1. Trigonometría
SEMANA 13 1
A) 5 B) C) 1
TRANSFORMACIONES 5
2 3
1. Simplificar: D) E)
3 2
sen5 a  sen3 a
E
cos 3 a  cos5 a RESOLUCIÓN
Del dato:
A) tg 8a B) tg 4a C) tg a sen  1
  sen5   5 sen 
D) ctg 4a E) ctg a sen5  5
Piden:
RESOLUCIÓN M  tg3  ctg2
2 cos 4 asen a sen3  cos 2
E M
2 sen 4asen a cos 3  sen2 
E  ctg4a 2 sen3  cos 2 
RPTA.: D M
2 cos 3  sen2 
sen5   sen 
2. En un triángulo ABC, factorice: M
W  sen2 A  sen2B  sen2C sen5   sen 
5 sen   sen 
M
A) 4 cos A senB senC 5 sen   sen 
B) 4 sen A senB senC 6 sen  3
 M 
C) 4 sen A cosB cos C 4 sen  2
D) 4 cos A cosB senC RPTA.: E
E) 4 cos A cosB cos C
4. Calcule:
P  sen2 20º  cos2 40º  sen2 80º
RESOLUCIÓN
 W  2sen  A  B cos  A  B  2senC cosC
2 3
Pero en un  ABC : A  B  C  180º A) B) 3 C)
3 2
 senC  sen  A  B  cosC   cos  A  B  1
D) E) 1
W  2sen  A  B cos  A  B  2sen  A  B cos  A  B 2
W  2sen  A  B cos  A  B  cos  A  B
  RESOLUCIÓN
W  2 senC 2 cos A cosB


W  4 cos A cosB senC
     
 2P  2sen2 20º  2cos2 40º  2sen2 80º 
 2P  1  cos 40º  1  cos80º  1  cos160º
RPTA.: D
 2P  1  cos160º  cos80º  cos 40º
 
sen  1  2P  1  cos 180º 20º  2cos60º cos20º 
3. Si:  .  
sen5  5
 1 
Halle: M  tg3  ctg2   2P  1    cos20º 2 cos20º
 2 
 2P = 1
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2. Trigonometría
1 A  B A  B
 P 2 sen   sen  2 
2  2   
RPTA.: D  P
 A  B  A  B
2 cos   sen  2 
 2   
5. Reduce:
2 sen x  3 sen3x  sen5x A  B  15º 
 tg    tg  2 
V  2   
4 sen x
 P  csc15º ctg15º
A) 4 cos2 x B) 4 cos3 x  P  
6  2  2 3 
P 
C) 4 cos4 x D) 4 sen2 x
 6  3  2 2
E) 4 sen4 x
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
7. Siendo   11º15' , evalué
2  sen3x  senx   sen5x  sen3x 
V sen   sen2   sen3 
4 senx W
cos   cos 2   cos 3 
2  2 sen2x cos x  2 sen 4x cos x
V
4 sen x 1
A) 2 1 B) 2 1 C)
4 sen2x cos x 1  cos2x  2
V
4 sen x 2
4 D) E) 1
V  4 cos x 2
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
 Dato:   11º 15'
6. Si: A  B 
12 Piden:
Halle: P 
cos A  cosB
W
sen3   sen    sen2   ?
senB  sen A cos 3   cos   cos 2 
2 sen2  cos   sen2 
W
A) 6  3  2 2 2 cos2  cos   cos2 
B) 6  3  2 2
C) 6  3  2 2 sen2  2 cos   1
 
