Este documento presenta conceptos fundamentales sobre funciones de varias variables y superficies cuádricas. Introduce nociones básicas de espacio métrico como módulo, distancia, conjuntos abiertos y cerrados. Explica qué son superficies como esferas, cilindros, paraboloides y conos, y cómo determinar sus trazas. Finalmente, define tres tipos de funciones de varias variables - funciones vectoriales de una variable, funciones reales de varias variables y funciones vectoriales de varias variables.

1. Cálculo en Varias Variables
Capítulo 1: Funciones de Varias Variables
1.1 Nociones de Espacio Métrico
1.2 Superficies. Superficies Cuádricas
1.3 Funciones de Varias Variables
1.4 Límites y Continuidad

2. 2
 Módulo:
 
1 2
, ,..., n
n
x x x x
 
2 2 2
1 2 ... n
x x x x
    es el módulo de x
Propiedades del Módulo
1) 0, 0 0
x x x
   
2) ,
x x
  
 
3) x y x y
  
,
1.1 Nociones de Espacio Métrico
n
es un espacio vectorial cuyos elementos tienen la forma siguiente:
 
1 2
, ,..., n
n
x x x x
  donde 1 2
, ,..., n
x x x  .
A este espacio vectorial se le da estructura de espacio métrico al definir el
módulo y, a partir de él, la distancia.

3. 3
 Disco Abierto:
   
0 0 0 0
, , 0: ( ) / ( , ) /
n n n
r
x r r D x x d x x r x x x r
         
Disco abierto de centro 0
x y radio .
r (Si al disco se le quita el centro se anota: 0
( ),
r
D x

Así:    
0 0 0 0
( ) ( ) / 0 )
n
r r
D x D x x x x x r

      
Propiedades de la Distancia 1) ( , ) 0, ( , ) 0
d x y d x y x y
   
2) ( , ) ( , )
d x y d y x

3) ( , ) ( , ) ( , )
d x y d x z d z y
 
Se cumple que: ( , )
d x y x y
 
1.1 Nociones de Espacio Métrico
Distancia:
 
1 2
, ,..., ,
n
x x x x
  
1 2
, ,..., n
n
y y y y
 
  2 2 2
1 1 2 2
, ( ) ( ) ... ( )
n n
d x y x y x y x y
      
x y
es la distancia entre e

4. 4
 Interior, Frontera y Exterior de un conjunto:
n
A 
Interior de A:  
 
( ) /
n
r
Int A x D x A
   
Frontera de A:
     
 
( ) / ,
n c
r r r
Fr A x D x D x A D x A
         
Exterior de A:  
 
( ) /
n c
r
Ext A x D x A
   
Se cumple: n
A
  ( ) ( ) ( )
n
Int A Fr A Ext A
   (Unión disjunta).
 Conjunto Cerrado:
,
n
A A
 es conjunto cerrado si: c
A es abierto ( ( ) ).
Fr A A
 
1.1 Nociones de Espacio Métrico
 Conjunto Abierto:
,
n
A A
 es conjunto abierto si:  
0 0
, .
r
x A D x A
   

5. 5
Vecindad de un punto:
0 .
n
x  Una vecindad de 0
x es un conjunto abierto que contiene a 0
x .
Conjunto Acotado:
,
n
A A
 es conjunto acotado si:    
0 / 0 .
 
r r
D A D
Conjunto Compacto:
,
n
A A
 es conjunto compacto si A es cerrado y acotado.
Observación: Para un conjunto se dan 3 posibilidades:
• Si todos los puntos frontera pertenecen a A ( ) : A es cerrado.
• Si ninguno de sus puntos frontera pertenecen a A: A es abierto.
• Si algunos de sus frontera pertenecen a A y otros no: A no es abierto ni
cerrado.
n
A 
( ) 
Fr A A
1.1 Nociones de Espacio Métrico

6. 6
Superficies:
Una superficie S es un conjunto de puntos del espacio determinado por una ecuación
de la forma: ( , , ) 0
F x y z 
O sea:    
 
3
, , / , , 0
S x y z F x y z
  
Los puntos de la superficie son los que satisfacen la ecuación y viceversa.
Algunas superficies más usadas son:
Plano:
Un plano tiene ecuación: 0
Ax By Cz D
    Con , ,
A B Cno todos nulos.
Esfera:
La ecuación de una esfera de centro ( , , )
C h k l y radio r es:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
     
x h y k z l r
El plano que pasa por 0 0 0
0 ( , , )
P x y z y tiene vector normal ( , , )

