Formulario de Trigonometria. Matematicas 1

1. I. - TRIGONOMETRÍA DETERMINACION DE UNA RAZON EN FUNCION En función del coseno del ángulo doble:
DE OTRA
FÓRMULAS BÁSICAS En función del seno: (Usadas para integrar)
c 1 a 1
α
sen = cosecα = = α
co sec = cosα = 1 − sen2 α 1 − cos2α α 1 − cosα
a senα c se nα senα = sen =
2 2 2
b 1 a 1 senα 1 + cos2α α 1 + cosα
coα =
s secα = = secα = tanα = cosα = cos =
a cosα b 1 − sen α 2
1 − sen2 α 2 2 2
senα c 1 b 1 − sen2 α 1 − cos 2α α 1 − cosα
tanα = = cotanα = = tan α = tan =
cosα b tanα c ctgα = 1 + cos 2α 2 1 + cosα
senα
sen2 α + cos2 α = 1 ta nα × c o ta n = 1
α RAZONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA
En función del coseno:
senα = 1 − cos α sen ( α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β
2
1 a
1 + tan2 α = = sec2 α c
cos2α α cos ( α ± β ) = cos α cos β sen α sen β
b
1 1 1
1
α
senα + senβ tan 2 ( α + β )
secα = cosec =
1 + cotan2 α = = cosec2 α cosα 1 − cos2 α
sen α
2
tanα ± tan β
tan ( α ± β ) = =
1  tanα tan β senα − senβ 1
tan ( α − β )
2
LINEAS TRIGONOMÉTRICAS cosα ctgα ctg β 1 cos sα + cos β α +β α −β
1 − cos2 α ctgα = ctg( α ± β ) = =− cotan
tanα = 1 − cos α2 ctgα ± ctg β cosα − cos β 2 2
c o tg c o tg c o tg c o tg cosα
tan
tan
1 TRANSFORMACION DE SUMAS A PRODUCTOS Y VICEVERSA
cos cos
En función de la cosα =
sen
sen
cos
cos (Estas expresiones se utilizan en la resolución de triángulos con el empleo de logaritmos)
1 + tan2 α
sen
tangente:
sen
tan
tan
SUMAS a PRODUCTOS
P r im e r C u a d r a n t e S e g u n d o C u a d ra n t e T e rc e r C u a d ra n t e C u a rto C u a d ra n te
Ángulos complementarios: 1 secα = 1 + tan2 α α +β α −β
Su suma vale π/2 radianes (90°) c tgα = senα + sen β = 2 sen cos
ta nα 2 2
α +β α −β
senα − sen β = 2 cos sen
2 2
REDUCCION AL 1er sen (π/2 − α) = cos α tanα
CUADRANTE cos (π/2 − α) = sen α senα = α +β α −β
tan (π/2 − α) = ctg α 1 + tan2 α cosα + cos β = 2 cos cos
1 + tan α 2
2 2
cosecα = α +β α −β
tanα cosα − cos β = − 2 sen sen
2 2
Ángulos suplementarios: Ángulos que difieren En función de la tangente del ángulo mitad sen (α + β )
Su suma vale π radianes (180°) en π/2 radianes: tan α + tan β = PRODUCTOS a SUMAS
(Usadas para integrar) cosα cos β
sen (π − α) = sen α sen (π/2 + α) = cos α
cos (π − α) = − cos α cos (π/2 + α) = − sen α