W
D) 6  3  2 2 cos 2  2 cos   1
 
3 45º
E) 1  W  tg2   tg22º30'  tg
2 2
 W  csc 45º cg45º  2  1
RESOLUCIÓN RPTA.: A
Dato: A + B = 15º
cos A  cosB
Pide: P 
senB  sen A
cosB  cos A
 P
sen A  senB
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3. Trigonometría
8. Simplifique: 10. En un triángulo ABC, se cumple
E  sen20º  sen50º  sen70º sen A  sen C  2 sen B, Halle
el equivalente de:
A) 4 cos10º cos15º cos55º A C
2 sen sen
B) 4 cos10º cos15º cos35º 2 2
C) 4 cos10º cos25º cos55º
D) 4 cos10º cos25º cos55º A) 5 senB B) 2 senB
E) 2 cos10º cos25º cos35º B  B 
C) 2 sen   D) sen  
2 2
RESOLUCIÓN 1 B
E   sen70º  sen20º  sen50º E) sen  
2 2
E  2 sen 45º cos 25º  2 sen25º cos 25º
E  2 cos 25º sen 45º sen25º
  RESOLUCIÓN
E  4 cos10º cos25º cos55º A  C A  C
2 sen   cos  2   2 sen  A  C 
RPTA.: C  2   
A  C A  C A  C
9. A qué es igual: E  ctga  tg3a 2 sen   cos  2   4 sen  2 
 2     
4 sen2 a A  C
A) cos  
sen2 a  sen a  2 
2 cos 2 a
B) A  C A  C A  C
sen 4 a  sen2 a  cos    2 cos  2   cos  2  
4 sen2 a
 2     
C) A  C
sen 4 a  sen2 a cos  
2 cos 4 a  2 
D)
sen 4 a  sen2a A  C A  C B
 cos    cos  2   sen 2
4 sen 4 a  2   
E)
cos 4 a  sen2 a A C B
2 sen sen  sen
2 2 2
RESOLUCIÓN
cos a sen3 a RPTA.: D
E 
sen a cos 3 a
11. Sabiendo que:
cos 4 a sen7 x  senx cos5 x  cos3 x
E A ;B 
sen acos 3 a cos7 x  cos x sen5 x  sen3 x
2 cos 4 a Luego:
E
sen 4 a  sen2 a
RPTA.: D A) AB = 1 B) A-B = 0
A
C) A + B = 0 D) 1
B
E) A = 2 B
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4. Trigonometría
C) sen  a  b cos a  b
RESOLUCIÓN D) c os  a  b cos  a  b 
2 sen 4 x cos 3 x
A 
2 cos 4 x cos 3 x
 tg 4 x E) 2 cos  a  b sen  a  b 
 2 sen 4 x sen x
B  tg 4 x
2 cos 4 x sen x RESOLUCIÓN
 A=-B 2v  2 cos2 a  2 cos2 b  2
A+B=0 2v  1  cos2a  1  cos2b  2
RPTA.: C V  cos  a  b cos  a  b 
RPTA.: D
12. Simplificar:
14. Transforme a monomio:
M  senx  sen3x  sen5x  ...  sen15x
V  cos3a cos2 a  sen4 a sena
Sabiendo que:
senxsen2 8x co s x A) sen a cos 2 a
B) sen a sen 2 a
1 C) cos a cos 2 a
A) 2 B) C) 4 D) cos a sen 2 a
2
D) 1 E) 3 E) cos a cos 4 a
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
2V  2 cos3a cos2 a  2 sen4 asena
8 
sen  2x  2V  cos5a  cos a  cos3a  cos5a 
M 2  sen  x  15x 
  V  cos2 a cos a
1   2 
sen  2x  RPTA.: C
2 
sen 8x 15. Halle el valor de x, comprendido
 sen 8x
sen x entre 0º y 360° , que vuelva
máxima a la expresión:
Pero: E  sen  x  20  sen x
sen2x 2 senx cos x
sen2 8 x  
cos x cos x A) 270° B) 170° C) 350°
2
sen 8 x D) 80° E) 70°
 2
sen x
RPTA.: A RESOLUCIÓN
E  2 sen  x  10º cos10º
13. Transforme a producto EMAX  sen  x  10º  1
x  80º
V  cos2 a  cos2 b  1 RPTA.: D
A) cos  a  b  sen  a  b 
B) sen  a  b sen  a  b 
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5. Trigonometría
1 1 3
16. Calcule: MMáx  1  cos 30º  1 
  2 
2 
 2 

7 3 9 
cos cos  sen sen
2 2 2 2 1 1 3
MMín  1  cos 30º  1 
  2 
 2 
 2 

Si:   rad
10
3
1 1 1 Sumando:  
A) B) C) 2
2 4 8 RPTA.: B
1 1
D)  E) 
4 2 1
18. Si: cos 2 x  ,
5
RESOLUCIÓN Halle: V  sen 60º x  cos 30º x 
   
2K  2 cos 7 cos 3  2sen9 sen
2 2 2 2 A) 0,15 B) 0,25 C) 0,45
2K  cos5   cos2    cos 4   cos5   D) 0,35 E) 0,70
2K  2cos5   cos2   cos 4 .
 RESOLUCIÓN
Reemplazando:   2E  sen 90º 2 x   sen30º
10
  2 1
2K  2 cos  cos  cos  2E  cos 2x 
2 5 5 2
5 1 5 1 1 1 1
  2E  
4 4 4 5 2
RPTA.: B E  0,35
RPTA.: D
17. Determine la suma del máximo y
mínimo valor de: 19. Halle el producto de los valores
M  sen 2x  10º sen 20º 2 x  máximo y mínimo que toma la
expresión:
Q  8 sen 15º x  sen  x  45º
3 3 2
A) B)  C)
2 2 2
A) - 12 B) 12 C) - 6
2 5 D) 6 E) -3
D)  E)
2 2
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN  Q  4 2 sen  x  15º sen  x  45º
 
