..., , / , ,..., , , ,...,
n
n n n
Graf f x x x z z f x x x x x x D

   
 Para n = 2: ( )
Graf f es, generalmente, una superficie en 3
.
 Para n = 3: ( )
Graf f es un subconjunto de 4
, que no se puede
representar, pero para ello se introduce el concepto de conjunto de nivel.

18
 Para n = 2: se llama curva de nivel.
 Para n = 3: se llama superficie de nivel.
Ejemplo 1:
1) 2
:
f  , ( , ) 4.
f x y 
- El gráfico de f es  
 
3
, , / 4
x y z z
  es el plano horizontal 4.
z 
- Curva de nivel c es todo el plano, si 4
c  y es vacío si 4.
c 
Conjuntos de Nivel:
Sea : n
f D   función de varias variables.
c  (constante)
El conjunto de nivel cde f es:
 
/ ( )
x D f x c
 

19
- Curva de Nivel c es: 2 2
4
y x c
 
 Hipérbola con eje transverso eje Y, si 0.
c 
 Hipérbola con eje transverso eje X, si 0.
c 
 Dos rectas, si 0.
c 
Ejemplo 3: 3
:
f  ,
2 2 2
( , , ) .
f x y z x y z
  
- El Gráfico de f es un conjunto en 4
, por lo que
no se puede representar.
- La Superficie de Nivel c es: 2 2 2
x y z c
   , que es:
 Esfera de radio c , si 0.
c 
 El punto (0,0,0), si 0.
c 
 Vacío, si 0.
c 
Ejemplo 2: 2
:
f  ,
2 2
( , ) 4 .
f x y y x
 
- El Gráfico de f es la superficie 2 2
4
z y x
  que es un paraboloide hiperbólico.

20
Funciones Vectoriales de Varias Variables:
Una función de la forma:
: n m
F D  
   
1 2 1 2
, ,..., , ,...,
n m
x x x y y y

Con , 2
n m  Se llama función vectorial de varias variables.
Para  
1 2
, ,..., n
x x x D
 , se tiene que:
 
1 1 1 2
, ,..., n
y F x x x

 
2 2 1 2
, ,..., n
y F x x x

 
1 2
, ,...,
m m n
y F x x x

Son funciones reales de varias variables llamadas componentes de .
F
Se anota:  
1 2
, ,..., m
F F F F


21
Sea : ,
n m
F D D
  un conjunto abierto.
Sea 0
x D
 ó 0 ( )
x Fr D
 y .
m
L 
Se define el límite de ( )
F x , cuando x tiende a 0
x por:
 
0
lim ( )
x x
F x L

  
0 0
( ), ( ) / ( ) ( ) ( )
D L D x x D x F x D L
   
 
    
Límites:

22
-Para 2,
n  1
m  (o sea para función real de 2 variables) tenemos:
 
( , ) ( , )
lim ( , )
o o
x y x y
f x y L

       
2 2
0
0 0 / 0 ( , )
o
x x y y f x y L
   
 
            
 
 

23
Propiedades de los Límites:
1) El límite, si existe, es único.
2) lim( )( ) lim ( ) lim ( )
o o o
x x x x x x
F G x F x G x
  
  
3) lim ( ) lim ( )
o o
x x x x
cF x c F x
 
 (cconstante).
4) lim( )( ) lim ( ) lim ( )
o o o
x x x x x x
F G x F x G x
  
   , para 1.
m 
5)
lim ( )
lim( )( )
lim ( )
o
o
o
x x
x x
x x
F x
F
x
G G x



 , para 1.
m 
si lim ( ) 0
o
x x
G x L

  y ( ) 0, .
G x x D
  
Las propiedades 2) a 5) se denominan álgebra de límites.

24
6) Si ( ) ( ) ( ) y lim ( ) lim ( )
entonces: lim ( )
o o
o
x x x x
x x
f x g x h x f x h x L
g x L
 

   

7) Si  
1 2
, ,.., m
F F F F
 entonces:
 
1 2
lim ( ) lim ( ), lim ( ),..., lim ( )
o o o o
m
x x x x x x x x
F x F x F x F x
   

Límite de Funciones Reales de Dos Variables
(1)
( , ) ( , )
lim
o o
o
x y x y
x x


Demostración:
Se debe probar que:
      
2 2
0
0 0 / 0 o o
x x y y x x
   
 
           
 
 
Tenemos que: 2 2 2
( ) ( ) ( )
o o o o
x x x x x x y y 
       
Así, para 0
  , existe  
 , que cumple la definición.
Tres Límites Importantes:

25
(2)
( , ) ( , )
lim
o o
o
x y x y
y y

 (3)
( , ) ( , )
lim
o o
x y x y
C C


Los límites (1), (2) y (3) junto al Álgebra de Límites permiten calcular
muchos límites. (Los de funciones que no son formas indeterminadas).
Solución:
   