N A B C tiene ecuación:
     
0 0 0
0
     
A x x B y y C z z
Una ecuación de la forma 2 2 2
0
      
x y z Dx Ey Fz G puede ser una
esfera, un punto o vacío. (Para determinarlo se completan cuadrados).
1.2 Superficies. Superficies Cuádricas

7. 7
Cilindro: (Cilindro recto)
Es la superficie formada por una recta que se mueve manteniéndose
perpendicular a un plano dado y que intersecta a una curva dada contenida en
dicho plano.
La curva se llama Directriz y la recta se llama Generatriz.
Si la curva está en en plano XY , por ejemplo:
( , ) 0
0
F x y
z
 

 
.
La ecuación del cilindro es: ( , ) 0
F x y  .
Análogamente: en plano YZ, la ecuación es ( , ) 0
F y z  y en
plano XZ, la ecuación es ( , ) 0
F x z 
Si la curva es una circunferencia se llama Cilindro Circular.
Análogamente tenemos Cilindro Elíptico, Cilindro Parabólico y Cilindro
Hiperbólico.
1.2 Superficies. Superficies Cuádricas

8. 8
Trazas de una Superficie:
Una traza de una superficie es la curva obtenida al intesectar la superficie con un
plano paralelo a un plano coordenado.
Determinar las trazas de una superficie consiste en hallar las trazas respecto de
planos paralelos a los 3 planos coordenados. Esto permite tener una idea de cómo
es el gráfico de la superficie.
Ejemplo:
Determinar las trazas de la superficie siguiente y graficarla:
2 2 2
25 9 25 225 0
x y z
   
Solución:
Trazas con planos paralelos a plano XY:
z k
 ;
2 2 2
1
9 25 9
x y k
  
2 2 2
1
9 25 9
x y k
   
 Son elipses si:
2 2
2
1 0 1 9 3 3
9 9
k k
k k
         
1.2 Superficies. Superficies Cuádricas

9. 9
1.2 Superficies. Superficies Cuádricas
 Es un punto si:
2
1 0 3
9
k
k
    
 No hay traza (Vacío) si:
2
1 0 3 3
9
k
k k
      
Trazas con planos paralelos a plano XZ:
y k
 ;
2 2 2
1
9 25 9
x k z
   ,
2 2 2
1
9 9 25
x z k
   
 Son circunferencias si:
2 2
2
1 0 1 25 5 5
25 25
k k
k k
         
 Es un punto si:
2
1 0 5
25
k
k
    
 No hay traza (Vacío) si:
2
1 0 5 5
25
k
k k
      

10. 10
1.2 Superficies. Superficies Cuádricas
Trazas con planos paralelos a plano YZ:
x k
 ;
2 2 2
1
9 25 9
k y z
   ,
2 2 2
1
25 9 9
y z k
   
 Son elipses si:
2 2
1 0 1
9 9
k k
   
2
9
k
  3 3
k
  
 Es un punto si:
2
1 0 3
9
k
k
    
 No hay traza (Vacío) si:
2
1 0 3 3
9
k
k k
      
El grafico es:

11. 11
1.2 Superficies. Superficies Cuádricas
Si la ecuación contiene términos que incluyen las
expresiones xy, xz e yz significa que la
superficie está rotada respecto de los ejes coordenados
(NO SE CONSIDERARÁN).
Superficies Cuádricas:
Elipsoide:
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
  
Una Superficie Cuádrica es la que tiene ecuación de la forma:
2 2 2
0
Ax By Cz Dxy Eyz Fxz Gx Hy Iz J
         
(Al menos uno de los coeficientes de A hasta F debe ser no nulo).
Si aparecen términos que incluyen x2
y x
SE COMPLETA CUADRADO
(análogo si aparecen y2
e y o z2
y z.)
El centro es (0,0,0) y los semiejes son: a, b, c.

12. 12
1.2 Superficies. Superficies Cuádricas
Hiperboloide de una hoja:
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
  
Hiperboloide de dos hojas:
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
   
El centro es (0,0,0) y el eje es el eje Z .
El centro es (0,0,0) y el eje es el eje Z .