2M  2 sen 2x  10º sen 20º 2x 
 Q  4 cos 60º  cos 2x  30º
 
1
M  cos  4x  10º  cos30º 1
2  “”
2
 Q  2  4 cos 2 x  30
Pero: 1  cos 2x  30º  1
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6. Trigonometría
QMáx  2  4 1  6
  RESOLUCIÓN
QMín  2  4 1  2 2k  2sen74º sen34º 2sen52º sen88º
 
 QMáx QMín  12 1 1
k  cos 40º  cos108  cos36º  cos140º
  2 
2
RPTA.: A cos 40º cos72º cos36º cos 40º
k   
2 2 2 2
20. Indique el equivalente de: cos 72º  cos 36º
k 
Q
3 sen20º 2 cos10º sen30º 2
3 sen20º  2 sen10º cos 30º sen18º  cos 36º 1
k 
2 4
A) 1 B) tg2 10º RPTA.: A
C)  ctg2 10º D) tg2 10º
22. Calcule:
E) ctg2 10º 2 4 6
M  cos  2 cos  3 cos 
11 11 11
RESOLUCIÓN 20 
3 sen20º  2 sen30º cos10º ...  10 cos
 Q 11
3 sen20º  2 cos30º sen10º
3 sen20º   sen 40º sen20º  9 11 9
 Q A)  B)  C)
3 sen20º   sen 40º sen20º  2 2 2
2 sen20º  sen 40º 11
 Q D) E) - 9
2 sen20º sen 40º 2
2 sen20º 2 sen20º cos20º
 Q RESOLUCIÓN
2 sen20º 2 sen20º cos20º
2 4 6
2 sen20º 1  cos 20º M  cos  2 cos  3 cos 
 Q 11 11 11
2 sen20º 1  cos 20º 20 
10 cos
2 sen2 10º 11
 Q  tg2 10º
2 cos2 10º
RPTA.: D 20  18  16 
M  cos  2 cos  3cos 
11 11 11
21. Calcule aproximadamente el valor 20 
de: 10 cos
11
24
K sen34º sen52º sen88º
25  2 4 6
2M  11  cos  cos  cos  ...
 11 11 11
1 1 1
A)  B)  C)  20  
4 2 3  10 cos
1 1 11 
D)  E) 
5 9
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7. Trigonometría
10 2  2  20   RESOLUCIÓN
sen  
2M  11  2 11  cos  11 11  sen  A  B  sen  A  B 
  M
1 2  2  2 sen  A  B  cos  A  B 
sen   
2 11  
1
 10   M= tg  A  B 
 sen 11  2
2M  11   cos   2M   1  1
 sen   Pero: A  B   M    tg 
  4 2 4 2
 11  -1
RPTA.: C
11
M
2 25. Si:
sen7 x
 a  b  cos 2x  cos 4x  cos 6x 
RPTA.: B sen x
Calcule: a + b
23. Reducir
sen2 x cos3 x  sen x cos 4 x A) -1 B) 1 C) 2
M
cos5 x cos2 x  cos 4 x cos3 x D) 3 E) 4
A) tg 2 x B) – tg 2 x RESOLUCIÓN
C) ctg 2x D) – ctg 2x b
sen7 x  asen x  2 senx cos2x 
E) 1 2
2 sen x cos 4x  2 sen x cos 6x 
RESOLUCIÓN
2 sen2 x cos3x  2 sen x cos 4x b
M
2 cos5x cos2x  2 cos 4x cos3x
sen7 x  asen x  sen3 x  senx 
2
sen5 x  sen x  sen5 x  sen3 x sen5 x  sen3 x  sen7 x  sen5 x
M
cos7 x  cos3 x  cos7 x  cos x
sen3x  senx 2 cos2x senx b b
M    sen7 x  asen x  sen7x  sen x
cos3x  cos x  2 sen2x senx 2 2
  ctg2x Luego:
RPTA.: D b b
1b 2  a  0
2 2
24. En un triángulo ABC, reducir: b
a   1  b = 2
2
sen2 A  sen2 B   a+b=3
M , si: A  B 
sen2A  sen2B 4 RPTA.: D
1 1
A) tanC B)  tanC
2 2
1
C) D) tan C
2
E) – tan C
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