2. tan (π − α) = − tan α tan (π/2 + α) = − ctg α 2 tan( α / 2) 2 tanα sen(α + β ) 1
senα =
1 + tan2 ( α / 2)
sen 2α =
1 + tan2 α
tanα − tan β =
cosα cos β
senα sen β =
2
[
cos( α − β ) − cos( α + β )]
1 − tan2 ( α / 2) sen (α + β ) 1
Ángulos que se diferencian
π radianes:
Ángulos opuestos:
α
co s =
1 + tan2 ( α / 2)
cos2α =
1 − tan2 α
1 + tan2 α
ctg α + ctg β =
sen α sen β
senα cosβ =
2
[
sen ( α + β ) + sen ( α − β )]
sen (π + α) = − sen α sen (− α) = − sen(α)
2 tan( α / 2) sen( β − α ) 1
cos (π + α) = − cos α
tan (π + α) = tan α
cos (− α) = cos α
tan (− α) = − tan α tanα =
1 − tan2 ( α / 2)
tan 2α =
2 tan2 α
1 − tan2 α
ctgα − ctg β =
senα sen β
cosα cosβ =
2
[
cos( α + β ) + cos( α − β )]
FUNCIONES DE LOS MÚLTIPLOS DE UN ÁNGULO
TEOREMAS IMPORTANTES:
Ángulo doble Ángulo triple
FUNCIONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA
Teorema de los senos:
sen 2α = 2 senα cosα a b c Sh ( α + β ) = Sh α Ch β + Sh β Ch α
B = = = 2R
sen 3α = 3sen α − 4 sen3 α c a sen A sen B sen C Sh ( α − β ) = Sh α Ch β − Sh β Ch α
cos2α = cos2 α − sen2 α A R Teorema de los cosenos: Ch ( α + β ) = Ch α Ch β + Sh β S h α
Ch ( α − β ) = Ch α Ch β − Sh α Sh β
C
cos 3α = 4 cos3 α − 3cosα b b +c −a
2 2 2
cos A =
2 tan α 3 tanα 2bc Th α + Th β Th α − Th β
tan 2α = tan 3α = a 2 + c2 − b2 Th ( α + β ) = Th ( α − β ) =
1 − tan α 2
1 − 3 tan2 α cosB = a 2 + b2 − c2 1 + Th α Th β 1 − Th α Th β
2ac cosC =
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 2ab FUNCIONES DEL ÁNGULO DOBLE/MITAD
π Sh 2α = 2 Shα Chα Ch 2α = Sh2 α + Ch2 α
arcsen x = arccos 1 − x = − arccos x
2
2 Shα Chα
2 Th 2α = 2
Sh α + Ch2 α
π Teorema de las tangentes α Ch α − 1
α 1
arccos x = arcsen 1 − x 2 =
2
− arcsen x Sh
2
=
2
( Chα − 1) Th
2
=
Ch α + 1
α 1
Ch
2
=
2
( Chα + 1)
x π A+ B
arctan x = arcsen = − arctg x
a + b senA + senB tan 2
TRANSFORMACION DE PRODUCTOS A SUMAS
1+ x 2 2
= = 1
arcsen x + arcsen y = arcsen (x 1− y + y2
1− x 2
) a − b senA − senB
tan
A− B Shα Sh β =
2
[
Ch ( α + β ) − Ch ( α − β ) ]
2 1
[
Chα Ch β = Ch ( α + β ) + Ch ( α − β )
2
]
1
arcsen x − arcsen y = arcsen (x 1 − y2 − y 1 − x2 ) 1
AREA DEL TRIÁNGULO
1 1
Shα Ch β =
2
[
Sh ( α + β ) + Sh ( α − β )]
S = ab sen C = cb sen A = ac sen B
arccos x + arccos y = arccos [ xy − ( 1 − x )( 1 − y ) ]
2 2
2 2 2 ( Ch α ± Sh α ) n
= Ch nα ± Sh nα
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
ArgSh x = ln x + ( x2 + 1 ) ArgCh x = ln x + ( x2 − 1)

3. (Fórmula de Herón)
arccos x − arccos y = arccos [ xy + ( 1 − x )( 1 − y ) ]
2 2
S= p ( p − a )( p − b)( p − c) B ArgTh x =
1 1+ x
ln
2 1− x
c a
x+y abc p x
arctan x + arctan y = S = pr = = r ArgSh x = ArgCh x 2 + 1 = ArgTh
1 − xy 4R 2 R
A R
C x2 + 1
x−y b
arctan x − arctan y = a+b+ c 1 x +1
1 + xy p= ArgCth x = ln
2 2 x −1
FÓRMULAS DE BRIGGS
Para las tangentes de los ángulos mitad, se dividen las expresiones x2 − 1
análogas miembro a miembro. Para el ángulo entero se utilizan las ArgCh x = ArgSh x 2 − 1 = ArgTh
fórmulas que dan las razones de un ángulo en función del coseno del x
ángulo doble. Estas fórmulas ya se han tratado anteriormente.
x x 1
ArgTh x = ArgSh = ArgCh = ArgCth
1− x 2
1− x 2 x
AREA DE UN CUADRILÁTERO
( p − b)( p − c) RELACIONES ENTRE FUNCIONES CIRCULARES E HIPERBÓLICAS
D
A B a AC BD A
1 ix 1 ix
sen =
( e − e− ix ) ( e + e− ix )
c S= sen α
2 bc 2 α
sen x = cos x =
A C
B C
2i 2
b
p ( p − b) Sh ix = i sen x sen ix = i Sh x
B II.- FUNCIONES HIPERBÓLICAS
cos = eix = cos x + i sen x
2 ac FÓRMULAS BÁSICAS
Ch ix = cos x cos ix = Ch x
− ix
e = cos x − i sen x
( p − b) ( p − a )
α
e −e −α Th ix = i tan x tan ix = i Th x
C Shα =
sen = Sh α eα − e − α arcsen ix = i Arg Sh x
2 ab 2 Th α = =
Ch α eα + e − α sen ( x + iy ) = sen x Ch y + i cos x Sh y
C p ( p − c) eα + e − α
cos = Chα = arccos ix = − i Arg Ch x
2 ab 2 Ch α − Shα = e − α
cos ( x + iy ) = cos x Ch y − i sen x Sh y
A p ( p − c) a+b+c Shα + Chα = eα
Ch α − Sh α = 1
2 2
1 1+ x
cos = p= arctan ix = i Arg Th x = i ln
2 bc 2 2 1− x