13. 13
1.2 Superficies. Superficies Cuádricas
Cono elíptico:
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
  
Paraboloide elíptico:
2 2
2 2
 
x y z
a b c
El vértice es (0,0,0) y el eje es el eje Z .
Si a = b se denomina Cono Circular
El vértice es (0,0,0) y el eje es el eje Z .
Si c > 0: se abre hacia arriba.
Si c < 0: se abre hacia abajo.
Si a = b se denomina Paraboloide Circular

14. 14
Paraboloide hiperbólico :
2 2
2 2
  
x y z
a b c
El vértice es (0,0,0)
Si c > 0: el eje es el eje Y .
Si c < 0: el eje es el eje X.
1.2 Superficies. Superficies Cuádricas

15. 15
Se estudiarán funciones de varias variables de tres tipos:
1. Función Vectorial de Una Variable:
2. Función Real de Varias Variables:
3. Función Vectorial de Varias Variables:
 
: , n
F a b  
: n
f D  
: n m
F D  
1.3 Funciones de Varias Variables
Dominio:
El dominio de una función es el conjunto en el cuál ésta está definida, es decir el conjunto de
partida de la función. Si éste no se indica, se entenderá que el dominio es el “mayor”
conjunto donde la función está definida, el cuál debe determinarse.

16. Funciones Vectoriales de Una Variable:
Definición
Una función de la forma
se denomina función vectorial de una variable.
 Para n = 2: la función representa, generalmente, una curva en el plano.
 Para n = 3: la función representa, generalmente, una curva en el espacio.
  1
: , , ( ) ( ( ),..., ( ))
n
n
F a b t F t F t F t
   
Funciones Componentes:
Si 1 2
( ) ( ( ), ( ),..., ( ))
n
F t F t F t F t

F : puede anotarse también por
1 2
, ,..., n
F F F se llaman Funciones Componentes de F .
 
1 1
2 2
( )
( )
,
( )
n n
x F t
x F t
t a b
x F t
 

 




 
16
1.3 Funciones de Varias Variables

17. 17
Funciones Reales de Varias Variables:
Una función de la forma:
: n
f D  
   
1 2 1 2
, ,..., , ,...,
n n
x x x z f x x x
  (con 2
n  )
Se llama función real de varias variables.
Gráfico:
El gráfico de f es el subconjunto de 1
n
     
 
1
1 2 1 2 1 2
( ) , ,..., , / , ,..., , , ,...,
n
n n n
Graf f x x x z z f x x x x x x D

   
 Para n = 2: ( )
Graf f es, generalmente, una superficie en 3
.
 Para n = 3: ( )
Graf f es un subconjunto de 4
, que no se puede
representar, pero para ello se introduce el concepto de conjunto de nivel.
1.3 Funciones de Varias Variables

18. 18
1.3 Funciones de Varias Variables
 Para n = 2: se llama curva de nivel.
 Para n = 3: se llama superficie de nivel.
Ejemplo 1:
1) 2
:
f  , ( , ) 4.
f x y 
- El gráfico de f es  
 
3
, , / 4
x y z z
  es el plano horizontal 4.
z 
- Curva de nivel c es todo el plano, si 4
c  y es vacío si 4.
c 
Conjuntos de Nivel:
Sea : n
f D   función de varias variables.
c  (constante)
El conjunto de nivel cde f es:
 
/ ( )
x D f x c
 

19. 19
- Curva de Nivel c es: 2 2
4
y x c
 
 Hipérbola con eje transverso eje Y, si 0.
c 
 Hipérbola con eje transverso eje X, si 0.
c 
 Dos rectas, si 0.
c 
Ejemplo 3: 3
:
f  ,
2 2 2
( , , ) .
f x y z x y z
  
- El Gráfico de f es un conjunto en 4
, por lo que
no se puede representar.
- La Superficie de Nivel c es: 2 2 2
x y z c
   , que es:
 Esfera de radio c , si 0.
c 
 El punto (0,0,0), si 0.
c 
 Vacío, si 0.
c 
Ejemplo 2: 2
:
f  ,
2 2
( , ) 4 .
f x y y x
 
- El Gráfico de f es la superficie 2 2
4
z y x
  que es un paraboloide hiperbólico.
1.3 Funciones de Varias Variables

20. 20
Funciones Vectoriales de Varias Variables:
Una función de la forma:
: n m
F D  
   
1 2 1 2
, ,..., , ,...,
n m
x x x y y y

Con , 2
n m  Se llama función vectorial de varias variables.
Para  
1 2
, ,..., n
x x x D
 , se tiene que:
 