       
2
( , ) (4,1) ( , ) (4,1) ( , ) (4,1)
( , ) (4,1)
( , ) (4,1) ( , ) (4,1) ( , ) (4,1) ( , ) (4,1)
lim lim lim
lim
2 7 lim 2 lim lim 7 lim
x y x y x y
x y
x y x y x y x y
x x y
x y
x y x y
  

   
 


   
(Por Algebra de límites)
 4 4 1
1
2 4 7 1
 

  
(Por límites (1), (2) y (3))
Ejemplo 1: Calcular:
2
( , ) (4,1)
lim
2 7
x y
x y
x y




26
Así si existen dos trayectorias, de modo que los límites resulten diferentes, entonces
el límite no existe.
Pero, si por diferentes trayectorias, el límite resulta el mismo, no puede concluirse
que éste sea el valor del límite, sino que, si existe, debe probarse por la definición.
Observación:
En funciones de una variable sólo había dos posibles
trayectorias:
- Por la izquierda
- Por la derecha.
Pero en funciones de dos variables existen infinitas
trayectorias.
Trayectorias
Si
   
 
, ,
lim ,
o o
x y x y
f x y L


entonces el límite existe y vale La través de cualquier trayectoria en el plano,
en el dominio de f , que pase por 
, .
o o
x y

27
Ejemplo 2: Calcular
2 2
3 6
( , ) (0,0)
lim
x y
x y
x y
 
, si existe.
Solución:
-No es posible usar Algebra de límites, pues 3 6
( , ) (0,0)
lim 0
x y
x y

 
Usaremos trayectorias
- Eje X:
3
0
0
0:lim 0
x
y
x

 
- Eje Y:
6
0
0
0:lim 0
y
x
y

 
- Recta
4
3 6 3
0 0
:lim lim 0
1
x x
x x
y x
x x x
 
  
 
- Curva 2
x y
 :
6
6 6
0
1
lim
2
y
y
y y



 El límite no existe porque trayectorias diferentes dan diferentes valores del límite.

28
Cambio de Variable
Si 2
:
f D   es función real de dos variables y :
g D  
es función real de una variable continua tal que Rec f D
 , entonces:
   
 
     
 
, , , ,
lim , lim ,
o o o o
x y x y x y x y
g f x y g f x y
 
 
  
 
Solución:
( , ) (3,0) ( , ) (3,0)
1 1
lim lim
xy xy
x y x y
e e
x
y xy
 
 
  
 
( , ) (3,0) ( , ) (3,0)
( )
( )
1
lim lim
xy
x y x y
e
x
xy
 


 

 
 
(Por Algebra de límites)
 ( , ) (3,0)
lim 3, por (1)
x y
x

 
Para calcular  ( , ) (3,0)
1
lim



xy
x y
e
xy
se usará Cambio de Variable.
Ejemplo 3: Calcular
( , ) (3,0)
1
lim
xy
x y
e
y



29
   
( , ) (3,0) ( , ) (3,0)
1
: lim lim ( , )
xy
x y x y
e
f g x y
xy
 

  ; donde ( , )
g x y xy
 y
1
, 0
( )
1 , 0
u
e
u
f u u
u
 


 
 

f es continua en 0, pues
0
1
(0) 1 lim
u
u
e
f
u


 
Usando el Teorema de Cambio de Variables tenemos:
 
( , ) (3,0) ( , ) (3,0)
lim ( ( , )) lim ( , ) (0) 1
x y x y
f g x y f g x y f
 
  
Así:
( , ) (3,0)
1
lim 1
xy
x y
e
xy


 Luego,
( , ) (3,0)
1
lim 3
xy
x y
e
y



Observación:
El cálculo del límite (**), se puede expresar abreviadamente, sin definir las
funciones f y g del modo siguiente:
Sea ; ( , ) (3,0) 0
u xy x y u
   
Así:
( , ) (3,0) 0 0
1 1
lim lim lim 1
1
xy u u
x y u u
e e e
xy u
  
 
  

30
Ejemplo 4: Calcular
4
2 2
( , ) (0,0)
4
lim
x y
x y
x y
 
, si existe.
Se debe demostrar, usando la definición, que el límite vale 0, es decir:
  
4
2 2
2 2
4
0 0 / 0 0
x y
x y
x y
   
 
         
 

 
Solución:
Observar que aquí no es posible usar algebra de límites y si se usan trayectorias, por cualquiera
que se calcule resulta 0, pero no por esto puede afirmarse que el límite vale 0.

