1. Escuela de Educación Continua
Repaso para la Prueba de Evaluación
y Admisión Universitaria
(College Board)
MATEMÁTICAS
Parte VIII. Trigonometría
Preparado por: Escuela de Educación Continua SUAGM © 2011

2. Este manual es propiedad de la Escuela de Educación
Continua de la Universidad Metropolitana. El mismo no puede
ser reproducido parcial ni totalmente sin la autorización
expresa de la Decana Asociada de la Escuela de Educación
Continua de la Universidad Metropolitana.
®Escuela de Educación Continua de UMET, agosto de 2006
2

3. Trigonometría
I. Las razones trigonométricas
Recuerde que si ∆ ABC es rectángulo en C (véase figura), entonces las
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS del ángulo A se definen en la forma que
pasamos de inmediato a indicar.
B
c
a
A
C b
a Catetoopuestoa A
senoA  
SENO: c hipotenusa
b Catetoabyacentea A
cos A  
COSENO: c hipotenusa
a Catetoabyacentea A
tan A  
TANGENTE: b Catetoabyacentea A
1 c hipotenusa
sec A   
SECANTE: cos A b Catetoabyacentea A
1 c hipotenusa
csc A   
COSECANTE: senA a Catetoopuestoa A
3

4. 1 b Catetoabyacentea A
cor A   
COTANGENTE: tan A a Catetoopuestoa A
II. Las identidades trigonométricas
Utilizando las definiciones de las razones trigonométricas podemos verificar
fácilmente las IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS siguientes:
senA
tan A 
cos A
cos A
cot A 
senA
sen 2 A  cos 2 A  1
tan 2 a  1  sec 2 A
1. La primera identidad se verifica inmediatamente si observamos que
a
a sen A
tan A   c 
b b cos A
c
1
cot A 
2. La segunda se verifica recordando que tan A
La tercera identidad se basa en una aplicación inmediata del teorema de Pitágoras
para el ∆ ABC, observamos a continuación:
2 2
a b
sen A  co s A 
2 2

c c
(por definición de seno y coseno)
4

5. a2 b2
 
c2 c2 ( elevado al cuadrado)
a b2 2

c2 (simplificado)
2
c

c2 (por el teorema de Pitágoras)
1
Para obtener la cuarta simplemente dividimos ambos miembros de la tercera,
cos 2 A para obtener:
sen 2 A cos 2 A 1
2
 2

cos A cos A cos 2 A
Por consiguientes, tan 2 A  1  sec2 A.
Si ahora recordamos que en un triángulo rectángulo los ángulos agudos son
complementarios, resulta fácil verificar las identidades adicionales siguientes:

sen 90   A  cos A 
cos 90 
 A  senA
tan90 
 A  cot A
5

6. En la tabla siguiente le suministramos los valores de las razones trigonométricas
para los valores más comunes:
A 0 30 45 60 90
SenA 0 1 2 3 1
2 2 2
CosA 1 3 2 1 0
2 2 2
TanA 0 3 1 3 Indefinido
3
SecA 1 2 3 2 2 Indefinido
3
CscA Indefinido 2 2 2 3 1
3
CotA Indefinido 3 1 3 0
3
Ejemplos:
1- Hallar las seis razones trigonométricas para el ángulo A en el triángulo
rectángulo de la figura:
5
4
3 A
6

7. Utilizando las definiciones de las razones trigonométricas, obtenemos que:
4 5
senA  csc A 
5 4
3 5
cos A  sec A 
5 3
4 3
tan A  cot A 
3 4
Así vemos entonces que para hallar los valores de las razones
trigonométricas solamente es necesario saber identificar la hipotenusa, el cateto
adyacente al ángulo A y el cateto opuesto al ángulo B.
2- En la figura siguiente determinar c.
C
5
30 º
Como se nos pide hallar la hipotenusa y nos dan el lado opuesto al ángulo
5
de 30O, resulta conveniente que utilicemos el seno. Luego sen 30  . Como el
c
1 1 5
valor de sen30 es tenemos que  y despejando c obtenemos que c =10.
2 2 c
2- Si cos A = 0.30, determinar sen A.
7

8. Utilizando la identidad sen A  cos A  1, obtenemos que:
2 2
sen 2 A  0.30  1
2
sen 2  1  0.09
sen 2  0.91
Luego sen 2  0.91
Práctica 37 Razones trigonométricas
1) Calcular las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo
rectángulo con lados 3, 4, y 5 .
B
5
B
a
3
A
4 C
2) Calcular el sen 45o, cos 45o y tan 45o .
B
45º
3
45 º
A C
3
8

9. 3) En un ∆ rectángulo isósceles, halla el seno, el coseno y la tangente de 45˚.
45º
h
1
45º 1
4) Calcula el seno, el coseno y la tangente de cada ángulo agudo,
J
24
25
K
7 L
9