1 1 1 2
, ,..., n
y F x x x

 
2 2 1 2
, ,..., n
y F x x x

 
1 2
, ,...,
m m n
y F x x x

Son funciones reales de varias variables llamadas componentes de .
F
Se anota:  
1 2
, ,..., m
F F F F

1.3 Funciones de Varias Variables

21. 21
Sea : ,
n m
F D D
  un conjunto abierto.
Sea 0
x D
 ó 0 ( )
x Fr D
 y .
m
L 
Se define el límite de ( )
F x , cuando x tiende a 0
x por:
 
0
lim ( )
x x
F x L

  
0 0
( ), ( ) / ( ) ( ) ( )
D L D x x D x F x D L
   
 
    
Límites:
1.4 Límites y Continuidad

22. 22
-Para 2,
n  1
m  (o sea para función real de 2 variables) tenemos:
 
( , ) ( , )
lim ( , )
o o
x y x y
f x y L

       
2 2
0
0 0 / 0 ( , )
o
x x y y f x y L
   
 
            
 
 
1.4 Límites y Continuidad

23. 23
Propiedades de los Límites:
1) El límite, si existe, es único.
2) lim( )( ) lim ( ) lim ( )
o o o
x x x x x x
F G x F x G x
  
  
3) lim ( ) lim ( )
o o
x x x x
cF x c F x
 
 (cconstante).
4) lim( )( ) lim ( ) lim ( )
o o o
x x x x x x
F G x F x G x
  
   , para 1.
m 
5)
lim ( )
lim( )( )
lim ( )
o
o
o
x x
x x
x x
F x
F
x
G G x



 , para 1.
m 
si lim ( ) 0
o
x x
G x L

  y ( ) 0, .
G x x D
  
Las propiedades 2) a 5) se denominan álgebra de límites.
1.4 Límites y Continuidad

24. 24
6) Si ( ) ( ) ( ) y lim ( ) lim ( )
entonces: lim ( )
o o
o
x x x x
x x
f x g x h x f x h x L
g x L
 

   

7) Si  
1 2
, ,.., m
F F F F
 entonces:
 
1 2
lim ( ) lim ( ), lim ( ),..., lim ( )
o o o o
m
x x x x x x x x
F x F x F x F x
   

Límite de Funciones Reales de Dos Variables
(1)
( , ) ( , )
lim
o o
o
x y x y
x x


Demostración:
Se debe probar que:
      
2 2
0
0 0 / 0 o o
x x y y x x
   
 
           
 
 
Tenemos que: 2 2 2
( ) ( ) ( )
o o o o
x x x x x x y y 
       
Así, para 0
  , existe  
 , que cumple la definición.
Tres Límites Importantes:
1.4 Límites y Continuidad

25. 25
(2)
( , ) ( , )
lim
o o
o
x y x y
y y

 (3)
( , ) ( , )
lim
o o
x y x y
C C


Los límites (1), (2) y (3) junto al Álgebra de Límites permiten calcular
muchos límites. (Los de funciones que no son formas indeterminadas).
Solución:
   
       
2
( , ) (4,1) ( , ) (4,1) ( , ) (4,1)
( , ) (4,1)
( , ) (4,1) ( , ) (4,1) ( , ) (4,1) ( , ) (4,1)
lim lim lim
lim
2 7 lim 2 lim lim 7 lim
x y x y x y
x y
x y x y x y x y
x x y
x y
x y x y
  

   
 


   
(Por Algebra de límites)
 4 4 1
1
2 4 7 1
 

  
(Por límites (1), (2) y (3))
Ejemplo 1: Calcular:
2
( , ) (4,1)
lim
2 7
x y
x y
x y



1.4 Límites y Continuidad

26. 26
Así si existen dos trayectorias, de modo que los límites resulten diferentes, entonces
el límite no existe.
Pero, si por diferentes trayectorias, el límite resulta el mismo, no puede concluirse
que éste sea el valor del límite, sino que, si existe, debe probarse por la definición.
Observación:
En funciones de una variable sólo había dos posibles
trayectorias:
- Por la izquierda
- Por la derecha.
Pero en funciones de dos variables existen infinitas
trayectorias.
Trayectorias
Si
   
 
, ,
lim ,
o o
x y x y
f x y L


entonces el límite existe y vale La través de cualquier trayectoria en el plano,
en el dominio de f , que pase por 
, .
o o
x y
1.4 Límites y Continuidad