31
Tenemos que:
 
2
2 2 2 2
4 2 2 2
4
2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2
4
4 4( )
4
0 4( )
x y x y
x y x y
x y
x y
x y x y x y x y
 
     
   
Pero como se cumple que: 2 2
,
x y 
 
entonces se tiene que:
4
3
2 2
4
0 4
x y
x y

 

, asi si 3
4 
 ,
se cumplirá que
4
2 2
4
0 .
x y
x y

 

Por tanto el valor de  es 3 .
4

 
4
2 2
( , ) (0,0)
4
lim 0
x y
x y
x y



Es decir se ha demostrado, por
definición, que:

32
Continuidad:
Sean : ,
n m
F D D
  conjunto abierto y 0
n
x 
 F es continua en 0
x si:
1) 0
( )
F x está definida en .
m
2) lim ( )
o
x x
F x

existe  
L
 .
3) 0
( )
F x L

 F es continua en D, si es continua en , .
x x D
 
 Si F no es continua en 0
x entonces se dice que 0
x es una discontinuidad de F .
 Si 0
x es una discontinuidad de F y además lim ( )
o
x x
F x

existe entonces se dice que tal
discontinuidad es reparable, la que se repara definiendo (si no está definida) o
redefiniendo (si lo está) F en 0
x con el valor del límite. Si lim ( )
o
x x
F x

no existe
entonces se dice que tal discontinuidad es irreparable o esencial.

33
Propiedades:
1) : ,
n m
F D   : , .
n m
G D c
  
 F es continua en 0
x cF
 es continua en 0
x .
 ,
F Gson continuas en 0
x F G
  es continua en 0
x .
 ,
F Gson continuas en 0
x , 1
m  F G
  es continua en 0
x
F
G
 es continua en 0
x
si ( ) 0, .
G x x D
  
2)  
1 2
, ,..., m
F F F F
 es continua en 0
x  i
F es continua en 0
x , 1,2,..., .
i m
 
3) : , : / ( )
n m m p
G D F D G D D
 
    
Ges continua en 0
x D
  F es continua en ( ) '
o
G x D

 F Ges continua en 0
x .

34
Observaciones:
1) Para determinar si una función es continua en un punto, generalmente se determina
si se verifican las 3 condiciones de la definición.
2) Si se quiere determinar en qué conjunto una cierta función es continua (dominio
de continuidad) se puede usar la definición, pero también se puede usar las
propiedades de la continuidad y el hecho que ciertas funciones se sabe que son
continuas en sus respectivos dominios, como:
 Función Polinómica
 Función Racional
 Función Raíz Cuadrada
 Función Exponencial
 Función Logarítmica
 Funciones Trigonométricas
3) Para una función real de dos variables, cuyo gráfico es una superficie, el hecho
que sea continua en su dominio significa, gráficamente, que su gráfico es una
superficie sin interrupciones, cortes ni “hoyos”.
4) Para una función vectorial de una variable, cuyo gráfico es una curva (en el plano
o en el espacio), el hecho que sea continua en su dominio significa, gráficamente,
que su gráfico es una curva sin interrupciones, cortes ni “hoyos”.

35
Ejemplos:
1) Consideremos la función real de 2 variables siguiente:
2 2
,
( , ) 2,
,
x y x y
f x y x y
x y x y
  

 

  

Analizar la continuidad de esta función.
Solución:
 Para x < y y para x > y f es continua, pues se trata de funciones polinómicas.
 Para x = y . Sea 2
0 0 0 0
( , ) /
x y x y
 
(1) 0 0
( , ) 2
f x y 
(2)
0 0
( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y

. Por trayectorias:
- Por y = x: el límite vale 2 (pues allí f es constante)
- Por x < y:
0 0 0 0
0
2 2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
lim ( , ) lim ( ) 2
x y x y x y x y
f x y x y x
 
  
- Por x > y:
0 0 0 0
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
lim ( , ) lim ( ) 2
x y x y x y x y
f x y x y x
 
  

36
F es continua en 0
x si:
0 0 0
2
2 2 2 1
x x x
   
Luego: f es continua en el conjunto siguiente:
   
2
( , ) / (1,1)
x y x y
 
Las discontinuidades de f son los puntos de la recta y = x ,
excepto el punto (1,1).
Todas son irreparables, pues el límite no existe.

37
2) Analizar la continuidad de la función siguiente:
2 2
2 2 2
cos( ) 1
( , )
( )
x y
g x y
x y
 


Solución:
g es continua en todos los puntos del plano, (pues está formada por funciones polinómicas y la función
coseno, todas continuas), excepto en (0,0) donde no está definida.
Así (0,0) es una discontinuidad de g. Para clasificarla, se calcula el límite:
2 2
2 2 2 2
( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 0 0
cos( ) 1 cos 1 sin 1
lim ( , ) lim lim lim
( ) 2 2
x y x y u u
x y u u
g x y
x y u u
   
   
    

Luego (0,0) es una discontinuidad reparable, pues el límite existe. La discontinuidad se repara
definiendo la función del modo siguiente:
2 2
2 2 2
cos( ) 1
,( , ) (0,0)
( )
( , )
1
,( , ) (0,0)
2
x y
x y
x y
g x y
x y
  


 
 
  



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