27. 27
Ejemplo 2: Calcular
2 2
3 6
( , ) (0,0)
lim
x y
x y
x y
 
, si existe.
Solución:
-No es posible usar Algebra de límites, pues 3 6
( , ) (0,0)
lim 0
x y
x y

 
Usaremos trayectorias
- Eje X:
3
0
0
0:lim 0
x
y
x

 
- Eje Y:
6
0
0
0:lim 0
y
x
y

 
- Recta
4
3 6 3
0 0
:lim lim 0
1
x x
x x
y x
x x x
 
  
 
- Curva 2
x y
 :
6
6 6
0
1
lim
2
y
y
y y



 El límite no existe porque trayectorias diferentes dan diferentes valores del límite.
1.4 Límites y Continuidad

28. 28
Cambio de Variable
Si 2
:
f D   es función real de dos variables y :
g D  
es función real de una variable continua tal que Rec f D
 , entonces:
   
 
     
 
, , , ,
lim , lim ,
o o o o
x y x y x y x y
g f x y g f x y
 
 
  
 
Solución:
( , ) (3,0) ( , ) (3,0)
1 1
lim lim
xy xy
x y x y
e e
x
y xy
 
 
  
 
( , ) (3,0) ( , ) (3,0)
( )
( )
1
lim lim
xy
x y x y
e
x
xy
 


 

 
 
(Por Algebra de límites)
 ( , ) (3,0)
lim 3, por (1)
x y
x

 
Para calcular  ( , ) (3,0)
1
lim



xy
x y
e
xy
se usará Cambio de Variable.
Ejemplo 3: Calcular
( , ) (3,0)
1
lim
xy
x y
e
y


1.4 Límites y Continuidad

29. 29
   
( , ) (3,0) ( , ) (3,0)
1
: lim lim ( , )
xy
x y x y
e
f g x y
xy
 

  ; donde ( , )
g x y xy
 y
1
, 0
( )
1 , 0
u
e
u
f u u
u
 


 
 

f es continua en 0, pues
0
1
(0) 1 lim
u
u
e
f
u


 
Usando el Teorema de Cambio de Variables tenemos:
 
( , ) (3,0) ( , ) (3,0)
lim ( ( , )) lim ( , ) (0) 1
x y x y
f g x y f g x y f
 
  
Así:
( , ) (3,0)
1
lim 1
xy
x y
e
xy


 Luego,
( , ) (3,0)
1
lim 3
xy
x y
e
y



Observación:
El cálculo del límite (**), se puede expresar abreviadamente, sin definir las
funciones f y g del modo siguiente:
Sea ; ( , ) (3,0) 0
u xy x y u
   
Así:
( , ) (3,0) 0 0
1 1
lim lim lim 1
1
xy u u
x y u u
e e e
xy u
  
 
  
1.4 Límites y Continuidad

30. 30
Ejemplo 4: Calcular
4
2 2
( , ) (0,0)
4
lim
x y
x y
x y
 
, si existe.
Se debe demostrar, usando la definición, que el límite vale 0, es decir:
  
4
2 2
2 2
4
0 0 / 0 0
x y
x y
x y
   
 
         
 

 
Solución:
Observar que aquí no es posible usar algebra de límites y si se usan trayectorias, por cualquiera
que se calcule resulta 0, pero no por esto puede afirmarse que el límite vale 0.
1.4 Límites y Continuidad

31. 31
Tenemos que:
 
2
2 2 2 2
4 2 2 2
4
2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2
4
4 4( )
4
0 4( )
x y x y
x y x y
x y
x y
x y x y x y x y
 
     
   
Pero como se cumple que: 2 2
,
x y 
 
entonces se tiene que:
4
3
2 2
4
0 4
x y
x y

 

, asi si 3
4 
 ,
se cumplirá que
4
2 2
4
0 .
x y
x y

 

Por tanto el valor de  es 3 .
4

 
4
2 2
( , ) (0,0)
4
lim 0
x y
x y
x y



Es decir se ha demostrado, por
definición, que:
1.4 Límites y Continuidad

32. 32
Continuidad:
Sean : ,
n m
F D D
  conjunto abierto y 0
n
x 
 F es continua en 0
x si:
1) 0
( )
F x está definida en .
m
2) lim ( )
o
x x
F x

existe  
L
 .
3) 0
( )
F x L

 F es continua en D, si es continua en , .
x x D
 
 Si F no es continua en 0
x entonces se dice que 0
x es una discontinuidad de F .
 Si 0
x es una discontinuidad de F y además lim ( )
o
x x
F x

existe entonces se dice que tal
discontinuidad es reparable, la que se repara definiendo (si no está definida) o
redefiniendo (si lo está) F en 0
x con el valor del límite. Si lim ( )
o
x x
F x

no existe
entonces se dice que tal discontinuidad es irreparable o esencial.
1.4 Límites y Continuidad

33. 33
Propiedades:
1) : ,
n m
F D   : , .
n m
G D c
  
 F es continua en 0
x cF
 es continua en 0
x .
 ,
F Gson continuas en 0
x F G
  es continua en 0
x .
 ,
F Gson continuas en 0
x , 1
m  F G
  es continua en 0
x
F
G
 es continua en 0
x
si ( ) 0, .
G x x D
  
2)  
1 2
, ,..., m
F F F F
 es continua en 0
x  i
F es continua en 0
x , 1,2,..., .
i m
 
3) : , : / ( )
n m m p
G D F D G D D
 
    
Ges continua en 0
x D
  F es continua en ( ) '
o
G x D

 F Ges continua en 0
x .
1.4 Límites y Continuidad

34. 34
Observaciones:
1) Para determinar si una función es continua en un punto, generalmente se determina
si se verifican las 3 condiciones de la definición.
2) Si se quiere determinar en qué conjunto una cierta función es continua (dominio
de continuidad) se puede usar la definición, pero también se puede usar las
propiedades de la continuidad y el hecho que ciertas funciones se sabe que son
continuas en sus respectivos dominios, como:
 Función Polinómica
 Función Racional
 Función Raíz Cuadrada
 Función Exponencial
 Función Logarítmica
 Funciones Trigonométricas
3) Para una función real de dos variables, cuyo gráfico es una superficie, el hecho
que sea continua en su dominio significa, gráficamente, que su gráfico es una
superficie sin interrupciones, cortes ni “hoyos”.
4) Para una función vectorial de una variable, cuyo gráfico es una curva (en el plano
o en el espacio), el hecho que sea continua en su dominio significa, gráficamente,
que su gráfico es una curva sin interrupciones, cortes ni “hoyos”.
1.4 Límites y Continuidad

35. 35
Ejemplos:
1) Consideremos la función real de 2 variables siguiente:
2 2
,
( , ) 2,
,
x y x y
f x y x y
x y x y
  

 

  

Analizar la continuidad de esta función.
Solución:
 Para x < y y para x > y f es continua, pues se trata de funciones polinómicas.
 Para x = y . Sea 2
0 0 0 0
( , ) /
x y x y
 
(1) 0 0
( , ) 2
f x y 
(2)
0 0
( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y

. Por trayectorias:
- Por y = x: el límite vale 2 (pues allí f es constante)
- Por x < y:
0 0 0 0
0
2 2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
lim ( , ) lim ( ) 2
x y x y x y x y
f x y x y x
 
  
- Por x > y:
0 0 0 0
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
lim ( , ) lim ( ) 2
x y x y x y x y
f x y x y x
 
  
1.4 Límites y Continuidad

36. 36
F es continua en 0
x si:
0 0 0
2
2 2 2 1
x x x
   
Luego: f es continua en el conjunto siguiente:
   
2
( , ) / (1,1)
x y x y
 
Las discontinuidades de f son los puntos de la recta y = x ,
excepto el punto (1,1).
Todas son irreparables, pues el límite no existe.
1.4 Límites y Continuidad

37. 37
1.4 Límites y Continuidad
2) Analizar la continuidad de la función siguiente:
2 2
2 2 2
cos( ) 1
( , )
( )
x y
g x y
x y
 


Solución:
g es continua en todos los puntos del plano, (pues está formada por funciones polinómicas y la función
coseno, todas continuas), excepto en (0,0) donde no está definida.
Así (0,0) es una discontinuidad de g. Para clasificarla, se calcula el límite:
2 2
2 2 2 2
( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 0 0
cos( ) 1 cos 1 sin 1
lim ( , ) lim lim lim
( ) 2 2
x y x y u u
x y u u
g x y
x y u u
   
   
    

Luego (0,0) es una discontinuidad reparable, pues el límite existe. La discontinuidad se repara
definiendo la función del modo siguiente:
2 2
2 2 2
cos( ) 1
,( , ) (0,0)
( )
( , )
1
,( , ) (0,0)
2
x y
x y
x y
g x y
x y
  


 
 
  

